7.2.4 课时1 诱导公式①②课件-2025-2026学年高一下学期数学人教B版必修第三册

7.2.4 课时1 诱导公式①② 诱导公式①②. 问题： 1.在单位圆上取任意角α，α与α+k·2π的终边有什么关系？ 1.二者终边相同； 2.结合单位圆中三角函数的表示，猜想sin (α+k·2π) 与 sin α 有什么关系，那么余弦和正切是否也有类似的关系. 2.因为二者终边相同，所以其在单位圆中对应的点的坐标相同，根据正弦函数的定义可得sin (α+k·2π) = sin α. 三角函数值由它终边上的点决定，终边相同的角同名（“同名”指同是正弦、余弦和正切）三角函数值相等，由此可得到公式①： sin (α + k·2π) = sin α，cos (α + k·2π) = cos α，tan (α + k·2π) = tan α， 其中 k∈Z； 三角函数值具有周期性，即角α的终边每绕原点旋转一周，函数值将重复出现. 公式①的作用：可以把绝对值大于2π的任意角的三角函数值问题转化为0-2π角的同名三角函数值问题.→简称为"大变小" （1） ； （2） ； （3） . 解：（1） （2） （3） 诱导公式②. 假设角a的终边是OA，射线OB 和 OC 关于 OA 对称，∠AOB = θ，那么射线 OB 是 角 α + θ 的终边.射线 OC 是角 α – θ 的终边； x y O α α – θ α + θ θ θ A B C 由此我们可知，角 α + θ 的终边和角 α – θ 的终边关于角 α 的终边所在的直线对称. 一般地，角α的终边和角β的终边关于角 的终边所在的直线对称. α和 -α的终边关于角 的终边所在的直线（即直线y=x)对称. α和π-α的终边关于角 的终边所在的直线(即y轴)对称； 例如，α和-α的终边关于角 的终边所在的直线(即x轴)对称； 取任意角a交单位圆于P点，-a交单位圆于P’点. 问题： 1. 请写出点P和点P’的坐标； 2. 角α和角-α关于什么对称？ 3. 点P和点P’的坐标之间有何关系？试写出它们的同名三角函数值之间的关系. 1. P(cos α,sin α)，P'(cos (-α),sin (-α))； 2. 角α和-α的终边关于角0的终边(即x轴的正半轴)所在的直线对称; 3. P和P'关于x轴对称,横坐标相同，纵坐标相反， 即cos α=cos (-α),sin α=-(sin (-α)) 所以有sin ( – α ) = – sin α； cos ( – α ) = cos α； tan ( – α ) = – tan α. x y O S P' T P M A α的终边 -α的终边 sin ( – α ) = – sin α cos ( – α ) = cos α tan ( – α ) = – tan α 公式②： 作用：可以用正角的三角函数值表示负角的三角函数值. 解： （1）cos () = cos = ； （2）tan () = tan = ； （3）sin () = sin = sin ( + 2π) = sin = . （1）cos ()； （2）tan () ； （3）sin (). 任务：回答下列问题，构建知识导图. 我们学了哪些诱导公式？推导过程中采用了什么方法？ 其中蕴含了怎样的数学思想？ C B 3.如果α，β满足α＋β＝π，那么下列式子中正确的个数是(　　) ①sin α＝sin β；②sin α＝－sin β；③cos α＝－cos β； ④cos α＝cos β；⑤tan α＝－tan β. A.1 B.2 C.3 D.4 C 4.已知sin(π＋α)＝ ，且α是第四象限角，那么cos(α－π)的值是(　　) A. B．－ C．± D. B 5.求值：tan 10°＋tan 170°＋sin 1 866°＋sin(－606°)＝________. 0 1．cos(－1650°)＝(　　) A．－eq \f(1,2) B．eq \f(1,2) C．－eq \f(\r(3),2) D．eq \f(\r(3),2) 2．若sinα＝eq \f(1,3)，则sin(6π－α)的值为(　　) A.eq \f(1,3) B．－eq \f(1,3) C．－eq \f(2\r(2),3) D．eq \f(2\r(2),3) $