第03讲 分式与二次根式（4命题点+9题型+3突破）（复习讲义）（四川成都专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习资料聚焦“分式与二次根式”核心模块，覆盖分式概念与性质、运算、化简求值，二次根式概念、性质、混合运算及规律探索、实际应用等中考高频考点，通过知识导航构建网络，考点解析分题型突破，形成系统性知识架构。教学流程设计从考情剖析明确命题趋势，到命题洞悉结合真题归纳方法，再到重难突破攻克规律探索等难点，配合分层练习实现针对性复习。 亮点在于“考情-知识-题型-突破-练习”的闭环教学策略，如分式规律探索中通过埃及分数拆分培养抽象能力与创新意识，二次根式运算结合实际情境提升应用意识。特设基础巩固、能力提升、全国新趋势三级练习，配合真题限时训练，帮助学生高效提升运算能力与应考技巧，教师可据此精准把控复习节奏，实现高效备考。

第一章 数与式 第3讲 分式与二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 分式的相关概念与性质 题型01 分式的相关概念 题型02 分式的基本性质 题型03 最简分式与最简公分母辨析 命题点二 分式的混合运算 题型01 分式的运算 题型02 分式的化简与求值 命题点三 二次根式的相关概念与性质 题型01 二次根式的相关概念 题型02 二次根式的性质 命题点四 二次根式的混合运算 题型01 二次根式的运算 题型02 二次根式的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 分式的规律探索 突破二 分式运算与实际应用 突破三 二次根式的运算与实际应用 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式 成都卷 T14 成都卷 T14 成都卷 T14 了解二次根式、最简二次根式的概念。 了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 分式及运算 成都卷 T9 （分式性质） 成都卷 T23 （分式规律探究） 成都卷 T12 （分式性质+概率） 成都卷T19 （分式化简求值） 理解分式的概念，掌握分式有意义的条件（分母不为零）；掌握分式的基本性质，能利用性质进行分式的变形、约分、通分；掌握分式的乘除、加减、混合运算法则，能进行简单的分式运算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查分式及化简求值、二次根式的相关运算，题型一般以选填题和计算题为主，分值在8分左右。成都中考除了解答题14题考查实数的相关运算中有一个关于二次根式的运算，其他时候主要在其他考点（如解方程、勾股定理相关计算等）中会用到相关运算，但很少直接考查二次根式的运算；分式及化简求值，从2022年中考考试改革后主要以填空题的形式直接考查分式的化简求值。 考点一 分式的相关概念与性质 （1）分式的概念： 如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A为分子，B为分母。 （2）对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0； ④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。 （3）分式的基本性质：分式的分子与分母都 乘以（或除以） 同一个 不等于零的整式 ，分式的值 不变 。 用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。 （4）约分及约分法则 1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 约分 。 2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。 （5）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 最简分式 。 （6）通分及通分法则 1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 通分 。 2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 最简公分母 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。 （7）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 最小公倍数 与所有字母因式的最高次幂的 积 作为公分母，这样的分母叫做 最简公分母 。 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 考点二 分式的混合运算 （1）分式的加减 ①同分母法则： 分母不变，分子相加减 。用式子表示：。 ②异分母法则：先通分，变为 同分母的分式 ，然后再加减。用式子表示为：。 （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示： 。 （3.分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。用式子表示： 。 （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数， 。 （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 1．（2025·四川成都·二模）计算： . 2．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）化简： ． 4.（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ． 考点三 二次根式的相关概念与性质 （1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。 注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 a≥0 。 （2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。 （3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。 （4）二次根式的性质： 1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）； 1．（2025·四川成都·模拟预测）函数的定义域为 ． 2．（2025·成都·模拟预测）若a满足，则a的值是 ． 3．（2025·四川成都·模拟预测）若则的值为 4．（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 考点四 二次根式的混合运算 （1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。 口诀：一化、二找、三合并。 （2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。 （3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。 （4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。 分母有理化因式： 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分； 即：。 （5）二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 （6）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 （7）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。 1．（2025·四川成都·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·成都·校考一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 4．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 命题点一 分式的相关概念与性质 ►题型01 分式的相关概念 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）当 时，分式的值为． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． ►题型02 分式的基本性质 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0；③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【典例】2．（2025·成都·一模）下列各式中，计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． ►题型03 最简分式与最简公分母辨析 最简分式：分子与分母不能再约分。 确定最简公分母的方法： 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·成都·一模）分式和的最简公分母为 ． 命题点二 分式的混合运算 ►题型01 分式的运算 在进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母是否相同，若不相同，先通分，再加减;若相同分母不变，分子直接相加减。最后的结果要化为最简分式。分式的加减运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________…… A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图是4张卡片，卡片上式子的化简结果是x的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·河南驻马店·三模）如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ． ►题型02 分式的化简与求值 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式。 分式的混合运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分，再带入给定的值或代数式的值，切不可直接带入计算。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）当时，则代数式的值为 ． 【典例】2．（2025·四川成都·三模）已知时，则代数式的值为 ． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则 ． 【变式】3．（2025·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 命题点三 二次根式的相关概念与性质 ►题型01 二次根式的相关概念 1.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义。 2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。 3.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式。 【典例】1．（2025·成都·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）函数的定义域为 ． 【变式】2．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 【变式】3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． ►题型02 二次根式的性质 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）计算： ． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若，则（   ） A． B． C．2 D． 命题点四 二次根式的混合运算 ►题型01 二次根式的运算 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。 2.二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并。 3.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。 4.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式。 【典例】1．（2025·成都·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·成都·校考一模）已知，，则 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测） ． ►题型02 二次根式的混合运算 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用。在运算时要明确运算符号和运算顺序。若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）化简求值： 【典例】2．计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【变式】1．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． 【变式】2．（2025·四川成都·一模）（1）计算：； 【变式】3．（2025·四川成都·二模）计算：(1)； 突破一 分式的规律探索 【典例1】（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【变式】1．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________；(2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【变式】2．（2025·湖北恩施·一模）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】观察下列等式：．（1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】（2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为．① ；②求的值． 