含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练-2025-2026学年高二下学期数学人教B版选择性必修第三册

含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 含参函数单调性讨论问题 恒成立求参数问题 考点一 含参函数单调性讨论问题 例1．（2026·四川·模拟预测）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)设且，若，求a的最小值. 【答案】(1)当时，函数在R上单调递减；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. (2)5. 【详解】（1）函数的定义域为R， 求导得， 当时，，函数在R上单调递减； 当时，由，得；由，得， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以当时，函数在R上单调递减； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由（1）得，当时，， 由，得，整理得， 令，由，得，令函数， 求导得，函数在上单调递减， 而，则由，得，因此，解得，又， 所以的最小值为5. 例2．（2026·山东临沂·一模）已知函数． (1)求的单调区间； (2)已知在上有且仅有两个零点，求a的取值范围. 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. (2) 【详解】（1）已知，其定义域为.求导​. 当时，因为，所以，即.所以在上单调递增. 当时，令，即，因为，所以，解得. 当​时，，则，所以在上单调递增； 当​时，，则，所以在上单调递减. 综上，当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （2）由（1）可知，当时，在上单调递增，所以在上至多有一个零点，不符合题意. 所以，此时在上单调递增，在上单调递减. 要使在上有且仅有两个零点，当趋近于时，趋近于, 所以根据零点存在定理， 则需满足， ，解得. ，化简得，解得. 又因可得. 综上，的取值范围是. 例3．（24-25高二下·广东湛江·期末）已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)证明：若，则存在唯一的极小值，且. 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）因为，其中，. ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得， 由可得；由可得. 此时，函数的减区间为，增区间为. 综上所述：当时，的增区间为，无减区间； 当时，函数的减区间为，增区间为. （2）当时，，， 令，，则在上恒成立， ∴在上单调递增， 又∵，，则方程只有一解，设为， ∴存在唯一的，使得，即， 当时，，当时，， ∴在上单调递减，在上单调递增， ∴， ∵，∴， ∴， 即. 例4．（25-26高三上·广东广州·月考）已知函数． (1)当，求在区间上的最大值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1)6 (2)答案见解析 【详解】（1）当时，，求导得， 因，当或时，；当时，， 则函数在上单调递增，在上单调递减， 故函数在时取得极大值为，又， 故在区间上的最大值为6. （2）因，令或， 则当，即时，，即在上单调递增； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 当，即时，由可得或；由可得， 故在上单调递增，在上单调递减； 综上， 当时，在上单调递增； 时，在上单调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增，在上单调递减. 变式1．（25-26高三上·山东·月考）已知. (1)若，求函数的单调区间； (2)若是函数的极小值点，求的取值范围. 【答案】(1)增区间为，减区间为 (2) 【详解】（1）的定义域为，     ， 因为，所以在区间上恒成立， 所以当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 所以的增区间为，减区间为. （2）由（1）可知，当，为函数的极大值点，不合题意；     下面分析的情形： 当时，在区间上恒成立，不合题意；     当时，，则在区间上单调递增，在区间上单调递减， 则为函数的极大值点，不合题意；     当时，，则在区间上单调递减，在区间上单调递增， 为函数的极小值点，符合题意；     综上，. 变式2．（2024·广东深圳·模拟预测）已知函数，其中． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)答案见详解 (2) 【详解】（1）由题意可知：函数的定义域为，且， 若，则，可知函数在内单调递增； 若，令，解得；令，解得； 可知函数在内单调递减，在内单调递增； 综上所述：若，函数在内单调递增； 若，函数在内单调递减，在内单调递增. （2）因为函数有两个零点， 若，函数在内单调递增，可知函数至多有一个零点，不合题意； 若，函数在内单调递减，在内单调递增， 且当趋近于0或时，函数趋近于， 可得，解得； 综上所述：实数的取值范围为. 