热点02 方程与不等式15大题型（培优热点专练）（全国通用）2026年中考数学二轮复习高效培优系列

热点02 方程与不等式 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 实际问题列方程（组） 题型02 解方程组 题型03 已知解求参数 题型04 根的判别式的应用 题型05 根与系数关系（韦达定理）的应用 题型06 一元二次方程实际建模问题 题型07 分式方程的解法 题型08 含参数的分式方程 题型09 分式方程的应用问题 题型10 解不等式（组） 题型11 含参数的不等式（组） 题型12 不等式与方程综合 题型13 不等式的实际应用 题型14 新定义运算问题 题型15 方程不等式与函数综合 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“方程（组）与不等式（组）”部分考查覆盖四大核心模块：一元一次方程与二元一次方程组（每年2~4道，8~14分）、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）、分式方程（每年1~3题，3~12分）、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）。考查内容涵盖方程（组）的解法、根的判别式、分式方程验根、不等式组解集及数轴表示，特别注重实际应用（行程、工程、销售、古代数学问题），同时渗透整体思想、分类讨论思想和数形结合思想。 预测2026年：一元一次方程与二元一次方程组将继续强化情境化命题，结合社会热点如环保、科技、传统文化等设置应用题。二元一次方程组与函数图像的综合题比重可能增加，考查学生从图像中提取信息建立方程的能力。跨学科融合趋势明显，可能与物理、化学等学科知识结合。 一元二次方程：根的判别式和根与系数关系仍是核心，将与函数图像、几何图形结合考查综合应用；含参数问题的讨论成为难点方向。 分式方程：解法考查趋于稳定，应用题将结合工程、行程等实际场景，强调“检验”环节的实际意义；可能出现新情境下的方程建模。 不等式（组）：含参数不等式组、与方程结合的最值方案问题成为热点；数轴表示解集和实际应用中的方案选择考查频率上升。 题型01 实际问题列方程（组） 解｜题｜策｜略 先明确未知数，再寻找等量关系。常见等量关系包括：总量不变、路程相等、调配前后数量关系。古代数学问题要理解“盈不足”“和差倍”等术语的实际含义。 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．根据题意，杏的总数在两种分组方式下相等，由此列出方程，即可作答． 【详解】解：∵人一组，每组个杏，则多个杏，设牧童人， ∴杏的总数：； ∵人一组，每组个杏，则多个杏． ∴杏的总数：； ∵杏的总数不变， ∴， 故选：C． 2．（2026·湖南衡阳·一模）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵设甜果个，苦果个，两种果一共个， ∴， ∵文可买个甜果，因此单个甜果价格为文，文可买个苦果，因此单个苦果价格为文，总花费为文， ∴， 综上可得方程组． 3．（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程实际应用中的增长率问题，理解题意并正确列出代数式是关键． 根据每月营业额的增长关系推导九月份营业额的表达式，再结合已知条件列方程． 【详解】解：∵七月份的营业额为万元，月均增长率为， ∴八月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元， ∴方程为． 故选：C． 4．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出分式方程，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系．根据提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟，列出方程即可． 【详解】解：设“复兴号”的速度为千米/时，则原来列车的速度为千米/时， 根据题意得，即． 故答案为：． 题型02 解方程组 解｜题｜策｜略 优先考虑加减消元法（系数成倍数关系时）或代入消元法（一个方程可直接表示某个未知数时）。计算时注意符号，避免移项错误。 5．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 【答案】5 【分析】本题考查了二元一次方程组的特殊解法，在求二元一次方程组中两个未知数的和或差的时候，有时可以采用把两个方程直接相加或相减的方法，而不必求出两个未知数的具体值． 通过将方程组的两个方程相加，可以直接求出． 【详解】解： 将①和②相加，得： 化简得：． 故答案为：5． 6．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，直接利用加减消元法解方程组即可． 【详解】解： 得：， 解得， 把代入②得：， ∴方程的解为． 7．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 【答案】(1) (2)18 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解法以及二阶行列式的运算，熟练掌握方程组同解问题的处理方法和二阶行列式的运算法则是解题的关键． （1）先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含、的方程，求出、的值，进而计算． （2）根据二阶行列式的运算法则，将、、、的值代入计算． 【详解】（1）解：∵关于，的方程组与有相同的解． ∴， 解该方程组得， ∴，， 解得：， ∴． （2）解：将，，，代入， ∴． 题型03 已知解求参数 解｜题｜策｜略 将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。若方程组同解，可先解不含参数的方程组，再代入含参方程。 8．（2024·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解．把代入方程得出，再求出方程的解即可． 【详解】解；把代入方程得：， 解得：， 故选：D． 9．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B． C．2026 D．2025 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解的定义，将代入方程，通过计算即可求出的值． 【详解】解：∵是关于x的一元二次方程的根， ∴把代入方程得：， 即， ∴， 故选：C． 10．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法以及方程的解的应用，解题的关键是先求出方程组的解，再代入含参方程求解． 先通过代入消元法解已知方程组，得到、的值，再将其代入方程，进而求出的值． 【详解】解：， 由得代入，得， 解得． 把代入，得． 代入方程，得，解得． 11．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有，例如，请根据上述知识解决下列问题． (1)，求x取值范围； (2)若，求x的值； (3)若方程，□中是一个常数，且此方程的一个解为，求□中的常数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据题意列出不等式进行计算即可； （2）根据题意列出方程进行计算即可； （3）设□中的常数为y，根据题意列出关于y的方程，解方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：． （2）解：∵， ∴， 解得：． （3）解：设□中的常数为，根据题意得： ， ∵此方程的一个解为， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，解不等式，解一元一次方程，解题的关键是理解题意列出相应的不等式或方程． 题型04 根的判别式的应用 解｜题｜策｜略 牢记Δ=b²-4ac。Δ>0⇔两不等实根，Δ=0⇔两相等实根，Δ<0⇔无实根。含参数时，先化为一般式，再代入判别式，注意二次项系数不为0的前提。 12．（2026·河南周口·模拟预测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式的应用，根据确定方程是一元二次方程，再计算判别式判断符号即可得出根的情况． 【详解】解：∵， ∴，，方程是一元二次方程， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 13．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程有两个不相等的实数根的条件，需满足判别式大于零且二次项系数不为零，需注意二次项系数不为零的条件． 【详解】解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴且， ∴， 解得：， ∴k的取值范围且， 故选：B． 14．（2026·四川遂宁·一模）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的意义． 根据题意得出，，，再根据判别式的意义可知，进而可得答案． 【详解】解：∵， ∴，，． ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项A结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项B结论正确，不符合题意； ∵一元二次方程有两个相等的实数根，， ∴， ∴，选项C结论正确，不符合题意； ∵，，． ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴不一定为0，选项D结论错误，符合题意． 故选：D． 15．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根的情况，掌握相关知识是解决问题的关键．根据题意，一元二次方程的，据此计算解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 即， 解得：． 故答案为：． 题型05 根与系数关系（韦达定理）的应用 解｜题｜策｜略 韦达定理，。求对称式（如x₁²+x₂²）时，转化为(x₁+x₂)²-2x₁x₂计算。注意：必须先验证Δ≥0。已知一根求另一根，或求代数式的值（如x₁²+x₂²）。 16．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的定义，根据一元二次方程根的定义以及根与系数的关系得出，，将，代入变形后的式子求解即可． 【详解】解：∵，是关于x的一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故选：C． 17．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，点的坐标；将方程化为标准形式后，利用根与系数的关系求出两根之和与积，再根据点的坐标判断所在象限． 【详解】解：原方程 展开并整理为标准形式： 其中 ，，． ∴，． ∴点即 的横、纵坐标均为负数，故位于平面直角坐标系的第三象限． 故选：C． 18．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根与系数的关系，根据一元二次方程根与系数的关系，直接计算根的和与积，结合选项判断正确答案. 【详解】解：对于方程 ，设其根为和， 根据根与系数的关系： ∴，； 故选：D 19．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程的两根为，，则． 根据根与系数的关系和方程的解得到，，，代入，并再将原式化简为，即可求解． 【详解】解：∵方程的两个根分别是， ∴，， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 题型06 一元二次方程实际建模问题 解｜题｜策｜略 确设未知数，根据题意建立等量关系。增长率问题用a(1±x)ⁿ=b模型；面积问题注意检验解是否符合实际（边长非负）；利润问题注意利润=售价-成本，总利润=单件利润×销量；解出结果后检验合理性，舍去负值或不合理解。 20．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 【答案】(1)乙种商品每件进价的年平均下降率为 (2)最少购进甲种商品40件 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出方程和不等式是解题的关键． （1）设乙种商品每件进价的年平均下降率为x，根据乙商品2022年的进价为125元，经过两次降价后，2024年的进价为80元列出方程求解即可； （2）设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件，根据购买资金不超过7800元列出不等式求出m的取值范围即可得到答案． 【详解】（1）解：设乙种商品每件进价的年平均下降率为x， 由题意得，， 解得或（舍去）， 答：乙种商品每件进价的年平均下降率为； （2）解：设购进甲种商品m件，则购进乙种商品件， 由题意得，， ∴， 解得， ∴m的最小值为40，即最少购进甲种商品40件， 答：最少购进甲种商品40件． 21．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 【答案】(1)15米； (2)当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 【分析】考查了一元二次方程的应用以及二次函数的实际应用，熟练掌握矩形的周长、面积公式，以及二次函数的性质（如顶点式求最值）是解题的关键． （1）设与墙垂直的边为，根据矩形周长（栅栏总长）表示出与墙平行的边，再结合面积公式列方程求解． （2）设与墙平行的边为，根据栅栏总长和出口情况表示出与墙垂直的边，从而得出面积函数，利用二次函数性质求最大值时的值． 【详解】（1）解：设与墙垂直的边的长度为，则与墙平行的边的长度为， 根据题意得， 解得 答：与墙垂直的边的长度为15米； （2）解：设与墙平行的长度为，花圃的面积为， 根据题意得 ∴ ∵， ∴当时，有最大值363， 答：当与墙平行的边的长度为33米时，花圃的面积最大． 22．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 【答案】(1) (2)60元 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用． （1）由题意可知y是x的一次函数，利用待定系数法求解即可． （2）列出单件的利润乘以销量等于总利润列出关于x的一元二次方程求解，再结合x的取值范围选择合适的解即可． 【详解】（1）解：由题意可知，y是x的一次函数． 设y与x的函数表达式为， 把，分别代入，得 ，解得 ∴y与x的函数表达式为． （2）解：根据题意，得， ∴． 整理，得． 解得，． ∵， ∴． 答：当每个售价定为60元时，每天的利润可达到6000元． 题型07 分式方程的解法 解｜题｜策｜略 步骤“一去二解三验四写”——去分母（找最简公分母，各项都乘），解整式方程，验根（代入最简公分母，若为0则舍去），写出解。 23．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题的关键是掌握解分式方程的步骤． 利用解分式方程的步骤进行求解即可． 【详解】解： ， ． 经检验，是原方程的解． 24．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 【答案】见解析 【分析】此题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程时要注意不要漏乘，解完后要检验． 先去分母，化为一元一次方程，再解一元一次方程，最后进行检验即可． 【详解】解：第一步是去分母，去分母的依据是：等式两边同时乘以一个不为0的数（或式子），等式仍然成立； 小李的解答过程不正确，正确解答如下： ， ， 解得：， 经检验，是增根， ∴原方程无解． 25．（2025·上海·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母化为整式方程，再解方程并检验即可得到答案． 【详解】解： 方差两边同时乘以得：， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， ∴， ∴或， 解得或， 检验，当时，，此时是原方程的增根， 当时，，此时是原方程的解， ∴原方程的解为． 题型08 含参数的分式方程 解｜题｜策｜略 把参数当作常数解分式方程，用含参代数式表示解；② 根据题意分类讨论：有解、无解、有增根等情况；增根是使分母为0的根，先解含参整式方程，再将增根代入求参数；无解要考虑整式方程无解或解为增根两种情况。③ 注意二次项系数含参时需讨论是否为零；④ 最终参数范围需综合所有限制条件。 26．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】先解分式方程得到x关于m的表达式，再根据解为正数且分母不为零列不等式求解即可． 【详解】解：方程为， 变形得， 去分母得，， 解得：， ∵分式方程的分母不能为0， ∴，即，解得， ∵方程的解是正数， ∴，即，解得， 综上，实数m的取值范围是且． 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式方程无解，分式方程无解的情况有两种：解为增根或变形后整式方程无解．需将原方程化简，分别讨论这两种情况对应的m值即可． 【详解】解：方程去分母，得：， 整理，得：； ∵原方程无解， ∴①整式方程无解，则：，解得：； ②分式方程有增根，则：，解得：； 把代入，得：，解得：； 综上：或 故选C． 28．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 【答案】B 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，解分式方程，先解不等式组，确定出a的取值范围，再解分式方程，结合解为正整数的条件筛选出a的值，最后求和即可． 【详解】解： 解①得： 解②得：， ∵关于x的不等式组至少有两个正整数解 ∴不等式组的解集为． ∵不等式组的解集至少有两个正整数解，则解集需包含至少两个整数． 当时，解集包含， 此时． 分式方程化简为：， 解得． 要求解为正整数且，则为大于等于2的整数， 即为大于等于6的偶数． ∵， ∴或8， 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 当时，不等式组的解集为，整数解为，满足条件． 则所有满足条件的整数之和为， 故选：B． 29．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 【答案】6或 【分析】本题考查了解分式方程． 将分式方程两边乘以最简公分母，化为整式方程，再根据增根的定义，令x等于使公分母为零的值，代入整式方程求解m． 【详解】解：方程两边同乘最简公分母，得， 整理得， 即， ∵增根是使公分母为零的x值， ∴， 解得：， 当时，； 当时，； 则的值为6或． 故答案为：6或． 题型09 分式方程的应用问题 解｜题｜策｜略 设未知数后，找准工作效率、工作时间、工作总量的关系。特别注意：结果要检验是否满足实际意义（如时间、人数为正数）。① 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，常设总工作量为1；② 行程问题：路程=速度×时间，注意顺逆流、相遇追及等情境；③ 找准等量关系，通常以时间或工作量相等建立方程；④ 解后必须检验，确保分母不为零且符合实际意义。 30．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 【答案】(1)80 (2)190 【分析】本题考查了分式方程和一元一次方程的应用，解题的关键是设未知数，找出等量关系列方程． （1）设大巴车的速度为千米/小时，根据路程、速度和时间的关系，结合两车行驶时间的关系列出方程求解； （2）设参加本次活动的学生人数是y人，根据门票费用的等量关系列出方程求解． 【详解】（1）设大巴车的速度为千米/小时，则中巴车速度为千米/小时． 根据题意，可列方程：， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：大巴车的速度是80千米/小时． （2）设参加本次活动的学生人数是人，则成人人数为人， 根据题意，可列方程：， 解得． 答：参加本次活动的学生人数是190人． 31．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 【答案】(1)元 (2)这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 【分析】本题考查的是列代数式，分式方程的应用； （1）根据人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低，再列代数式即可； （2）设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克；根据要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，再建立分式方程求解即可． 【详解】（1）解：∵用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低． ∴用智能机器人采摘的成本是（元）； （2）解：设一个工人每天采摘该种水果千克，则智能采摘机器人采摘的效率是每天千克； ∴， 解得：， 经检验是原方程的解且符合题意； ∴（千克）， 答：这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果千克． 32．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 【答案】(1)型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元 (2)方案一：型机器人1台，型机器人9台；方案二：型机器人2台，型机器人8台；方案三：型机器人3台，型机器人7台 【分析】本题考查分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出分式方程和不等式，是解题的关键： （1）设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元，根据采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，列出方程进行求解即可； （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台，根据购买这10台机器人的总费用不超过70万元，列出不等式进行求解即可． 【详解】（1）解：设型机器人单价为万元，则型机器人单价为万元， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，且符合题意， 所以，． 所以，型机器人单价为9万元，型机器人单价为6万元． （2）设配备型机器人台，则配备型机器人台， 根据题意，得， 解得， ∵要求两种型号的机器人各至少配备1台，且y为正整数 ∴的取值为1，2，3，共有3种方案： 方案一：型机器人1台，型机器人9台； 方案二：型机器人2台，型机器人8台； 方案三：型机器人3台，型机器人7台． 33．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 【答案】(1)该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； (2)需要更新设备费用为万元 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，分式方程的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，再利用更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴，再建立方程求解即可； （2）设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，利用用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，再建立分式方程，进一步求解． 【详解】（1）解：设该企业甲类生产线有条，则乙类生产线各有条，则 ， 解得：， 则； 答：该企业甲类生产线有10条，则乙类生产线各有20条； （2）解：设购买更新1条甲类生产线的设备为万元，则购买更新1条乙类生产线的设备为万元，则 ， 解得：， 经检验：是原方程的根，且符合题意； 则， 则还需要更新设备费用为（万元）； 题型10 解不等式（组） 解｜题｜策｜略 分别解每个不等式，在数轴上标出解集，取公共部分。口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。 34．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 【答案】，见解析 【分析】本题考查了不等式的解法，以及在数轴上表示不等式的解集，掌握不等式的解法为解题的关键． 将原不等式去括号得到，，通过移项、合并同类项得到，最后将系数化为1得到，将解集画在数轴上即可． 【详解】解： 去括号得：， 移项、合并同类项得： 系数化为1得： 原不等式的解集在数轴上表示如解图． 35．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 【答案】（1），见解析；（2），见解析；（3） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，在数轴上表示不等式的解集，求不等式组的解集，熟知解不等式和解不等式组的方法是解题的关键． （1）把不等式两边同时除以2求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （2）按照移项，合并同类项，系数化为1的步骤求出不等式的解集，再在数轴上表示不等式的解集即可； （3）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） 不等式两边同时除以2得， 数轴表示如下所示： （2） 移项得：， 合并同类项得：， 系数化为1得：， 数轴表示如下所示： （3） 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为． 36．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 【答案】(1) (2) (3)作图见解析 (4) 【分析】本题考查解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式的解集， （1）根据移项，合并同类项即可得解； （2）根据移项，合并同类项即可得解； （3）根据不等式的解集在数轴上表示的方法：“”空心圆点向右画折线，“”实心圆点向右画折线，“”空心圆点向左画折线，“”实心圆点向左画折线，据此画出图形； （4）根据一元一次不等式组的解集确定的原则：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到，据此确定不等式组的解集； 解题的关键是掌握：①不等式的解集在数轴上表示的方法；②一元一次不等式组的解集确定的原则． 【详解】（1）解：移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式①，得：， 故答案为：； （2）移项，得：， 合并同类项，得：， ∴解不等式②，得：， 故答案为：； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来如图所示： （4）原不等式组的解集为：， 故答案为：． 37．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为：，0，1，2，3． 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，并求其整数解，分别求两个不等式的解集，再根据不等式组的解集，即可得到整数解． 【详解】解：解不等式①，得， 解不等式②，得 原不等式组的解集是 整数解为，0，1，2，3 题型11 含参数的不等式（组） 解｜题｜策｜略 先解出不含参的不等式，将参数视为常数表示解集，再根据题目条件（如解集已知、整数解个数）列出关于参数的不等式（注意端点值的取舍）。 2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，在数轴上表示不等式解集，熟知同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到的原则是解题的关键． 先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后根据不等式组的解集在数轴上表示得到，，即可求出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 故不等式组的解集为：， ∵在数轴上表示为： ∴， 解得，， ∴ 故选：C． 39．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再根据不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， ∴该不等式组的解集是， ∵不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5， ∴该不等式组的整数解是或， ∴或， 解得或． 故选：D． 40．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式的解集，熟知不等式组的解集取值规则是关键． 先分别求出每一个不等式的解集，再根据两个解集结合不等式组的解集求出m的取值范围即可． 【详解】解： 解不等式得：， 解不等式得：， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴． 故答案为： 41．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是_________，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是_________． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 题型12 不等式与方程综合 解｜题｜策｜略 ① 先解方程，将解用参数表示（若含参）；② 根据题意建立关于解的不等关系；③ 解不等式求出参数范围；④ 注意方程有解的前提条件（如判别式、分母不为零）。 42．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 43．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据、是二元一次方程组的解可知的解，最后解一元一次不等式即可． 【详解】解：∵、是二元一次方程组的解， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解满足， ∴， ∴解得：， 故答案为． 【点睛】本题考查了二元一次方程，一元一次不等式，掌握二元一次方程组及一元一次不等式的相关概念是解题的关键． 44．（2022·湖北荆州·三模）已知二元一次方程组的解均是非负数，求的取值范围． 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解不等式组的应用，解题的能求出关于a的不等式组．把a当作已知数求出方程组的解，根据已知得出不等式组，求出不等式组的解集即可． 【详解】解： 得：， ， 得：， ， ∵关于x、y的方程组的解均是非负数， ∴， 解得：． 题型13 不等式的实际应用 解｜题｜策｜略 设未知数后，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式。若涉及方案选择，通常先列方程求出基本量，再列不等式确定范围，最后讨论整数解方案。 45．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元 (2)4种 【分析】本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元，利用数量总价单价，结合用元购进A款哪吒玩偶的数量比用元购进B款哪吒玩偶少个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即B款哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出A款哪吒玩偶的单价； （2）设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶，根据“购进B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过1100元”，可列出关于m的一元一次不等式组，解之可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出共有4种进货方案． 【详解】（1）解：设B款哪吒玩偶的单价是x元，则A款哪吒玩偶的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， ∴（元）． 答：A款哪吒玩偶的单价是元，B款哪吒玩偶的单价是8元； （2）解：设再次购进m个A款哪吒玩偶，则再次购进个B款哪吒玩偶， 根据题意得：， 解得：， 又∵m为正整数， ∴m可以为，，，， ∴共有4种进货方案． 答：该超市共有4种进货方案． 46．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． 47．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 【答案】(1)甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 (2)共有4种购买方案， 甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式组的应用： （1）设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买甲种图书本，则购买乙种图书本，根据题意，列出不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：设甲种图书的单价为元，则乙种图书的单价为元， 由题意得： 解得： 经检验，是原方程的解，且符合题意， （元） 答：甲种图书的单价为20元，乙种图书的单价为15元 （2）解：设购买甲种图书本，则购买乙种图书本， 由题意得： 解得： 为整数， ， 共有4种购买方案如下：甲种图书17本，乙种图书33本；甲种图书18本，乙种图书32本；甲种图书19本，乙种图书31本；甲种图书20本，乙种图书30本． 题型14 新定义运算问题 解｜题｜策｜略 ① 仔细阅读定义，理解新运算的运算规则和优先级；② 将新运算转化为常规代数表达式；③ 按题目要求建立方程或不等式；④ 解后验证结果是否符合新定义的要求。 48．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 【答案】B 【分析】本题以新运算的形式考查了一元二次方程的解法，正确理解新运算法则、熟练掌握解一元二次方程的方法是解题关键． 根据新运算法则以及一元二次方程的解法解答即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∵， ∴， 解得 故选：B． 49．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】D 【分析】本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程没有实数根”是解题的关键．根据运算“”的定义将方程转化为一般式，由根的判别式，即可得出该方程有两个相等的实数根． 【详解】解：由题可得：方程化为， 即， ∵， ∴方程没有实数根， 故选D． 50．（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 【答案】A 【分析】本题考查了实数的新定义运算，解一元一次不等式组，解题关键是正确列出不等式组． 根据新定义运算，先列出不等式组，再求解． 【详解】解：由， 得， 解得， 由， 得， 解得， ∴原不等式组的解集为． 故选：A． 51．（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 52．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是明确新运算的定义．根据新定义运算法则列出方程求解即可． 【详解】解：∵ 而， ∴①当时，则有， 解得，； ②当时，， 解得， 综上所述，x的值是或， 故答案为：或． 题型15 方程不等式与函数综合 解｜题｜策｜略 ① 利用函数图像分析方程的解（交点横坐标）；② 利用函数值大小关系确定不等式解集；③ 结合函数性质（单调性、最值）分析参数范围；④ 数形结合，通过图像直观理解代数关系。 53．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 54．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合是解答本题的关键．依据题意，由函数图象直接写出不等式解集即可． 【详解】解：由函数图象可知，一次函数与轴的交点坐标为， 不等式的解集是． 故选：A． 55．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，，，即可判断①；图象与轴有两个交点，即对应的一元二次方程有两个不等实数根，可判断②；由二次函数对称性得到与轴另一个交点的坐标，代入二次函数解析式可判断③；由直线推得其一定经过点，由图象可判断④． 【详解】解：依题得：图象开口向下，即， 当时，， 对称轴为直线，则， ， ，①正确； 二次函数图象与轴有两个交点， 有两个不等实数根， ，②错误； 二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线， 另一个交点坐标为， ， 即， ， ， 即，③正确； ， 直线经过点， 又直线经过点，如下图， 关于的不等式，即的解集是，④正确． 综上，正确结论的个数为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，二次函数的对称性，二次函数与不等式，解题关键是运用数形结合思想解题． 56．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 【答案】①②④⑤ 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，二次函数图象与坐标轴的交点问题，利用二次函数确定一元二次方程的根，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键，把代入函数解析式，求出值，判断①；求出二次函数的对称轴，判断出增减性，判断②，根据判别式，判断③；求出方程的根，判断④，图象法确定⑤即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴该函数图象经过点；故①正确； 当时，， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小；故②正确； ∵， ∴， ∴抛物线与轴有1个或2个交点，故③错误； 当时， ∵函数图象经过点， ∴的一个根为， ∴由根与系数的关系可知：方程的另一个根为， ∵， ∴，即：关于的方程有一个根大于0且小于1；故④正确； ∵， ∴当时，， 由④可知，当时，抛物线与轴的两个交点分别为，且， ∴抛物线的开口向上，对称轴在轴的左侧， ∴当时，抛物线与直线有两个交点，一个在第一象限，一个在第二象限， 故有一个正根， 当时，抛物线与直线有两个交点，一个为，一个在对称轴的左侧，即在第三象限， 故，则关于的方程的正数根只有一个；故⑤正确； 故答案为：①②④⑤． 57．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 【答案】① 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数与不等式得关系，方程与函数的关系等知识，采用数形结合的思想是解此题的关键．通过分析函数的图象特征，对各个结论进行分析即可． 【详解】解：由图象可知，图象关于直线对称，故①正确，符合题意； 由“元宝型函数”函数的图象可知，当且时，图象位于x轴上方， 关于的不等式的解是且；故②正错误，不符合题意； 当时，， 由图象可得：当时，关于的方程有四个实数解；故③错误，不符合题意； 由图象可知，函数的值随值的变化情况取决于函数在时的增减性，并不一定是当时，值随值的增大而减小．故④错误，不符合题意． 综上所述，正确的是①． 故答案为：①． 58．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图像直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图像即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， （3） ； 解：由函数图像可知，当时，． （20分钟限时练） 1．（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断正确的是（        ） 嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程．嘉嘉在两边除以时未考虑的情况，漏解；淇淇在因式分解时计算错误，正确因式应为，而非． 【详解】解：原方程为． 嘉嘉解法：两边同除以，得， ∴， 但当时，即也是解，故漏解，错误． 淇淇解法：移项得， 提取公因式，得， ∵， ∴应为， 解得或． 但淇淇误写为，解得或，计算错误． 故两人都错． 故选：D． 2．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，掌握“利用各部分的工作量之和等于1列方程”是解本题的关键.先得出甲的工作效率为，设完成此项工程需天，则乙总共做了天，甲先做3天完成， 再合作天，完成， 据此列出方程即可. 【详解】解：∵假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成， ∴甲的工作效率为， 故A选项不符合题意； ∵现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天， ∴乙总共做了天 故B选项不符合题意； 设完成此项工程需天，甲先做3天完成再合作天，完成 由题意得方程：， 故C选项符合题意；D选项不符合题意； 故选：C. 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解． 【详解】解：根据题意，得 解得， 故答案为：， ． 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 【答案】 6 【分析】本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形不同边相等的各类情况，并用勾股定理求出对应线段长度是解题的关键． （1）先根据是等腰三角形，得到，用含有t的式子将表示出来，再围绕利用勾股定理，即可求解． （2）分别讨论、和三种情况，利用等腰三角形的性质和勾股定理先求的长度，再求t，即可求解． 【详解】解：（）如图， 由于，要使是等腰三角形，只能，， 在 中，， ，解得， 故答案为：； （）当点在上运动时，要使为等腰三角形，分三种情况， ①如图，当时， 可得， ， ， ， 在 中，， ， ， ，即，解得； ②如图，当时， 可知，即，解得； ③如图，当 ，过点作，垂足为点， 则， ， ， ， ， ，解得； 综上所述，当运动时间为秒或秒或秒时，为等腰三角形． 故答案为：，，． 5．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键． （1）先求出不等式组中每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可： （2）先把分式方程转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为： （2）方程两边都乘以得 解得：， 检验：把代入， 所以是原方程的解， 即原方程的解是． 6．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 【答案】每件玩具应降价元 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键．每件玩具应降价元，则单价为元，销量为个，根据单价销量销售额（批发额）列方程求解即可． 【详解】解：设每件玩具应降价元． 根据题意得，， 整理得，，即， 解得． 答：每件玩具应降价元． 7．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】(1)毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元 (2)学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式组． （1）设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元，根据“买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾，分别按两种优惠方案购买，根据“总费用不超过480元，且购进扫把簸箕套装不少于50套”，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的值（即购进扫把簸箕套装的数量），再将其代入中，即可求出购进毛巾的数量． 【详解】（1）解：设毛巾的单价是元，扫把簸箕套装的单价是元， 根据题意得：， 解得． 答：毛巾的单价是2元，扫把簸箕套装的单价是6元． （2）解：设学校应购进套扫把簸箕套装，则购进条毛巾， 按方案1购买时， ，解得， ∴（条）． 按方案2购买时， ， ∵该不等式组无解，∴不能按方案2购买． 答：学校应购进50套扫把簸箕套装，150条毛巾． 8．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)8 【分析】本题考查根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得出结论； （2）根据根与系数之间的关系，得到，结合，得到关于的方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴； ∴ 无论取何值，方程总有两个不等实根； （2）解：由题意，，， ∴， ∴， ∴， ． 9．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 【答案】(1)一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片 (2)a的值为5 【分析】本题考查一元一次方程的应用及分式方程的应用，读清题意并根据对应的等量关系列出方程是解此题的关键． （1）通过设未知数，根据采茶总量列出一元一次方程求解工人和机器人每分钟采茶片数； （2）根据提高后的采茶速度和时间关系列出分式方程求解a的值． 【详解】（1）解：设一名工人每分钟采茶x片，则一台机器人每分钟采茶片， ， ， ， 则机器人每分钟采茶：（片）， 即一名工人每分钟采茶25片，一台机器人每分钟采茶30片． （2）解：设机器人提高后每分钟采茶片，工人提高后每分钟采茶片， ， ， ， ， ， ， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 即a的值为5． 10．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 【答案】(1)售出精装草莓200盒，则简装草莓100盒 (2)不存在符合要求的分装方案 【分析】（1）设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得，解答即可； （2）设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，，求出m的取值，再根据m，都为正整数，进行判断即可． 本题考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，熟练掌握解方程组，不等式是解题的关键． 【详解】（1）解：设售出精装草莓x盒，简装草莓盒，根据题意，得， 解得， 答：售出精装草莓200盒，则简装草莓盒． （2）解：设分装精装草莓m盒，则简装草莓盒，根据题意，得 ， 解得， ∵m是正整数， ∴， 此时，不合题意， 故不存在符合要求的分装方案． 试卷第20页，共53页 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $ 热点02 方程与不等式 内容导航 热点解读 题型突破 限时训练 热点内容解读 分析解读热点考查内容，精准预测命题方向。 热点题型突破 对热点的各类题型逐一突破，归纳解题方法与技巧。 题型01 实际问题列方程（组） 题型02 解方程组 题型03 已知解求参数 题型04 根的判别式的应用 题型05 根与系数关系（韦达定理）的应用 题型06 一元二次方程实际建模问题 题型07 分式方程的解法 题型08 含参数的分式方程 题型09 分式方程的应用问题 题型10 解不等式（组） 题型11 含参数的不等式（组） 题型12 不等式与方程综合 题型13 不等式的实际应用 题型14 新定义运算问题 题型15 方程不等式与函数综合 热点限时训练 限时完成题目训练，提升解题能力。 近三年：近三年中考“方程（组）与不等式（组）”部分考查覆盖四大核心模块：一元一次方程与二元一次方程组（每年2~4道，8~14分）、一元二次方程（每年1~2道，3~8分）、分式方程（每年1~3题，3~12分）、不等式（组）（每年2~4题，8~18分）。考查内容涵盖方程（组）的解法、根的判别式、分式方程验根、不等式组解集及数轴表示，特别注重实际应用（行程、工程、销售、古代数学问题），同时渗透整体思想、分类讨论思想和数形结合思想。 预测2026年：一元一次方程与二元一次方程组将继续强化情境化命题，结合社会热点如环保、科技、传统文化等设置应用题。二元一次方程组与函数图像的综合题比重可能增加，考查学生从图像中提取信息建立方程的能力。跨学科融合趋势明显，可能与物理、化学等学科知识结合。 一元二次方程：根的判别式和根与系数关系仍是核心，将与函数图像、几何图形结合考查综合应用；含参数问题的讨论成为难点方向。 分式方程：解法考查趋于稳定，应用题将结合工程、行程等实际场景，强调“检验”环节的实际意义；可能出现新情境下的方程建模。 不等式（组）：含参数不等式组、与方程结合的最值方案问题成为热点；数轴表示解集和实际应用中的方案选择考查频率上升。 题型01 实际问题列方程（组） 解｜题｜策｜略 先明确未知数，再寻找等量关系。常见等量关系包括：总量不变、路程相等、调配前后数量关系。古代数学问题要理解“盈不足”“和差倍”等术语的实际含义。 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）《算法统宗》是中国古代应用数学书，由明代数学家程大位编著．书中记载了这样一个题目——牧童分杏各争竞，不知人数不知杏，三人五个多十枚，四人八枚两个剩，问：有几个牧童几个杏？其大意是：牧童们要分一堆杏，不知道人数也不知道有多少个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．若人一组，每组个杏，则多个杏．问有多少个牧童，多少个杏．设牧童人，则可列方程为 （   ） A． B． C． D． 2．（2026·湖南衡阳·一模）数学家朱世杰所著的《四元玉鉴》是中国元代重要的数学著作之一，书中记载着这样一个问题，大意是：999文钱买了甜果和苦果共1000个，11文钱可买9个甜果，4文钱可买7个苦果，问甜果，苦果各买了多少个？设买了甜果个，苦果个，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川成都·一模）某特色美食街的商户七月份的营业额为万元，九月份的营业额为万元，若月均增长率为，则根据题意可列方程为（    ）． A． B． C． D． 4．（2025·广东惠州·模拟预测）“复兴号”是我国具有完全自主知识产权、达到世界先进水平的动车组列车．“复兴号”的速度比原来列车的速度每小时快50千米，提速后从北京到上海运行时间缩短了30分钟．已知从北京到上海全程约1320千米，求“复兴号”的速度．设“复兴号”的速度为x千米/时，依题意，可列方程为___________． 题型02 解方程组 解｜题｜策｜略 优先考虑加减消元法（系数成倍数关系时）或代入消元法（一个方程可直接表示某个未知数时）。计算时注意符号，避免移项错误。 5．（2025·浙江杭州·二模）已知二元一次方程组，则的值为__________． 6．（2025·山东淄博·中考真题）解方程组： 7．（2024·广东·模拟预测）若关于，的方程组与有相同的解． (1)求的值． (2)阅读理解：我们把称作二阶行列式，规定它的运算法则为．例如，求的值． 题型03 已知解求参数 解｜题｜策｜略 将解代入原方程，转化为关于参数的一元一次方程求解。若方程组同解，可先解不含参数的方程组，再代入含参方程。 8．（2024·江苏无锡·一模）若是关于x的方程的解，则m的值是（    ） A． B． C．2 D．3 9．（2025·陕西西安·一模）若是关于的一元二次方程的根，则的值为（   ） A． B． C．2026 D．2025 10．（2025·广东中山·模拟预测）已知方程组的解也是关于的方程的一个解，求的值． 11．（2023·河北沧州·模拟预测）定义新运算：对于任意实数m、n都有，例如，请根据上述知识解决下列问题． (1)，求x取值范围； (2)若，求x的值； (3)若方程，□中是一个常数，且此方程的一个解为，求□中的常数． 题型04 根的判别式的应用 解｜题｜策｜略 牢记Δ=b²-4ac。Δ>0⇔两不等实根，Δ=0⇔两相等实根，Δ<0⇔无实根。含参数时，先化为一般式，再代入判别式，注意二次项系数不为0的前提。 12．（2026·河南周口·模拟预测）若，则方程根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．无实数根 D．只有一个实数根 13．（2026·广东中山·模拟预测）若关于的方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围（   ） A． B．且 C． D．且 14．（2026·四川遂宁·一模）已知关于的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论错误的是（  ） A． B． C． D． 15．（2025·江苏镇江·中考真题）关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则_____． 题型05 根与系数关系（韦达定理）的应用 解｜题｜策｜略 韦达定理，。求对称式（如x₁²+x₂²）时，转化为(x₁+x₂)²-2x₁x₂计算。注意：必须先验证Δ≥0。已知一根求另一根，或求代数式的值（如x₁²+x₂²）。 16．（2025·山东东营·中考真题）若，是关于x的一元二次方程的两个实数根，则代数式的值为（    ） A．0 B．25 C．26 D． 17．（2025·河北·中考真题）若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为，，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 18．（2025·湖北·中考真题）一元二次方程的两个实数根为，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·江苏宿迁·中考真题）方程的两个根分别是，则___________ 题型06 一元二次方程实际建模问题 解｜题｜策｜略 确设未知数，根据题意建立等量关系。增长率问题用a(1±x)ⁿ=b模型；面积问题注意检验解是否符合实际（边长非负）；利润问题注意利润=售价-成本，总利润=单件利润×销量；解出结果后检验合理性，舍去负值或不合理解。 20．（2025·四川泸州·中考真题）某超市购进甲、乙两种商品，2022年甲、乙两种商品每件的进价均为125元，随着生产成本的降低，甲种商品每件的进价年平均下降25元，乙种商品2024年每件的进价为80元． (1)求乙种商品每件进价的年平均下降率； (2)2024年该超市用不超过7800元的资金一次购进甲、乙两种商品共100件，求最少购进多少件甲种商品． 21．（2025·江苏南通·中考真题）综合与实践：学校数学兴趣小组围绕“校园花圃方案设计”开展主题学习活动，已知花圃一边靠墙（墙的长度不限），其余部分用总长为的栅栏围成，兴趣小组设计了以下两种方案： 方案一 方案二 如图1，围成一个面积为的矩形花圃． 如图2，围成矩形花圃，有栅栏（栅栏宽度忽略不计）将该花圃分隔为两个不同矩形区域，用来种植不同花卉，并在花圃两侧各留一个宽为的进出口（此处不用栅栏）． (1)求方案一中与墙垂直的边的长度； (2)要使方案二中花圃的面积最大，与墙平行的边的长度为多少米？ 22．（2025·山东东营·中考真题）某文创公司设计了一款黄蓝交汇纪念章，成本价为每个50元，以每个不低于成本价且不超过75元的价格销售，售价x（元/个）与每天销售量y（个）的对应值表格如下： x（元/个） … 52 53 54 55 … y（个） … 760 740 720 700 … (1)求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； (2)当售价定为多少元时，每天的利润可达到6000元？ 题型07 分式方程的解法 解｜题｜策｜略 步骤“一去二解三验四写”——去分母（找最简公分母，各项都乘），解整式方程，验根（代入最简公分母，若为0则舍去），写出解。 23．（2025·陕西·中考真题）解方程：． 24．（2025·广东·中考真题）在解分式方程时，小李的解法如下： 第一步：， 第二步：， 第三步：， 第四步：． 第五步：检验：当时，． 第六步：原分式方程的解为． 小李的解法中哪一步是去分母？去分母的依据是什么？判断小李的解答过程是否正确．若不正确，请写出你的解答过程． 25．（2025·上海·中考真题）解方程：． 题型08 含参数的分式方程 解｜题｜策｜略 把参数当作常数解分式方程，用含参代数式表示解；② 根据题意分类讨论：有解、无解、有增根等情况；增根是使分母为0的根，先解含参整式方程，再将增根代入求参数；无解要考虑整式方程无解或解为增根两种情况。③ 注意二次项系数含参时需讨论是否为零；④ 最终参数范围需综合所有限制条件。 26．（2026·黑龙江齐齐哈尔·模拟预测）如果关于的分式方程的解是正数，那么实数的取值范围是（） A．且 B． C．且 D．且 27．（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于的分式方程无解，那么实数的值是（   ） A． B． C．或 D．且 28．（2025·四川眉山·中考真题）若关于x的不等式组至少有两个正整数解，且关于x的分式方程的解为正整数，则所有满足条件的整数a的值之和为（   ） A．8 B．14 C．18 D．38 29．（2025·四川雅安·二模）若关于的方程有增根，则的值为______． 题型09 分式方程的应用问题 解｜题｜策｜略 设未知数后，找准工作效率、工作时间、工作总量的关系。特别注意：结果要检验是否满足实际意义（如时间、人数为正数）。① 工程问题：工作量=工作效率×工作时间，常设总工作量为1；② 行程问题：路程=速度×时间，注意顺逆流、相遇追及等情境；③ 找准等量关系，通常以时间或工作量相等建立方程；④ 解后必须检验，确保分母不为零且符合实际意义。 30．（2025·山东淄博·中考真题）某校十分重视学生的美育实践活动教学，每年都组织部分师生分批次前往距离学校的某景区美术实践基地写生．已知共有200名师生参加了最近一次活动． (1)一部分师生乘大巴车先行，出发后，其他人员乘中巴车前往，结果他们同时到达景区大门．已知中巴车速度是大巴车的1.25倍，求大巴车的速度； (2)该景区对学生（或儿童）实行门票优惠，学生每人10元，成人每人30元．如果购买门票的费用共计2200元，那么参加本次活动的学生人数是多少？ 31．（2025·广东广州·中考真题）智能机器人广泛应用于智慧农业．为了降低成本和提高采摘效率，某果园引进一台智能采摘机器人进行某种水果采摘． (1)若用人工采摘的成本为a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低．求用智能机器人采摘的成本是多少元；（用含a的代数式表示） (2)若要采摘4000千克该种水果，用这台智能采摘机器人采摘比4个工人同时采摘所需的天数还少1天，已知这台智能采摘机器人采摘的效率是一个工人的5倍，求这台智能采摘机器人每天可采摘该种水果多少千克． 32．（2025·山东潍坊·中考真题）某企业为提高生产效率，采购了相同数量的型、型两种智能机器人，购买型机器人的总费用为90万元，购买型机器人的总费用为60万元，型机器人单价比型机器人单价低3万元． (1)求型、型两种机器人的单价； (2)该企业计划从采购的这批机器人中选择10台配备到某生产线，要求两种型号的机器人各至少配备1台，且购买这10台机器人的总费用不超过70万元．求出所有配备方案． 33．（2024·重庆·中考真题）为促进新质生产力的发展，某企业决定投入一笔资金对现有甲、乙两类共30条生产线的设备进行更新换代． (1)为鼓励企业进行生产线的设备更新，某市出台了相应的补贴政策．根据相关政策，更新1条甲类生产线的设备可获得3万元的补贴，更新1条乙类生产线的设备可获得2万元的补贴．这样更新完这30条生产线的设备，该企业可获得70万元的补贴．该企业甲、乙两类生产线各有多少条？ (2)经测算，购买更新1条甲类生产线的设备比购买更新1条乙类生产线的设备需多投入5万元，用200万元购买更新甲类生产线的设备数量和用180万元购买更新乙类生产线的设备数量相同，那么该企业在获得70万元的补贴后，还需投入多少资金更新生产线的设备？ 题型10 解不等式（组） 解｜题｜策｜略 分别解每个不等式，在数轴上标出解集，取公共部分。口诀“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到”。 34．（2025·陕西·中考真题）解不等式，把它的解集表示在如图所示的数轴上． 35．（2025·河北·中考真题）（1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （2）解不等式，并在如图所给的数轴上表示其解集； （3）直接写出不等式组的解集． 36．（2025·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得____________； (2)解不等式②，得____________； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为____________． 37．（2025·山东济南·中考真题）解不等式组并写出它的所有整数解． 题型11 含参数的不等式（组） 解｜题｜策｜略 先解出不含参的不等式，将参数视为常数表示解集，再根据题目条件（如解集已知、整数解个数）列出关于参数的不等式（注意端点值的取舍）。 2025·河北邯郸·三模）不等式组的解集在数轴上表示如图所示，则（　　） A．1 B．2 C．3 D．0 39．（2026·山东临沂·模拟预测）若关于y的不等式组有解且满足解集范围内整数解的和为5，则m取值范围为（   ） A． B． C．或 D．或 40．（2025·四川南充·中考真题）不等式组的解集是，则的取值范围是________． 41．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是_________，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是_________． 题型12 不等式与方程综合 解｜题｜策｜略 ① 先解方程，将解用参数表示（若含参）；② 根据题意建立关于解的不等关系；③ 解不等式求出参数范围；④ 注意方程有解的前提条件（如判别式、分母不为零）。 42．（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 43．（2024·山东东营·二模）若关于、的二元一次方程组的解满足，则的取值范围为________． 44．（2022·湖北荆州·三模）已知二元一次方程组的解均是非负数，求的取值范围． 题型13 不等式的实际应用 解｜题｜策｜略 设未知数后，根据“不少于”“不超过”“至少”等关键词列出不等式。若涉及方案选择，通常先列方程求出基本量，再列不等式确定范围，最后讨论整数解方案。 45．（2025·山东东营·中考真题）《哪吒2魔童闹海》票房大卖，周边玩偶热销．某经销店购进A款哪吒玩偶的金额是元，购进B款哪吒玩偶的金额是元，购进A款哪吒玩偶的数量比B款哪吒玩偶少个，A款哪吒玩偶单价是B款哪吒玩偶的2倍． (1)A、B两款玩偶的单价分别是多少元？ (2)为满足消费者需求，在A、B两款玩偶单价不变的条件下，该超市准备再次购进A、B两款玩偶共个，B款哪吒玩偶的数量不多于A款哪吒玩偶数量的2倍，且总金额不超过元，问：有多少种进货方案？ 46．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 47．（2026·湖南·模拟预测）某管理员打算购买甲、乙两种图书共50本，用于充实图书角．已知甲种图书的单价比乙种图书的单价贵5元，用800元单独购买甲种图书的数量与用600元单独购买乙种图书的数量相同． (1)求甲、乙两种图书的单价各是多少元； (2)若图书馆规定：购买乙种图书的数量不超过甲种图书数量的2倍，且总购书费用不超过850元，问有几种购买方案？并写出具体的购买方案． 题型14 新定义运算问题 解｜题｜策｜略 ① 仔细阅读定义，理解新运算的运算规则和优先级；② 将新运算转化为常规代数表达式；③ 按题目要求建立方程或不等式；④ 解后验证结果是否符合新定义的要求。 48．（2025·陕西汉中·一模）对于任意实数a、b，定义新运算，例如：．若，则的值为（    ） A． B．4或 C．5 D．或2 49．（2025·广东深圳·一模）实数a，b定义新运算“*”如下：，例如，则方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 50．（2025·湖北·模拟预测）对于任意实数a，b，定义一种运算．例如：．根据上述定义，不等式组的解集为（    ）． A． B． C． D．无解 51．（2024·山东德州·二模）对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 52．（2024·广东广州·中考真题）定义新运算：例如：，．若，则的值为______． 题型15 方程不等式与函数综合 解｜题｜策｜略 ① 利用函数图像分析方程的解（交点横坐标）；② 利用函数值大小关系确定不等式解集；③ 结合函数性质（单调性、最值）分析参数范围；④ 数形结合，通过图像直观理解代数关系。 53．（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 54．（2025·江苏徐州·模拟预测）一次函数的图象如图所示，则不等式的解集是(        ) A． B． C． D． 55．（2025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数与轴的一个交点为，其对称轴为直线，其部分图象如图，有下列个结论：①；②；③；④直线经过点，则关于的不等式的解集是．其中正确结论的个数为（   ） A． B． C． D． 56．（2025·湖北武汉·中考真题）已知二次函数（为常数，且）．下列五个结论： ①该函数图象经过点； ②若，则当时，随的增大而减小； ③该函数图象与轴有两个不同的公共点； ④若，则关于的方程有一个根大于0且小于1； ⑤若，则关于的方程的正数根只有一个． 其中正确的是_____（填写序号） 57．（2025·江苏·一模）如图，我们规定形如的函数叫做“元宝型函数”．如图是“元宝型函数”函数的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于直线对称：②关于的不等式的解是或；③当时，关于的方程有四个实数解；④当时函数的值随值的增大而减小．其中正确的是___________（填出所有正确结论的序号）． 58．（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． （20分钟限时练） 1．（2025·四川广安·一模）对于嘉嘉与淇淇两人解方程的过程，下列判断正确的是（        ） 嘉嘉：两边同时除以，得，解得． 淇淇：移项，得． 因式分解，得． 于是得，或， 解得，． A．嘉嘉对，淇淇错 B．嘉嘉错，淇淇对 C．两人都对 D．两人都错 2．（2025·上海·模拟预测）假设有一项工程总量为1，甲独做需10天完成，乙独做需6天完成． 现由甲先做3天乙再加入合作，完成此项工程共需天，对于列方程错误的说法是（　　） A．甲的工作效率为 B．乙总共做了天 C．列方程 D．列方程 3．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 4．（2025·湖南·模拟预测）如图，在中，已知，，，点，是边上的两个动点，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，点从点开始，沿方向运动，速度为每秒个单位长度，它们同时出发，设运动时间为秒．（值用小数表示）      （1）当为______时，是等腰三角形； （2）当点在上运动时，值从小到大依次是______，______，______时，为等腰三角形． 5．（2025·福建泉州·三模）（1）解不等式组：； （2）解方程：． 6．（2025·湖南衡阳·模拟预测）湖湘文化悠久绵长，是文创产品被深度开发的创作根基．某玩具厂推出建筑型毛绒玩具，将石鼓书院等古建拟人化为“萌物”，让文物走进大众视野（如图）．该玩具厂生产这种古建毛绒玩具，以每个元的价格批发给经销商．某经销商愿意经销个，但在价格谈判过程中表示，若每个玩具每降低元，则愿意多经销个．该玩具厂要想使生产这种古建毛绒玩具的批发额达到元，每件玩具应降价多少元？ 7．（2025·四川成都·二模）某学校需要增加保洁物品，计划用不超过480元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．现要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的3倍，扫把簸箕套装不少于50套．已知买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需18元，买4条毛巾和3套扫把簸箕套装共需26元.某商店提供以下两种优惠方案：方案1：两种商品按原价的8折出售；方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打6折． (1)求毛巾和扫把簸箕套装的单价； (2)如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 8．（2025·四川绵阳·一模）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：无论k取何值，方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的两个不相等的实数根，且满足，求k的值． 9．（2025·重庆·模拟预测）列方程解应用题：为发展农业新质生产力，重庆农科院研发的智能采茶机器人正式上岗作业．经测试，每分钟一名工人采茶的数量比一台机器人采茶的数量少5片，若一名工人采茶6分钟、一台机器人采茶10分钟，共采茶450片． (1)分别求出一名工人和一台机器人每分钟采茶的片数； (2)经科研人员研发指导，工人和机器人的采茶速度都得以提高，机器人每分钟比之前多采2a片茶叶，工人每分钟比之前多采a片茶叶，这样，一台机器人采1200片茶叶所用的时间是一名工人采600片茶叶所用时间的1.5倍，求出a的值． 10．（2025·北京海淀·模拟预测）某校组织学生去农场进行学农实践，体验草莓采摘、包装和销售．同学们了解到该农场在包装草莓时，通常会采用精包装和简包装两种包装方式，其中精包装每盒，售价25元，简包装每盒，售价35元． (1)在实践活动中，学生共售出草莓350，销售总收入为8500元，请问两种包装分别销售了多少盒？ (2)已知每个精包装盒的成本为1元，简包装盒的成本为元，现需要将草莓恰好整盒分装完，且使购买包装盒的成本不超过13元，是否存在符合要求的分装方案？请通过计算说明． 试卷第20页，共53页 3 / 9 学科网（北京）股份有限公司 $