突破二 分式运算与实际应用 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，．（1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ，，．运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为______． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和；②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】(1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的 倍． 突破三 二次根式的运算与实际应用 【典例】1．（2025·成都·一模）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离可以利用公式来计算，则点到直线的距离是（   ） A．6 B．3 C． D． 【变式】1．（2025·成都·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 1．（2025·四川成都·模拟预测）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·四川成都·校考一模）下列说法正确的是（    ） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则 D．若，则 3．（2025·四川成都·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 4．（2025·成都·校考一模）下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（2025·成都·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 6．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 7．（2025·四川成都·模拟预测）当 时，在实数范围内有意义． 8.（2025·成都·模拟预测）当 时，分式的值为0． 9．（2025·四川成都·二模）化简： ． 10．（2025·四川成都·一模）若，则实数的取值范围是 ． 11．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 12．（2025·四川成都·二模）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为 ． 13．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算∶； 14．（2025·辽宁·一模）计算：． 1．（2025·四川成都·校考二模）比较大小： ． 2．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 3．（2025·四川成都·二模）若，则代数式的值为 ． 4．（2025·四川成都·二模）已知，那么的值是 ． 5．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 6．（2025·四川成都·一模）若，则的值为 ． 7．（2025·成都·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 8．（2025·成都·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 9．（2025·成都·模拟预测）计算：． 10．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值；(2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 4．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 5．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 8．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 9．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：；（2）化简：． 10．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 11．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 12．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 13．（2025·上海·中考真题）计算：． 14．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值；(2)当，且为整数时，求x的整数值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第3讲 分式与二次根式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 10 命题点一 分式的相关概念与性质 题型01 分式的相关概念 题型02 分式的基本性质 题型03 最简分式与最简公分母辨析 命题点二 分式的混合运算 题型01 分式的运算 题型02 分式的化简与求值 命题点三 二次根式的相关概念与性质 题型01 二次根式的相关概念 题型02 二次根式的性质 命题点四 二次根式的混合运算 题型01 二次根式的运算 题型02 二次根式的混合运算 05·重难突破·思维进阶难 24 突破一 分式的规律探索 突破二 分式运算与实际应用 突破三 二次根式的运算与实际应用 06·优题精选·练能提分 28 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 二次根式 成都卷 T14 成都卷 T14 成都卷 T14 了解二次根式、最简二次根式的概念。 了解二次根式加、减、乘、除运算法则，会用它们进行简单的四则运算。 分式及运算 成都卷 T9 （分式性质） 成都卷 T23 （分式规律探究） 成都卷 T12 （分式性质+概率） 成都卷T19 （分式化简求值） 理解分式的概念，掌握分式有意义的条件（分母不为零）；掌握分式的基本性质，能利用性质进行分式的变形、约分、通分；掌握分式的乘除、加减、混合运算法则，能进行简单的分式运算。 命题预测 本讲内容近几年成都中考主要考查分式及化简求值、二次根式的相关运算，题型一般以选填题和计算题为主，分值在8分左右。成都中考除了解答题14题考查实数的相关运算中有一个关于二次根式的运算，其他时候主要在其他考点（如解方程、勾股定理相关计算等）中会用到相关运算，但很少直接考查二次根式的运算；分式及化简求值，从2022年中考考试改革后主要以填空题的形式直接考查分式的化简求值。 考点一 分式的相关概念与性质 （1）分式的概念： 如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子叫做 分式 ，其中A为分子，B为分母。 （2）对于分式来说：①若 B≠0 ，则有意义；②若 B=0 ，则无意义；③若 A=0且B≠0 ，则=0； ④当 A=B≠0 时，分式的值为1；⑤若 >0 ，则A、B同号，若 <0 ，则A、B异号。 （3）分式的基本性质：分式的分子与分母都 乘以（或除以） 同一个 不等于零的整式 ，分式的值 不变 。 用式子表示为 或 ，其中A，B，C均为整式。 （4）约分及约分法则 1）约分：把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的 约分 。 2）约分法则：把一个分式约分，如果分子和分母都是几个因式乘积的形式，约去分子和分母中相同因式的最低次幂；分子与分母的系数，约去它们的最大公约数．如果分式的分子、分母是多项式，先分解因式，然后约分。 （5）最简分式：分子、分母没有公因式的分式叫做 最简分式 。 （6）通分及通分法则 1）通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化为与原来的分式相等的同分母的分式，这一过程称为分式的 通分 。 2）通分法则把两个或者几个分式通分：①先求各个分式的 最简公分母 （即各分母系数的最小公倍数、相同因式的最高次幂和所有不同因式的积）；②再用分式的基本性质，用最简公分母除以原来各分母所得的商分别去乘原来分式的分子、分母，使每个分式变为与原分式的值相等，而且以最简公分母为分母的分式；③若分母是多项式，则先分解因式，再通分。 （7）最简公分母：几个分式通分时，通常取各分母系数的 最小公倍数 与所有字母因式的最高次幂的 积 作为公分母，这样的分母叫做 最简公分母 。 1．（2025·四川成都·模拟预测）已知分式（a，b，c，d为常数）满足下面表格中的信息： x值 0 1 分式值 c 无意义 d 0 下列选项错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：当时，分式无意义，则，∴，故B正确，不符合题意； 当时，分式值为0，则，∴，故A正确，不符合题意； 所以该分式为，当时，，故C正确，不符合题意； 当时，，故D错误，符合题意故选：D． 2．（2025·成都·模拟预测）下列各式从左到右的变形，是分式化简的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、是分式化简，故本选项符合题意； B、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； C、从左到右的变形不一定成立，不是分式化简，故本选项不符合题意； D、，不是分式化简，故本选项不符合题意；故选：A 3．（2025·四川成都·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】4 【详解】解：∵，∴．故答案为：4 考点二 分式的混合运算 （1）分式的加减 ①同分母法则： 分母不变，分子相加减 。用式子表示：。 ②异分母法则：先通分，变为 同分母的分式 ，然后再加减。用式子表示为：。 （2）分式的乘法 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。用式子表示： 。 （3.分式的除法 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后与被除式相乘。用式子表示： 。 （4）分式的乘方 乘方法则：分式的乘方，把分子、分母分别乘方．用式子表示：为正整数， 。 （5）分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减．有括号的，先算括号里的。 1．（2025·四川成都·二模）计算： . 【答案】 【详解】解：故答案为：． 2．（2025·湖北·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴， 即，∴．∴原式．故答案为：． 3．（2025·四川成都·模拟预测）化简： ． 【答案】/ 【详解】解：，故答案为：． 4.（2023·四川成都·中考真题）若，则代数式，的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ，，，故原式的值为，故答案为：． 考点三 二次根式的相关概念与性质 （1）二次根式的概念：形如的式子叫做 二次根式 。其中符号“”叫做二次根号，二次根号下的数叫做 被开方数 。 注意：被开方数只能是非负数。即要使二次根式有意义，则 a≥0 。 （2）最简二次根式：被开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做 最简二次根式 。 （3）同类二次根式：化成最简二次根式后，被开方数相同的几个二次根式，叫做 同类二次根式 。 （4）二次根式的性质： 1）双重非负性：≥ 0（≥0）；2）； 3）； 1．（2025·四川成都·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】解：由题意得：，解得：，故答案为：． 2．（2025·成都·模拟预测）若a满足，则a的值是 ． 【答案】 【详解】解：根据题意可得∴，∴，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴，∴的值是．故答案为：． 3．（2025·四川成都·模拟预测）若则的值为 【答案】或 【详解】解：∵，∴， 当时，有，解得：； 当时，有，该方程无解； 当时，有，解得：． 综上，该方程的解为或．故答案为：或． 4．（2025·江西吉安·二模）若最简二次根式与能合并，则k的值可以是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与能合并，∴，解得：．故选：C 考点四 二次根式的混合运算 （1）加减法法则：先把各个二次根式化为 最简二次根式 后，再将被开方数相同的二次根式 合并 。 口诀：一化、二找、三合并。 （2）乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变.即： 。 （3）除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变.即： 。 （4）分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的 有理化因式 ，将分母中的根号去掉的过程。 分母有理化因式： 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是 分母本身带根号 的部分；即：。 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是 与分母相乘构成平方差 的另一部分； 即：。 （5）二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2）利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简。 （6）化简二次根式的步骤：1）把被开方数分解因式；2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平方根的积；3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2。 （7）混合运算顺序：二次根式的混合运算顺序与实数的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后加减，有括号的先算括号内的。在运算过程中，乘法公式和有理数的运算律在二次根式的运算中仍然适用。 1．（2025·四川成都·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， A． ，故不符合题意； B． ，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D． ，故符合题意．