变式3．（2025·湖南·一模）已知函数． (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）定义域为，， ①当时，恒成立，故在上单调递增； ②当时，令有，解得，又， 令，解得， 则在上单调递增，在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）由题， 所以恒成立等价于对任意恒成立， 令， 则， 令，则， 即在上单调递增，故， 令有， 当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增， 则为唯一的极小值点，也是最小值点， 故，从而， 因此实数的取值范围为. 变式4．（25-26高三上·山西·月考）已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见详解 【详解】（1）当时，，， 则，所以，， 所以函数在点处的切线方程为，即. （2）由，， 当时，有，即在上单调递增； 当时，令，得， 令，得，即在上单调递增， 令，得，即在上单调递减， 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 考点二 恒成立求参数问题 例1．（25-26高三下·重庆沙坪坝·月考）设函数常数). (1)求函数的单调递减区间; (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数，定义域为. 所以， 所以，当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增. 因此，函数的单调递减区间为. （2）由题得：， 整理得：， 由于，可将不等式化为：， 令，，则. 求导：， 因为，所以， 故，所以对恒成立， 即在上单调递增， 因此， 于是. 例2．（25-26高三下·贵州遵义·开学考试）已知函数． (1)当时，讨论的单调性； (2)若，求的取值范围； (3)证明：． 【答案】(1)在上单调递减，在上单调递增 (2) (3)证明见解析 【详解】（1）当时，，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. （2）由，则对于恒成立， 设，，则， 令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， 则，即，则的取值范围为. （3）由（2）知，当时，，则， 所以， 设，，则， 所以函数在上单调递增， 则，即，得证. 例3．（2026·湖北省直辖县级单位·模拟预测）已知函数. (1)若，求实数的取值范围； (2)试证明不等式. 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）由 得 ， 。 可化为 ， 令 ，则 。 令  得 ，  得， 所以 在 单调递减，在 单调递增， 所以 的最小值为 ， 所以 ； （2）法一：由(1)可知 ，即 ，故（时，等号成立）， 下证 ，即证 , 因为， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故. 又不能同时取“”，所以 . 法二：要证明不等式；令，， 只需证， 由，得， 当时，，当时，， 所以在单增，在单减， 所以， ，因为， 所以. 例4．（2026·福建莆田·模拟预测）已知函数. (1)当时，求的极值； (2)若，求实数的取值范围. 【答案】(1)极小值为，无极大值 (2) 【详解】（1）当时，，则， 由得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则的极小值为，无极大值； （2）等价于， 令，则在上恒成立， 则，得， 因为， 则得；得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则， 因为在上单调递增， 所以在上单调递增， 所以当时，， 综上，实数的取值范围为. 变式1．（25-26高三上·北京平谷·开学考试）已知函数 (1)若在处的切线方程为， 求的值; (2)求的单调区间; (3)若对于任意，都有 ，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【详解】（1）函数 ，， ，， 在处的切线方程为，则有，解得. （2）的定义域为，， 当时，，即在和上单调递增， 当时，，即在和上单调递增， 当时，， 令，解得， 若，， 若，， 即函数在，，上单调递增，在上单调递减， 综上所述，当时，在和上单调递增， 当时，在，，上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）可知，当时，在上单调递增， 恒有， 当时，在上单调递减，存在，使得，故不合题意， 综上，a的取值范围为. 变式2．（25-26高三上·河北·开学考试）已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当恒成立时，求实数的取值范围. 【答案】(1)单调递减区间为，无单调递增区间 (2) 【详解】（1）当时，， ，令 则，设，解得 当时，单调递增； 当时，单调递减. ， 所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. （2）因为， 所以. 设，则， 设，解得 当时，单调递增； 当时，单调递减. ， 所以实数的取值范围是 变式3．（25-26高三上·重庆·开学考试）已知，函数，. (1)当时，求的极值； (2)当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【详解】（1）由题设，则，且， 若，则，故在上单调递增，无极值； 若，则，即，故在上单调递增，无极值； 若，则时，时， 所以在上单调递减，在上单调递增， 此时的极小值为，无极大值. （2）由题设，又， 所以在上恒成立， 令，则， 令，则， 所以在上单调递增，则，即， 所以在上单调递增，且时，， 综上，. 变式4．（2025·四川绵阳·模拟预测）已知函数，． (1)若曲线在点处的切线与y轴垂直，求函数的单调区间； (2)若对成立，求实数k的取值范围． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间为 (2) 【详解】（1）依题意得的定义域为，， 由曲线在点处的切线与轴垂直， 则，得， 所以， 当时，，，则； 当时，，，则， 故的单调递减区间为，单调递增区间为． （2）由得， 令， 则， 令，得， 当时，；当时，， 所以的单调递减区间为，单调递增区间为， 所以， 所以，即． 故的取值范围是． 2 学科网（北京）股份有限公司 $含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点目录 含参函数单调性讨论问题 恒成立求参数问题 考点一 含参函数单调性讨论问题 例1.(2026四川模拟预测)已知函数f)-e+口-4e-4。 f(x) (1)讨论的单调性： 2设eZ且a0若f号10， 2a,求a的最小值. 例2.(2026：山东临沂一模)已知函数f=inr-x+1 1)求f的单调区间： 2已知f在0，)上有且仅有两个零点，求a的取值范围。 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 例3.(24-25高二下广东湛江期末)已知函数f=e-r-1.a∈R )讨论（的单调性： 2证明：若a=1,则8)=f-血x存在唯一的极小值，且8，>0， 例4。（25-26高三上广东广州月考)已知函数/)=2r+3a+r+6ar+la∈R) )当a=0,求f在区间-2，上的最大值： f(x) (2)讨论的单调性. 2 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 变式1，(25-26高三上山东月考)已知f(=mr-(m+2x+lr )若m≤0，求函数的单调区间： 1 (2)若x=2是函数fx)的极小值点，求m的取值范围. 变式2，(2024广东深圳模拟预测)已知函数f)--x+2a,其中4R 山)讨论函数口的单调性： ②若函数（刊有两个零点，求“的取值范围。 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 变式3.(2025·湖南一模)已知函数 f(x)=Inx+ax2,g(x)=e*-ax2,aER )讨论（的单调性： ②82≥4rV+m J恒成立，求实数a的取值范围. 变式4.(25-26高三上山西月考)已知函数f(=4alnr+2r-1(a∈R) (0)若a=-3 4，求函数f(x)的图象在点1，f)处的切线方程： 2讨论函数的单调性. 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 考点二 恒成立求参数问题 例1.(2526高三下重庆沙坪频月考》设面数小=nx-a+x>0,常数eR (求函数刊的单调递减区间： (2若对任意的xL,2,不等式f≥+a(x-恒成立，求实数。的取值范围， 例2.(25-26高三下贵州遵义开学考试)已知函数)=血r-mr+1(m∈R) (当m=l时，讨论的单调性： (2)若x∈(0，+o),fx)≥0 求m的取值范围： (3)证明： e*+xInx >0 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 例3.(2026湖北省直辖县级单位·模拟预测)已知函数fx=hx-x+1. (0)若f(≥-2-x+a ,求实数a的取值范围： nx<+1-l. (2)试证明不等式x<2x 例4。（2026：福建莆田模拟预测)已知函数f)=ar-n 0)当a=2时，求的极值： 2若≥2-x,求实数“的取值范围 6 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 变式1.(25-26高三上北京平谷开学考试)已知函数f=1+e a(a>O) 1-x )若在x=0处的切线方程为=x+b,求a.b的值； 2求八的单调区间； ③)若对于任盒x∈(0,1，都有≥1，求a的取值范围 变式2.(25-26高三上河北开学考试)已知函数f=nr-ur ()当a=2时，求函数f(x)的单调区间： 2)当/<2x 恒成立时，求实数a的取值范围. 含参函数单调性讨论问题、恒成立求参数问题专项训练 变式3.(25-26高三上重庆开学考试)已知4，b∈R,函数(d=e-aF-bx,x∈(0，+∞ )当a=0时，求的极值： ②)当6=时，不等式八刊≥1 恒成立，求的取值范围。 变式4.(2025四川绵阳模拟预测)已知函数f)=xnx++ ’k∈R· y=f(x)(L,fI), f(x) (1)若曲线 在点 ”处的切线与y轴垂直，求函数”的单调区间： f(x)≥0，x>0】 (2)若 对 成立，求实数k的取值范围. 8