第07讲 平面直角坐标系与两点间的距离公式（知识详解+12典例分析+习题巩固）2025-2026学年沪教版（五四制）八年级数学下册同步讲义与测试

第07讲 平面直角坐标系与两点间的距离公式（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 【知识点02】 平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平 位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2.坐标轴:水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平 面直角坐标系的原点． 3.象限:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【知识点03】建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 【知识点04】平面直角坐标系内点的坐标 1.点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2.点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3.点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【知识点05】两点间的距离公式 对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 【题型一】用有序数对表示位置 例1．如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（   ） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 【答案】B 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】此题主要考查了有序数对的实际应用．根据“3排1号”记作求解即可． 【详解】解：∵“3排1号”记作， ∴表示5排3号． 故选：B． 变式1．数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？    (1)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？ (2)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 【答案】(1)图见解析； (2)图见解析； 【知识点】用有序数对表示位置 【分析】本题考查了用坐标确定位置； （1）根据已知A的坐标，可得原点在它的左下方，据此解答； （2）根据（1）中的方法先找出点C的位置，再表示出点D即可. 【详解】（1）根据题意得点C的位置如图，则    （2）根据题意得点C的位置如图，则    【题型二】写出直角坐标系中点的坐标 例2．（25-26八年级·上海·月考）经过点，，则直线的可表示为________ 【答案】/ 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查直线方程的表示方法，特别是当两点纵坐标相等时，直线为水平直线，方程形式为（常数）．解题的关键是掌握特殊位置直线的特征（如水平、垂直）有助于快速解题，避免使用两点式或点斜式等复杂计算．题目给出直线上的两个点和，要求写出直线的方程．观察两点的纵坐标相同，说明该直线是水平直线，即平行于轴，其方程形式为常数．因此只需根据点的坐标确定常数值即可． 【详解】点和 的纵坐标均为，因此直线 平行于轴，故直线可表示. 故答案为： 变式1．（2025八年级·上海·专题练习）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中各个象限的点的坐标的符号特点，根据第三象限中点的符号的特点可知目标的坐标可能是． 【详解】解：因为目标在第三象限，所以其坐标的符号是，观察各选项只有D符合题意， 故选：D． 变式2．（23-24八年级·上海崇明·期末）点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则点P的坐标是___________． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标 【分析】本题考查了平面内点坐标的表示方法，根据题意求出纵坐标，再将点P的坐标表示出来即可． 【详解】解：点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则纵坐标为， 所以点P的坐标是． 故答案为：． 【题型三】求点到坐标轴的距离 例3．点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 【答案】C 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】本题考查点到坐标轴的距离，掌握知识点是解题的关键． 点到x轴的距离是其纵坐标的绝对值，即可解答． 【详解】解：点到x轴的距离等于其纵坐标的绝对值，即为． 故选C． 变式1．已知点P（a，b）在第三象限，则点P（a，b）到x轴的距离为 _____． 【答案】﹣b 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】直接利用第三象限内点的坐标特点得出答案． 【详解】∵P（a，b）在第三象限， ∴b＜0， 所以点P到x轴的距离|b|＝﹣b． 故答案为：﹣b． 【点睛】此题主要考查了点的坐标，正确理解点的坐标特点是解题关键． 变式2．l1、l2交于点O，平面内有任意点M，M到l1、l2的距离分别为a、b，有序实数对，（a，b）为距离坐标，若有序实数对为（2，3），这样的数有几个？ 【答案】4个 【知识点】求点到坐标轴的距离 【分析】根据“距离坐标”的定义和平面直角坐标系解答． 【详解】解：∵到x轴的距离是2，y轴的距离是3的点每一个象限都有1个， ∴距离坐标为（2，3）的点的个数是（2，3）（﹣2，3）（﹣2，﹣3）（2，﹣3）共4个． 这样的数有4个． 【点睛】本题考查了点的坐标，读懂题目信息，理解“距离坐标”的定义是解题的关键． 【题型四】判断点所在的象限 例4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中象限内点的坐标特征，根据各象限点的坐标符号特征逐项判断即可． 【详解】解：A、当时，为不属于任何象限，不符合题意； B、的值不确定， 不一定位于第四象限，不符合题意； C、， ， 一定位于第四象限，符合题意； D、， 当时，不属于任何象限，不符合题意； 故选：C． 变式1．（22-23八年级下·上海·月考）点不可能在第__________象限． 【答案】二 【知识点】判断点所在的象限、求不等式组的解集 【分析】直接利用四个象限内点的坐标特点分析得出答案即可． 【详解】解：假设点在第一象限，则， 解得， 故点可能在第一象限； 假设点在第二象限，则， 不等式组无解， 故点不可能在第二象限； 假设点在第三象限，则， 解得， 故点可能在第三象限； 假设点在第四象限，则， 解得， 故点能在第四象限； 故答案为：二． 【点睛】本题考查了解一元一次不等式组以及点的坐标，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限． 变式2．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 【答案】点不可能在第三象限，见解析 【知识点】判断点所在的象限 【分析】本题主要考查点的坐标，根据第三象限的点的横坐标和纵坐标均小于0解答即可． 【详解】解：当时，解得， 则， ∴， ∴点不可能在第三象限. 【题型五】已知点所在的象限求参数 例5．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】此题考查第二象限内点的坐标特点，根据第二象限点的横坐标为负求解即可． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴． 故选：B． 变式1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 【答案】 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了一次函数图象与系数的关系，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键．依据题意，由直线经过第二象限，则，进而可以判断得解． 【详解】解：由题意，∵直线经过第二象限， ∴． ∴． 故答案为：． 变式2．在平面直角坐标系中，已知点，若点P在第一、三象限的角平分线上，求a的值． 【答案】7 【知识点】已知点所在的象限求参数 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内点的坐标，点在第一、三象限的角平分线上，则横坐标与纵坐标相等． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得． 【题型六】坐标系中描点 例6．（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题主要考查了点的坐标以及建立平面直角坐标系的方法：在同一平面内画；两条有公共原点且垂直的数轴．平面直角坐标系的三要素：两条数轴，互相垂直，公共原点，由此判断即可． 【详解】解：A、两条数轴不互相垂直，故此选项不符合题意； B、横轴的正方向向右，即原点左侧为负，右侧为正，故此选项不符合题意； C、两条数轴都没有正方向，故此选项不符合题意； D、符合平面直角坐标系的定义，故此选项符合题意； 故选：D． 变式1．经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 _____． 【答案】y＝﹣3 【知识点】坐标系中描点 【分析】垂直于y轴的直线，纵坐标相等，为-3，所以为直线：y=-3． 【详解】解：由题意得：经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线y＝﹣3， 故答案为：y＝﹣3． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是抓住过某点的坐标且垂直于y轴的直线的特点：纵坐标相 变式2．（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2） 【知识点】坐标系中描点 【分析】本题考查了坐标与图形； （1）根据坐标系描点、连线，即可求解． （2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 【详解】解：（1）如图所示： （2）． 【题型七】中点坐标 例7．在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查坐标与图形性质，根据已知两点坐标，，则中点坐标为，直接求解即可． 【详解】解：∵， ∴点D为的中点， ∵点，， ∴点E的坐标为，即， 故选：A． 变式1．（25-26八年级·上海·假期作业）点和点的中点坐标为________． 【答案】 【知识点】中点坐标 【分析】本题考查的是中点坐标计算，掌握中点坐标公式，横坐标为两点横坐标之和的一半，纵坐标为两点纵坐标之和的一半是解题的关键． 根据中点坐标公式直接求解即可． 【详解】点和点， 则中点横坐标为，纵坐标为， 则中点坐标为． 故答案为：． 【题型八】点坐标规律探索 例8．如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及x轴，y轴的正半轴上运动．在第一秒钟，质点从原点运动到，再继续按图中箭头所示的方向（与x，y轴平行）运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第2023秒时质点所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】点坐标规律探索 【分析】先判断出走到坐标轴上的点所用的时间以及相对应的坐标，可发现走完一个正方形所用的时间分别为3，5，7，9…，此时点在坐标轴上，进而得到规律，再运用规律解答即可． 【详解】解：由题意可知这点移动的速度是1个单位长度/每秒，设这点为， 到达时用了3秒，到达时用了4秒， 从到）有四个单位长度，则到达时用了秒，到时用了9秒； 从到有六个单位长度，则到时用9+6=15秒； 依此类推到用16秒，到用秒，到用25秒，到用36秒，到时用秒…， 可得在x轴上，横坐标为偶数时，所用时间为秒； 在y轴上时，纵坐标为奇数时，所用时间为秒， ∵， ∴第2023秒时这个点所在位置的坐标为． 故选B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标的变化规律，得出运动变化的规律是解决问题的关键． 变式1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．    【答案】 【知识点】点坐标规律探索 【分析】根据坐标得出规律第列：共个点，前列总点数为：，当时，，当时，，第1000个数位于第45列，由图可知，奇数列各点是从上往下排列，纵坐标为，即可得到答案． 【详解】解：由图可知： 第1列：共1个点， 第2列：共2个点， 第3列：共3个点， 第4列：共4个点， 第5列：共5个点， …… 第列：共个点， 前列总点数为：， 当时，， 当时，， 第1000个数位于第45列， 由图可知，奇数列各点排序是从上往下排列， 第1000个点位于第45列从上到下：个位置上，其横坐标为45，纵坐标为， 第1000个点的坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系中的找规律，根据图观察得出规律，是解题的关键． 【题型九】实际问题中用坐标表示位置 例9．象棋是流行广泛的益智游戏． 如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“车”的有序数对分别为，则表示棋子“马”的点有序数对为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题综合考查点的坐标位置的确定．根据炮的位置表示的坐标建立平面直角坐标系，然后根据马的位置确定表示的坐标即可． 【详解】解：如图所示，建立如图平面直角坐标系， 表示棋子“马”的点坐标为． 故选：D． 变式1．小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为________，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪． 【答案】 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】本题主要考查平面直角坐标系，熟练掌握平面直角坐标系是解题的关键；因此此题可根据题中所给平面直角坐标系进行求解即可． 【详解】解：由坐标系可知：著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为； 故答案为． 变式2．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 【答案】建立平面直角坐标系见解析；广场，1中学，酒店，商场，2中学 【知识点】实际问题中用坐标表示位置 【分析】根据题意，以广场为原点，水平方向为轴，垂直方向为轴，建立平面直角坐标系，根据坐标系，写出图中各点的坐标即可求解． 【详解】如图， 广场，1中学，酒店，商场，2中学 【点睛】本题主要考查坐标系的建立、坐标的表示，解题的关键在于建立合适的坐标系，并正确表示地点的坐标． 【题型十】根据方位描述确定物体的位置 例10．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 【答案】C 【知识点】根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查了根据方位描述确定物体的位置，熟练掌握坐标的应用是解题关键．先求出学校相对于淇淇家的所在位置的方向角，再根据图形确定距离，由此即可得． 【详解】解：由题意可知，， ∴， 则学校相对于淇淇家的位置：北偏东方向上的1200米处， 故选：C． 变式1．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【答案】(1)北偏西；500 (2)①②见详解 【知识点】方向角的表示、根据方位描述确定物体的位置 【分析】本题考查方位图的实际应用， （1）根据题意可知，图上1厘米表示500千米；先计算出昆仑站到中山站的实际距离，再根据地图上方向的规定“上北下南，左西右东”，以昆仑站为观测点，确定出中山站的位置； （2）分别计算出昆仑站到泰山站、罗斯海新站的图上距离，再以昆仑站为观测点，画出泰山站和罗斯海新站的位置，据此解答． 【详解】（1）解：（千米）， ， 中山站在昆仑站北偏西（或西偏北）方向，距离500千米． （2）解：①（厘米） 图如下： ②（厘米） 图如下： 【题型十一】已知两点坐标求两点距离 例11．（24-25八年级·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 【答案】C 【知识点】已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，掌握“已知两点的坐标求两点之间的距离”的求解方法是解本题的关键． 根据平面直角坐标系中两点间距离公式，计算点到原点的距离即可． 【详解】解：根据题意得，点到原点的距离是． 故选：C． 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______． 【答案】 【知识点】写出直角坐标系中点的坐标、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查用点的坐标表示线段长度，解题的关键是熟练掌握坐标系中两点之间的距离公式． 设，根据坐标系中两点之间的距离公式，可得，，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：∵点在轴上， ∴设， ∵点到点的距离是它到点距离的倍， ∴ ∴， ∴， 故答案为：． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】 【知识点】等腰三角形的定义、已知两点坐标求两点距离 【分析】本题考查了两点间的距离公式，等腰三角形的定义． 设，根据两点之间距离公式得出，，根据等腰三角形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点P在y轴上， ∴点P的横坐标为0， 设， ∵是以为底边的等腰三角形， ∴， ∵，， ∴， 解得：， ∴． 【题型十二】用方向角和距离确定物体的位置 例12．（25-26八年级·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 【答案】B 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题主要考查的是方向角，根据方向角的概念即可解答． 【详解】解：根据图形可知：在港口的南偏东方向，相距30海里处． 故选：B． 变式1．以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 【答案】北偏西方向，距小亮家500米 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置 【分析】本题主要考查方位角表示地理位置，根据对话建立坐标系，以小莹家为原点，北为y轴正方向，东为x轴正方向，通过坐标计算和小亮家位置，确定图书馆相对于小亮家的方向和距离． 【详解】解：如图所示，一个单位长度表示米， ∴设小莹家为点，学校为点A，图书馆为点B，小亮家为点C，， ∵学校在图书馆的正东方向， ∴轴，即， ∵小亮家在小莹家和学校连线的中点处，即点为的中点， ∴， ∴（米），， ∵小亮家所在方向的正北方与平面直角坐标系的y轴平行， ∴点B在点C的北偏西方向，距小亮家500米处， ∴图书馆相对于小亮家的位置为北偏西方向，距小亮家500米处， 故答案为：北偏西方向，距小亮家500米． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 【答案】(1)敌方战舰B到我方潜艇的距离 (2)敌方战舰A和敌方战舰C 【知识点】用方向角和距离确定物体的位置、方向角的表示 【分析】本题考查方向角，平面直角坐标系，解题的关键是熟练掌握方向角的定义，确定点的位置的方法． （1）确定点的位置要知道点的方向和距离，由此即可得到答案； （2）由图上距离，即可得到答案． 【详解】（1）解：有敌方战舰和小岛，还需要知道敌方战舰到我方潜艇的距离． （2）解：敌方战舰和敌方战舰． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中到y轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 【答案】A 【分析】根据点到坐标轴的性质求解即可，熟练掌握坐标与图形的基本性质是解题关键． 【详解】解：平面直角坐标系中， ∴到y轴的距离是3， 故选：A． 2．若点在第二象限，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了点的坐标，先判断出所求的点的横纵坐标的符号，进而判断其所在的象限． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴ ∴点在第四象限． 故选：D． 3．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出图形，然后根据勾股定理进行计算即可． 【详解】解：如图： ∵点，的坐标分别为，， ∴， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查了坐标与图形以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 4．如图，在平面直角坐标系中，四点的坐标分别是，，，，动点从点出发，在正方形边上按照的方向不断移动，已知的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意得正方形的边长为2，周长为8，因为，可以推出第2023秒，点移动到点与点的中间位置，从而即可得到答案． 【详解】解：，，，， ， ， 的移动速度为每秒1个单位长度， 点沿移动时间为：（秒）， ， 第2023秒，点移动到点与点的中间位置， 点的坐标是， 故选：D． 【点睛】本题考查点坐标规律探索，解题的关键是求出正方形的边长与周长，确定点的位置． 5．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意得出，，，进而得出点的坐标变化规律，得出点的坐标即可． 【详解】解：过点作轴于点，轴于点， 由题意可得出：，，， 则， ∵将线段按逆时针方向旋转， ∴每个点循环一圈， ∵， ∴点的坐标与点的坐标在第象限， ∵， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为， 故选：A． 【点睛】本题考查了坐标与图形－坐标的变化规律，含的直角三角形的性质，勾股定理等知识点，读懂题意，得出坐标的变化规律是解本题的关键． 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个相同的直角三角形，，，，按如图中的规律摆放．动点从原点出发，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，…，按这样的运动规律，动点第101次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，过点作轴于E，利用勾股定理和面积法求出，，，，进而得到的横纵坐标变化规律即可得到答案． 【详解】解：如图所示，过点作轴于E， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴， ∴， ∴，， 同理，得，， 观察可知，点的纵坐标是循环出现，点的横坐标是每4次一个循环，每个循环横坐标增加10， ∵， ∴的纵坐标与相同，即为，的横坐标为， ∴， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了点的坐标规律探索，勾股定理，正确理解题意找到点之间的规律是解题的关键． 二、填空题 7．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 【答案】 【分析】本题考查了通过已知点的坐标确定直角坐标系原点，先根据白棋①和黑棋②可以确定出原点的位置为黑棋②正下方两格处的点，再进一步解题即可． 【详解】解：∵白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为， ∴建立坐标系如下： ∴白棋③的位置为， 故答案为：． 8．点到x轴的距离为 __________． 【答案】7 【分析】根据点的坐标的意义得到点到x轴的距离为． 【详解】解：点到x轴的距离为． 故答案为：7． 【点睛】本题考查了点的坐标，解题的关键是掌握点到坐标轴的距离的意义． 9．已知点在轴上，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查数轴，在轴上的点，其纵坐标为． 【详解】根据题意可知 解得 故答案为： 10．点位于轴正半轴上，且到原点的距离是，则______． 【答案】 【分析】本题考查平面直角坐标系，熟练掌握坐标系中，轴上的点的坐标特征是解题关键．根据轴上的点的坐标特征得出，根据在轴正半轴上，且到原点的距离为2，得出，计算的值即可． 【详解】解：∵点位于轴正半轴上，且到原点的距离是， ∴，， ∴． 故答案为： 11．和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 【答案】 【分析】根据全等三角形的性质得出，即可求出结论． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为， ， ， ， ∴点的坐标为． 12．如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为____________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用坐标确定位置，和由点的位置得到点的坐标．依据已知点的坐标确定出坐标轴的位置是解题的关键．根据A，B的坐标确定出坐标轴的位置，即可得到点C的坐标． 【详解】解∶∵A，B两点的坐标分别为，， ∴得出坐标轴如下图所示位置： ∴C的坐标为， 故答案为：． 13．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，……，这样依次得到点，，，…，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的点坐标变化问题，正确理解题意是解题关键． 根据伴随点的定义求出点，，，，的坐标，即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 点的坐标为，即， 故答案为：． 14．五子棋起源于中国，规则为：双方各执一色，黑先白后，先形成五子连珠者获胜．如图，若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是________．（用坐标表示） 【答案】 【分析】本题考查用坐标确定位置，先根据题意确定平面直角坐标系，再确定白棋必须落子的位置即可求解． 【详解】解：如图，白棋必须落子的位置是点C，坐标为， 故答案为：． 15．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，分类讨论是解题的关键． 点在轴正半轴上，设坐标为，三角形为等腰三角形，有三种情况：，．分别计算每种情况下的值，排除无效点． 【详解】点，点， 情况1：； 情况2：， 平方得，解得； 情况3：， 则， ， 即或（舍去），； 综上，的坐标为． 故答案为：． 16．雷达二维平面定位的主要原理是测量目标的两个信息——距离和角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，那么用这种方法表示目标B的位置为______． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，解题的关键是根据点的坐标找出点B的坐标． 根据点的位置结合其表示方法，可得出相邻同心圆的半径差为1，结合点B在第四个圆上且在射线上，即可表示出点B． 【详解】解： 故答案为：． 17．如图，在中， ，， ． 将沿射线 平移得到，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接 ，． 在的平移过程中，周长的最小值为_______． 【答案】/ 【分析】以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示，过点作于点，证明得出，设，根据平移的性质可得，勾股定理表示出，即到点和的距离和的最值，进而根据轴对称的性质求得最值，即可求解． 【详解】解：如图所示，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系如图所示， 过点作于点， ∵在 中，．将绕着点逆时针旋转得到线段， ， 又 ∵， ， ， ， ， ， ， 设，则， 即求到点和的距离和的最小值， 如图所示，，取，则的最小值为的长， 即， ∴的周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了勾股定理，旋转的性质，全等三角形的性质与判定，坐标与图形，轴对称的性质求线段和的最值问题，平移的性质，将问题转化为的最小值为的长是解题的关键． 18．如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，点的坐标是______． 【答案】 【分析】根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以，所以可求出从B到的后变化的坐标，再求出的坐标，找出这些坐标的之间的规律，然后根据规律计算出点的坐标． 【详解】解：根据题意和图形可看出每经过一次变化，都顺时针旋转，边长都乘以， ∵从B到经过了3次变化， ∵，． ∴点所在的正方形的边长为2，点位置在x轴正半轴． ∴点的坐标是； 可得出：点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 点坐标为， 由规律可以发现，每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍， ∵， ∴的纵横坐标符号与点的相同，横坐标是负数，纵坐标为0， ∴的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查正方形的性质和坐标与图形的性质的知识点，解答本题的关键是由点坐标的规律发现每经过8次作图后，点的坐标符号与第一次坐标符号相同，每次正方形的边长变为原来的倍，此题难度较大． 三、解答题 19．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，M，N两点之间的距离可以用公式计算．若点，点O是坐标原点，判断是什么三角形，并说明理由． 【答案】是直角三角形，理由见解析 【分析】根据两点间的距离公式和勾股定理的逆定理解答即可． 【详解】解：是直角三角形， 理由如下：， ， ， 则， ∴是直角三角形． 【点睛】本题考查了两点间的距离和勾股定理的逆定理，属于基础题型，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 20．已知直角坐标平面内的的坐标分别是、、，求的面积． 【答案】 【分析】先计算三角形的三条边的长度，然后根据勾股定理的逆定理判断三角形的形状，最后求出三角形的面积． 【详解】∵  点的坐标分别为, ∴， ， ， ∴  , ∴  ， ∴是直角三角形， ∴． 【点睛】本题考查平面直角坐标系中两点间的距离公式，勾股定理的逆定理，能判断三角形是直角三角形是解题的关键． 21．在平面直角坐标系中，已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查坐标系下点的规律探究，熟练掌握与x轴平行的直线上的点的纵坐标相同是解题的关键． （1）根据y轴上点的横坐标等于零列式计算即可； （2）根据点在过点且与x轴平行的直线上，得到两点的纵坐标相同，求出a的值即可 ． 【详解】（1）点在轴上， ， 解得，， 点的坐标． （2）点在过点且与轴平行的直线上， ，解得， 点的坐标． 22．有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点，可识别． 请根据以上信息解答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑的位置； (2)标志点与主要建筑的图上距离为______． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）以点向右2个单位，向下1个单位为坐标原点建立平面直角坐标系，然后再确定出点的位置即可； （2）在平面直角坐标系中运用勾股定理即可求出距离． 【详解】（1）解：建立直角坐标系如图所示，点的位置如图所示． （2）由勾股定理可得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标确定位置及勾股定理，根据已知点的坐标准确确定出坐标原点的位置是解题的关键． 23．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)若在轴上，求的值； (2)若点到轴、轴的距离相等，求的值； (3)若轴，点在点的上方，且，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了坐标与距离，熟练掌握点坐标的特点是解题的关键； （1）（2）根据题干所给的点M的位置特征，得出方程，求得m的值； （3）根据平行得出点M与点N横坐标相同，再结合及点M在点N的上方即可求得n的值． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得． （2）解：点到轴、轴的距离相等， ， 即或， 解得或， （3）解：轴，且，点在点的上方， ，， 解得， ． 24．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）． （1）写出点的坐标为 ； （2）将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后得到的三角形，并直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； （3）求三角形的面积． 【答案】（1）；（2）图见解析，；（3）． 【分析】（1）根据点在平面直角坐标系中的位置即可得； （2）先根据点的平移分别画出点，再顺次连接点即可得三角形，然后根据点的位置即可得它们的坐标； （3）如图（见解析），先求出点的坐标，从而可得的长，再根据三角形的面积等于正方形的面积减去三角形、三角形、三角形的面积即可得． 【详解】解：（1）由点在平面直角坐标系中的位置得：， 故答案为：； （2）先根据点的平移分别画出点，再顺次连接点可得到三角形，如图所示： 则； （3）如图，， ， 则三角形的面积为， ， ． 【点睛】本题考查了求点的坐标、图形的平移等知识点，熟练掌握图形的平移作图是解题关键． 25．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，直接写出点坐标； (2)如图2，当点在线段（不与重合）上，连接，作等腰直角，，连接，求证：； (3)在（2）的条件下： ①若、、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标． ②直接写出面积的最小值和此时的长度． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①，②面积的最小值2， 【分析】（1）设轴于，证明，根据全等三角形的性质得到，，求出，即可得到点坐标； （2）证明，根据全等三角形的性质得到； （3）①根据、、三点共线，得到，根据全等三角形的性质得到，根据等腰三角形的性质求出，即可得到点坐标；②由等腰直角三角形的性质和垂线段最短，可得当最短时即点于点重合时，面积最小，再根据计算求解即可． 【详解】（1）解：设轴于，则， ， ， ， 在和中， ，， ， 点坐标为； （2）证明：， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． （3）解：①是等腰直角三角形， ， 当、、三点共线时，， 由（2）可知，； ， ， ， 点坐标为； ②是等腰直角三角形， ， 当最短时即点于点重合时，面积最小， 又， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的外角的性质，两点间的距离，垂线段最短，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 平面直角坐标系与两点间的距离公式（知识详解+12典例分析+习题巩固） 【知识点01】有序数对的概念 我们把有顺序的两个数ɑ与b组成的数对，叫做有序数对，记作． 【知识点02】 平面直角坐标系及有关概念 1.平面直角坐标系：在平面内，两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系．通常两条数轴分别置于水平 位置和竖直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向． 2.坐标轴:水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴．二者统称为坐标轴，两坐标轴的交点O称为平 面直角坐标系的原点． 3.象限:在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴就组成平面直角坐标系，如下图： 【知识点03】建立平面直角坐标系 1. 建立平面直角坐标系的步骤 （1）分析条件，选择适当的点作为原点； （2）过原点在两个互相垂直的方向上分别作出x轴、y轴； （3）确定正方向和单位长度． 2. 常见的建立坐标系的方式：以等腰三角形底边的中点为原点，底边及底边上的高所在直线为坐标轴． 【知识点04】平面直角坐标系内点的坐标 1.点的坐标表示 平面内的点可以用一个有序数对来表示．对于平面内的任意一点P，过点P分别向x轴、y轴作垂线，垂足在x轴、y轴上对应的实数a,b分别叫做点P的横坐标、纵坐标，有序数对 就叫做点P的坐标. 坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的． 2.点的坐标的几何意义 （1）点P到x轴的距离为；（2）点P到y轴的距离为． 3.点的坐标特征 （1）各象限内点的坐标特征：第一至第四象限内的点的坐标符号依次为、、、． （2）非象限内点的坐标特征：x轴上的点的纵坐标为0；y轴上的点的横坐标为0；原点的横坐标、纵坐标都为0；原点既在x轴上，又在y轴上． （3）与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：与x轴平行的直线上的所有点的纵坐标相同，与y轴平行的直线上的所有点的横坐标相同． 【知识点05】两点间的距离公式 对于平面直角坐标系中的两点 、，其距离为 【题型一】用有序数对表示位置 例1．如果电影票上的“3排1号”记作，那么表示（   ） A．3排5号 B．5排3号 C．4排3号 D．3排4号 变式1．数学课上，陈老师在黑板上画出一个正方形被等分成4行4列，如图所示，她问大家几个问题，你能解答出来吗？    (1)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（1）中标出，D点如何表示呢？ (2)若A点用表示，B点用表示，C点用表示，则C点在哪里？请在图（2）中标出，D点如何表示呢？ 【题型二】写出直角坐标系中点的坐标 例2．（25-26八年级·上海·月考）经过点，，则直线的可表示为________ 变式1．（2025八年级·上海·专题练习）在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是（   ） A． B． C． D． 变式2．（23-24八年级·上海崇明·期末）点P的横坐标是1，纵坐标比横坐标小2，则点P的坐标是___________． 【题型三】求点到坐标轴的距离 例3．点到x轴的距离为（   ） A． B． C．3 D．2 变式1．已知点P（a，b）在第三象限，则点P（a，b）到x轴的距离为 _____． 变式2．l1、l2交于点O，平面内有任意点M，M到l1、l2的距离分别为a、b，有序实数对，（a，b）为距离坐标，若有序实数对为（2，3），这样的数有几个？ 【题型四】判断点所在的象限 例4．（23-24八年级下·上海长宁·期末）已知a为实数，那么在平面直角坐标系中，下列各点中一定位于第四象限的点是（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·上海·月考）点不可能在第__________象限． 变式2．已知点P坐标为，那么点P能否是第三象限内的点？请说明理由． 【题型五】已知点所在的象限求参数 例5．已知点在第二象限，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1．（24-25八年级下·上海宝山·期末）如果直线经过第二象限，那么m的取值范围是________． 变式2．在平面直角坐标系中，已知点，若点P在第一、三象限的角平分线上，求a的值． 【题型六】坐标系中描点 例6．（25-26八年级·上海·假期作业）下列四个选项中，关于平面直角坐标系的画法正确的是（    ） A． B． C． D． 变式1．经过点Q（1，﹣3）且垂直于y轴的直线可以表示为直线 _____． 变式2．（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【题型七】中点坐标 例7．在中，，，求中线的取值范围时，嘉淇同学将延长到，使，连接．已知点，，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．（25-26八年级·上海·假期作业）点和点的中点坐标为________． 【题型八】点坐标规律探索 例8．如图，一个质点在平面直角坐标系中的第一象限及x轴，y轴的正半轴上运动．在第一秒钟，质点从原点运动到，再继续按图中箭头所示的方向（与x，y轴平行）运动，即，且每秒移动一个单位长度，那么第2023秒时质点所在位置的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式1．（22-23八年级下·上海虹口·期末）如图，若干个点以箭头方向排列，则第1000个点的坐标为______．    【题型九】实际问题中用坐标表示位置 例9．象棋是流行广泛的益智游戏． 如图是一副象棋残局，若表示棋子“炮”和“车”的有序数对分别为，则表示棋子“马”的点有序数对为（    ） A． B． C． D． 变式1．小舟同学去北京游玩时绘制了北京景点示意图，并以天安门广场为原点建立平面直角坐标系，著名景点“卢沟桥”在坐标系中的位置可以表示为________，1937年中国军队在此地打响了全面抗战的第一枪． 变式2．先建立一个平面直角坐标系，再用坐标表示图中各点的位置关系． 【题型十】根据方位描述确定物体的位置 例10．如图，学校相对于淇淇家的位置，下列描述最准确的是（   ） A．距淇淇家1200米处 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上的1200米处 D．南偏西方向上的1200米处 变式1．我国在南极建有长城、昆仑、中山、泰山、罗斯海新站5个科学考察站，位置示意图如图所示，完成下面各题． (1)中山站在昆仑站（   ）方向，距离是（   ）千米． (2)请你根据以下信息在平面图上标出泰山站和罗斯海新站的位置． ①泰山站在昆仑站的东偏北方向500千米处． ②罗斯海新站在昆仑站的东偏南方向1500千米处． 【题型十一】已知两点坐标求两点距离 例11．（24-25八年级·上海·月考）在平面直角坐标系中，点到原点的距离为（   ） A．1 B． C． D．3 变式1．（24-25八年级下·上海金山·月考）点在轴上，且点到点的距离是它到点距离的倍，则点的坐标是______． 变式2．（24-25八年级下·上海·月考）平面直角坐标系内有点、，点在轴上，且是以为底边的等腰三角形，求点的坐标． 【题型十二】用方向角和距离确定物体的位置 例12．（25-26八年级·上海青浦·期末）如图，货船与港口相距30海里，货船的位置可描述为（    ） A．在港口的南偏东方向，相距30海里处 B．在港口的南偏东方向，相距30海里处 C．在港口的北偏西方向，相距30海里处 D．在港口的北偏西方向，相距30海里处 变式1．以下是小莹和小亮关于家、学校、图书馆位置的对话： 小莹：学校在我家的北偏东方向，与我家的距离为米；图书馆在我家的正北方向． 小亮：学校在图书馆的正东方向；我家在你家和学校连线的中点处． 请根据以上信息，用方向和距离表示图书馆相对于小亮家的位置为___________． 变式2．（25-26八年级下·全国·课后作业）下图所示的是某次海战中敌我双方战舰对峙示意图． (1)在我方潜艇的北偏东的方向上有哪些目标？要想确定敌方战舰B的位置，还需要什么数据？ (2)距离我方潜艇20n mile的有________________________________________________． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中到y轴的距离是（    ） A．3 B．4 C．5 D． 2．若点在第二象限，则点一定在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，则线段的长度为（    ） A． B． C． D． 4．如图，在平面直角坐标系中，四点的坐标分别是，，，，动点从点出发，在正方形边上按照的方向不断移动，已知的移动速度为每秒1个单位长度，则第2023秒，点的坐标是（    ）    A． B． C． D． 5．如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，进行如下操作：将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段，如此重复操作下去，得到线段，，…则的坐标为（　　） A． B． C． D． 6．如图，在平面直角坐标系中，有若干个相同的直角三角形，，，，按如图中的规律摆放．动点从原点出发，第一次运动到，第二次运动到，第三次运动到，…，按这样的运动规律，动点第101次运动到点的坐标为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 7．如图所示，若白棋①的位置记为，黑棋②的位置记为，则白棋③的位置应记为_____． 8．点到x轴的距离为 __________． 9．已知点在轴上，则的值是______． 10．点位于轴正半轴上，且到原点的距离是，则______． 11．和在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中点A，B的坐标分别为，点在x轴上，且．则点的坐标为______． 12．如图是一片枫叶标本，将其放在平面直角坐标系中，叶片边缘A，B两点的坐标分别为，，则点C的坐标为____________． 13．在平面直角坐标系中，对于点，我们把叫做点P的“伴随点”．已知点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，点的“伴随点”为，……，这样依次得到点，，，…，若点的坐标为，则点的坐标为__________． 14．五子棋起源于中国，规则为：双方各执一色，黑先白后，先形成五子连珠者获胜．如图，若白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是________．（用坐标表示） 15．在平面直角坐标系中，以为原点，的坐标为，点在轴正半轴上．若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则满足条件的点的坐标为_______． 16．雷达二维平面定位的主要原理是测量目标的两个信息——距离和角度．如图，雷达探测器显示在点A，B，C处有目标出现，其中目标A的位置表示为，目标C的位置表示为，那么用这种方法表示目标B的位置为______． 17．如图，在中， ，， ． 将沿射线 平移得到，将绕点A逆时针旋转得到线段，连接 ，． 在的平移过程中，周长的最小值为_______． 18．如图，点，是正方形的两个顶点，以它的对角线为一边作正方形，以正方形的对角线为一边作正方形，再以正方形的对角线为一边作正方形，…，依次进行下去，点的坐标是______． 三、解答题 19．阅读下列一段文字：在直角坐标系中，已知两点的坐标是，M，N两点之间的距离可以用公式计算．若点，点O是坐标原点，判断是什么三角形，并说明理由． 20．已知直角坐标平面内的的坐标分别是、、，求的面积． 21．在平面直角坐标系中，已知点，根据条件解决下列问题： (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上，求点的坐标． 22．有一张图纸被污染，上面只有如图所示的两个标志点，可识别． 请根据以上信息解答下列问题： (1)在图中画出平面直角坐标系，并标出主要建筑的位置； (2)标志点与主要建筑的图上距离为______． 23．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为． (1)若在轴上，求的值； (2)若点到轴、轴的距离相等，求的值； (3)若轴，点在点的上方，且，求的值． 24．在平面直角坐标系中，三角形的位置如图所示（每个小方格都是边长为个单位长度的正方形）． （1）写出点的坐标为 ； （2）将三角形向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度，画出平移后得到的三角形，并直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ； （3）求三角形的面积． 25．如图，已知，，连接，过点作的垂线段，使，连接． (1)如图1，直接写出点坐标； (2)如图2，当点在线段（不与重合）上，连接，作等腰直角，，连接，求证：； (3)在（2）的条件下： ①若、、三点共线，直接写出此时的度数及点坐标． ②直接写出面积的最小值和此时的长度． 1 学科网（北京）股份有限公司 $