故选D． 2．（2025·成都·校考一模），则的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：，根据二次根式的除法法则可得： 化简得：，两边同时乘以可得：，两边同时平方可得：．故选：C． 3．（2025·四川成都·模拟预测）如下内容是李明在练习中的一道解题过程，在这个过程中体现的数学思想是（    ） 已知，．求的值． 解：； 原式． A．方程 B．整体 C．数形结合 D．函数 【答案】B 【详解】在这个过程中体现的数学思想是整体的数学思想，故选：B． 4．（2025·浙江·模拟预测）设，a为正整数，b在0和1之间，则的值为 ． 【答案】6 【详解】解：由题意可得，， ∵，∴，∵，∴， ∵a为正整数，b在0和1之间，∴，， ∴，故答案为：． 命题点一 分式的相关概念与性质 ►题型01 分式的相关概念 1）一个分式的分子或分母中含有分式时，只要任何一个分母为零，分式都没有意义；分式要想有意义，必须所有分母都不为零. 2）分式的值为0的条件: ①分子为0；②分母不为0，两个条件需同时具备，缺一不可。 【典例】1．（2025·四川成都·二模）若分式有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：依题意，解得：故选：A． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）使分式的值等于0的条件是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且 【答案】D 【详解】解：使分式的值等于0的全部条件是且， 解得且，故选：D． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）要使分式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵有意义∴∴故答案为：. 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）当 时，分式的值为． 【答案】或/9或0 【详解】解：由题意得：，且，解得：或9，故答案为或． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若表示一个整数，则整数可取值的个数是 个． 【答案】 【详解】解：因为表示一个整数，∴是的因数， 故的值为，，，，，，，， ∴，，，，，，，，共个．故答案为：． ►题型02 分式的基本性质 运用分式的基本性质时，要注意：①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式；②隐含条件：分式的分母不等于0；③要注意避免犯只乘分子或只乘分母的错误。 【典例】1．（2025·成都·校考二模）对于分式，当都扩大到原来的2倍时，则分式的值（    ） A．不变 B．扩大到原来的2倍 C．扩大到原来的4倍 D．不能确定 【答案】B 【详解】解：，分式的值扩大到原来的2倍；故选B． 【典例】2．（2025·成都·一模）下列各式中，计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项符合题意； C、∵，则，故该选项不符合题意； D、，故该选项不符合题意；故选：B 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）若，则代数式（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：设，则，， 将，代入式子中，可得，即的值为5．故选：A． 【变式】2．（2025·成都·校考一模）下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，所以正确，符合题意； B、当时，，所以不正确，不符合题意； C、，所以原式不正确，不符合题意； D、，所以原式不正确，不符合题意；故选：A ． 【变式】3．（2025·成都·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意；故选D． ►题型03 最简分式与最简公分母辨析 最简分式：分子与分母不能再约分。 确定最简公分母的方法： 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）下列分式属于最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】A、，故此选项不符合题意；B、，故此选项不符合题意； C、是最简分式，故此选项符合题意； D、，故此选项不符合题意．故选：C． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）下列说法正确的是（    ） A．代数式是分式 B．分式中x，y都扩大3倍，分式的值不变 C．分式是最简分式 D．分式有意义 【答案】C 【详解】解：A、代数式是整式，不是分式，故本选项不符合题意； B、分式中，都扩大3倍后为，分式的值扩大3倍，故本选项不符合题意；C、分式是最简分式，故本选项符合题意； D、当时，分式有意义，故本选项不符合题意；故选：C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）下列分式是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A．，故选项不是最简分式，不符合题意； B．，是最简分式，故选项符合题意； C．，故选项不是最简分式，不符合题意； D．，故选项不是最简分式，不符合题意．故选：B． 【变式】3．（2025·成都·一模）分式和的最简公分母为 ． 【答案】 【详解】∵和中，字母a的最高次幂是2，字母b的最高次幂是1， ∴分式与的最简公分母为．故答案为：． 命题点二 分式的混合运算 ►题型01 分式的运算 在进行分式的加减运算时，要先观察各分式的分母是否相同，若不相同，先通分，再加减;若相同分母不变，分子直接相加减。最后的结果要化为最简分式。分式的加减运算是整式运算、因式分解和分式运算的综合运用。 【典例】1．（2025·四川成都·模拟预测）下面是“计算：”的部分解题步骤，则“______”上应填写的算式是（   ） _________________…… A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解： 选项D的表达式正确对应上述拆分，其余选项均不符合化简过程．故选：D 【变式】1．（2025·四川成都·模拟预测）如图是4张卡片，卡片上式子的化简结果是x的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：，，， ，综上可知，卡片上式子的化简结果是x的有3个，故选C． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）“” 是化简的部分解题步骤，则“ ”上可以填（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题意得，，故选：B． 【变式】3．（2025·河南驻马店·三模）如图，小正方形内分别填入了四个代数式，若使横向三个代数式之和与纵向三个代数式之和相等，则“？”位置填入的代数式为 ． 【答案】 【详解】解：依题意，则 则故答案为： ►题型02 分式的化简与求值 按顺序进行计算：分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行.此外，也应仔细观察式子的特点，灵活选择简便的方法计算，如使用运算律、公式等.最后将运算结果化为最简分式。 分式的混合运算的结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分，再带入给定的值或代数式的值，切不可直接带入计算。 【典例】1．（2025·四川成都·三模）当时，则代数式的值为 ． 【答案】 【详解】解：， 当时，原式故答案为：． 【典例】2．（2025·四川成都·三模）已知时，则代数式的值为 ． 【答案】6 【详解】解：∵，∴， ∴，答案：6． 【变式】1．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：原式 ∵，∴原式的值为．故答案为：． 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知，则 ． 【答案】 【详解】解：，， 原式 故答案为： 【变式】3．（2025·四川成都·二模）已知，则代数式的值为 ． 【答案】12 【详解】解： ∵∴∴原式．故答案为：12． 命题点三 二次根式的相关概念与性质 ►题型01 二次根式的相关概念 1.二次根式有意义的条件：当a≧0时，即被开方数大于或等于0，二次根式有意义。 2.最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1。 3.几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：、、是同类二次根式。 【典例】1．（2025·成都·一模）若在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】∵ 在实数范围内有意义， ∴ 被开方数 ，解得 ．故答案为 ． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）函数的定义域为 ． 【答案】且 【详解】解：∵，∴且，解得且，故答案为：且． 【变式】2．（2024·青海西宁·中考真题）在一个不透明的袋中装有5个相同的小球，分别写有，，，，，随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是 ． 【答案】 【详解】解：在，，，，这5个二次根式中，，是最简二次根式，有2个， ∴随机摸出一个小球，上面的二次根式是最简二次根式的概率是，故答案为：． 【变式】3．（2025·陕西西安·模拟预测）已知、、、，与是同类二次根式的是 ． 【答案】 【详解】解：，，与是同类二次根式的是，故答案为：． ►题型02 二次根式的性质 1.根据二次根式的性质化简时，前无“-”, 化简出来就不可能是一个负数。 2. 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简。 3. 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）如图所示是某同学写的推理过程，其中开始错误的步骤是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】C 【详解】解：∵，∴， ∴，即③出现错误．故选：C． 【典例】2．（2025·成都·模拟预测）把分式，根号外的字母a移进根号内的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：根据题意得：，∴，∴ = ．故选：D． 【变式】1．（2025·四川成都·一模）计算： ． 【答案】999 【详解】解：，故答案为：999． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）若，则a的值可以是（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】D 【详解】解：∵，∴，∴，∴的值可以是．故选：D． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测）若，则（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵，∴，， ∴．故选：C． 命题点四 二次根式的混合运算 ►题型01 二次根式的运算 1.合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被开方数和根指数不变。 2.二次根式加减运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并。 3.二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式。 4.在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的形式。 【典例】1．（2025·成都·一模）下列运算结果与相等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：；A． ，符合题意；B． ，不符合题意； C． ，不符合题意；D． ，不符合题意．故选A． 【典例】2．（2025·成都·校考一模）已知，，则 ． 【答案】5 【详解】解：∵，， ∴，∴．故答案为：5． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）① ；② ；③； ④四个式子中，正确的是（  ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【详解】解：①，原计算错误；②，计算正确；③，原计算错误；④与不是同类项，不可以合并，原计算错误， 故选：B 【变式】2．（2025·四川成都·模拟预测）设的整数部分，小数部分为，则 ， ． 【答案】 【详解】解：， ，，，， 的整数部分，小数部分为，，．故答案为：2，． 【变式】3．（2025·成都·模拟预测） ． 【答案】2 【详解】解： ．故答案为：2． ►题型02 二次根式的混合运算 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在二次根式乘除法中仍然适用。在运算时要明确运算符号和运算顺序。若被开方数是带分数,则要先将其化为假分数。 【典例】1．（2025·成都·模拟预测）化简求值： 【答案】 【详解】解： ． 【典例】2．计算： （要求：分步书写，体现分母有理化过程） 【答案】 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·四川成都·二模）（1）计算：． 【答案】（1）   【详解】解：（1） ； 【变式】2．（2025·四川成都·一模）（1）计算：； 【答案】（1）； 【详解】解：（1） ； 【变式】3．（2025·四川成都·二模）计算：(1)； 【答案】(1)0 【详解】（1）解： ； 突破一 分式的规律探索 【典例1】（2025·四川成都·中考真题）分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个单位分数之和，如：．将拆分成两个单位分数相加的形式为 ；一般地，对于任意奇数k（），将拆分成两个不同单位分数相加的形式为 ． 【答案】 【详解】解：； 由题意，当时，， 当时，， 当时，，……， 当时，， 又，∴对于任意奇数k（），， 故答案为：；． 【变式】1．（2025·安徽淮南·三模）观察以下等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； 第4个等式：； …… 按照以上规律，解决下列问题： (1)写出第5个等式：________； (2)写出你猜想的第个等式（用含的式子表示），并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【详解】（1）解：由前4个等式可得规律：左边第一个分数：分子为，分母为，即； 左边第二个分数：分母为，即； 右边第一个分数：分子为，分母为，即； 右边第二个分数：分母为，即； ∴第5个等式为：； （2）解：第个等式为，证明如下： 等式左边：， 等式右边：， ∴左边右边，∴原等式成立． 【变式】2．（2025·湖北恩施·一模）类比推理是根据一类事物所具有的某种属性，推测与其类似的事物也具有这种属性的一种推理方法．著名数学家波利亚认为“类比就是一种形似”．类比推理思想在初中代数推理学习中也被广泛应用． 【特例感知】观察下列等式：．（1）根据上述特征，计算： ． 【尝试类比】（2）已知一次函数（m为正整数）与x轴、y轴分别交于A，B两点，O为坐标原点，设的面积为．① ；②求的值． 【答案】（1）；（2）①；② 【详解】解：（1） （2）当时，， 当时，， ∴， ∴， ∴， ①∴； 故答案为： ② 突破二 分式运算与实际应用 【典例】（2025·山东青岛·中考真题）【定义新运算】对正实数，，定义运算“”，满足． 例如：当时，． （1）当时，请计算：__________； 【探究运算律】对正实数，，运算“”是否满足交换律？ ，，．运算“”满足交换律． （2）对正实数，，，运算“”是否满足结合律？请说明理由； 【应用新运算】（3）如图，正方形是由四个全等的直角三角形和中间的小正方形拼成，，，且．若正方形与正方形的面积分别为26和16，则的值为______． 【答案】（1）a；（2）满足，理由见解析；（3） 【详解】（1）解：由新定义得，； （2）解：对正实数，，，运算“”满足结合律，理由如下： 左边：， 右边：， ∴左边右边，∴对正实数，，，运算“”满足结合律； （3）由题意得，，∴， ∵，，且，正方形的面积为26，∴， ∵四个直角三角形全等，∴，∴， ∵正方形的面积为16，∴， ∴，∴，∴， ∴，∴（舍负）， ∴，故答案为：． 【变式】1．（2025·成都·模拟预测）综合与实践． 【主题】探究电流表读数的最小值． 【素材】如图1所示电路图中，电源电压为，电阻，，滑动变阻器的最大电阻为． 【跨学科知识】物理电路理论知识中有以下几个结论： ①串联电路的总电阻等于各串联电阻之和； ②并联电路总电阻的倒数等于各并联电阻的倒数之和； ③电压一定的情况下，电流与电阻成反比例关系． 【实践操作】将图1中的电路图等效为如图2所示电路图，与分别等效滑动变阻器上部分和下部分的电阻，即，在滑片P从a端滑到b端的过程中，设． 【实践探索】 (1)当滑片P滑动到滑动变阻器正中间时，该电路中的总电阻为多少？ (2)当x取何值时，电流表读数最小，并求出电流表读数的最小值． 【答案】(1) (2)时，电流表读数的最小值为． 【详解】（1）解：由题意可得，解得：． ∴电路中的总电阻为． （2）解：∵，∴， ∴， ∵，∴当时，R有最大值，∴， ∴当时，电流表读数的最小值为． 【变式】2．（2025·成都·模拟预测）如图，A，B，C三个圆柱形杯子完全相同并装有相同高度的液体，旁边放有若干个大小相同的实心小球．分别向三个杯子内放入若干个小球观察液面的情况：A杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出；B杯放入4个小球，液体溢出；C杯放入6个小球，液体溢出．将B杯溢出的液体用相同的杯子收集，C杯溢出的液体用相同的D杯收集，将D杯的液体倒入A杯，装满A杯后，D杯剩余的液体高度是B杯溢出液体高度的 倍． 【答案】2 【详解】解：设圆柱形杯子的底面积为， 则圆柱形杯子的体积为，原来装有的液体的体积为， ∵杯放入2个小球，液面上升，液体未溢出，∴一个实心小球的体积为， ∵杯放入4个小球，液体溢出，∴杯溢出的液体的体积为， ∵将杯溢出的液体用相同的杯子收集，∴杯溢出液体高度为， ∵杯放入6个小球，液体溢出，∴杯溢出的液体的体积为， ∵杯溢出的液体用相同的杯收集，将杯的液体倒入杯，装满杯， ∴杯剩余的液体高度为， ∴杯剩余的液体高度是杯溢出液体高度的（倍），故答案为：2． 突破三 二次根式的运算与实际应用 【典例】1．（2025·成都·一模）用三块边长不同的正方形纸片“甲、乙、丙”和一个面积为的矩形纸片“丁”紧密拼接形成一个大矩形，如图，已知一块“丙”纸片的面积为2，则一块“甲”纸片的边长为（   ） A． B． C．3 D． 【答案】B 【详解】解：∵甲、乙、丙三张纸片时正方形，丙纸片的面积为2， 丙纸片的边长为，丁纸片的宽为， ∵丁纸片的面积为，丁纸片的长为， 乙纸片的边长为，甲纸片的边长为，故选：B． 【典例】2．（2025·四川成都·模拟预测）已知在平面直角坐标系中，点到直线的距离可以利用公式来计算，则点到直线的距离是（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：把直线化成一般式得， 则点到直线的距离是，故选：B． 【变式】1．（2025·成都·二模）据研究，忽略空气阻力，物体从高空下落的时间与下落高度近似满足公式，一物体从高空自由落下，则关于物体下落的时间，说法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：把代入公式，得， ∵，∴，即．故选：B． 【变式】2．（2025·成都·校考三模）南宋数学家秦九韶在《数书九章》记载三角形面积的独特求法——三斜求积．其求三角形面积的方法用现在的语言表达为：的三条边为．若的三条边，则的面积 （填“”“”或“”）． 【答案】 【详解】解：当时，． ．故答案为． 【变式】3．（2025·成都·校考二模）定义一种运算，对于任意角和，，已知，，那么的值是 ． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ，即 ∴∴ ∴，故答案为：． 1．（2025·四川成都·模拟预测）对于分式，我们把分式叫做的伴随分式．若分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，分式是的伴随分式，以此类推…，则分式等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：，，， ，，，，，个一循环， ，，故选：D． 2．（2025·四川成都·校考一模）下列说法正确的是（    ） A．根据分式的基本性质，可化为 B．分式是最简分式 C．若分式有意义，则 D．若，则 【答案】B 【详解】解：A. 根据分式的基本性质，当时，可化为，故原说法错误； B. 分式是最简分式，说法正确； C. 若分式有意义，则，故原说法错误； D、若，则，故原说法错误；故选B． 3．（2025·四川成都·三模）将分式中的、的值同时扩大为原来的2倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来一半 C．保持不变 D．无法确定 【答案】A 【详解】解：由题意得：，即扩大为原来的2倍，故选：A． 4．（2025·成都·校考一模）下列分式化简正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. ，此选项不符合题意；    B. ，此选项不符合题意； C. ，此选项不符合题意；    D. ，此选项符合题意，故选：D． 5．（2025·成都·一模）若，则表示实数的点会落在数轴的（ ） A．段①上 B．段②上 C．段③上 D．段④上 【答案】B 【详解】解：∵，∴， ，， ，即，故实数a的点会落在数轴的段②上，选：B． 6．（2025·黑龙江大庆·三模）下列各式中，对任意实数a都成立的是（   ） A． B． C． D．若，则 【答案】A 【详解】解：A. ，该选项正确，符合题意； B.当时，该选项不成立，不符合题意； C. 当时，该选项不成立，不符合题意； D. 当时，取，此时成立，但在实数范围内无意义，故该选项不成立，不符合题意；故选：A． 7．（2025·四川成都·模拟预测）当 时，在实数范围内有意义． 【答案】 【详解】解：由题意可得，，解得．故答案为：． 8.（2025·成都·模拟预测）当 时，分式的值为0． 【答案】且 【详解】解：由题意得：且，解得：且，故答案为：且． 9．（2025·四川成都·二模）化简： ． 【答案】 【详解】解：，，，，故答案为：． 10．（2025·四川成都·一模）若，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴，∴，故答案为：． 11．（2025·上海·模拟预测）计算： ． 【答案】 【详解】解：．故答案为：． 12．（2025·四川成都·二模）已知代数式，其中为的小数部分，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：， ∵，为的小数部分，∴， ∴，故答案为：． 13．（2025·四川成都·模拟预测）（1）计算∶； 【答案】（1）； 【详解】解：（1） ． 14．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 1．（2025·四川成都·校考二模）比较大小： ． 【答案】 【详解】解：，， ∵，∴，∴．故答案为：． 2．（2025·四川成都·三模）已知，则的值为 ． 【答案】 【详解】∵，∴∴， ∴．故答案为： 3．（2025·四川成都·二模）若，则代数式的值为 ． 【答案】3 【详解】解： ∵，∴，∴原式．故答案为：3 4．（2025·四川成都·二模）已知，那么的值是 ． 【答案】/0.5 【详解】解：∵，∴， ∴，故答案为：． 5．（2025·四川成都·二模）若，是一元二次方程的两个不相等的实数根，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：，是一元二次方程的两个不相等的实数根，，∴， ， ∴原式，故答案为： ． 6．（2025·四川成都·一模）若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解：∵，∴．∴． ∴．∴．∴．∴． ∴．故答案为：． 7．（2025·成都·二模）《九章算术》中的“方田章”论述了三角形面积的求法：“圭田术曰，半广以乘正广”，就是说：“”，我国著名的数学家秦九韶在《数书九章》中也提出了“三斜求积术”，即可以利用三角形的三条边长来求三角形面积，用式子可表示为：（其中为三角形的三条边长，S为三角形的面积）．在中，，则的面积为 ． 【答案】/ 【详解】解：∵，∴, ∴，故答案为：． 8．（2025·成都·三模）将一组数，2，，，，，…，按如图方式进行排列，则第六行左起第1个数是 ． 第一行           第二行       2       第三行                      …… 【答案】 【详解】解：由图可知，第一行共有1个数，第二行共有2个数，第三行共有3个数， 归纳类推得：前五行共有个数，第个数为， 则第六行左起第1个数是，故答案为：． 9．（2025·成都·模拟预测）计算：． 【答案】 【详解】解：设， 原式， 设，原式， 当时，原式． 10．（2025·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，双曲线（为常数，且）与直线都经过点． (1)求与的值； (2)过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点，在中，当时，求边的长度． (3)【阅读理解】例如：对于任意正实数、，，． （只有当时，）． 【探索应用】在（2）的条件下，点是点关于原点的对称点，过作轴于点，作轴于点．点为双曲线上任意一点，连接，求四边形的面积的最小值． 【答案】(1)，(2)(3) 【详解】（1）解：∵直线都经过点，∴，∴， ∵双曲线经过点，∴，解得：； （2）∵，，∴反比例函数的解析式为，， ∵过点作平行于轴的直线，与双曲线相交于点，与直线相交于点， ∴，， 当时，，解得：，（舍去），， 当时，，，不符合； 当时，∴，，此时． （3）∵点是点关于原点的对称点，，∴， ∵过作轴于点，作轴于点，∴，， ∵点为双曲线上任意一点，∴设， 过点作于点，于点，则，， ∵，∴ =， 当时，，解得：（负值舍去），的最小值为， 1．（2025·青海西宁·中考真题）当时，下列代数式在实数范围内有意义的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：当时，，，故、和没有意义，不符合题意，有意义，符合题意；故选B． 2．（2025·江苏徐州·中考真题）下列运算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，运算错误； B．，运算正确； C．，运算正确； D．，运算正确；故选：A． 3．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【详解】解：∵分式有意义， ∴，解得且且，故选：D． 4．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【详解】解：由题意，得：且，解得：；故选A． 5．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【详解】解：∵，∴， ∴， ∴．故选：D 6．（2025·江苏南通·中考真题）我国南宋数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式：一个三角形的三边长分别为，三角形的面积．若，则的值为 ． 【答案】 【详解】解： 将，，代入上式： 故答案为：． 7．（2025·山东威海·中考真题）计算： ． 【答案】 【详解】解：． 8．（2025·山东烟台·中考真题）实数的整数部分为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，∴， ∴实数的整数部分为，故答案为： 9．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 10．（2025·山东济南·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 11．（2025·江苏淮安·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解：原式； 当时，原式． 12．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【详解】解：原式， ∵，∴，∴原式． 13．（2025·上海·中考真题）计算：． 【答案】 【详解】解： . 14．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值；(2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1)(2)或4 【详解】（1）解：∵，， ∴． ．∴． ∵，∴． （2）由（1），得：，∴， 当时，． ∵与均为整数，∴或．∴， 又∵且，∴且．∴或4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $