专题03分式突破复习讲义 2026年中考一轮(全国通用版)

专题03分式突破复习讲义 · 分值占比：分式及其运算在中考数学中属必考核心考点，分值约6–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（化简求值），属基础得分板块。 · 常考考点：分式相关概念（有意义 / 值为 0）、分式基本性质、约分与通分、分式混合运算、分式化简求值、分式方程及应用。 · 命题难度：基础题为主，侧重基础概念辨析与基本法则应用，中档题侧重运算准确性与格式规范，综合题结合整式运算、整体代入及实际情境建模。 · 命题趋势：基础稳定、稳中求新；以基础运算、概念辨析为主，适度结合生活情境与跨学科素材，注重细节规范与运算严谨性，每年题型稳定、考查持续稳定。 【模块一 分式的概念与意义】....................................3 【题型01 分式有无意义的条件】..................................3 【题型02 分式值为零的条件】....................................4 【题型03 分式的值】............................................6 【模块二 分式的基本性质】......................................8 【题型04 分式的基本性质】......................................8 【题型05 约分与最简分式】.....................................10 【题型06 最简公分母与通分 】..................................12 【模块三 分式的运算】.........................................13 【题型07 分式乘除(含乘方)运算】................................13 【题型08 分式的加减运算】.....................................15 【题型09 分式的混合运算】.....................................17 【题型10 分式的化简求值】.....................................19 【模块四 分式综合创新题】.....................................21 【题型11 分式规律探究题】.....................................21 【题型12 分式新定义问题】.....................................24 【题型13 分式阅读理解题】.....................................27 ★知识梳理★ 知识点01:分式的概念 1.分式定义 形如 的式子，其中 A、B 是整式，B 中含有字母且 B0。 整式：单项式、多项式（分母不含字母） 分式：分母含字母 2.分式有意义 分母0 3.分式无意义 分母 =0 4.分式值为 0 分子 =0 且 分母0 知识点02:分式基本性质 · 作用：约分、通分、变形 · 关键：分子、分母同乘 / 同除同一个不为 0 的整式 知识点03:分式的约分与通分 1.约分 把分子、分母的公因式约去，化为最简分式。 步骤：① 分解因式② 找公因式③ 约去公因式 2.通分 把异分母分式化为同分母分式。 步骤：① 找最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂）② 分子、分母同乘适当整式 知识点04:分式的运算 1.乘法：（分子乘分子，分母乘分母） 2.除法：（除以分式 = 乘它的倒数） 3.加减:同分母：± 异分母：先通分 → 再加减 4.乘方：()n= 5. 混合运算顺序 先乘方 → 再乘除 → 最后加减有括号：先算括号内结果必须最简分式 知识点05:易错点 1.分母不能为 0 2.分式方程必须检验 3.运算中符号错误 4.去分母时漏乘 5.结果未化成最简分式 【模块一分式的概念与意义】 【题型1.分式有无意义的条件】 【典例】函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 【跟踪专练1】已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查分式综合问题，涉及分式无意义条件、解一元一次方程、解分式方程等知识，读懂题意，由的部分取值及对应分式的值表，代值列方程求解即可得到答案，熟练掌握分式求值及解方程是解决问题的关键． 【详解】解：由表可知， 当时，，分式无意义，则，解得； 当、时，，则，即，解得； 当、、时，，则，解得； 故选：B． 【跟踪专练2】已知分式（为常数）满足如下表格中的信息，则______，______． 的取值 分式 无意义 值为 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件和解分式方程，由时，分式无意义，可得，即可求出，进而得出分式，再把代入分式，得到分式方程，解分式方程即可求解，熟练掌握分式无意义的条件和解分式方程的方法是解题的关键． 【详解】解：由表格可知，当时，分式无意义， ∴， ∴， ∴分式为， 又由表格知，当时，， 即， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， 故答案为：，． 【跟踪专练3】使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件等知识点，掌握分式的分母不能为零以及二次根式的被开方数的非负性是解题的关键． 根据分式和二次根式有意义的条件列不等式组求解即可． 【详解】解：由题意可得：，解得：． 故选B． 【题型2.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查分式求值．根据分式值为零的条件是分子为零且分母不为零列式计算求解即可． 【详解】解：由题意，分子且分母． 解方程，得或． 又∵，即， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练1】若，则（   ） A．或1 B．0 C． D．1 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，分式值为零的条件，分式值为零的条件是分子为零且分母不为零，需分别解出分子为零的条件，再排除使分母为零的值． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴或， 又∵，即， ∴． 故选：C． 【跟踪专练2】当________时，分式的值为0． 【答案】2 【分析】本题考查分式值为0的条件，根据分式值为0分子为0，分母不为0直接求解即可得到答案； 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，， ∴， 故答案为：2． 【跟踪专练3】分式中，当时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若时，分式的值为零； D．若时，分式的值为零 【答案】C 【分析】根据分式有意义的条件和分式值为零的条件即可求得结果. 【详解】由题意得，当，，，时，分式的值为零， 故选C. 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握分式的分子为0，分母不为0时，分式的值为零． 【题型3.分式的值】 【典例】若，则______． 【答案】 【分析】本题考查比例的运算，分式的化简求值，正确掌握设参数表示比值是解题的关键． 先根据比例关系设参数表示变量，再代入分式化简，即可求解． 【详解】解：设 （）， 则 ，，， ． 故答案为 ． 【跟踪专练1】不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求不等式组的解集．由题意得到或，再分别求解即可． 【详解】解：∵， ∴或， 对于，解得； 对于，解得，无解； 故选：B． 【跟踪专练2】若是关于的方程的两实数根，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，分式的求值，完全平方公式的变形应用，熟练掌握的两根满足是解题的关键． 根据一元二次方程根与系数关系得到，，然后将变形后整体代入求解即可． 【详解】解：∵a，b是方程的两个实数根， ∴， ∴． 故答案为：． 【跟踪专练3】要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的混合运算，分式的值；先计算分式的减法运算，再计算分式的除法运算，再由分式的值为负整数，可得或，从而可得答案． 【详解】解： ； ∵分式的值为负整数， 或， 则或3． 故选：B 【模块二 分式的基本性质】 【题型4.分式的基本性质】 【典例】如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的性质是解题的关键． 当和都扩大为原来的2倍时，代入新值计算分式，化简后比较与原分式的关系． 【详解】解：原分式为，当和都扩大为原来的2倍时，新分式为： ∴ 新分式是原分式的2倍，即分式的值扩大为原来的2倍． 故选：B． 【跟踪专练1】把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质、异分母的分式加减运算等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 将代入用分式的加减运算法则运算，然后运用分式的基本性质整理即可解答． 【详解】解：将代入可得：， 所以． 故答案为：． 【跟踪专练2】已知，那么_________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的性质、代数式求值等知识点，掌握分式的基本性质成为解题的关键． 由可得，然后代入变形约分即可解答． 【详解】解：由可得，则． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，，，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【答案】B 【分析】利用作差法，解答即可. 本题考查了通分，完全平方公式，作差比较大小，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键. 【详解】解：， 由，， 故， 由，，，， 得，，，， 故， 故， 故选：B. 【题型5.约分与最简分式】 【典例】若，则分式的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的化简求值．先把分子分母因式分解，再约分化简，然后整体代值即可得出答案． 【详解】解：， ． 故答案为：． 【跟踪专练1】分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【分析】本题考查了最简分式的识别，与最简分数的意义类似，当一个分式的分子与分母，除去1以外没有其它的公因式时，这样的分式叫做最简分式．根据最简分式的定义分析即可． 【详解】解：，，故不是最简分式，不符合题意； ，是最简分式，符合题意； 故选C． 【跟踪专练2】若为实数，分式不是最简分式，则______. 【答案】0或－4 【分析】由分式不是最简分式可得x或x+2是x2+m的一个因式，分含x和x+2两种情况，根据多项式乘以多项式的运算法则求出m的值即可. 【详解】∵分式不是最简分式， ∴x或x+2是x2+m的一个因式， 当x是x2+m的一个因式x时，设另一个因式为x+a， 则有x（x+a）=x2+ax=x2+m， ∴m=0， 当x+2是x2+m的一个因式时，设另一个因式为x+a， 则有(x+2)(x+a)=x2+(a+2)x+2a=x2+m， ∴， 解得：， 故答案为：0或-4. 【点睛】本题考查最简分式的定义及多项式乘以多项式，根据题意得出x或x+2是x2+m的一个因式是解题关键. 【跟踪专练3】下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的满足的条件：分子分母不含公因式解答即可． 【详解】解：∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意； ∵不能再约分化简， ∴是最简分式， 故项符合题意， ∵， ∴不是最简分式， 故项不符合题意， 故选． 【点睛】本题考查了最简分式的满足的条件：分子分母不含公因式，熟记最简分式满足的条件是解题的关键． 【题型6.最简公分母与通分】 【典例】分式和的最简公分母是（   ） A． B． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了最简公分母“确定最简公分母的一般方法：1、如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各项系数的最小公倍数和所有字母的最高次幂的积；2、如果各分母都是多项式，先把它们分解因式，然后把每个因式当做一个字母，再从系数、相同字母求最简公分母”，熟练掌握确定最简公分母的方法是解题关键．根据确定最简公分母的一般方法即可得． 【详解】解：∵，， ∴分式和的最简公分母是， 故选：B． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式与的公分母是，据此作出选择． 【详解】解：分式与的公分母是，则分式的分子应变为． 故选：A． 【点睛】本题考查了通分．通分的关键是确定最简公分母．①最简公分母的系数取各分母系数的最小公倍数．②最简公分母的字母因式取各分母所有字母的最高次幂的积． 【跟踪专练2】分式 ，的最简公分母是_______． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的最简公分母，掌握最简公分母的确定方法是解题的关键． 最简公分母通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，由此即可求解． 【详解】解：， ∴最简公分母为：， 故答案为：． 【跟踪专练3】在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将分母因式分解，进而确定公分母即可． 【详解】， 计算通分时，分母确定为． 故选B 【点睛】本题考查了找最简公分母，先将分母因式分解是解题的关键． 【模块三 分式的运算】 【题型7.分式乘除(含乘方)运算】 【典例】已知，则整式______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法和除法；根据题意可得，利用分式乘法法则计算即可． 【详解】解：根据题意：， 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的除法，根据，可得，化简即可． 【详解】解：因为， 所以， 所以“”中添加的代数式为． 故选：A． 【跟踪专练2】在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取_____． 【答案】2 【分析】本题主要考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 先对分式进行化简，再根据分式有意义的条件进行分析求解即可． 【详解】解： ∵， ∴， 在化简过程中，消去了， 因此． 因此，只能取2． 故答案为：2． 【跟踪专练3】，则的整数部分为（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【答案】B 【分析】本题考查了分式的加法和除法，关键是得到数A在与之间．观察题目可知数A在与之间，则在与之间，依此可得的整数部分． 【详解】解：， 数A在与之间， 在与之间，即和之间， 的整数部分为119． 故选：B． 【题型8.分式的加减运算】 【典例】化简的结果为________． 【答案】 【分析】本题考查了同分母分式减法计算．根据同分母分式减法法则计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【跟踪专练1】计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 【跟踪专练2】已知，则实数______． 【答案】 【分析】本题考查分式的加减运算法则，解二元一次方程组，解题的关键是熟练运用分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案．根据分式的加减运算法则以及待定系数法即可求出答案． 【详解】解： ， 由题意可知：， 解得： ∴ 故答案为：． 【跟踪专练3】已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式加法，整式的混合运算，根的判别式等知识点由已知条件，结合代数运算和不等式性质，逐一验证各选项的正确性． 【详解】解：、．显然成立，故该选项不符合题意； 、展开得：，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n同号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个同号根， ∴， ∴， 又∵ ∴，故该选项不符合题意； 、∵，又m，n异号， ∴， ∴m，n是一元二次方程的两个异号根， ∴， ∴，则或, 又∵ 综上可，故该选项符合题意； 故选：D． 【题型9.分式混合运算】 【典例】计算：________． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 【跟踪专练1】若分式化简后的结果为2x，则a表示的式子为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的变形求字母的值，正确地将分式的分子部分进行变形是解决本题的关键； 根据题意列出等式，再进行化简求即可． 【详解】解：由题意得，， ， 故选：D． 【跟踪专练2】化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【跟踪专练3】已知两个不为零的实数满足其中．则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程，完全平方公式的非负性，解题的关键是掌握相应的运算法则，将分式转化成整式方程，利用因式分解法进行求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 【题型10.分式的化简求值】 【典例】已知是方程的一个根，则______． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意，则把代入，得，整理得，再把整理得，然后代入进行计算，即可作答． 【详解】解：∵是方程的一个根， ， 即， ， 则 ， 故答案为：2025． 【跟踪专练1】若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的化简求值等知识﹒把变形为，再依据整体代入即可求解﹒ 【详解】解：∵ ∴﹒ 故选：C 【跟踪专练2】已知，则______． 【答案】4 【分析】本题考查分式的化简求值，掌握整体代入思想是解题的关键． 变形已知条件可得，然后整体代入所求代数式求值即可． 【详解】解：∵， ∴，即． ∴． 故答案为：4． 【跟踪专练3】已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【答案】C 【分析】本题考查分式有意义的条件、分式的化简、通过分式计算即可判断A；根据分式有意义的条件可判断B；通过不等式的性质可判断C，通过分式求值可判断D． 【详解】解：，故A选项错误，不符合题意； 当时，，分式无意义，故B选项错误，不符合题意； 当时，，故C选项正确，符合题意； 当时，，不是正整数，故D选项错误，不符合题意； 故选：C． 【模块四 分式综合创新题】 【题型11.分式规律探究题】 【典例】若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，通过观察数字，分析，归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．分别求出数列的前5个数，得出该数列每4个数为一周期循环，据此可得答案．通过计算序列的前几项，发现序列呈现周期性变化，周期为4，然后根据2026在周期中的位置确定其值． 【详解】解：由题意，， ， ， ， ， 即，因此序列每4项循环一次，周期为4． 由于， 故． 故答案为． 【跟踪专练1】给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式规律问题，确定分别找准分母系数和次数的规律、分子次数规律是解题的关键．分别判断系数，字母之间的关系，即可找出答案． 【详解】解：第一个分式为：， 第二个分式为：， 第三个分式为：， 第四个分式为：， 第五个分式为：， ， 按此规律，那么这列分式中的第n个分式为， 故选：C． 【跟踪专练2】对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算：_______． 【答案】​​​​​​​ 【分析】本题考查分式化简求值及规律，根据，得到，即可得到答案； 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ， 故答案为：； 【跟踪专练3】已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 【题型12.分式新定义问题】 【典例】定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【答案】 【分析】先根据已知条件中的新定义，求出，，再代入，进行约分即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴ ． 【跟踪专练1】定义一种新运算：，，例如：当时，，．下列说法正确的有（   ） ①；②当时，；③当，时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】B 【分析】本题考查了实数的运算，规律型：数字的变化类，①把分别代入求出与的值，代入原式检验即可；②根据的值，求出m的值，代入计算求出的值，即可作出判断；③把各式代入已知等式，相加减求出与的值，代入原式计算得到结果，判断即可． 【详解】解：①当时，，因此该项错误，不符合题意； ②由题意得：，即， 解一元二次方程得， ∴，因此该项错误，不符合题意； ③∵， ∴， 同理可得， ∴得：，即， 得：，即， ∴，因此该项正确，符合题意， 综上，正确的有③，一共1个， 故选：B． 【跟踪专练2】对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 【答案】1013 【分析】本题考查了分式化简求值，新定义下的运算，掌握相应的运算法则是关键．根据定义新运算可得，从而可得，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：∵，， ∴，（x，y不为0）， ∴， ∴． 故答案为：1013． 【跟踪专练3】新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是关键． 对于①，利用多项式的乘法得到和的值，代入表达式求值；对于②，先将表达式化简为关于的表达式，然后配方求最小值． 【详解】①∵，， ∴， ∴，， ∵ ∵，， ∴原式， 故答案为； ② ∵ ∴原式 故答案为． 【题型13.分式阅读理解题】 【典例】对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、的横坐标分别是方程组的解，则的值等于___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减法，解二元一次方程组，以及坐标与图形性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 通过解方程组得到和的表达式，进而得到的距离为，再表示出的和计算求解，即可解题． 【详解】解：， 得，即， 代入①得， 由于为正整数，有， 所以， 则； 故答案为：． 【跟踪专练1】对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了分式的运算和化简以及解分式方程，关键是通过递推计算前3项，发现的循环为3，再结合循环性质分别对三个说法进行验证． ①先根据迭代式推导的表达式，发现，若，则直接得，再代入迭代过程验证，判断该说法是否正确． ②利用循环为3的性质，得、，将转化为；代入和的表达式，解方程求出的值，再验证是否符合条件． ③先计算一个循环的乘积；将除以3得余数为1，确定前项的乘积为；令乘积等于2，解方程求出，进而求出的值，最后验证． 【详解】解：根据题意，，，， 可见3个为循环，即． ①若，因，故． 验证：时，，，，符合条件，①正确． ②若，因，，故． 代入表达式：，解得． 验证：时，，，和为1，符合条件，②正确． ③∵，， ∴， 解得，即，解得，验证符合条件，③正确． 综上，三个说法均正确，共3个． 故选：D． 【跟踪专练2】在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律 ，，，…，，…… ，，，…，，……． ，，，，……．其中n为正整数，以此类推． 以下说法：①； ②； ③当时，； ④当时，． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据题中的操作步骤，可知为正整数）是的倍，是加上，再根据为正整数）与和的关系找出规律，即可解决问题． 【详解】解：由题知， ，为正整数）， 所以． 故①正确． ． 故②错误． 因为， ， ， ， 所以当为奇数，且时，， 当为偶数，且时，． 故③错误． 由上面的结论可知， ． 则， 故， ． 所以 ． 故④正确． 故选：B． 【点睛】本题考查实数的计算规律，能根据所给的等式找到，和的变化规律是解题的关键． 【跟踪专练3】阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为______；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为______． 【答案】 24 120 【分析】本题考查分式的变形（假分式化为整式与真分式和的形式）以及数的整除相关知识，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先将假分式通过对分子变形，化为的形式。 因为假分式值为整数，所以为整数，由此确定是的因数，进而求出的所有可能整数值，最后求和。 设三位数百位数字为（ ），得出，两位数，并计算。 根据能被整除，分析出要能被$12a$整除。 对取值（、、、 ）进行分类讨论，确定满足条件的，最后求和。 【详解】 ， ∵假分式的值为整数， ∴为整数． ∴的值可以为、、、 ． 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． ∴这些整数的和为 ； 设三位数m的百位数字为，则其十位数字为，设个位数字为， ∴；两位数的十位数字是，个位数字是，则． ． ∵能被整除，，， ∴要能被整除． 当时，，时，能被12整除；时，能被12整除． 当时，，时，能被24整除． 当时，，时，能被36整除． 当时，，时，能被48整除． 满足条件的有12、24、36、48，它们的和为． 故答案为：24；120． . 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03分式突破复习讲义 · 分值占比：分式及其运算在中考数学中属必考核心考点，分值约6–10 分，题型覆盖选择、填空、解答（化简求值），属基础得分板块。 · 常考考点：分式相关概念（有意义 / 值为 0）、分式基本性质、约分与通分、分式混合运算、分式化简求值、分式方程及应用。 · 命题难度：基础题为主，侧重基础概念辨析与基本法则应用，中档题侧重运算准确性与格式规范，综合题结合整式运算、整体代入及实际情境建模。 · 命题趋势：基础稳定、稳中求新；以基础运算、概念辨析为主，适度结合生活情境与跨学科素材，注重细节规范与运算严谨性，每年题型稳定、考查持续稳定。 【模块一 分式的概念与意义】....................................3 【题型01 分式有无意义的条件】..................................3 【题型02 分式值为零的条件】....................................3 【题型03 分式的值】............................................3 【模块二 分式的基本性质】......................................4 【题型04 分式的基本性质】......................................4 【题型05 约分与最简分式】......................................4 【题型06 最简公分母与通分 】...................................4 【模块三 分式的运算】..........................................5 【题型07 分式乘除(含乘方)运算】.................................5 【题型08 分式的加减运算】......................................5 【题型09 分式的混合运算】......................................6 【题型10 分式的化简求值】......................................6 【模块四 分式综合创新题】......................................6 【题型11 分式规律探究题】......................................6 【题型12 分式新定义问题】......................................7 【题型13 分式阅读理解题】......................................8 ★知识梳理★ 知识点01:分式的概念 1.分式定义 形如 的式子，其中 A、B 是整式，B 中含有字母且 B0。 整式：单项式、多项式（分母不含字母） 分式：分母含字母 2.分式有意义 分母0 3.分式无意义 分母 =0 4.分式值为 0 分子 =0 且 分母0 知识点02:分式基本性质 · 作用：约分、通分、变形 · 关键：分子、分母同乘 / 同除同一个不为 0 的整式 知识点03:分式的约分与通分 1.约分 把分子、分母的公因式约去，化为最简分式。 步骤：① 分解因式② 找公因式③ 约去公因式 2.通分 把异分母分式化为同分母分式。 步骤：① 找最简公分母（系数取最小公倍数，字母取最高次幂）② 分子、分母同乘适当整式 知识点04:分式的运算 1.乘法：（分子乘分子，分母乘分母） 2.除法：（除以分式 = 乘它的倒数） 3.加减:同分母：± 异分母：先通分 → 再加减 4.乘方：()n= 先乘方 → 再乘除 → 最后加减有括号：先算括号内结果必须最简分式 知识点05:易错点 1.分母不能为 0 2.分式方程必须检验 3.运算中符号错误 4.去分母时漏乘 5.结果未化成最简分式 【模块一 分式的概念与意义】 【题型1.分式有无意义的条件】 【典例】函数中，自变量的取值范围是______． 【跟踪专练1】已知分式（，为常数），的部分取值及对应分式的值如下表，则的值是（   ） 3 无意义 0 2 A． B． C．3 D．4 【跟踪专练2】已知分式（为常数）满足如下表格中的信息，则______，______． 的取值 分式 无意义 值为 【跟踪专练3】使式子有意义的实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2.分式值为零的条件】 【典例】若分式的值为零，则的值为______． 【跟踪专练1】若，则（   ） A．或1 B．0 C． D．1 【跟踪专练2】当________时，分式的值为0． 【跟踪专练3】分式中，当时，下列结论正确的是（ ） A．分式的值为零； B．分式无意义 C．若时，分式的值为零； D．若时，分式的值为零 【题型3.分式的值】 【典例】若，则______． 【跟踪专练1】不等式的解为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】若是关于的方程的两实数根，则的值为_____． 【跟踪专练3】要使式子的值为负整数，则整数的取值为（    ） A．1或2 B．2或3 C． D． 【模块二 分式的基本性质】 【题型4.分式的基本性质】 【典例】如果分式中的，都扩大为原来的倍，那么分式的值（    ） A．不变 B．扩大为原来的倍 C．缩小为原来的 D．缩小为原来的 【跟踪专练1】把电阻值分别为的两电阻并联后接入某电路中，其并联总电阻值（单位：）满足．当时，___________． 【跟踪专练2】已知，那么_________． 【跟踪专练3】已知，，，，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D．以上都有可能 【题型5.约分与最简分式】 【典例】若，则分式的值为______． 【跟踪专练1】分式、、、中，最简分式有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【跟踪专练2】若为实数，分式不是最简分式，则______. 【跟踪专练3】下列分式中，是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【题型6.最简公分母与通分】 【典例】分式和的最简公分母是（   ） A． B． B． C． D． 【跟踪专练1】若将分式与通分，则分式的分子应变为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】分式 ，的最简公分母是_______． 【跟踪专练3】在计算通分时，分母确定为（    ） A． B． C． D． 【模块三 分式的运算】 【题型7.分式乘除(含乘方)运算】 【典例】已知，则整式______． 【跟踪专练1】若分式运算结果为，则在“”中添加的代数式为（   ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】在化简后，要求在，1，0，2中取一个数再求值，只能取_____． 【跟踪专练3】，则的整数部分为（    ） A．118 B．119 C．120 D．121 【题型8.分式的加减运算】 【典例】化简的结果为________． 【跟踪专练1】计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【跟踪专练2】已知，则实数______． 【跟踪专练3】已知，下列结论不正确的是（   ） A． B． C．若m，n同号，则 D．若m，n异号，则 【题型9.分式混合运算】 【典例】计算：________． 【跟踪专练1】若分式化简后的结果为2x，则a表示的式子为（　　） A． B． C． D． 【跟踪专练2】化简____________． 【跟踪专练3】已知两个不为零的实数满足其中．则（    ） A．， B．， C．， D．， 【题型10.分式的化简求值】 【典例】已知是方程的一个根，则______． 【跟踪专练1】若，则分式的值为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】已知，则______． 【跟踪专练3】已知，下列结论正确的是（    ） A．的计算结果为 B．当时， C．当时，的值为负数 D．若为正整数，则可能为3 【模块四 分式综合创新题】 【题型11.分式规律探究题】 【典例】若是不等于2的有理数，则我们把称为的“友好数”．例如：3的“友好数”是．已知，是的“友好数”，是的“友好数”，是的“友好数”……以此类推，则的值是____________． 【跟踪专练1】给定一列分式：，，，，，，…（其中），按此规律，那么这列分式中的第n个分式为（    ） A． B． C． D． 【跟踪专练2】对于正数x，规定．例如：利用以上的规律计算：_______． 【跟踪专练3】已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【题型12.分式新定义问题】 【典例】定义一种新运算*，规定运算法则为，则计算的结果是_______． 【跟踪专练1】定义一种新运算：，，例如：当时，，．下列说法正确的有（   ） ①；②当时，；③当，时，． A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【跟踪专练2】对于任意两个非零实数a、b，定义新运算“*”如下： ．例如： ．若，则的值为_______． 【跟踪专练3】新定义：如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，那么我们把这样的式子称作交换对称式． 例如：，它们都是交换对称式．已知：， ①若，则交换对称式________； ②若，则交换对称式的最小值为________． 【题型13.分式阅读理解题】 【典例】对于正整数n，x轴上有、两点，用表示这两点间的距离，其中、的横坐标分别是方程组的解，则的值等于___________． 【跟踪专练1】对于实数进行如下次操作：；；；；．下列说法：①若，则；②若的值是1，则；③的值为2，则的值为．其中正确的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【跟踪专练2】在数学学习中，复杂的知识往往都是简单的内容通过一定的规则演变而来的．例如，对单项式x进行如下操作：规定，且满足以下规律 ，，，…，，…… ，，，…，，……． ，，，，……．其中n为正整数，以此类推． 以下说法：①； ②； ③当时，； ④当时，． 正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【跟踪专练3】阅读材料：在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，这样的分式就是假分式；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如：，这样的分式就是真分式，假分式可以化为整式与真分式的和的形式，例如： ． 若假分式的值为整数，则符合条件的所有整数的和为______；若一个三位数，十位数字是百位数字的两倍；另一个两位数，十位数字与的百位数字相同，个位数字与的十位数字相同，若这个三位数的平方能被这个两位数整除，则所有满足条件的两位数的和为______． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $