借助向量或复数为工具处理含两个及以上的无理根式问题 讲义-2026届高三二轮专题复习

借助向量或复数为工具处理含两个及以上的无理根式问题 向量与复数在几何表示、几何运算(加减法的平行四边形与三角形法则)、代数(坐标)运算及模性质等方面有很多相同或相似之处；并且向量与复数都是解决有关问题的强有力工具，在解题中若能借助向量或复数知识为载体，可使许多问题轻松获解，能起到事半功倍之效. 一、求无理根式函数的最值或值域 例1. 求函数的最小值. 解：(向量法)因， 设向量，则；于是 ，故. (构造复数) 因,令；而，则故. 例2．求函数的值域. 解：(向量法) 因，设向量，则；于是.故函数的值域为. (构造复数) 因，令；于是得,则.故函数的值域为. 二、证明含无理根式或绝对值的不等式 例3.已知,且;求证:. 证明：(构造向量)设，则；由，得成立. (构造复数)设，由模性质，得成立. 例4.已知，求证：. 证明：(构造向量)设；由向量数量积和模性质知，于是有成立. (构造复数)设，则；于是有成立.(其中为实部). 例5. 已知都是实数，且，；求证：. 证明：(构造向量法1) 设；则，；根据向量数量积性质，则有成立. (构造向量法2) 设；则，；由向量模的性质及条件得，平方化简得，再由同理得；从而有，即. (构造复数)设复数；则 ，；由复数模性质及条件，可得，即. 点评：这类含有无理根式或绝对值式子的数学命题，往往可通过构造复数或向量来巧妙解决；利用复数模的性质或借助向量的数量积、向量模的性质能起到出奇制胜的效果，使我们能简明快捷地得到所要的结果，让解题或证明过程方便且运算步骤出奇地简单，这就是巧妙借助向量或复数为工具处理这类问题的魅力所在. 学科网（北京）股份有限公司 $