2026年中考数学一轮复习 第03讲 分式 讲义+练习 （2大考点12大题型） 全国通用

第03讲 分式（练习） 1．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 4．（2025·西藏·中考真题）计算：． 5．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 6．（2025·海南·中考真题）（1）计算： （2）解不等式组： 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 9．（2025·四川广元·中考真题）计算：． 10．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 11．（2025·青海·中考真题）计算： 12．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 13．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 14．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式（练习） 1．（2025·四川·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式组：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组、实数的运算、零指数幂及特殊角的三角函数值，熟知实数的运算法则及解一元一次不等式组的步骤是解题的关键． （1）先计算特殊角的三角函数值和零指数幂，再计算绝对值，最后计算加减法即可； （2）先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：（1） ； （2） 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 2．（2025·江苏盐城·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂等知识点，正确计算是解题的关键． 分别计算零指数幂和有理数的乘方，代入特殊角的三角函数值并计算乘法，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）计算：． 【答案】4 【分析】本题考查特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，掌握算理是解决问题的关键．先计算特殊角的三角函数值，零次幂，负指数幂，再进行加减运算即可． 【详解】解：， ， ， ． 4．（2025·西藏·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题主要考查了实数的运算，特殊角的三角函数值，零次幂，平方根等，解题的关键是熟练掌握各运算法则．利用特殊角的三角函数值，零次幂，平方根的运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 5．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查代数式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件：被开方数为非负数，分式有意义的条件：分式的分母不为零，逐一进行判断即可． 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意； 故选B． 6．（2025·海南·中考真题）（1）计算： （2）解不等式组： 【答案】（1）1；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，求不等式组的解集，熟练掌握一元一次不等式组的解法是解答本题的关键． （1）先根据绝对值、零次方的意义，二次根式的性质化简，再算加减； （2）先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分即可得到不等式组的解集． 【详解】解：（1） （2）， 解①得， 解②得， ∴． 7．（2025·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 8．（2025·黑龙江大庆·中考真题）求值：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，零指数幂，熟练掌握运算法则是解题的关键．分别计算算术平方根，零指数幂，化简绝对值，再进行加减计算即可． 【详解】解： ． 9．（2025·四川广元·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数的运算、特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂等知识，先计算特殊角三角函数值、零指数幂、负整数指数幂并化简绝对值，最后根据实数的运算法则求解即可． 【详解】解： ． 10．（2025·青海·中考真题）先化简，再从，，中选一个合适的数代入求值． 【答案】，时，值为，时，值为 【分析】本题考查了分式的化简求值，分式有意义的条件，熟练掌握分式的混合运算法则是解此题的关键． 括号内先通分，再将除法转化为乘法，约分即可化简，再代入合适的值进行计算即可． 【详解】解： 由于， ∴ 把代入 原式 ； 把代入 原式 ． 11．（2025·青海·中考真题）计算： 【答案】 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的混合运算，零指数幂，二次根式的运算等知识点，熟练掌握运算法则是解题的关键． 分别化简二次根式，计算零指数幂，绝对值，代入特殊角的三角函数值并相乘，最后再进行加减计算． 【详解】解： ． 12．（2025·湖南长沙·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，涉及了零指数幂、负整数指数幂，注意计算的准确性即可． 【详解】解：原式 13．（2025·江苏扬州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算、整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）先化简二次根式、计算含特殊角的三角函数值的混合运算和零指数幂，再计算二次根式的混合运算即可得； （2）先计算单项式乘以多项式、同底数幂的除法，再计算整式的加减法即可得． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 14．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式（举一反三复习讲义） 【2大考点12大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 1 考点一 分式的概念和性质 2 【题型1 分式有、无意义的条件】 3 【题型2 分式的值为0的条件】 3 【题型3 分式的值】 4 【题型4 分式的基本性质】 5 【题型5 约分、通分】 5 【题型6 最简分式】 6 考点二 分式的运算 6 【题型7 分式的乘除】 7 【题型8 分式的加减】 8 【题型9 分式的混合运算】 8 【题型10 分式的化简求值】 9 【题型11 分式的最值问题】 9 【题型12 分式与指数幂结合】 10 特色专项练 11 【新考向：新趋势】 11 【新考向：新情境】 12 【新考向：新考法】 13 中考真题练 13 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 分式是中考数学基础核心模块，是整式运算的延伸，也是后续函数、方程等内容的重要铺垫，近4年中考遵循“素养立意”导向，侧重基础、难度适中，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分式部分分值稳定在4～8分，占中考数学总分的5%～7%，属基础必拿分模块，主要分布在选择、填空题，多数地区会在解答题基础问考查分式化简求值，为后续答题铺垫。 （二）考查题型 基础题型（占比70%）：选择、填空题，考查分式的概念、有意义/值为0的条件、最简分式判断，难度极低，侧重基础识记与简单应用； 中档题型（占比25%）：选择、填空、解答题基础问，考查分式化简、约分通分、分式方程的解法及检验，侧重运算能力与规范意识； 创新题型（占比5%）：偶尔出现，结合实际情境（如工程、行程问题）命题，核心仍围绕分式运算与方程，侧重应用能力。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：分式有意义、值为0的条件，最简分式、分式的基本性质； 必考考点：分式化简求值、分式方程的解法与检验（检验是高频易错点）； 高频综合考点：分式与整式、因式分解的结合，分式方程的简单实际应用。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持基础为主，难度稳定，无偏题怪题，侧重基础掌握与运算规范； 题型变化：情境化命题增多，分式方程多结合实际问题考查，分式与因式分解、整式的综合考查频率上升； 易错导向：重点考查分式有意义的条件、分式方程检验、运算符号等易错点，强化规范训练。 （五）复习建议 1. 夯实基础：牢记分式核心概念与性质，明确分式有意义、值为0的条件； 2. 强化运算：规范分式化简、方程解法步骤，重点落实分式方程检验环节； 3. 聚焦高频：结合真题专项训练化简求值、分式方程应用，总结解题技巧； 4. 关注易错：整理错题，规避符号、检验等常见错误，适应情境化命题趋势。 考点一 分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【题型1 分式有、无意义的条件】 【例1】．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【变式1-1】．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】．（2021·湖南怀化·中考真题）函数中，自变量的取值范围是______． 【变式1-3】．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数的取值范围是____． 【题型2 分式的值为0的条件】 【例2】．（2024·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为______． 【变式2-1】．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【变式2-2】．（2010·新疆乌鲁木齐·中考真题）若分式的值为零，则x的值为______． 【变式2-3】．（2015·江苏镇江·中考真题）当x等于______时，分式的值为0． 【题型3 分式的值】 【例3】．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【变式3-1】．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【变式3-2】．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【变式3-3】．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【题型4 分式的基本性质】 【例4】．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】．（2019·海南·中考真题）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是_____，这2019个数的和是_____． 【变式4-2】．（2019·江苏扬州·中考真题）分式可变形为(   ) A． B．- C． D． 【变式4-3】（2013·山东淄博·中考真题）下列运算错误的是 A． B． C． D． 【题型5 约分、通分】 【例5】．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【变式5-1】．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【变式5-2】．（2019·山东临沂·中考真题）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【变式5-3】．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知，是方程的两根，则_________． 【题型6 最简分式】 【例6】．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【变式6-1】．（2025·河北沧州·模拟预测）关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．11 C．10 D．5 【变式6-2】．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【变式6-3】．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 考点二 分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型7 分式的乘除】 【例7】．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【变式7-1】．（2025·内蒙古·中考真题）计算： (1)； (2)． 【变式7-2】．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式7-3】．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型8 分式的加减】 【例8】．（2016·山东青岛·中考真题）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【变式8-1】．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【变式8-2】．（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 【变式8-3】．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【题型9 分式的混合运算】 【例9】．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【变式9-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【变式9-2】．（2025·四川·中考真题）化简：． 【变式9-3】．（2025·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【题型10 分式的化简求值】 【例10】．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【变式10-1】．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【变式10-2】．（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【变式10-3】．（2024·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【题型11 分式的最值问题】 【例11】．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，其对称轴为直线．设是二次函数的图象与轴交点的横坐标，． (1)求，的值； (2)以下结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【变式11-1】．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【变式11-2】．（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式11-3】．（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【题型12 分式与指数幂结合】 【例12】．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【变式12-1】．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【变式12-2】．（2020·上海·中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|． 【变式12-3】．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 【例12】．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【变式12-1】．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【变式12-2】．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 【变式12-3】．（2025·贵州遵义·一模）（1）计算：； （2）从以下3个代数式中选取2个式子用“”组成一元二次方程，并求解： ①，②，③． 特色专项练 【新考向：新趋势】 1．（2025·辽宁·一模）计算：______． 2．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 3．（18-19八年级上·江西南昌·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【新考向：新情境】 1．（21-22八年级下·重庆北碚·期末）已知a1、a2、a3、an，… (n为正整数)满足an+1＝，则下列说法： ①a1a2a3＝1； ②a5＝a20； ③若a1＝﹣，则＝912m+586n； ④若a1＝x，y＝pa1a3﹣ (p为非零常数)，当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同； 则p的最小值为﹣3；其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b =_______． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【新考向：新考法】 1．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏南通·中考真题）（1）解不等式组； （2）计算． 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 中考真题练 1．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 2．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 3．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 4．（2025·四川德阳·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 5．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 6．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 7．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 8．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 9．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 11．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 12．（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式（举一反三复习讲义） 【2大考点12大题型】 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 1 考点一 分式的概念和性质 2 【题型1 分式有、无意义的条件】 3 【题型2 分式的值为0的条件】 4 【题型3 分式的值】 6 【题型4 分式的基本性质】 9 【题型5 约分、通分】 11 【题型6 最简分式】 14 考点二 分式的运算 17 【题型7 分式的乘除】 18 【题型8 分式的加减】 20 【题型9 分式的混合运算】 22 【题型10 分式的化简求值】 24 【题型11 分式的最值问题】 26 【题型12 分式与指数幂结合】 29 特色专项练 34 【新考向：新趋势】 34 【新考向：新情境】 36 【新考向：新考法】 39 中考真题练 40 中考考情分析（结合2023-2026年中考趋势） 分式是中考数学基础核心模块，是整式运算的延伸，也是后续函数、方程等内容的重要铺垫，近4年中考遵循“素养立意”导向，侧重基础、难度适中，具体考情总结如下： （一）考查分值 全国各省市中考中，分式部分分值稳定在4～8分，占中考数学总分的5%～7%，属基础必拿分模块，主要分布在选择、填空题，多数地区会在解答题基础问考查分式化简求值，为后续答题铺垫。 （二）考查题型 基础题型（占比70%）：选择、填空题，考查分式的概念、有意义/值为0的条件、最简分式判断，难度极低，侧重基础识记与简单应用； 中档题型（占比25%）：选择、填空、解答题基础问，考查分式化简、约分通分、分式方程的解法及检验，侧重运算能力与规范意识； 创新题型（占比5%）：偶尔出现，结合实际情境（如工程、行程问题）命题，核心仍围绕分式运算与方程，侧重应用能力。 （三）高频考点（2023-2026年重点） 核心基础考点：分式有意义、值为0的条件，最简分式、分式的基本性质； 必考考点：分式化简求值、分式方程的解法与检验（检验是高频易错点）； 高频综合考点：分式与整式、因式分解的结合，分式方程的简单实际应用。 （四）命题趋势（2026年中考预测） 整体导向：保持基础为主，难度稳定，无偏题怪题，侧重基础掌握与运算规范； 题型变化：情境化命题增多，分式方程多结合实际问题考查，分式与因式分解、整式的综合考查频率上升； 易错导向：重点考查分式有意义的条件、分式方程检验、运算符号等易错点，强化规范训练。 （五）复习建议 1. 夯实基础：牢记分式核心概念与性质，明确分式有意义、值为0的条件； 2. 强化运算：规范分式化简、方程解法步骤，重点落实分式方程检验环节； 3. 聚焦高频：结合真题专项训练化简求值、分式方程应用，总结解题技巧； 4. 关注易错：整理错题，规避符号、检验等常见错误，适应情境化命题趋势。 考点一 分式的概念和性质 1、分式的定义 一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做分式。 注：A、B都是整式，B中含有字母，且B≠0。 2、分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变。 ；（C≠0）。 3、分式的约分和通分 定义1：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分。 定义2：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 定义3：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分。 定义4：各分母的所有因式的最高次幂的积叫做最简公分母。 【题型1 分式有、无意义的条件】 【例1】．（2025·四川德阳·中考真题）函数中自变量的取值范围是_____． 【答案】 【分析】此题考查分式有意义的条件，熟练掌握分式的分母不为零是解题的关键． 根据分式有意义的条件，分母不能为零，从而确定x的取值范围． 【详解】解：使分式有意义的条件是分母不为0， 因此， 解得． 故答案为：． 【变式1-1】．（2025·江苏南京·中考真题）要使分式有意义，字母，须满足（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握相关知识是解决问题的关键．分式有意义的条件是分母不为零，因此只需考虑分母 . 【详解】∵ 分式 有意义需分母 ， ∴ ， 故选： A． 【变式1-2】．（2021·湖南怀化·中考真题）函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】且 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，解不等式组即可求解，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由得， 解得：且， 故答案为：且． 【变式1-3】．（2024·安徽·中考真题）若分式有意义，则实数的取值范围是____． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，掌握分式有意义的条件是分母不等于零是解题的关键． 分式有意义的条件是分母不等于零，直接求取值范围即可． 【详解】解：要使分式 有意义， 则分母． 即． 故答案为：． 【题型2 分式的值为0的条件】 【例2】．（2024·甘肃甘南·中考真题）若分式的值为0，则x的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，解题的关键是掌握分式值为零的条件．已知分式的值为零，可得分子为零，分母不为零，即可求解． 【详解】解：分式的值为， ， 解得：， 故答案为：． 【变式2-1】．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 【变式2-2】．（2010·新疆乌鲁木齐·中考真题）若分式的值为零，则x的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 【变式2-3】．（2015·江苏镇江·中考真题）当x等于______时，分式的值为0． 【答案】1 【分析】本题考查分式值为0的条件．根据分式值为0的条件可得到：且，解方程和不等式可得到满足题意的的值． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴且， ∴， 故答案为：1． 【题型3 分式的值】 【例3】．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 【变式3-1】．（2025·云南·中考真题）已知是常数，函数，记． (1)若，，求的值； (2)若，，比较与的大小． 【答案】(1)的值为； (2)当时，；当时，． 【分析】本题考查了分式求值，等式的性质，函数求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）把，代入函数即可求解； （）将，代入函数整理得，然后分当时，即和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）解：把，代入函数得， ， ∴的值为； （2）解：将，代入函数得， ， 整理得：， 当时，即， ∴， 当时，， 则有，， ， ∴ ， 综上可知：当时，；当时，． 【变式3-2】．（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 【变式3-3】．（2024·四川雅安·中考真题）已知．则（    ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】本题考查的是条件分式的求值，由条件可得，再整体代入求值即可； 【详解】解：∵， ∴， ∴ ； 故选C 【题型4 分式的基本性质】 【例4】．（2020·河北·中考真题）若，则下列分式化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据a≠b，可以判断各个选项中的式子是否正确，从而可以解答本题． 【详解】∵a≠b， ∴，选项A错误； ，选项B错误； ，选项C错误； ，选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查分式的混合运算，解答本题的关键是明确分式混合运算的计算方法． 【变式4-1】．（2019·海南·中考真题）有2019个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数是0，第二个数是1，那么前6个数的和是_____，这2019个数的和是_____． 【答案】 0 2 【分析】根据题意可以写出这组数据的前几个数，从而可以数字的变化规律，本题得以解决 【详解】． 解：由题意可得， 这列数为：0，1，1，0，﹣1，﹣1，0，1，1，…， 前6个数的和是：， ， 这2019个数的和是：， 故答案为0，2． 【点睛】本题考查数字的变化类，解答本题的关键是明确题意，发现题目中数字的变化规律，每六个数重复出现． 【变式4-2】．（2019·江苏扬州·中考真题）分式可变形为(   ) A． B．- C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的基本性质逐项进行判断即可. 【详解】A. ≠，故A选项错误； B. -=≠，故B选项错误； C. =-，故C选项错误； D. ==，故D选项正确， 故选D. 【点睛】本题考查了分式的性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变． 【变式4-3】（2013·山东淄博·中考真题）下列运算错误的是 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】试题分析：根据分式的运算法则逐一计算作出判断： A． ，计算正确； B． ，计算正确； C．，计算正确； D．，计算错误． 故选D． 【题型5 约分、通分】 【例5】．（2025·四川乐山·中考真题）计算：的结果为（   ） A． B． C． D．1 【答案】D 【分析】本题主要考查了异分母分式加法，先把异分母分式转化成同分母分式进行运算，再约分即可得出答案． 【详解】解： 故选：D 【变式5-1】．（2023·广东广州·中考真题）已知，代数式：，，． (1)因式分解A； (2)在A，B，C中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式，并化简该分式． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）先提取公因式，再根据平方差公式进行因式分解即可； （2）将选取的代数式组成分式，分子分母进行因式分解，再约分即可． 【详解】（1）解：； （2）解：①当选择A、B时： ， ； ②当选择A、C时： ， ； ③当选择B、C时： ， ． 【点睛】本题主要考查了因式分解，分式的化简，解题的关键是掌握因式分解的方法和步骤，以及分式化简的方法． 【变式5-2】．（2019·山东临沂·中考真题）计算的正确结果是(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先将后两项结合起来，然后再化成同分母分式，按照同分母分式加减的法则计算就可以了． 【详解】原式 . 故选B． 【点睛】本题考查分式的通分和分式的约分的运用，解题关键在于在解答的过程中注意符号的运用及平方差公式的运用． 【变式5-3】．（2023·江苏苏州·模拟预测）已知，是方程的两根，则_________． 【答案】 【分析】此题考查了一元二次方程的根与系数的关系，分式的求值，熟练掌握一元二次方程的根与系数关系的内容是解题的关键． 首先求出，，然后将通分后整体代入求解即可． 【详解】解：∵，是方程的两根， ∴，， ． 故答案为：． 【题型6 最简分式】 【例6】．（2025·河北石家庄·三模）如图，数学老师写了一个运算过程，为一个含的代数式．      (1)求（要求化为最简形式）； (2)的值可能等于吗？请说明理由． 【答案】(1) (2)的值不能等于，理由见解析 【分析】本题考查分式的混合运算，解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）由题意可得，将除法化为乘法并约分即可； （2）根据（1）中所求列得方程，解方程并检验即可． 【详解】（1）解：； （2）解：的值不能等于，理由如下： 若， 去分母得：， 解得：， 当时，，分式无意义， ∴的值不能等于． 【变式6-1】．（2025·河北沧州·模拟预测）关于的不等式组的所有整数解的和为5，且关于的一元一次方程的解大于1，则满足条件的所有整数的和是（　　） A．12 B．11 C．10 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的整数解、解一元一次方程、分式的化简，熟练掌握相关知识点是解题的关键．解不等式组得，根据不等式组的所有整数解的和为5，得出或；解一元一次方程得，根据方程的解大于1，得出且，结合两个结果得出的取值范围，再列举出满足条件的所有整数即可求解． 【详解】解：解不等式组得， 不等式组的所有整数解的和为5， 可取2或3，亦可取，0，1，2，3， 或， 或； 解一元一次方程得， 由题意，得， ， ， 且， 或且． 是整数， 可取4，5，6或， ， 满足条件的所有整数的和是12． 故选：A． 【变式6-2】．（2025·广东广州·一模）已知，，有三个代数式：，，． (1)因式分解； (2)在，，中任选两个代数式，分别作为分子、分母，组成一个分式并化简． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了分解因式，化简分式： （1）提取公因式，再利用平方差公式分解即可； （2）分选择A、B，选择A、C，选择B、C三种情况，把选择的两个式子分别作为分子和分母组成分式，再化简分式即可． 【详解】（1）解：； （2）解：选择A、B，则所得分式为或； 选择A、C，则所得分式为或； 选择B、C，则所得分式为或． 【变式6-3】．（24-25八年级上·内蒙古呼和浩特·期末）下列各式中，是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简分式，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较容易忽视的问题．在解题中一定要引起注意，根据最简分式的定义解答即可． 【详解】解：A． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； B． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； C． ，不是最简分式，故该选项不符合题意； D． ，是最分式，故该选项符合题意； 故选：D． 考点二 分式的运算 1、分式的乘除 ①乘法法则：。分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 ②除法法则：。分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 ③分式的乘方：。分式乘方要把分子、分母分别乘方。 ④整数负指数幂：。 2、分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减。 ①同分母分式的加减：； ②异分母分式的加法：。 注：不论是分式的哪种运算，都要先进行因式分解。 【题型7 分式的乘除】 【例7】．（2025·四川攀枝花·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘法，熟练掌握分式的乘法运算法则是解题的关键． 根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式7-1】．（2025·内蒙古·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查实数的混合运算，涉及算术平方根，绝对值，还考查了分式的乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简绝对值和算术平方根，再进行计算即可； （2）利用分式的乘法的运算法则化简即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式7-2】．（2025·山东威海·中考真题）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方计算，幂的乘方计算，同底数幂除法计算，分式的乘除法计算，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式7-3】．（2025·安徽·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把两个分式的分母分解因式，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型8 分式的加减】 【例8】．（2016·山东青岛·中考真题）（1）化简：； （2）解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】（1）；（2）不等式组的解集为，整数解为，0，1 【分析】本题考查了分式的加减、求不等式组的解集、求不等式组的整数解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据分式的加减运算法则计算即可； （2）分别求出各不等式的解集，求出它们的公共部分得到不等式组的解集，即可得到不等式组的整数解． 【详解】解：（1） ； （2）解不等式①得，， 解不等式②得，， ∴不等式组的解集为， ∴它的整数解为，0，1． 【变式8-1】．（2025·山东潍坊·中考真题）计算的结果是（　　） A．1 B． C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查分式的加法运算，将分母化为同分母，再根据同分母分式的运算法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故选B． 【变式8-2】．（2024·青海西宁·中考真题）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的加减运算，掌握分式的加减运算法则成为解题的关键． 先通分，然后再按同分母分式加减法计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式8-3】．（2025·天津·中考真题）计算的结果等于（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】本题考查分式的加法运算，先通分化为同分母，再进行计算，最后约分化简即可． 【详解】解：原式 ； 故选A． 【题型9 分式的混合运算】 【例9】．（2025·山东东营·中考真题）化简____________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算． 先对括号内的表达式进行通分相加，然后将除法运算转化为乘法运算，利用平方差公式分解因式并约分即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式9-1】．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 【变式9-2】．（2025·四川·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 【变式9-3】．（2025·江苏徐州·中考真题）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是零次幂，负整数指数幂的含义，立方根的含义，分式的混合运算； （1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，立方根，再合并即可； （2）先计算括号内分式的加法运算，再计算除法运算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型10 分式的化简求值】 【例10】．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，二次根式的混合运算，先通分计算括号内，除法变乘法，约分化简后，代值计算即可，熟练掌握分式的混合运算法则，二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式． 【变式10-1】．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 【变式10-2】．（2025·江苏无锡·中考真题）先化简，再求值：．其中． 【答案】，2 【分析】本题考查了分式化简求值；先计算同分母分式加法，将分子进行因式分解，再进行约分化简，然后代值计算，即可求解． 【详解】解： ， 将代入，得： 原式． 【变式10-3】．（2024·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了分式化简求值，熟练掌握分式混合运算法则，是解题的关键．先根据分式混合运算法则进行化简，然后代入数据进行求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【题型11 分式的最值问题】 【例11】．（2025·云南·模拟预测）已知二次函数的图象经过点，其对称轴为直线．设是二次函数的图象与轴交点的横坐标，． (1)求，的值； (2)以下结论：，，，你认为哪个正确？请说明理由． 【答案】(1) (2)正确，见解析 【分析】（1）根据图象经过点，对称轴公式求出a的值即可； （2）由（1）知，该二次函数的解析式为，从而得到，进而得到，，再代入化简，即可． 【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，对称轴为直线， ， 解得； （2）解：正确，理由如下： 由（1）知，该二次函数的解析式为， 是二次函数的图象与轴交点的横坐标， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ， ， 即． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，函数的交点坐标的含义，分式的化简求值，分式的值的大小比较，灵活的运用以上知识解题是关键． 【变式11-1】．（24-25九年级下·河北邯郸·开学考试）若a为正整数，下列关于分式的值的结论正确的是（   ） A．有最大值是2 B．有最大值是 C．有最小值是1 D．有最小值，没有最大值 【答案】B 【分析】本题考查了分式的求值，先把化简，再根据分式的特点分析即可． 【详解】解：， 分式要有意义， ， 且， a为正整数， ∴a的最小值为2． 分式的值随着a的值的增大而减小， ∴当a取最小整数2时，原式有最大值，最大值，且原分式无最小值． 故选：B． 【变式11-2】．（25-26九年级上·北京顺义·期末）已知，为正实数，则的最小值为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】本题考查基本不等式的运用，掌握基本不等式公式是解题的关键． 先将原式拆分并化简，再利用正实数的基本不等式（当且仅当时取等号）求解最小值． 【详解】解：∵，为正实数， ∴原式可拆分化简为：， ∵正实数，满足， 令，， 则， 当且仅当，即时取等号， ∴， 即原式的最小值为9， 故选D． 【变式11-3】．（25-26八年级上·山东威海·期末）分式的最大值是（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查分式的最值，利用完全平方公式，求出分母的最小值，进而求出分式的最大值即可． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴的最小值为4， ∴分式的最大值是； 故选：C． 【题型12 分式与指数幂结合】 【例12】．（25-26九年级上·山东菏泽·期末）（1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）2；（2）， 【分析】（1）根据负整数指数幂，零指数幂，特殊角的三角函数值，化简绝对值，化简二次根式，进行计算即可求解； （2）根据配方法进行计算即可求解． 【详解】（1）解：原式． （2）， ， ，即，    ，． 【变式12-1】．（2025·陕西·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算，负整数指数幂，先运算乘法，乘方，负整数指数幂，再运算加减法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式12-2】．（2020·上海·中考真题）计算：+﹣()﹣2+|3﹣|． 【答案】0． 【分析】利用分数的指数幂的意义，分母有理化，负指数幂的意义，绝对值的性质计算后合并即可． 【详解】原式=+ ﹣4+3﹣ =3+﹣4+3﹣ =0． 【点睛】本题考查了分数指数幂的运算，负指数幂的运算，绝对值的意义以及分母有理化运算，熟练掌握实数的运算法则是解题的关键． 【变式12-3】．（2025·四川成都·二模）计算与解不等式组 (1)计算：； (2)解不等式组： 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的知识点是求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值、实数的混合运算、解一元一次不等式组，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）先根据求一个数的立方根、负整数指数幂、零指数幂、求一个数的绝对值计算，再结合实数的混合运算法则即可得解； （2）分别解出不等式①、②后，找出共同解集即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：解不等式①，， ， 得， 解不等式②，， 得， 不等式组的解集为． 【例12】．（2025·宁夏·中考真题）一个数学游戏规则是：如图，在以同一点为位似中心的三个位似三角形的顶点处任意填入9个不同的数，使每个三角形的三个顶点与同一直线上的三个顶点的三个数之和均相等，则____． 【答案】 【分析】此题考查了二元一次方程组和零指数幂等知识，根据题意得到关于的方程组，求出，根据零指数幂即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，， 解得， ∴， 故答案为： 【变式12-1】．（2025·四川广元·中考真题）幻方的历史悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”中．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①），将9个数填在（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图②的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则________． 【答案】1 【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）以及有理数的乘方运算．解题的关键是通过设定幻和为S，用字母表示未知格子的数字，再利用幻和相等的性质建立方程，进而求解出字母x、y的值． 【详解】解：设三阶幻方的幻和为（即每行、每列、每条对角线的数字之和均为． 设三阶幻方的9个数字分别为： y 2 x a b 根据“每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，和均为S”，可得： 解①得，解②得：，则 再代入①得： ． 故答案为：1． 【变式12-2】．（2025·江苏扬州·中考真题）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【变式12-3】．（2025·贵州遵义·一模）（1）计算：； （2）从以下3个代数式中选取2个式子用“”组成一元二次方程，并求解： ①，②，③． 【答案】（1）6；（2）选①与②，，或选②与③，， 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算，一元二次方程的解法． （1）先化简二次根式，负整数指数幂，绝对值，乘方运算，再合并即可． （2）分两种情况，选①与②或②与③，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）选①与②，得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 选②与③，得：， ∴， ∴， ∴或， 解得：，． 特色专项练 【新考向：新趋势】 1．（2025·辽宁·一模）计算：______． 【答案】 【分析】本题考查同分母分式的加法运算，直接合并分子即可． 【详解】． 故答案为：． 2．（2025·河北唐山·三模）有一道习题的解答过程如图所示，其中A是整式． 习题：计算 解：原式 …… (1)求整式A； (2)写出原习题正确的解答过程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的混合运算，解题的关键是掌握分式的基本性质． （1）根据分式的基本性质即可求解； （2）先通分，化简后，计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：原式 ． 3．（18-19八年级上·江西南昌·期末）阅读下面材料： 一个含有多个字母的式子中，如果任意交换两个字母的位置，式子的值都不变，这样的式子就叫做对称式，例如：，，，…含有两个字母，的对称式的基本对称式是和，像，等对称式都可以用，表示，例如：． 请根据以上材料解决下列问题： (1)式子：①，②，③，④中，属于对称式的是　 　(填序号) (2)已知． ①若，求对称式的值 ②若，求对称式的最大值 【答案】（1）①③④；（2）①12，②-2． 【分析】（1）根据新定义的“对称式”的意义进行判断，做出选择， （2）已知．则，， ①，，利用整式变形可求出的值； ②时，即，由可以求出的最大值； 【详解】解：（1）根据“对称式”的意义，得①③④是“对称式”， 故答案为：①③④， （2）①． ，， ①当，时，即，， ， ②当时，即 ， 所以当m=0时，有最大值-2， 故代数式的最大值为． 【点睛】本题考查“新定义”的意义、整式、分式的变形以及求代数式的最值的等知识，理解“新定义”的意义和最值的意义是解决问题的关键． 【新考向：新情境】 1．（21-22八年级下·重庆北碚·期末）已知a1、a2、a3、an，… (n为正整数)满足an+1＝，则下列说法： ①a1a2a3＝1； ②a5＝a20； ③若a1＝﹣，则＝912m+586n； ④若a1＝x，y＝pa1a3﹣ (p为非零常数)，当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同； 则p的最小值为﹣3；其中正确的个数为（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】由所给的式子分别求出，，a4＝a1，从而确定式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1；再进行判断即可． 【详解】解：①，， ∴a1a2a3＝﹣1，故①不正确； ②， ∴每3个结果循环一次， ∵20÷3＝6…2，5÷3＝1…2， ∴a5＝a20，故②正确； ③∵a1＝﹣， ∴a2＝，a3＝3， ∴a1+a2+a3＝， ∴a1m+a2m+⋯+a864m+a865n+a866n+⋯+a1421n ＝m(a1+a2+⋯+a864)+n(a865+⋯+a1421) ＝m(×288)+n(×186﹣3) ＝912m+586n，故③正确； ④y＝pa1a3﹣＝pa1a3﹣＝p×﹣， ∵a1＝x， ∴a2＝， ∴y＝p(x﹣1)﹣x2， ∵当x的值取m2和2m﹣2时，y的值相同， ∴p(m2﹣1)﹣m4＝p(2m﹣2﹣1)﹣(2m﹣2)2， 解得p＝(m+1)2﹣3， ∴当m＝﹣1时，p有最小值为﹣3，当m＝1，a1＝1，此时a2无意义故④不正确； 综上分析可知，②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查数字的变化规律，通过所给的式子，探索出式子的循环规律，并得到a1a2a3＝﹣1是解题的关键． 2．（23-24七年级上·上海松江·期末）我们知道假分数可以化成整数或者整数与真分数的和的形式．如果一个分式的分子的次数大于或等于分母的次数，那么这个分式可以化成一个整式或整式与“真分式”的和的形式．（我们规定：分子的次数低于分母的次数的分式称为“真分式”）． 如；又如：．若可以写成一个整式与“真分式”的和的形式，则a＋b =_______． 【答案】 【分析】由真分式的定义得的结果是整式，对此进行化简得，要使其为整式、需满足的条件，即可求解． 【详解】解：由题意得 是整式， ，， ； 故答案：． 【点睛】本题考查了新定义，分式的减法，求代数式值，理解新定义，根据新定义将问题转化为分式的减法运算是解题的关键． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 【新考向：新考法】 1．（2025·江苏淮安·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了幂的运算，负整数指数幂，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的除法运算法则、幂的乘方运算法则、合并同类项法则分别判断即可． 【详解】解：A、，正确，故本选项符合题意； B、，原选项错误，故本选项不符合题意； C、与不是同类项，不能合并，原选项错误，故本选项不符合题意； D、，原选项错误，故本选项不符合题意； 故选：A． 2．（2025·江苏南通·中考真题）（1）解不等式组； （2）计算． 【答案】（1）；（2）． 【分析】（1）分别求解不等式组中两个不等式，再取它们的公共部分得到解集； （2）先对括号内式子通分相加，再对分子因式分解，然后通过约分计算出结果 ． 本题主要考查了一元一次不等式组的解法以及分式的混合运算，熟练掌握解不等式的步骤、分式运算的通分、因式分解和约分是解题的关键． 【详解】解：（1） 解不等式得： 解不等式得： 故原不等式组的解集为； （2）原式 3．（2025·黑龙江大庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 中考真题练 1．（2025·宁夏·中考真题）化简求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是先通过通分、因式分解等方法化简分式，再代入数值计算． 先对括号内的分式进行通分，计算减法；将除法转化为乘法，并对分子分母进行因式分解；约分后得到最简分式；最后将代入最简分式，求出结果． 【详解】 当时，原式． 2．（2025·四川广元·中考真题）（1）请从①、②两个小题中任选一个作答． ①解方程：； ②解不等式组：． （2）先化简，再求值：，其中x的值是（1）中的正整数解． 【答案】（1）①；②；（2）， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元一次不等式组，分式的化简求值，熟知相关计算法则是解题的关键． （1）①利用十字相乘法把方程左边分解因式，进而得到两个一元一次方程，解方程即可得到答案； ②先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可； （2）先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后根据所求的正整数解，代入计算即可． 【详解】解：（1）①∵， ∴， ∴或， 解得； ② 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∴原不等式组的解集为； （2） ， 由（1）①可得，则原式， 由（1）②可得，则原式． 3．（2025·福建·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象过点． (1)求的值； (2)已知二次函数的最大值为． ①求该二次函数的表达式； ②若为该二次函数图象上的不同两点，且，求证：． 【答案】(1) (2)①；②见解析 【分析】本题考查了二次函数表达式、二次函数的图象与性质、一元二次方程． （1）根据二次函数的对称性求解即可； （2）①先求出顶点坐标，然后根据最大值为列方程求解即可； ②先根据二次函数的对称性求出，然后把通分后代入即可求解． 【详解】（1）解：二次函数的图象的对称轴为． 因为点在该函数的图象上， 所以， 所以， 所以． （2）①由（1）可得，， 所以该函数的表达式为， 函数图象的顶点坐标为． 因为函数的最大值为， 所以，且， 解得，或（舍去）． 所以该二次函数的表达式为． ②因为点在函数的图象上， 所以． 由①知，点关于直线对称，不妨设， 则，即． 所以 ， 所以． 4．（2025·四川德阳·中考真题）（1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）；（2），． 【分析】本题考查了实数的混合运算，分式的化简求值，掌握相关运算法则是解题的关键． （）先根据负整数指数幂，二次根式性质，化简绝对值法则进行运算，然后合并即可； （）先计算括号内的分式减法运算，然后计算分数乘法即可． 【详解】（）解：原式 ； （）解：原式 ， 当时， 原式 ． 5．（2025·江西·中考真题）（1）计算：； （2）如图，已知点C在上，，．求证：． 【答案】（1）5；（2）见解析 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，零次幂以及绝对值和相反数的性质． （1）根据绝对值和相反数的性质，零次幂的性质化简，再计算即可求解； （2）根据平行线的性质求得，等量代换得到，再利用平行线的判定定理即可得到． 【详解】（1）解： ； （2）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 6．（2025·四川眉山·中考真题）先化简，再求值：．其中x、y满足 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先把小括号内的式子通分化简，再把除法变成乘法后约分化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴原式． 7．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 8．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 9．（2025·重庆·中考真题）若实数x，y同时满足，，则的值为__________． 【答案】 【分析】本题考查绝对值的非负性，解一元一次方程，负整数指数幂，根据绝对值的非负性，得到，，进而得到，进而得到关于的一元一次方程，求出的值，进而求出的值，再根据负整数指数幂的法则，进行计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， ∴， 当时，方程无解， 当时，， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 10．（2011·辽宁本溪·中考真题）函数中的自变量x的取值范围__________． 【答案】 【分析】根据分式的意义，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：x-4≠0， 解得：x≠4． 故答案为x≠4． 【点睛】本题考查了函数自变量的范围，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 11．（2025·江苏南京·中考真题）的算术平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根，负指数幂，解题的关键是掌握算术平方根的定义．利用算术平方根的定义解答． 【详解】解：的算术平方根是， 故选：B． 12．（2025·山东滨州·中考真题）（1）计算：； （2）解不等式：． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了实数的混合运算，解一元一次不等式，掌握相关运算法则和解法是解题关键． （1）先计算零指数幂、立方根和除法，再计算加减法即可； （2）依次去括号、移项、合并同类项、系数化1，即可解不等式． 【详解】解：（1） （2） 去括号，得， 移项，合并同类项，得， 系数化1，得． 第1页，共3页 第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $