精品解析：四川省内江市第六中学2025—2026学年高三上学期第3次月考数学试题

内江六中2025—2026学年（上）高2026届第三次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解法，结合集合交集的定义进行求解即可. 【详解】因为，或， 所以，又因为， 所以. 故选：D 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的除法化简，再根据复数模的计算公式计算即可求解. 【详解】因为，所以. 故选：A 3. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】由圆锥侧面积的求法列方程求母线，再由圆锥轴截面结构特征求圆锥的高. 【详解】设圆锥的底面半径，母线长为，则，解得， 所以该圆锥的高. 故选：C 4. 设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用加法和减法的几何意义在平行四边形中得出. 【详解】如图，设，四边形为平行四边形， 则，， 因为为夹角是锐角的单位向量，所以四边形为菱形，故， 所以，则与的夹角为． 答案：D 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据正弦函数二倍角公式，结合特殊角的正余弦函数值进行求解即可. 【详解】由， 因为，所以， 所以由， 因为，所以. 故选：A 6. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，B为上顶点，则（ ） A. B. 的周长为14 C. E的长轴长为5 D. E的离心率等于 【答案】A 【解析】 【分析】结合题意并利用椭圆的性质逐个选项求解即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形， 由题意知，，，所以E的长轴长为10，离心率为，，的周长为，故BCD错误，A正确. 故选：A. 7. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场，由独立事件的乘法公式求解即可. 【详解】由甲第一局获胜并最终以获胜可知第1,4局甲胜，第2,3局甲胜了一场， 因为每局比赛甲获胜的概率为，所以甲输的概率为， 所以所求概率为， 故选：C. 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先求出圆心坐标与半径，再求出直线过定点坐标，设，，，联立直线与圆的方程，消元、列出韦达定理，即可得到，从而求出动点的轨迹方程，再求出圆心到坐标原点的距离，从而求出的取值范围. 【详解】即，则圆心为，半径， 直线，令，解得，即直线恒过定点， 又，所以点在圆内， 设，，，由， 消去整理得，显然，则， 则， 所以，， 则， 则， 又直线的斜率不为，所以不过点， 所以动点的轨迹方程为（除点外）， 圆的圆心为，半径， 又，所以， 即，即的取值范围为. 故选：D 【点睛】关键点点睛：本题关键是求出动点的轨迹，再求出圆心到原点的距离，最后根据圆的几何性质计算可得. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列有关说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 记两个变量的样本相关系数为，若越大，线性相关程度越强 C. 已知随机变量，则 D. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的中位数为7 【答案】AC 【解析】 【详解】对A：因为，且，所以正态曲线的对称轴为，故A正确； 对B：两个变量的样本相关系数为，则越大，线性相关程度越强，故B错误； 对C：由，所以，故C正确； 对D：数据1，3，9，4，5，16，7，11从小到大顺序排列得：1，3，4，5，7，9，11，16， 其中位数是第4与第5两个数的平均数，为，故D错误. 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值1 B. 在处的切线方程为 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用导数来研究原函数的单调性即可判断A，利用导数求切线方程即可判断B，利用方程的解即可判断C，利用分离参变量构造函数求导来研究函数最大值，即可判断D. 【详解】由题得， 所以当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得极大值1，故A正确； 由于，， 所以在处的切线方程为， 整理得：，故B正确； 由，所以只有一个零点，故C错误； 由，可得，构造，求导得， 当时，，则在上单调递增， 当时，，则在上单调递减， 又因为，所以在处取得最大值，所以，故D正确； 故选：ABD. 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】以正方体顶点为原点建立空间直角坐标系，得到顶点坐标和中点坐标，然后由空间向量的数量求得异面直线与所成角的余弦值，判断A选项；写出点坐标，由空间向量的坐标关系判断直线与直线是否平行，判断B选项；由得到点的运动轨迹，然后求得圆弧的圆心角即可求得路径长，判断C选项；由空间向量投影求得圆心到直线的距离，即可求得圆心到过直线的平面的最大距离，从前求得切面圆的半径，然后得到面积，判断D选项. 【详解】如图，以正方体的顶点为坐标原点建立空间直角坐标系， ∴，，，，，，， 因分别为的中点，则，，则，， 对于A，设与所成的角为，则，故A正确； 对于B，，，则，，故不存在实数使得，故B错误； 对于C，∵， ∴点在侧面的运动轨迹为平面与球截面的圆弧， 球心到平面的距离为，∴圆弧的半径， 故在正方体侧面的运动轨迹圆弧，其长度为，故C错误； 对于D，易得该正方体的内切球的球心，半径，则向量， ∴球心到直线的距离， ∴球心到过直线的平面最大距离为，此时截面为面积最小的圆， 圆的半径，∴此时截面面积，故D正确. 故选：AD. 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的解析式，结合对数运算即可求解. 【详解】由题意知，，． 故答案为： 13. 在△ABC中，且（），则__________． 【答案】 【解析】 【分析】先由正弦定理边化角得到，再由即可求解. 【详解】因为，所以由正弦定理得， 又，所以，所以，即， 所以或，又， 所以，所以为锐角，所以. 14. 桌面上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为2的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到桌面的距离是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题利用空间几何中球心位置关系及距离计算,关键在于明确球心连线构成的几何图形,通过分析球心之间的距离,结合勾股定理求出相关的线段长度,进而得到小球球心到桌面的距离. 【详解】由题意知：5个球的球心组成一个底面边长为2，侧棱长为3的正四棱锥，如下图所示， 设， ∵,,∴. ∴小球的球心到水平桌面的距离为． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 【答案】（1） 因，则， 又，所以， 从而，则是以为首项，公比为4的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由题可得，据此可完成证明； （2）由（1）结合分组求和法可得答案. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可得：. 则 16. 六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温被中国气象学会授予“中国凉都”称号．2025年暑假期间，来凉都六盘水旅游的人数达到新高，为了解游客对六盘水旅游项目的熟悉程度，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的100名游客进行了有关六盘水旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的中位数； （3）该校学生采用分层抽样的方法从评分在和的两组中共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1列式计算即可求解； （2）根据中位数的计算公式列式计算即可求解； （3）根据分层抽样确定抽取人数，再利用古典概率计算公式计算即可求解. 【小问1详解】 ，所以． 【小问2详解】 因为，， 所以中位数在8和12之间， 设中位数是，所以，可得； 【小问3详解】 采用分层抽样的方法从评分在和的两组中共抽取5人， 则在抽取2人，在抽取3人， 设事件为“抽取的2人评分分别在和内各1人”， 则， 故抽取的2人评分分别在和内各1人的概率为. 17. 如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. （1）求证： 平面EDB； （2）求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 【答案】（1） 连接，交于，连接，由正方形的性质可知为的中点， 因为是的中点，所以， 因为平面，平面，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角形中位线得出线线平行，结合线面平行的判定定理可证结论； （2）建立坐标系，利用垂直关系求出的位置，求法向量，利用法向量求解两平面的夹角. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由题意，以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， ，，. 设，则， ， 因为，所以，即， 解得，所以. 设平面的一个法向量为，则， 令，得，易知平面的一个法向量为， 设平面DEF与平面ABCD的夹角为，则. 即平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值为. 18. 设抛物线C：（）的焦点为F，点（）在C上，． （1）求C的方程； （2）已知点，过焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B． (i)求证直线AB过定点T，并求出T的坐标； (ii)设,的面积分别为,,求． 【答案】（1） （2） ①证明：设点， ， ，  则，，，． 设直线MN的方程为， 联立，得， 由题意可知， 根据韦达定理得①，②． 由斜率公式可得，． 根据题意设直线MD的方程为， 代入抛物线C的方程得． 由题意可知，根据韦达定理得③． 由①③得，同理可得． 故点，， 则直线AB的方程为 化简得． 将①②代入得直线AB的方程为,因此直线AB经过定点． ② 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的定义,抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离,结合已知条件求出的值,进而得到抛物线方程. （2）（ⅰ）设出直线的方程,与抛物线方程联立,得到,两点纵坐标的关系,再分别求出直线,与抛物线的另一个交点,的坐标,最后根据直线的方程求出定点的坐标. （ⅱ）根据三角形面积公式,分别表示出和的面积,再结合,,,四点的坐标关系求出的值. 【小问1详解】 根据抛物线定义知道，所以， 所以抛物线方程为. 【小问2详解】 （ⅰ）略 (ii)直线MN的方程为,直线AB的方程为． 则点D到直线MN的距离为,点D到直线AB的距离为． 由两点间距离公式得， 根据韦达定理得，， 所以， 同理可求． 则， ． 因此, 即与的面积之比为定值． 19. 已知函数．（为自然常数） （1）若，证明：． （2）若对任意实数x，均有． ①求a； ②设正整数，证明：． 【答案】（1）证明： 当时，，设，则， 所以令可知，令可知， 所以在上单调递增，在上单调递减， 则在时取得极小值，也是最小值， 即，即． （2）① ； ②证明： 由①知，用代替x，得， 所以，于是取（，3，…，n）， 则， 又因为， 所以， 由于， 所以，在不等式中，令（）， 可得即， 所以， 因此， 所以 ， 至此不等式得证． 【解析】 【分析】（1）作差函数利用导数研究函数的单调性、极值、最值即可证明； （2）①作差函数，借助，及函数的单调性，分类讨论的大小得出，再证时，放缩可得时符合题意，在时由及指数函数的单调性即可证明符合题意； ②由①的结论，取结合二倍角公式判定，根据放缩结合裂项相消法计算即可证明. 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 ①设， 则，，， 若，则存在，当时，， 此时，不符合； 若，则存在，当时，， 此时，不符合 综上，只可能． 下面证明满足要求， 当时，， 所以，满足题目条件． 当时，先证明，（*）． 设，则，故为增函数， 于是时，，故，所以， 同理，有，而时，有，所以， 综上（*）成立， 令（）， 则，当时，，当时，， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 所以， 所以由函数在R上单调递增， 所以（），当时，成立， 所以当时，，即， 可见满足要求． ②略. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 内江六中2025—2026学年（上）高2026届第三次月考 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 第Ⅰ卷 选择题（满分58分） 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数满足，则等于（ ）. A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知一个圆锥的底面半径为3，其侧面积为15π，则该圆锥的高为（ ） A. 3 B. C. 4 D. 5 4. 设为夹角是锐角的单位向量，则与的夹角为（　　） A. B. C. D. 5. 已知，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知椭圆E：的左、右焦点分别为，，B为上顶点，则（ ） A. B. 的周长为14 C. E的长轴长为5 D. E的离心率等于 7. 甲、乙两名羽毛球运动员进行一场比赛，采用5局3胜制(先胜3局者胜，比赛结束)，已知每局比赛甲获胜的概率为 ，则甲第一局获胜并最终以获胜的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与交于两点，设弦的中点为为坐标原点，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 下列有关说法正确的有（ ） A. 设随机变量服从正态分布，若，则 B. 记两个变量的样本相关系数为，若越大，线性相关程度越强 C. 已知随机变量，则 D. 数据1，3，9，4，5，16，7，11的中位数为7 10. 对于函数，下列说法正确的有（ ） A. 在处取得极大值1 B. 在处的切线方程为 C. 有两个零点 D. 若在上恒成立，则 11. 在棱长为的正方体中，分别为的中点，点是正方体侧面上的一动点（含边界），则下列说法正确的是（     ） A. 异面直线与所成角的余弦值为 B. 当点为棱的中点时，直线与直线平行 C. 若保持，则点在侧面内运动路径的长度为 D. 过直线的平面截该正方体的内切球所得截面圆的面积的最小值为 第Ⅱ卷 非选择题（满分92分） 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12. 已知函数，则___________． 13. 在△ABC中，且（），则__________． 14. 桌面上放有4个半径均为1的球，且相邻的球都相切（球心的连线构成正方形）．在这4个球的上面放一个半径为2的小球，它和下面的4个球恰好相切，则小球的球心到桌面的距离是__________． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知数列 的首项 且满足 （1）求证: 是等比数列； （2）求数列 的前n项和 16. 六盘水是贵州省地级市，因夏季平均气温被中国气象学会授予“中国凉都”称号．2025年暑假期间，来凉都六盘水旅游的人数达到新高，为了解游客对六盘水旅游项目的熟悉程度，某校学生开展社会实践活动，采用问卷的形式随机对来六盘水旅游的100名游客进行了有关六盘水旅游知识的调查．为了方便统计分析，调查问卷满分20分，得分情况制成如图所示的频率分布直方图． （1）求的值； （2）根据频率分布直方图，估计这100名游客调查问卷中得分的中位数； （3）该校学生采用分层抽样的方法从评分在和的两组中共抽取5人，再从5人中随机抽取2人进行交流，求抽取的2人评分分别在和内各1人的概率． 17. 如图， 在四棱锥中， 底面ABCD是正方形， 侧棱底面ABCD，，E 是PC的中点， 作交PB于点 F. （1）求证： 平面EDB； （2）求平面DEF与平面ABCD的夹角的余弦值. 18. 设抛物线C：（）的焦点为F，点（）在C上，． （1）求C的方程； （2）已知点，过焦点F的直线与抛物线交于M，N两点，设直线MD，ND与C的另一个交点分别为A，B． (i)求证直线AB过定点T，并求出T的坐标； (ii)设,的面积分别为,,求． 19. 已知函数．（为自然常数） （1）若，证明：． （2）若对任意实数x，均有． ①求a； ②设正整数，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $