第20章 勾股定理单元复习（5大知识点+ 10大分层题型+易错重难点+巩固练习）2025-2026学年人教版八年级数学下学期培优讲义

第20章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.核心内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则； 2.适用范围：仅针对直角三角形，斜三角形不能直接应用； 3.常见变形：、、、（、、均为正数）； 4.验证方法：主要通过拼图法（如赵爽弦图、美国总统伽菲尔丁的面积证法），利用“同一图形面积的两种表示方法相等”推导得出。 知识点2：勾股定理的逆定理 1.核心内容：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为（最长边）； 2.作用：判断三角形是否为直角三角形（由“数”定“形”）； 3.步骤：①确定最长边；②计算与；③比较二者是否相等，相等则为直角三角形，否则不是。 知识点3：勾股定理与逆定理的对比 项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 三角形是直角三角形 已知三角形三边长关系 核心作用 由“形”推“数”（求边长、证平方关系） 由“数”推“形”（判断直角三角形） 逻辑关系 性质定理 判定定理 应用场景 直角三角形的计算、证明 三角形形状的判定 知识点4：勾股数 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数； 2.特征：①三个数均为正整数；②最小数的平方与中间数的平方和等于最大数的平方； 3.常见勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17等； 4.拓展：勾股数的整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）。 知识点5：勾股定理的常见应用场景 1.直接求边长：已知直角三角形两边，求第三边； 2.证明线段平方关系：在几何图形中构造直角三角形，证明线段间的平方关系； 3.最短路径问题：将立体图形（长方体、圆柱）侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求最短路径； 4.折叠问题：利用折叠前后对应边相等，结合勾股定理列方程求解； 5.实际情境问题：解决航海、测量、建筑等实际场景中的距离、高度计算问题。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理的直接应用（知二求一） 1.核心知识点： 勾股定理的基本形式、直角三角形的边长关系。 2.解题方法技巧： 首先明确直角三角形的直角边和斜边，避免混淆； 直接代入勾股定理公式计算，若结果为无理数，保留最简根式形式； 遇到含字母的直角三角形，根据边长关系确定斜边，再列方程求解。 【例题1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为______． 【答案】8 【分析】利用勾股定理求出的值，再代入所求代数式计算即可得到结果． 【详解】解：为直角三角形，斜边， 由勾股定理得，， 所以． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（   ） A．5 B．5或 C． D．2 【答案】B 【分析】由于未明确x是直角边还是斜边，需分其为直角边和斜边两种情况，分别按照勾股定理求解即可． 【详解】解：∵题目未说明x是直角边还是斜边， ∴分两种情况讨论： ①当x为斜边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴； ②当长为4的边为斜边，x为直角边长，根据勾股定理得 ∵三角形边长为正数， ∴． 综上，x的值为5或． 【点睛】灵活运用分类讨论思想是解题的关键． 【变式题1-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标与图形，勾股定理．根据题意求出，再由勾股定理可得的长，即可求解． 【详解】解：由作图方法得：， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为． 故选：A 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等边三角形的性质，勾股定理，构造直角三角形是解题关键． 利用等边三角形的高平分底边的性质，将问题转化为解直角三角形，再通过勾股定理计算出高的长度． 【详解】解：∵是等边三角形，边长，是边上的高， ∴， 在中，，， 由勾股定理： ∵， ∴， ∴， 解得，即边上的高为． 故选：． 【题型2】勾股定理逆定理的应用（判断直角三角形） 1.核心知识点： 勾股定理的逆定理、三角形三边关系。 2.解题方法技巧： 第一步找出三角形的最长边，将其作为斜边； 计算较短两边的平方和与最长边的平方； 若二者相等，则为直角三角形；若不相等，则为非直角三角形（平方和大于最长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形）。 【例题2】.（26-27八年级上·陕西西安·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A． B．7，24，25 C．2，3，4 D． 【答案】B 【分析】勾股定理逆定理：如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． 【详解】A．最长线段为，，，，不能构成直角三角形，故A选项不符合题意； B．最长线段为25，，，，能构成直角三角形，故B选项符合题意； C．最长线段为4，，，，不能构成直角三角形，故C选项不符合题意； D．最长线段为3，，，，不能构成直角三角形，故D选项不符合题意． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的一点，，求面积． 【答案】84 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理、勾股定理以及三角形面积公式，先根据勾股定理的逆定理证明，再在中，用勾股定理求得，利用线段和差求出，最后用三角形面积公式即可． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， 面积：． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【答案】 等腰直角三角形 【分析】本题考查了绝对值非负性，利用算术平方根的非负性解题，判断三边能否构成直角三角形，等腰三角形的定义等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 根据非负数的性质，两个非负数的和为零，则每个部分都为零，得出三边关系，再作出判断． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∵a，b，c是的三边长， ∴满足勾股定理且有两边相等， ∴为等腰直角三角形， 故答案为：等腰直角三角形． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，解题的关键是熟练掌握，如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形．在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么． （1）根据勾股定理逆定理证明为直角三角形，即可得出； （2）根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：， ， ∴为直角三角形， ， ； （2）解：， ． 【题型3】勾股数的识别与构造 1.核心知识点： 勾股数的定义、常见勾股数的特征。 2.解题方法技巧： 识别勾股数时，先验证三个数是否为正整数，再验证平方关系； 构造勾股数可利用常见模型：①、、（的正整数）；②已知勾股数的整数倍； 注意区分勾股数与非正整数的平方关系组合（如0.3、0.4、0.5不是勾股数）。 【例题3】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）下列四组数是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查勾股数的定义，掌握勾股数的必备条件是解题关键． 勾股数需满足两个条件：三个数为正整数且符合勾股定理，据此对选项依次进行判断即可． 【详解】解：选项：都是负数，不是正整数，不符合勾股数定义； 选项：都是小数，不是整数，不符合勾股数定义； 选项：含无理数，不符合勾股数定义； 选项：，，均为正整数，且，满足勾股数定义． 故选：． 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【答案】/ 【分析】本题主要考查勾股数，熟练掌握勾股数是解题的关键；设股为，则弦为，根据勾股定理列方程求解． 【详解】解：依题意，勾为，设股为，则弦为．由勾股定理，得， 即，整理得，即，解得． 故股为； 故答案为． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【答案】B 【分析】本题考查了勾股数的定义（正整数且满足两数平方和等于第三数平方）；解题关键是依据勾股数的定义逐一判断各组数是否符合． 勾股数是指满足勾股定理的三个正整数，需逐一验证各组是否均为正整数且满足即可． 【详解】∵勾股数需为正整数，且满足， 对于①：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于②：均为正整数，且，∴是勾股数， 对于③：均不是整数，∴不是勾股数， 对于④：中和不是整数，∴不是勾股数． ∴勾股数有2组． 故选B． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股数，观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1，即可得出结论． 【详解】解：观察勾股数组的规律，第个数组的第一个数为，第二个数为，第三个数为第二个数加1， ∴对于第6个勾股数组： 第一个数， 第二个数， 第三个数， 故答案为：． 【题型4】勾股定理在网格中的基础应用 1.核心知识点： 网格中直角三角形的构造、勾股定理求线段长度。 2.解题方法技巧： 利用网格线的垂直关系构造直角三角形，确定直角边长度（小正方形边长为1）； 直接应用勾股定理计算线段长度，若线段为斜向，需通过横向、纵向格数确定直角边； 网格中判断直角三角形时，可通过计算三边平方关系验证。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【答案】D 【分析】利用勾股定理求解． 【详解】解：由勾股定理得：“车”“炮”两棋子间的距离为， 故选：D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，熟练掌握勾股定理是解答本题的关键．在直角三角形中，如果两条直角边分别为a和b，斜边为c，那么．根据勾股定理即可求解． 【详解】解：根据题意． 故选：C． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【答案】(1)5 (2)见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是熟练掌握勾股定理． （1）根据勾股定理求出线段的长度即可； （2）根据等腰三角形的三线合一，作出的角平分线即可． 【详解】（1）解：， 即线段的长度为5． （2）解：取的中点D，连接，则即为的角平分线． 根据图形可得：， ∴， ∵， ∴平分． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 【答案】(1)见解析 (2)边上的高长为 【分析】本题主要考查了网格作图、勾股定理、运用等面积法求三角形的高，熟练掌握网格作图的方法，运用等面积法求三角形的高的方法是解题的关键． （1）过点作于，取格点，连接，使，交于点，则有，由得，所以可得，即； （2）由，代入，，的值即可求得高． 【详解】（1）解：如图，点即为所求． （2）解：由勾股定理得：， ∵， ∴． ∴边上的高长为． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理与线段和差的综合计算 1.核心知识点： 勾股定理、线段的和差关系、方程思想。 2.解题方法技巧： 当线段长度不直接为直角三角形的边时，通过作垂线（高）构造直角三角形； 设关键未知线段为，利用线段和差表示出直角三角形的另外两边； 结合勾股定理建立一元一次或二元一次方程，求解未知量。 【例题5】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【答案】C 【分析】本题主要考查勾股定理，可得，，据此即可求得答案． 【详解】在中，由勾股定理可得， 同理可得， 所以． 故选：C． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【答案】(1)是直角三角形，证明见解析 (2)①见解析② 【分析】（1）根据角平分线的定义得到，根据三角形内角和定理可知，进而可知，即是直角三角形； （2）①根据角平分线的定义得到，根据等边对等角得到，根据可知，根据等角对等边得到，根据勾股定理得到，结合平方差公式作答即可； ②过作交于点，作交于点，根据角平分线的性质定理得到，根据得到，可知是等边三角形，即，可知，根据三角形内角和定理作答即可． 【详解】（1）解：是直角三角形，理由如下： ∵平分，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）①证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴ ， 即； ②解：过作交于点，作交于点， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，平方差公式，角平分线的性质定理，等边三角形的判定和性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【答案】38 【分析】本题主要考查了勾股定理，灵活运用勾股定理是解题的关键． 先利用勾股定理求出、、、，再说明，最后代入数据即可解答． 【详解】解：∵四边形的对角线交于点O，， ∴在中，； 在中，； 在中，； 在中，； ∴． 故答案为：38． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【答案】60 【分析】本题主要查了勾股定理，理解并灵活运用勾股定理是解题的关键． 根据勾股定理可得，，从而得到，再代入相关数据即可解答． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴ ， ． 故答案为：60． 【题型6】勾股定理在实际情境中的应用 1.核心知识点： 勾股定理、方位角/仰角/俯角的理解、数学建模思想。 2.解题方法技巧： 从实际情境中提取几何信息，将其转化为直角三角形模型； 明确直角三角形的直角边、斜边对应的实际量（如距离、高度）； 代入勾股定理计算，注意单位统一（如海里、米、千米）。 【例题6】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【答案】C 【分析】根据题意，利用勾股定理求出，，计算即可求解． 【详解】解：由题可知，，米，米，米， 在中，， ， ， 在中，， ， 则梯子顶端A下滑了米． 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理； 设绳索的长是，则，故，在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：设绳索的长是，则， ∵，， ∴， ∴， 在中，， 根据勾股定理，得， ∴， 解得，， ∴绳索的长是， 故选：B． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【答案】旗杆的高度为17米 【详解】解：由题意知，四边形是矩形， ∴米，米， 设旗杆的高度为x米， 则的长度为米， 在中，，，， 由勾股定理得：，即， 解得：， ∴旗杆的高度为17米． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）在中利用勾股定理直接计算即可； （2）由（1）得绳子的总长度为，得到，在中利用勾股定理求出，再利用线段和差即可解答． 【详解】（1）解：由题意得，，，， 在中，， ， ． 答：绳子的总长度为． （2）解：如图， 由题意得，，， ， 由（1）得，绳子的总长度为， ， 在中，， ， ， 答：滑块向左滑动的距离为． 【题型7】立体图形表面的最短路径问题（长方体、圆柱） 1.核心知识点： 勾股定理、立体图形的侧面展开、“两点之间线段最短”。 2.解题方法技巧： 长方体表面最短路径：将相邻两个面展开为平面长方形，长方形的长和宽为长方体棱长的和，对角线即为最短路径，需考虑多种展开方式，取最小值； 圆柱表面最短路径：将圆柱侧面展开为长方形，长方形的长为底面圆的周长，宽为圆柱的高，对角线即为最短路径； 展开时注意立体图形棱长与平面图形边长的对应关系，避免长度混淆。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆柱侧面展开可得到长为，宽为圆柱的高的长方形，根据勾股定理即可求出的长，即为所求． 【详解】解：如图，圆柱侧面展开图是长方形， 长方形的长为圆柱的底面周长为，宽为圆柱的高为， 根据勾股定理得： ， 根据两点之间线段最短，可得这条彩带的最小长度是为． 【变式题7-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 【答案】他滑行的最短路程是 【分析】把半圆柱展开，根据两点之间线段最短，可得他滑行的最短路程，根据勾股定理，分别求解，即可． 【详解】解：如图，把半圆柱展开． 由题意可知，，． 在中，． 在中，， 所以． 答：他滑行的最短距离是． 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．                           (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； (2)求该金属丝的长． 【答案】(1)C (2) 【分析】本题考查了勾股定理的最短路径问题，圆柱的侧面展开图是一个矩形，此矩形的长等于圆柱底面周长，高等于圆柱的高，本题就是把圆柱的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决． （1）由平面图形的折叠及立体图形的表面展开图的特点解题； （2）要求金属丝的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，根据勾股定理计算即可． 【详解】（1）解：因为圆柱的侧面展开图为长方形，展开应该是两线段，且有公共点． 故答案为：C； （2）如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为， ∴， ∴， ∵在中，，，， ∴根据勾股定理，得， ∴该金属丝的长． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【答案】任务一：；任务二：小星的猜想对，理由见解析；任务三：蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为 【分析】本题考查了勾股定理求线段的最短距离，等边三角形的性质与判定，折叠的性质； 任务一：根据题意画出圆柱的展开图，然后根据勾股定理，即可求解； 任务二：根据题意画出图形，证明是等边三角形，进而即可得出平分，即可求解； 任务三：连接，过点作于点，依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，，进而根据等面积法求得，设，则，在中，，在中，，进而建立方程，求得的长，再根据勾股定理求得的长，即可求解． 【详解】解：任务一，如图 依题意， ∴； 任务二：小星的猜想对，理由如下， 如图，取的中点，连接，取的中点，连接， ∵， ∴ 依题意， 在中，， 在中， ∴ ∴是等边三角形 ∴ 又∵ ∴， ∴ 即平分， 任务三： 如图，连接，过点作于点， ∵， ∴ 依题意，将沿对折到正方形内部的位置，则垂直平分，， ∴ ∴ 设，则， 在中，，在中， ∴ ∴ 解得：，即 ∴ ∴蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程为． 【压轴素养题型】 【题型8】勾股定理与图形面积的综合 1.核心知识点： 勾股定理、正方形/三角形面积公式、“赵爽弦图”模型。 2.解题方法技巧： 利用勾股定理推导图形面积关系（如以直角三角形三边为边长的正方形面积关系）； 结合“赵爽弦图”，通过面积和差验证勾股定理或求未知图形面积； 复杂图形中，分解为多个直角三角形和规则图形，分别计算面积后求和或差。 【例题8】.（25-26八年级上·四川成都·期中）问题提出：求边长分别为、、的三角形面积． 问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形（如图1），是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请直接写出图1中的面积 ； (2)类比迁移：求边长分别为、、的三角形的面积，要求：请利用图2的正方形网格画出相应的，并求出它的面积． (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，若，，，求六边形的面积． 【答案】(1) (2)3，画图见解析 (3)31 【分析】本题考查了勾股定理、三角形的面积公式、正方形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）根据题意，计算以三角形为顶点的长方形的面积，再分别计算以三角形的三边为斜边所围成的直角三角形的面积，利用面积差来计算的面积即可； （2）仿照题干，再正方形网格中，画出以是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，画出即可，计算长方形面积和三个直角三角形的面积即可； （3）将六边形分成两个三角形和两个正方形，根据（1）计算三角形面积的方法，计算和的面积，根据，计算正方形和正方形的面积，进而求得六边形的面积即可． 【详解】（1）解：图1中，以为基础构造一个长为3，宽为3的长方形，则长方形的面积为：， 由题意知，以为斜边的直角三角形的面积为：， 同理，以为斜边的直角三角形的面积为：， 以为斜边的直角三角形的面积为：， 因此的面积为 故答案为：； （2）解：在图2的正方形网格中，是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和4的直角三角形的斜边，画出，如下图， 构造一个长为4，宽为2的长方形，则该长方形的面积为， 三个直角三角形的面积分别为： ， ， ， 则的面积为； 答：的面积为3； （3）解：根据（1）、（2）求三角形面积的方法， 同理得： 的面积为：， 的面积为： 由于，， 则正方形的面积为：， 正方形的面积为：， 因此六边形的面积为：． 答：六边形的面积为31． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【答案】，，， 【分析】本题主要考查了勾股定理的证明，正确理解题意是解题关键．利用两种方法表示出整个图形的面积，根据面积相等得到等式并化简，即可获得答案． 【详解】证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积两个直角三角形的面积，列式后化简，得； 根据面积相等，得到等式， 化简这个等式，得，从而证明了勾股定理． 故答案为：，，，． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【答案】探索新知：，，；知识迁移：（1）；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查的是勾股定理的证明与应用，完全平方公式的应用，轴对称的性质，作出合适的辅助线是解题的关键. 探索新知：如图1，求出小正方形的面积，大正方形的面积即可． 知识迁移：（1）根据空白部分的面积小正方形的面积个直角三角形的面积计算即可． （2）可设，根据勾股定理列出方程可求，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接，可得，当三点共线且时，，此时最小；再进一步求解即可. 【详解】解：探索新知： 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 大正方形的面积； 小正方形的面积个直角三角形的面积； 从而得出数学等式：； 化简证得勾股定理． 知识迁移： （1）由题意得： 空白部分的面积为． （2）∵， 设，依题意有 ， 解得：， ∴ ． 故该飞镖状图案的面积是24． 拓展延伸：如图，作关于角平分线的对称点，连接， ∴， 当三点共线且时，，此时最小； ∵中，， ∴， ∵， ∴. ∴的最小值为. 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【答案】（1）；（2）19；（3）；（4） 【分析】本题考查勾股定理的证明和应用、含30度角的直角三角形的性质，根据图形得出面积关系是解题的关键． （1）求出小正方形的面积，大正方形的面积即可； （2）根据空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积，计算即可， （3）可设，根据勾股定理列出方程可求x，再根据直角三角形面积公式计算即可求解； （4）根据大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积，构建关系式即可． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∴小正方形面积：大正方形面积， 故答案为：； （2）根据题意得 ， ∵空白部分的面积为小正方形的面积两个三角形的面积， ∴空白部分的面积． 故答案为：19； （3）如图， ， 根据题意得 ，． 设，则，． 在中，， 即， 解得， ∴， ∴该风车状图案的面积； （4）． 理由：设大正三角形的高为，中心小正三角形的高为，三个全等三角形的边a上的高为． 由图可知大正三角形面积三个全等三角形面积小正三角形面积， ， 大等边三角形的面积， ， 小等边三角形的面积， ， ， 三个这样的三角形面积之和为， ， 即， ∴． 【题型9】勾股定理与动点问题的结合 1.核心知识点： 勾股定理、动点运动规律、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 分析动点的运动方向和速度，用时间表示出相关线段的长度； 根据动点位置确定直角三角形的三边，分情况讨论（如动点在不同边上、直角顶点不同）； 结合勾股定理列方程，求解时间的值，验证结果是否符合动点的运动范围。 【例题9】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当的面积是时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； (4)当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【答案】(1)； (2)或； (3)； (4)或； 【分析】本题考查了列代数式，勾股定理在动点问题中的应用，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，数形结合、分类讨论并熟练掌握相关性质及定理是解题的关键． （）根据题意列代数式可求得答案； （）分当在线段上时，当在线段延长线上时两种情况分析即可； （）过作于点，则，根据角平分线的性质得，证明，则有，所以，设，则，然后通过勾股定理得，再求出的值即可； （）分作为底和腰两种情况讨论即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：； （2）解：当在线段上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 当在线段延长线上时，， ∵的面积是， ∴， ∴，解得：； 综上可得：当的面积是时，的值为或； （3）解：如图，过作于点，则， ∵点在的角平分线上，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴，解得：， ∴，解得：， ∴的值为； （4）解：如图， 当时， ∴，解得：； 当时， ∵， ∴， ∴， ∴，解得：； 综上可得：的值为或． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 【答案】(1) (2)， (3)或或 (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，列代数式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用勾股定理得，再运用等面积法进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，再进行分类讨论，即可作答． （3）理解题意，结合是以或为底的等腰三角形进行分类讨论，且逐个情况作图，运用等腰三角形的性质进行列式计算，即可作答． （4）理解题意，根据动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，且进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：∵在中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， （2）解：由（1）得， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴ ∴当时，点D在线段上； ∴，； 当时，点D在线段上； ∴； （3）解：∵是以或为底的等腰三角形； ∴分四种情况讨论； 当点在上时， ①当是以为底的等腰三角形时，即， ∵点D运动的速度为每秒2个单位长度， ∴， 解得； ②当是以为底的等腰三角形时，即时，如图，过点B作于F， ∵， 与（1）同理得， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 解得， 当点D在上时， ③∵， ∴不存在是以为底的等腰三角形时； ④当是以为底的等腰三角形时，即时 即， ∵， ∴， 则， 解得， 综上所述，或或时，是以或为底的等腰三角形． （4）解：①当时， 与（1）同理得 ∴在中，， ∴， 解得； ②当时，点D在线段上运动， ∴ 综上所述，当是直角三角形时，或． 故答案为：或 【变式题9-2】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)连接，当时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) (4)的值为3或4 【分析】（1）用得； （2）由全等对应边列方程求t； （3）时为矩形，列方程求t； （4）等腰三角形分、：直接列方程；作垂线用勾股定理算，再列方程，舍去构不成三角形的解． 【详解】（1）解：已知，点P速度为2单位 / 秒，运动时间为t秒，则． ∴； （2）解：如图，，． 当时，． ，即，解得：； （3）解：时，，四边形为矩形，故． ∴，则​ 解得； （4）解：已知，分两种情况讨论： 情况 1：， 则， 解得； 情况 2： 过E作于F，则，． 在中，，由勾股定理： P在F左侧：，即，解得． P在F右侧：，P与C重合，三点共线无法构成三角形，故舍去． 综上，t的值为：3 或 4． 【点睛】本题考查矩形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形分类、动点代数化．采用了数形结合、分类讨论、方程思想；动点用时间表示线段，等腰三角形分情况讨论腰．解题关键是用t表示线段长，依几何条件列方程；易错点：等腰三角形两点重合时无法构成三角形，需舍去． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图①，在中，，，点P从B点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含t的代数式表示线段的长度； (3)当分的面积为两部分时，求t的值； (4)如图②，M是线段延长线上的一点，，作点C关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出t的值． 【答案】(1) (2)当时，．当时， (3)秒或秒 (4)或 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积，轴对称的性质，解题的关键是分类讨论． （1）当秒时，，得到，在中，根据勾股定理即可求解； （2）由题意得：，分两种情况：当时，当时，利用线段的和差即可求解； （3）利用分类讨论的思想方法分两种情况解答∶当：当时，，当时，； (4)利用分类讨论的思想方法分两种情况解答∶点P在线段上时，连接，利用轴对称的性质得到，，利用勾股定理求得，设，则，利用勾股定理列方程求得，进而求得，则结论可求；②点P在线段的延长线上时，连接，利用同的方法解答即可． 【详解】（1）解：当秒时， ∵点P从B点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动， ． ． ； （2）解：当时，由题意得：， ． 当时，由题意得：， ； （3）解：当时， ， 则． 由题意得：， ． 当时， ． 由题意得：， ． 综上，当分的面积为两部分时，t的值为秒或秒； （4）解：t的值为或． 点P在线段上时，连接，如图， ∵点C和点关于直线对称， ． ，． ， ． ， ． ． ． 设，则， ， ． ． ． ． ； ②点P在线段的延长线上时，连接，如图， ∵点C和点关于直线对称， ． ，． ， ． ， ． ． ． 设，则， ， ． ． ． ． ． 综上，t的值为或． 【题型10】勾股定理在折叠与动点结合问题中的应用 1.核心知识点： 折叠性质、动点运动规律、勾股定理、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 分析折叠后动点的运动轨迹，确定不同阶段动点的位置； 分情况讨论动点在不同位置时形成的直角三角形，设时间表示线段长度； 结合折叠的相等线段和勾股定理列方程，求解后验证动点是否在有效范围内。 【例题10】.（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3)等腰直角三角形 (4)秒或秒或秒 【分析】（1）根据平行线间的距离相等得到，进而在中，勾股定理即可求解； （2）设，则，在中，，在中，，在中，，再根据，进而作答即可； （3）过点P作于点H，证明，得出，即可得出结论； （4）分三种情况讨论，画出符合题意的示意图，由长方形得性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， ∵四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， 在中，； （2）解：如图， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故， ∴； （3）证明：如图，过点P作于点H， 则同（1）可得， ∵ ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形； （4）解：动点P从点E出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动， 有以下三种情况： ①当点P在线段上时，点E关于的对称点落在边上，点Q在边上，如图： 由上可得：， 设，则， 由对称的性质得：， 在中，由勾股定理得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴ 解得：，即， ∴； 当点在上，点在上时， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，如图： 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴运动的时间为 当点在上，在上， 由对称的性质得：， ∵，点在上时， ∴重合，此时重合，如图： 则由（1）可得， ∴运动时间为：， 综上所述：的值为秒或秒或秒． 【点睛】本题考查了长方形的性质，勾股定理，二次根式的混合运算，全等三角形的判定与性质，折叠的性质以及等腰三角形的定义等知识点，难度较大，解题的关键在于分类讨论． 【变式题10-1】.（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)； (4)存在，或． 【分析】（1）根据，点P的运动速度即可得出代数式； （2）根据折叠的性质及平行线的性质即可得出结论 （3）先证，得，根据折叠性质得，根据勾股定理得，可得结论； （4）分两种情况：点E在矩形的内部时，过点P作PH⊥AB于H，过点Q作QG⊥CD于G，先求解，求解，再建立方程求解即可；当点E在矩形的外部，可得，从而可得答案． 【详解】（1）解： ，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动， ， ， 故答案为：． （2）∵沿着翻折得到， ∴， ∵在长方形中，， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∵沿着翻折得到， ∴，，， ∴， ∴在中，，，， ∴， ∴ ∴； （4）存在，分两种情况： 当点E在矩形内部时， 如图，如图，过点P作于H，过点Q作于G， ， ∵， ， ∵， ∴是等腰三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 而， ∴， ∵， ， ， ， ∴ ∴， ， 解得：； 经检验，符合题意， 当点E在矩形的外部时 如图， ∵， 同理：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，（此时P与C重合），      综上，存在这样的t值，使得，t的值为秒或5秒． 【点睛】本题考查长方形的性质、几何动点问题，轴对称的性质，勾股定理的应用，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会正确画出图形，学会分类讨论，充分利用轴对称的性质解决问题． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·河北保定·月考）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【答案】(1)； (2)； 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，勾股定理及二次根式的性质，解决本题的关键是动点运动到不同位置形成不同的等腰三角形． （1）根据条件求出，在中，用勾股定理即可求出； （2）折叠性质可知：，进而求出，然后根据列方程即可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∵， 在中，， ∴的长度为； （2）解：在中，，， ∴， 由折叠性质可知：， ∴，，， ∴， ∵， ∴，即 解得：； ∴将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，此时t的值； 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 【答案】(1) (2)6 (3)或3或 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握以上性质． （1）根据长方形的性质和翻折的性质得出，假设，表示出相关线段的长度，然后利用勾股定理列方程求解即可； （2）利用（1）的结论，求出三角形的底和高，然后求面积即可； （3）分三种情况进行讨论，根据边相等，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵将该长方形沿翻折，点A的对应点为点D，与交于点E． ， ∵四边形是长方形， ． ， ， ； 设，则， 在中，，根据勾股定理得，， ， ， ， ； （2）解：由（1）得， ∴， 根据翻折的性质得，， ∴的面积为， 故答案为：6； （3）解：①若， ， ； ②若，作于点， ，，， ， ， ； ③若，则，，， ，， ， ； 综上所述，或3或． 易错点 1.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边，尤其是在未明确直角三角形的直角顶点时； 2.忽略勾股定理的适用范围，将其应用于非直角三角形； 3.勾股数识别错误，将非正整数的平方关系组合（如0.5、1.2、1.3）误认为勾股数； 4.立体图形表面最短路径问题中，未考虑所有可能的展开方式，导致遗漏最短路径； 5.折叠问题中，未准确识别折叠后相等的线段，或设未知数后未正确表示直角三角形的三边； 6.实际情境问题中，未将实际问题转化为直角三角形模型，或单位不统一直接计算。 重点 1.勾股定理和逆定理的核心内容，能熟练运用定理求边长、判断直角三角形； 2.勾股数的识别与构造，掌握常见勾股数及其拓展规律； 3.直角三角形的构造方法，能在复杂图形和实际情境中构建直角三角形； 4.方程思想在勾股定理中的应用，尤其是折叠、动点问题中设未知数列方程； 5.立体图形表面最短路径的求解，掌握长方体、圆柱的侧面展开方法。 难点 1.复杂图形中勾股定理的综合应用，需多次构造直角三角形或结合全等、相似转移线段； 2.勾股定理与实际情境的结合，能准确将文字描述转化为几何模型； 3.折叠与动点结合问题的分类讨论，需全面考虑动点的不同位置和折叠后的图形变化； 4.探究式问题的规律总结，能从特殊案例推广到一般情况，用代数式子表示规律； 5.跨学科情境下的模型构建，将物理、传统文化等领域的问题转化为直角三角形的计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 【答案】A 【分析】已知三角形三边长判断它是否为直角三角形，需要用勾股定理的逆定理，据此解答即可． 【详解】解：∵，，， ∴三边长分别为、、的三角形不是直角三角形， ∴判断该三角形不是直角三角形，依据是勾股定理的逆定理． 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 【答案】D 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两较小数的平方和等于最大数的平方，据此逐一验证选项即可． 【详解】解：A、∵不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； B、∵0.6，0.8不是正整数，∴不是勾股数，故选项不符合题意； C、∵，，，∴不满足勾股数条件，故选项不符合题意； D、∵，且三个数均为正整数，∴是勾股数，故选项符合题意． 3．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据折叠的性质得到，设，在中结合勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：由题意知，，， 设，则， 在中，， ∴， 解得， 即． 4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理与几何综合，数形结合，由直角三角形边长表示出是解决问题的关键． 在中，设，则由勾股定理可得，根据阴影部分的面积关系满足，由圆的面积公式、直角三角形面积公式表示出与，从而得到，由完全平方公式恒等变形即可得到，即可得到答案． 【详解】解：在中，设， ， 由勾股定理可得，则， 则 ， ， ， ，即， 则， ， 则，即， ， 故选：A． 5．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，勾股定理与无理数，由题意可得，然后通过勾股定理求出即可，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 6．如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 【答案】 【分析】过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点，得到是等腰直角三角形，垂直平分，利用可证明，得到，再运用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，交的延长线于点，连接，过点作，交延长线于点， ∴，，， ∴是等腰直角三角形，， ∵点是边的中点， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴，， ∵在中，， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴． 【点睛】本题是三角形综合，合理作出辅助线，构造全等三角形及直角三角形是解题关键． 7．如图，，，，则的长为______． 【答案】 【分析】过点作交的延长线于点，根据已知得出是等腰直角三角形，结合已知条件即可得出，根据含度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而根据，即可求解． 【详解】解：如图，过点作交的延长线于点， ∵， ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴ 在中， ∴ 8．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质可得出，再利用勾股定理求出，最后根据等面积法求解． 【详解】解：∵将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，， ∴，， ∴， ∵再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 9．如图，四边形的对角线，互相垂直，垂足为O，，，，若，则______． 【答案】 【分析】利用勾股定理可得，根据面积的加减可得，再根据，求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∵四边形的对角线，互相垂直， ∴， ∴，即， ∴． 10．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 【答案】 【分析】连接，由勾股定理可得，再结合正方形面积公式求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，，， ，，， ， 另一个正方形的面积为． 三、解答题 11．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】根据勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理， ， ∴． （2）解：在中，根据勾股定理，得 ， 则， ∴． 12．如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 【答案】(1)见解析 (2)蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm 【分析】本题主要考查勾股定理的应用，最短路径问题等知识点熟练掌握以上知识点是做题的关键，（1）根据题意，画出圆柱的侧面展开图即可；（2）根据蚂蚁沿圆柱侧面爬行的最短路程是指展开后线段的长，根据勾股定理即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示： 该圆柱的展开图为矩形，将圆柱沿点A竖直剪开，则点在与点所在的线段的对边中点正下方1cm处． （2）解：如图， 连接，则线段的长就是蚂蚁爬行的最短路程． 由题意知，，，， 根据勾股定理，得， ． 答：蚂蚁爬行的最短路程为15.6cm． 13．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 【答案】见解析 【分析】利用两种方法表示出大正方形的面积，再由面积相等即可求解． 【详解】证明：根据题意可知：边长为c的大正方形的面积4个全等的直角三角形的面积边长为的小正方形的面积， 即：，整理得，． 所以直角三角形的斜边的平方等于两个直角边的平方和． 14．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3) 【分析】（1）利用正方形的面积一定，得出等式，化简即可； （2）利用勾股定理求出的长，进而计算即可； （3）利用勾股定理，结合（2）的思路，得出的最小值为的长即可得答案． 【详解】（1）解：在图中，， 在图中， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴最大为． （3）解：由图可得，，， ∴， 由（2）可知，点在线段上时，取最小值， ∴的最小值为的长， ∵正方形的边长为， ∴， ∴的最小值为． 15．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 【答案】(1)是，详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 【分析】（1）根据勾股黄金三角形的定义判断即可； （2）根据是勾股黄金三角形，，写出较长边的长，斜边的长，计算的值即可； （3）在网格中按的比例画格点三角形即可． 【详解】（1）解：是．理由如下： ，， 这个直角三角形的三边长之比为． 这个直角三角形是勾股黄金三角形． （2）证明：是勾股黄金三角形，， ． ． （3）解：如答图，即为所求．（答案不唯一） 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第20章 勾股定理 知识点1：勾股定理 1.核心内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边分别为、，斜边为，则； 2.适用范围：仅针对直角三角形，斜三角形不能直接应用； 3.常见变形：、、、（、、均为正数）； 4.验证方法：主要通过拼图法（如赵爽弦图、美国总统伽菲尔丁的面积证法），利用“同一图形面积的两种表示方法相等”推导得出。 知识点2：勾股定理的逆定理 1.核心内容：如果三角形的三边长、、满足，那么这个三角形是直角三角形，且斜边为（最长边）； 2.作用：判断三角形是否为直角三角形（由“数”定“形”）； 3.步骤：①确定最长边；②计算与；③比较二者是否相等，相等则为直角三角形，否则不是。 知识点3：勾股定理与逆定理的对比 项目 勾股定理 勾股定理的逆定理 前提条件 三角形是直角三角形 已知三角形三边长关系 核心作用 由“形”推“数”（求边长、证平方关系） 由“数”推“形”（判断直角三角形） 逻辑关系 性质定理 判定定理 应用场景 直角三角形的计算、证明 三角形形状的判定 知识点4：勾股数 1.定义：满足的三个正整数，称为勾股数； 2.特征：①三个数均为正整数；②最小数的平方与中间数的平方和等于最大数的平方； 3.常见勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；8、15、17等； 4.拓展：勾股数的整数倍仍为勾股数（如3、4、5的2倍6、8、10）。 知识点5：勾股定理的常见应用场景 1.直接求边长：已知直角三角形两边，求第三边； 2.证明线段平方关系：在几何图形中构造直角三角形，证明线段间的平方关系； 3.最短路径问题：将立体图形（长方体、圆柱）侧面展开为平面图形，利用“两点之间线段最短”和勾股定理求最短路径； 4.折叠问题：利用折叠前后对应边相等，结合勾股定理列方程求解； 5.实际情境问题：解决航海、测量、建筑等实际场景中的距离、高度计算问题。 【基础必考题型】 【题型1】勾股定理的直接应用（知二求一） 1.核心知识点： 勾股定理的基本形式、直角三角形的边长关系。 2.解题方法技巧： 首先明确直角三角形的直角边和斜边，避免混淆； 直接代入勾股定理公式计算，若结果为无理数，保留最简根式形式； 遇到含字母的直角三角形，根据边长关系确定斜边，再列方程求解。 【例题1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）中，三边分别为a，b，c，斜边，则的值为______． 【变式题1-1】.（24-25八年级下·河南濮阳·开学考试）若直角三角形的三边长分别为3，4，x，则x的值为（   ） A．5 B．5或 C． D．2 【变式题1-2】.（2026八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，，，以点A为圆心，长为半径画弧，交y轴正半轴于点B，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·江苏南京·期末）等边的边长是，那么边上的高为（　　）． A． B． C． D． 【题型2】勾股定理逆定理的应用（判断直角三角形） 1.核心知识点： 勾股定理的逆定理、三角形三边关系。 2.解题方法技巧： 第一步找出三角形的最长边，将其作为斜边； 计算较短两边的平方和与最长边的平方； 若二者相等，则为直角三角形；若不相等，则为非直角三角形（平方和大于最长边平方为锐角三角形，小于则为钝角三角形）。 【例题2】.（26-27八年级上·陕西西安·期末）下列各组线段中，能构成直角三角形的是（　　） A． B．7，24，25 C．2，3，4 D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，为边上的一点，，求面积． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·甘肃天水·期末）已知a，b，c是的三边长，且满足关系，则的形状是______． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）如图，在中，是上一点，连接，，，，． (1)求证：； (2)求的长． 【题型3】勾股数的识别与构造 1.核心知识点： 勾股数的定义、常见勾股数的特征。 2.解题方法技巧： 识别勾股数时，先验证三个数是否为正整数，再验证平方关系； 构造勾股数可利用常见模型：①、、（的正整数）；②已知勾股数的整数倍； 注意区分勾股数与非正整数的平方关系组合（如0.3、0.4、0.5不是勾股数）。 【例题3】.（25-26八年级上·江西景德镇·期末）下列四组数是勾股数的一组是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【变式题3-1】.（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）勾股定理最早出现在《周髀算经》：“勾广三，股修四，弦隅五”，观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；．．．这类勾股数的特点如下：勾为奇数，弦与股相差1，柏拉图研究了勾为偶数，弦与股相差2的一类勾股数，如：若此类勾股数的勾为（为正整数），则股是___________．（结果用含的式子表示） 【变式题3-2】.（25-26八年级上·江苏镇江·月考）有下列各组数：①；②；③；④，其中勾股数有（    ） A．1组 B．2组 C．3组 D．4组 【变式题3-3】.（25-26八年级上·江苏苏州·期中）勾股定理本身就是一个关于，，的方程，满足这个方程的正整数解通常叫做勾股数组．毕达哥拉斯学派提出了一个构造勾股数组的公式，观察下列几组勾股数：，，，⋯根据上面的规律，第6个勾股数组为_____． 【题型4】勾股定理在网格中的基础应用 1.核心知识点： 网格中直角三角形的构造、勾股定理求线段长度。 2.解题方法技巧： 利用网格线的垂直关系构造直角三角形，确定直角边长度（小正方形边长为1）； 直接应用勾股定理计算线段长度，若线段为斜向，需通过横向、纵向格数确定直角边； 网格中判断直角三角形时，可通过计算三边平方关系验证。 【例题4】.（25-26八年级下·全国·课后作业）中国象棋是中华民族的文化瑰宝，因其趣味性强，深受大众喜爱．如图所示的棋盘是由边长均为1的小正方形组成的，则“车”“炮”两棋子间的距离为（   ） A．1 B．3 C． D． 【变式题4-1】.（25-26八年级上·福建泉州·期末）如图，在网格图中，每个小正方形的边长均为1，的三个顶点都在格点上，则边的长是（   ） A． B． C． D． 【变式题4-2】.（25-26八年级上·浙江台州·期末）如图，在边长为1的小正方形网格中，已知为格点三角形（三角形的三个顶点都在正方形网格的顶点上）． (1)线段的长度为_________； (2)请使用无刻度直尺在图中作的角平分线． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·河南郑州·月考）在正方形网格中，每个小正方形的边长都为1个单位长度，每个小正方形的顶点称为“格点”，的三个顶点都在格点上，位置如图所示： (1)找到格点，连接，与交于点，且使得（保留利用格点的作图痕迹）； (2)求出边上的高长． 【培优高频题型】 【题型5】勾股定理与线段和差的综合计算 1.核心知识点： 勾股定理、线段的和差关系、方程思想。 2.解题方法技巧： 当线段长度不直接为直角三角形的边时，通过作垂线（高）构造直角三角形； 设关键未知线段为，利用线段和差表示出直角三角形的另外两边； 结合勾股定理建立一元一次或二元一次方程，求解未知量。 【例题5】.（25-26八年级上·四川巴中·期中）如图，在中，，，于点，为上任意一点，则的结果为（    ） A．7 B．33 C．231 D．569 【变式题5-1】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图，在锐角三角形中，平分，交于点，平分交于，在上取点，连接，使． (1)判断的形状并说明理由． (2)已知， ①求证：． ②若与的面积相等，求的度数． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·辽宁沈阳·月考）如图，四边形的对角线交于点O，若，，，则______． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·广东茂名·月考）如图，在中，，垂足为D，M为上任意一点，则__________． 【题型6】勾股定理在实际情境中的应用 1.核心知识点： 勾股定理、方位角/仰角/俯角的理解、数学建模思想。 2.解题方法技巧： 从实际情境中提取几何信息，将其转化为直角三角形模型； 明确直角三角形的直角边、斜边对应的实际量（如距离、高度）； 代入勾股定理计算，注意单位统一（如海里、米、千米）。 【例题6】.（25-26八年级下·黑龙江绥化·开学考试）如图所示，一个梯子长米，顶端A靠在墙上，这时梯子下端B与墙角C距离为米，梯子滑动后停在的位置上，测得长为米，则梯子顶端A下滑了（   ）米． A．1 B．2 C．0.5 D．2.5 【变式题6-1】.（25-26八年级上·福建漳州·期末）如图，当秋千静止时，踏板离地的垂直高度，将它往前推至处时（即水平距离），踏板离地的垂直高度，它的绳索始终拉直，则绳索的长是（   ） A． B． C． D． 【变式题6-2】.（25-26八年级下·江西南昌·开学考试）阅读与思考 下面是小聪同学的数学日记，请仔细阅读，并解答问题． 今天，我在参加学校举办的升国旗仪式时，发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面时，其末端刚好与旗杆底端重合，那么，能不能借助这段绳子的长度测量旗杆的高度呢？我设计了如下测量方案： 【测量方案】 如图，线段表示旗杆，点A是旗杆的顶端，用手拉住绳子末端，从点B处后退，当绳子拉直时，其末端恰好落在宣传栏上的点D处，此时测得点D到地面的距离为2米，B，C两点之间的距离为8米，已知A，B，C，D四点均在同一竖直平面内． 【计算过程】 解：如图，过点D作于点E， ∴米，米， … 请将小聪的计算过程补充完整． 【变式题6-3】.（25-26八年级上·河南郑州·期末）物理课上，老师带着科技小组进行物理实验．同学们将一根不可拉伸的绳子绕过定滑轮．一端拴在滑块上，另一端拴在物体上，滑块放置在水平地面的直轨道上，通过滑块的左右滑动来调节物体的升降．实验初始状态如图1所示，物体静止在直轨道上，物体到滑块的水平距离是，物体到定滑轮的垂直距离是．（实验过程中，绳子始终保持绷紧状态，定滑轮、滑块和物体的大小忽略不计） (1)求绳子的总长度； (2)如图2，若物体升高，求滑块向左滑动的距离． 【题型7】立体图形表面的最短路径问题（长方体、圆柱） 1.核心知识点： 勾股定理、立体图形的侧面展开、“两点之间线段最短”。 2.解题方法技巧： 长方体表面最短路径：将相邻两个面展开为平面长方形，长方形的长和宽为长方体棱长的和，对角线即为最短路径，需考虑多种展开方式，取最小值； 圆柱表面最短路径：将圆柱侧面展开为长方形，长方形的长为底面圆的周长，宽为圆柱的高，对角线即为最短路径； 展开时注意立体图形棱长与平面图形边长的对应关系，避免长度混淆。 【例题7】.（25-26八年级下·广西南宁·开学考试）如图，若圆柱的底面周长是，高是，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈彩带到顶部B处，则这条彩带的最小长度是（    ） A． B． C． D． 【变式题7-1】.（2026八年级下·全国·专题练习）一个供滑板爱好者使用的U形池如图所示，该形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行的部分的截面是半径为的半圆，其边缘，点E在上，．一滑板爱好者从点滑到点，再从点滑到点，则他滑行的最短路程是多少？（边缘部分的厚度忽略不计，取） 【变式题7-2】.（25-26八年级上·河南新乡·期末）如图，已知线段是圆柱底面的直径，圆柱底面的周长为，圆柱的高，在圆柱的侧面上，过点两点嵌有一圈长度最短的金属丝．                           (1)现将圆柱侧面沿剪开，所得的圆柱侧面展开图是______； (2)求该金属丝的长． 【变式题7-3】.（25-26八年级上·贵州贵阳·期末）小星学习了最短路径问题后，做了一个高为，底面圆的周长为的圆柱（如图①），他在圆柱下底面的点处放了一只蚂蚁，请结合以上描述完成下列任务． 任务一：蚂蚁想吃到圆柱侧面上与点相对的中点处的食物，则它沿圆柱侧面爬行的最短路程是___________ 任务二：小星把圆柱的高变为，底面圆的周长不变（如图②），他把蚂蚁放在底部处，帮蚂蚁设计了一条沿圆柱侧面爬行的最短路径去吃上底面上与点相对的点处的食物，吃完后再设计另一条与前一条不一样的最短路径回到点处（此时两点重合）小星沿着竖直方向将圆柱剪开，得到长方形（如图③，当他分别画出这两条路径时，猜想平分，请根据题意，在图③中补全图形，并判断他的猜想对吗？请说明理由． 任务三；小星准备了一张边长为的正方形纸片（如图④），点为中点，他将沿对折到正方形内部的位置，并把线段抹上了蜂蜜，他把蚂蚁放在点处，不计蜂蜜的宽度，你能帮小星计算出蚂蚁能吃到蜂蜜的最短路程吗？请写出解答过程． 【压轴素养题型】 【题型8】勾股定理与图形面积的综合 1.核心知识点： 勾股定理、正方形/三角形面积公式、“赵爽弦图”模型。 2.解题方法技巧： 利用勾股定理推导图形面积关系（如以直角三角形三边为边长的正方形面积关系）； 结合“赵爽弦图”，通过面积和差验证勾股定理或求未知图形面积； 复杂图形中，分解为多个直角三角形和规则图形，分别计算面积后求和或差。 【例题8】.（25-26八年级上·四川成都·期中）问题提出：求边长分别为、、的三角形面积． 问题解决：在解答这个问题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出边长分别为、、的格点三角形（如图1），是直角边分别为1和2的直角三角形的斜边，是直角边分别为1和3的直角三角形的斜边，是直角边分别为2和3的直角三角形的斜边，用一个大长方形的面积减去三个直角三角形的面积，这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积． (1)请直接写出图1中的面积 ； (2)类比迁移：求边长分别为、、的三角形的面积，要求：请利用图2的正方形网格画出相应的，并求出它的面积． (3)如图3，已知，以，为边向外作正方形，正方形，连接，若，，，求六边形的面积． 【变式题8-1】.（24-25八年级下·安徽合肥·期中）现有4个全等的直角三角形（阴影部分），直角边长分别为，，斜边长为，将它们拼成如图的形状．根据该图，可以用两种不同的方法计算整个图形的面积，通过面积相等来证明勾股定理，请你将下面的证明过程补充完整． 证明：添加辅助线，如图， 整个图形的面积有两种表示方法： 方法一：以为边的正方形的面积+两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 方法二：以和为边的两个小正方形的面积＋两个直角三角形的面积，列式后化简，得________； 根据面积相等，得到等式________， 化简这个等式，得________， 从而证明了勾股定理． 【变式题8-2】.（25-26八年级上·广东深圳·期中）阅读理解： 【问题情境】 教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？请你帮忙完成． 【探索新知】 从面积的角度思考，大正方形的面积小正方形的面积个直角三角形的面积． 请用含有的代数式表示以上面积： 大正方形的面积___________； 小正方形的面积个直角三角形的面积=___________； 从而得出数学等式：___________； 化简证得勾股定理． 【知识迁移】 （1）将图1中上方的两直角三角形纸片向内折叠，如图2，若，，此时空白部分的面积为___________； （2）将这四个直角三角形纸片紧密地拼接，形成飞镖状，如图3，已知外围轮廓（实线）的周长为24，，求该飞镖状图案的面积． 【拓展延伸】 如图4，中，平分是线段上一动点（不与点，点重合），是线段上一动点（不与点，点重合），直接写出的最小值． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·上海·期末）回顾人类文明历史，勾股定理所揭示的直角三角形三边关系早已被广泛应用，被认为是人类最早发现、最基本以及应用最广的数学定理之一．历史上不同时代、不同国家的人士，先后给出了各种证明方法，据统计已有数百种，其中中国历代数学家的贡献独树一帜． 【拼图证明】晓风对勾股定理的证明进行了再研究．他动手操作，用四张全等的直角三角形纸片（直角边分别为a、b，斜边为）拼成如图1所示的图形．从面积的角度思考，不难发现：大正方形面积个小三角形面积+小正方形面积，从而得到等式，化简证得勾股定理． 【图形变式】晓华同学受此启发，对原图进行折叠与拼接，提出以下问题： （1）如图1，若，那么小正方形面积：大正方形面积的比值等于__________． （2）如图2，晓华先将图1上方的两直角三角形向内折叠，如果，那么空白部分的面积等于__________． （3）如图3，晓华再将4个直角三角形紧密的拼接成风车状，已知外围轮廓（实线）的周长为 ，求该风车状图案的面积． 【迁移运用】如图4，用三张含角的全等三角形纸片能拼出一个大等边三角形，你能仿照勾股定理的验证过程，发现含角的三角形三边a、b、c之间的关系吗？ （4）请直接写出此等量关系式：__________． （知识补充：如图5，含角的直角三角形，对边：斜边定值．） 【题型9】勾股定理与动点问题的结合 1.核心知识点： 勾股定理、动点运动规律、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 分析动点的运动方向和速度，用时间表示出相关线段的长度； 根据动点位置确定直角三角形的三边，分情况讨论（如动点在不同边上、直角顶点不同）； 结合勾股定理列方程，求解时间的值，验证结果是否符合动点的运动范围。 【例题9】.（25-26八年级上·吉林长春·期中）如图，在中，，，，，点从点出发，沿射线以每秒个单位长度的速度运动．设点的运动时间为秒． (1)的长为 ；（用含的代数式表示） (2)当的面积是时，求的值； (3)当点在的角平分线上时，求的值； (4)当点在线段的延长线上时，直接写出为等腰三角形时的值． 【变式题9-1】.（25-26八年级上·吉林长春·期末）如图，在中，，，，动点从点出发，沿边向点运动，到点时停止，若设点 运动的时间为秒，点运动的速度为每秒2个单位长度． (1)当时，　　　； (2)用含的代数式表示的长； (3)当为何值时，是以或为底的等腰三角形； (4)直接写出当是直角三角形时，的取值范围为　　　． 【变式题9-2】.（25-26八年级上·吉林白山·期末）如图，在长方形中，，．为边上一点，连接，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边向终点运动，连接．设点的运动时间为秒． (1)用含有的代数式表示的长； (2)连接，当时，求的值； (3)当时，求的值； (4)当是以为腰的等腰三角形时，直接写出的值． 【变式题9-3】.（25-26八年级上·江苏泰州·月考）如图①，在中，，，点P从B点出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动，连结，设点P的运动时间为t秒． (1)当秒时，求的长度； (2)用含t的代数式表示线段的长度； (3)当分的面积为两部分时，求t的值； (4)如图②，M是线段延长线上的一点，，作点C关于直线的对称点，当点落在直线上时，直接写出t的值． 【题型10】勾股定理在折叠与动点结合问题中的应用 1.核心知识点： 折叠性质、动点运动规律、勾股定理、分类讨论思想。 2.解题方法技巧： 分析折叠后动点的运动轨迹，确定不同阶段动点的位置； 分情况讨论动点在不同位置时形成的直角三角形，设时间表示线段长度； 结合折叠的相等线段和勾股定理列方程，求解后验证动点是否在有效范围内。 【例题10】.（24-25八年级下·吉林长春·开学考试）如图①，在长方形中，，点在边上，且，动点从点出发，沿折线以每秒1个单位长度的速度运动．作交边或边于点，连接．当点与点重合时，点停止运动．设点的运动时间为秒． (1)当点和点重合时，线段的长为_____． (2)当点和点重合时，求线段的长； (3)如图②，当点在边上运动时，当的形状始终是_____． (4)作点关于直线的对称点，当点落在长方形的边上时，直接写出的值． 【变式题10-1】.（22-23八年级上·江苏淮安·期中）如图1，在长方形中，已知，，，，动点P从点D出发，以每秒2个单位的速度沿线段向终点C运动，运动时间为t秒，连接，把沿着翻折得到． (1)填空：______；（用含t的代数式表示） (2)求证：； (3)如图2，射线恰好经过点B，试求此时t的值； (4)当射线与边交于点Q时，是否存在这样的t的值，使得？若存在，直接写出所有符合题意t的值；若不存在，请说明理由． 【变式题10-2】.（24-25八年级上·河北保定·月考）如图1，在中，，，．点P从点B出发沿方向以每秒2个单位长度的速度向右运动，当点P与点C重合时，停止运动．设点P的运动时间为秒，连接． (1)当秒时，求的长． (2)如图2，将沿直线折叠，使得点C的对应点M恰好落在边上，求此时的值． 【变式题10-3】.（25-26八年级上·江苏无锡·期中）我们知道，长方形的对边相等，对边平行，四个角都是直角，即：如图1，在长方形中，，，，，．将长方形沿翻折，点A的对应点为D，与交于点E，，． (1)求的长； (2)的面积为__________； (3)如图2，点P从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿着向终点A运动，设点P运动的时间为t秒．当是等腰三角形时，求符合条件的t的值； 易错点 1.应用勾股定理时，混淆直角边和斜边，尤其是在未明确直角三角形的直角顶点时； 2.忽略勾股定理的适用范围，将其应用于非直角三角形； 3.勾股数识别错误，将非正整数的平方关系组合（如0.5、1.2、1.3）误认为勾股数； 4.立体图形表面最短路径问题中，未考虑所有可能的展开方式，导致遗漏最短路径； 5.折叠问题中，未准确识别折叠后相等的线段，或设未知数后未正确表示直角三角形的三边； 6.实际情境问题中，未将实际问题转化为直角三角形模型，或单位不统一直接计算。 重点 1.勾股定理和逆定理的核心内容，能熟练运用定理求边长、判断直角三角形； 2.勾股数的识别与构造，掌握常见勾股数及其拓展规律； 3.直角三角形的构造方法，能在复杂图形和实际情境中构建直角三角形； 4.方程思想在勾股定理中的应用，尤其是折叠、动点问题中设未知数列方程； 5.立体图形表面最短路径的求解，掌握长方体、圆柱的侧面展开方法。 难点 1.复杂图形中勾股定理的综合应用，需多次构造直角三角形或结合全等、相似转移线段； 2.勾股定理与实际情境的结合，能准确将文字描述转化为几何模型； 3.折叠与动点结合问题的分类讨论，需全面考虑动点的不同位置和折叠后的图形变化； 4.探究式问题的规律总结，能从特殊案例推广到一般情况，用代数式子表示规律； 5.跨学科情境下的模型构建，将物理、传统文化等领域的问题转化为直角三角形的计算。 【对应练习题】 一、单选题 1．三边长分别为、、的三角形不是直角三角形，这个论断的依据是（    ） A．勾股定理的逆定理 B．勾股定理 C．直角三角形两锐角互余 D．以上都不对 2．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2， B．0.6，0.8，1 C．5，13，14 D．3，4，5 3．如图，在Rt中，，，将折叠，使点与的中点重合，折痕为，则的长为（   ） A．5 B．4 C．3 D．2 4．如图，在中，，分别以直角三角形的三边为直径作三个半圆，再以斜边为边作正方形，若阴影部分的面积关系满足，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 5．如图，网格中小正方形的边长均为，点，，，都在格点上，以点为圆心，为半径画弧，交最上方的网格线于点，连接，则的长为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图，在中，，是边的中点，为边上一点，连接，过点作，交边于点，连接．若，，则等于________． 7．如图，，，，则的长为______． 8．如图所示，由经过两次折叠得到的，首先将沿折叠，使点A落在斜边上的点处，再沿折叠，使点B落在的延长线上的点处．若图中，，，则的长为_____________ ． 9．如图，四边形的对角线，互相垂直，垂足为O，，，，若，则______． 10．如图，在四边形中，，分别以四边形的四条边为边向外作四个正方形，若已知三个正方形的面积依次为，，，则另一个正方形的面积为____________． 三、解答题 11．如图，根据所给条件分别求两个直角三角形中未知边的长． (1) (2) 12．如图，圆柱的高为13cm，底面周长为20cm，点B距上底面1cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到点B处的食物． (1)小萌思考后，先将曲面问题化为平面问题，将圆柱沿点A竖直剪开，然后得到其侧面展开图．请你画出该圆柱的展开图，并标出A，B两点的位置； (2)若蚂蚁沿圆柱侧面爬行，在展开图中画出表示蚂蚁爬行的最短路程的线段，并求它爬行的最短路程．（精确到0.1cm，参考数据：） 13．我国魏晋时期的数学家赵爽在为天文学著作《周髀算经》作注解时，用4个全等的直角三角形拼成如图所示的正方形，并用它证明了勾股定理，这个图被称为“弦图”．它体现了中国古代的数学成就，是我国古代数学的骄傲．正因为此，这个图案被选为2002年在北京召开的国际数学家大会的会徽．请你利用“弦图”证明勾股定理． 14．勾股定理是数形结合思想的经典体现，实现了从“形”到“数”的转化与求解． (1)【问题解决】据记载，毕达哥拉斯就是借助图1和图2验证了勾股定理，请你写出验证过程． (2)【反思拓展】我们可以用图2表示的，，，之间的关系解决教材第页第题：两个正数的和是，求它们积的最大值．如图，设两个正数，为直角三角形的两条直角边，且， ，； 要使最大，则值应最小． 由图2可知，当点在线段上时，最小，此时，______，即最大为______． (3)【迁移应用】如图3，正方形的边长为，借助“反思拓展”思路，利用图求代数式的最小值为_________． 15．阅读与思考 下面是善思小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应的任务． 关于“勾股黄金三角形”的研究报告【研究对象】勾股黄金三角形． 【研究思路】类比一般三角形，沿着“概念一性质一应用”的路径探究其特征． 【研究方法】观察、猜想、推理、证明． 【一般概念】如果一个直角三角形的三边长之比为，那么我们就称这个直角三角形为勾股黄金三角形． 【性质揭示】勾股黄金三角形的斜边和短直角边之差与长直角边的比值为黄金分割比． 探究：如图1，是一个勾股黄金三角形，，求证：． …… 任务： (1)若一个直角三角形的三边长分别为，，，这个直角三角形是勾股黄金三角形吗？请说明理由． (2)完成报告中“探究”部分的证明． (3)如图2，请在的正方形网格（每个小正方形的边长均为1）中画出一个面积为5的勾股黄金三角形，使点均在格点（小正方形的顶点）上． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $