精品解析：宁夏回族自治区中卫市第一中学2025-2026学年高二下学期开学质量检测数学试题

中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期开学质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知直线方程设出与已知直线平行的直线，再代入坐标求出方程. 【详解】直线的斜率为，所求直线与其平行，故其斜率为， 又直线过点，则所求直线的方程为，即. 故选：C 2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【详解】因为为等差数列的前项和，且， 所以等差数列的前项公式有，即 又因为，所以， 则. 故选：C 3. 已知数列满足，且，那么＝（　　） A. 190 B. 191 C. 192 D. 128 【答案】B 【解析】 【分析】构造等比数列,进而求得数列的通项公式得出的值即可 【详解】因为,故, 所以数列是以为首项,为公比的等比数列. 故,故. 故. 故选：B． 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】求出圆心到直线的距离，结合勾股定理可求得线段的长. 【详解】圆的标准方程为，故圆心为，半径， 圆心到直线的距离：， 由弦长公式，弦长为. 故选：B 5. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】当时，可得，两式相减，求得，得到数列为等比数列，进而求得其通项公式. 【详解】由，当时，可得， 两式作差，可得，即， 所以， 当时，可得，即，解得， 所以数列是以为首项，公比为的等比数列， 所以数列的通项公式为. 故选：D. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量垂直则向量的数量积为零，结合向量的坐标运算计算即可. 【详解】，因为，故， 得，解得. 故选：B. 7. 若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 【答案】C 【解析】 【分析】由题知，则称数列为“梦想数列”，根据“梦想数列”的定义可得数列为公比为2的等比数列，再利用等比数列的性质求解即可. 【详解】，可得， 因为正项数列为“梦想数列”， 所以，即， 则数列是以2为公比的等比数列， 因为， 所以. 故选：C. 8. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义结合余弦定理即可求解. 【详解】设椭圆的焦距为，右焦点为，连接，则，，，由椭圆的定义可知， 在和由余弦定理可得，整理得，所以， 即. 故选：B 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据曲线的方程特点，确定曲线的焦点位置，求出相应的基本量，即可逐一判断选项正误. 【详解】由可得，知曲线为椭圆，其焦点在轴上， 且长轴长为8，故A正确； 由可得双曲线的焦点在轴上，其渐近线方程为：， 即，故B正确； 对于C，由可得， 由可得，故与的离心率互为倒数，故C正确； 对于D，因曲线的焦点位置不同，故焦点坐标不可能相同，故D错误. 故选：ABC. 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 【答案】AC 【解析】 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 11. 下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（ ） A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D. 经过焦点的最短弦长为 6 【答案】CD 【解析】 【分析】根据双曲线的性质即可判断ABD，利用点到直线的距离即可判断C. 【详解】由题意有：，所以，即， 所以虚轴长为：，故A错误； 双曲线的点到焦点的距离的最小值为：，故B错误； 因为双曲线的渐近线方程为：，即， 焦点到的距离为，故C正确； 当过焦点与双曲线相交于一支时，最短的弦长为通径长为， 当过焦点与双曲线相交于两支时，最短弦长为斜率为0与双曲线交于顶点，即弦长为实轴， 又，所以经过焦点的最短弦长为6，故D正确； 故选：CD. 12. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用与的关系式，运用迭代相减法，得到，即可判断其为等差数列，写出数列的通项与前项和，即可依次判断A,B,C项；再利用裂项相消法求和即可判断D项. 【详解】对于A，在中，取时，，故A正确； 对于B，当时，由①，得②， 则①②得，即，所以． 又，所以是以2为首项，2为公差的等差数列，故B正确； 对于C，由B项，可得，故C错误； 对于D，因， 故，故D正确． 故选：ABD. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 若抛物线的准线方程为，则___________. 【答案】4 【解析】 【分析】根据准线方程，求出值，即可得答案. 【详解】因为准线方程为，故，所以. 故答案为：4. 14. 设为等比数列的前项积，若，则 _____________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，利用等比数列的性质，得到，即可求解. 【详解】由为等比数列的前项积，若，则 . 故答案为：. 15. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 【答案】14 【解析】 【分析】由等差中项定义和等差数列的下标和性质可得. 【详解】设该等差数列为，已知，， 第2项与第6项的等差中项为，而， 所以. 故答案为：14 16. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 【答案】 【解析】 【分析】由题设条件可得，，再由数列的单调性的定义及不等式恒成立思想，结合参变分离法，计算即可求得所求的范围. 【详解】由题意可知，当时，，即， 当时，由，得， 两式相减得，所以，当时，也满足此式， 故. 所以， 若数列为单调递增数列，则恒成立， 所以，即，对恒成立， 设，则， 当时，，故，当时，数列为递减数列，即， 可得为最大值，且，所以. 所以的取值范围为. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，求； 【答案】（1） （2）或； 【解析】 【分析】（1）根据等比数列的前项和公式计算即可. （2）根据等比数列的前项和公式求出及，代入通项公式求解即可. 【小问1详解】 由等比数列的前项和公式可知， ； 【小问2详解】 设等比数列的首项为，公比为. 若，则，不符合题意，所以， 又，， 两式相除得，即， 解得或． 当时，；当时，， 所以或. 18. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）两圆的方程相减，即可得公共弦所在直线的方程； （2）根据题意，得到所求圆的圆心在直线上，联立方程组求得圆心坐标和半径，即可的圆的方程. 【小问1详解】 解：由圆和， 两个圆的方程相减，可得， 即两圆的公共弦所在直线的方程为． 【小问2详解】 解：由两圆方程，可得圆心，可得圆心连线所在直线的方程为， 由圆的性质，可得所求圆的圆心在直线上， 由方程组，解得， 又由方程组，解得或， 即两个圆的交点为或， 即所求圆的圆心坐标为，半径， 所以所求圆的方程为. 19. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和. 【答案】（1） ， ，即， 数列是以为首项，为公比的等比数列． （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列的定义即可求证， （2）根据等比数列的通项可求解，进而根据分组求和即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知， 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据点到平面距离向量法计算即可求解； （2）根据面面角向量法计算即可求解. 【小问1详解】 以为坐标原点，直线分别为,,轴建立空间直角坐标系， 则， 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 即点到平面的距离为； 【小问2详解】 ． 设平面的一个法向量为， 则，取，则， 所以平面的一个法向量可以为， 显然是平面的一个法向量， 设平面与平面的夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 21. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 【答案】（1） 由题意，由得， 所以，又， 所以是以1为首项，2为公差的等差数列； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将变形为，进而利用等差数列定义证明即可； （2）先利用等差数列通项公式求解，则，然后利用裂项相消法求和即可； （3）利用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得，即， 所以． 所以 ； 【小问3详解】 由知， 所以， 所以， 两式相减得： ， 所以． 22. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 【答案】（1） （2）证明：当直线斜率不存在时，直线为，从而可得，， 但此时，无意义，故直线斜率存在， 设直线方程为， 与椭圆方程联立，得， 设，，则，， 所以，， 所以 ， 所以. 故证：. 【解析】 【分析】（1）由椭圆的焦半径范围可得，再结合点在椭圆 上即可求解； （2）当直线斜率不存在时直线不存在，即直线斜率存在并设直线方程为，然后与椭圆方程进行联立，再结合韦达定理及题意即可求证. 【小问1详解】 由题意可得，解得， 又因点在椭圆 上，即，解得， 所以椭圆 的方程为. 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 中卫市第一中学2025-2026学年度第二学期开学质量检测 高二数学 一、单选题:（每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 过点且与直线平行的直线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 3. 已知数列满足，且，那么＝（　　） A. 190 B. 191 C. 192 D. 128 4. 直线被圆截得的弦长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 设为数列的前n项和，若则数列的通项公式为（ ） A. B. C. D. 6. 已知向量，若，则（ ） A. B. C. D. 7. 若数列满足，则称数列为“梦想数列”，已知正项数列为“梦想数列”，且，则（ ） A. 4 B. 8 C. 16 D. 32 8. 已知椭圆的左焦点为，上顶点为，直线与椭圆另一个交点为，若，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题:（每小题5分，共20分.选对但不全的得2分，有选错的得0分） 9. 已知曲线，，则（ ） A. 的长轴长为8 B. 的渐近线方程为 C. 与的离心率互为倒数 D. 与的焦点坐标相同 10. 已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（ ） A. 数列为递减数列 B. C. 的最大值为 D. 使得时的最大值是13 11. 下列有关双曲线 的命题中，叙述正确的是（ ） A. 双曲线的虚轴长为4 B. 双曲线上的点到焦点的最小距离为3 C. 双曲线的焦点到渐近线的距离为 4 D. 经过焦点的最短弦长为 6 12. 记数列的前项和为，若，且，则（ ） A. B. 是等差数列 C. D. 三、填空题：（每小题5分，共20分） 13. 若抛物线的准线方程为，则___________. 14. 设为等比数列的前项积，若，则 _____________. 15. 在7和21中插入5个数，使这7个数成等差数列，则第2项与第6项的等差中项为______． 16. 已知数列满足，，若数列为单调递增数列，则的取值范围为______. 四、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知数列是等比数列． （1）若，，求； （2）若，，求； 18. 已知两圆和． （1）求两圆的公共弦所在直线的方程； （2）求过两圆交点且圆心在直线上的圆的方程． 19. 已知数列满足，且． （1）证明：数列是等比数列； （2）求的前项和. 20. 如图，在四棱锥中，平面，，，，，. （1）求点到平面的距离； （2）求平面与平面所成角的余弦值. 21. 已知数列满足：，. （1）求证：数列为等差数列； （2）设，求数列的前n项和； （3）设，求数列的前n项和. 22. 已知椭圆上的动点到其左焦点距离的最大值是最小值的倍，且点在椭圆 . （1）求椭圆 的方程； （2）已知点，过点的直线与椭圆 交于不同两点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $