圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练-2026届高三数学二轮复习

圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练 圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的面积问题 以椭圆为背景的向量问题 考点一 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． (1)求C的方程． (2)过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 例2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于，两点坐标原点，求面积的最大值． 例3．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 例4．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)已知的左顶点为，下顶点为，点是上在第一象限内的一个动点. （i）求面积的最大值； （ii）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：四边形的面积为定值. 变式1．（25-26高三上·河北承德·期末）已知椭圆的离心率为，点分别是的左顶点和上顶点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率存在的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程． 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，且．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，若． （ⅰ）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ⅱ）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围． 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？ （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 考点二 以椭圆为背景的向量问题 例1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 例2．（25-26高三上·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 例4．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 变式2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 变式3．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 变式4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 2 学科网（北京）股份有限公司 $圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练 圆锥曲线：以椭圆为背景的面积问题、以椭圆为背景的向量问题专项训练 考点目录 以椭圆为背景的面积问题 以椭圆为背景的向量问题 考点一 以椭圆为背景的面积问题 例1．（25-26高三上·安徽亳州·期末）已知椭圆的离心率为，且C经过点．C的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，． (1)求C的方程． (2)过点的直线与C交于P，Q两点，点M满足，设M的轨迹为W． （ⅰ）证明：W是椭圆； （ⅱ）设直线与W的另一个交点为N，过点作的平行线，与W交于R，S两点，求以M，N，R，S为顶点的四边形的面积最大值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） 【详解】（1）设C的半焦距为． ，，．① 将点代入C的方程，得．② 联立①②，解得，，的方程为． （2）（ⅰ）设O为坐标原点．当直线PQ与x轴重合时，． 当直线PQ不与x轴重合时，设直线PQ的方程为， 与C联立，得，易知， 设，，则，， 由，得， ，即． 又，． 则，，． 又点也满足上式，的方程为，即W为椭圆． （ⅱ）设，，直线的方程为， 与W联立，得， 由，得， 则，．易知， 由椭圆的对称性可知，所求的面积． 又， 设，则， 当且仅当，即时，取等号． ，即所求的四边形的面积最大值为． 例2．（25-26高二上·天津南开·期末）已知椭圆：的左、右顶点分别为，，右焦点为点，点是椭圆上一动点，面积的最大值为，当轴时，． (1)求椭圆的方程； (2)若直线被圆截得的弦长为，设直线与椭圆交于，两点坐标原点，求面积的最大值． 【答案】(1) (2)2 【详解】（1）设椭圆的半焦距为，， 将代入得，所以， 因为点是椭圆上一动点，所以，所以面积， 由解得，，所以椭圆的方程为． （2）直线被圆截得的弦长为， 则圆心到直线的距离满足，解得．      当的斜率不存在时，则：，代入椭圆方程得，则， 当的斜率存在时，设：，，，圆心为原点 则有，所以． 将方程代入椭圆方程中整理得：， 所以，，， 所以， 令,即时，． 所以面积的最大值为2． 例3．（25-26高二上·山西运城·期末）已知椭圆的左、右焦点分别为，点是椭圆上一点，过原点的直线与抛物线相交于两点，点是椭圆的下顶点，直线分别与相交于两点. (1)求椭圆的方程； (2)证明：； (3)记和的面积分别是，求的最小值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3). 【详解】（1）椭圆的左右焦点分别为， 设，则， 因为点是椭圆上一点， 则， 所以，从而. 所以椭圆的方程为：. （2）直线的斜率显然存在，设方程为. 由，整理得， 设，则， 由已知，所以的斜率分别为， ， 故，所以； （3）设直线，显然，由，解得或， ∴，则， 由上可知，直线， 则， 由，得，解得或， ，则， 由上可知，直线，， 由（2）知，， 则. ， 当且仅当时等号成立，即最小值为. 例4．（25-26高三上·广东深圳·期末）已知椭圆的左焦点为，点在上，且轴. (1)求的方程； (2)已知的左顶点为，下顶点为，点是上在第一象限内的一个动点. （i）求面积的最大值； （ii）设直线与轴交于点，直线与轴交于点，证明：四边形的面积为定值. 【答案】(1) (2)（i）；（ii）证明见解析 【详解】（1）由题意可知，解得：，所以椭圆的方程为. （2）（i），故直线的方程为， 方法一：当点到的距离取最大值时，面积取最大值 设点到的距离为，令， 因为点在第一象限，所以 当时，的最大值为，此时面积的最大值为. 方法二：由题意可知，当与平行的直线与椭圆相切于第一象限内的点时， 面积取最大值，其中 由得 因为直线与椭圆相切，所以 解得，因为，所以 此时直线与之间的距离为，故面积的最大值为. （ii）由（i）可知：，令，可得， ，令，可得 所以 因为，所以 由于点在椭圆上，所以 所以 所以四边形的面积为定值. 变式1．（25-26高三上·河北承德·期末）已知椭圆的离心率为，点分别是的左顶点和上顶点，． (1)求椭圆的标准方程； (2)过点且斜率存在的直线与相交于两点，若的面积为，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或． 【详解】（1）设的焦距为． 由已知得解得 所以椭圆的标准方程为． （2）易知．因为直线经过点，所以可设直线， 由消去，得， 恒成立， 设，则， 所以 ，解得． 所以直线的方程为或， 即或． 变式2．（25-26高二上·重庆·期末）已知椭圆的离心率为，左焦点为，左、右顶点分别为，上顶点为，且．    (1)求椭圆的标准方程； (2)设斜率存在的直线交椭圆于两点，记直线的斜率分别为，若． （ⅰ）试判断直线是否过定点，若是，求出此定点坐标；若不是，请说明理由； （ⅱ）设直线与轴的交点为，记与的面积分别为，求的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）存在，定点（－1，0）；（ⅱ） 【详解】（1）如图，连接，因椭圆的离心率为，故 ， 联立解得，则椭圆的标准方程为：． （2）（ⅰ）由题知直线的斜率存在且不为0，设直线， 联立，消去，可得，    依题意，，即 设，则，且 ， 整理得，故或， ①若时，则，过定点， ②若，则，过定点，舍去 故直线过定点． （ⅱ）由（ⅰ）知， ，设，故 由题知直线的斜率存在且不为0，故 ，由（ⅰ）知， ， ，故 则 化简得 ，故且 故． 变式3．（25-26高二上·江苏无锡·期末）已知动圆与圆和圆都内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)已知圆锥曲线具有如下性质：若圆锥曲线的方程为，则曲线上一点处的切线方程为：.试运用该性质解决以下问题：点为直线上一点（不在轴上），过点作的两条切线，，切点分别为，. （ⅰ）判断并证明直线与是否垂直？ （ⅱ）点关于轴的对称点为，直线交轴于点，直线交曲线于，两点.记，的面积分别为，，求的取值范围. 【答案】(1) (2)（i）证明见解析；（ii）. 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意得圆和圆的半径分别为7，1， 因为与，都内切， 所以，， 所以， 又，，， 所以点的轨迹是以，为焦点的椭圆， 设的方程为：， 则，，即，， 故的方程为. （2） （i）设，，， 由题意中的性质可得，切线方程为， 切线方程为， 因为两条切线都经过点，所以，， 故直线的方程为，可得直线的斜率为：， 而直线的斜率为， 因为，所以； （ii）由直线的方程为：， 可改设直线的方程为：， 联立，整理得， 由韦达定理得， 又，所以直线的方程为， 令得， ， 所以直线经过定点，又， 再由，可设直线的方程为：， 再联立，整理得， 设，，则由韦达定理得， 因为，所以 ， 所以，当且仅当时，即时取等号. 又因为，所以. 考点二 以椭圆为背景的向量问题 例1．（25-26高二上·云南楚雄·期末）在平面直角坐标系中，过点的两条直线与直线的斜率分别为，且，记动点的轨迹为曲线. (1)求的方程. (2)已知是线段上一点（异于），过点的直线与交于两点，直线分别交直线于两点. （i）若点在轴的正半轴上，则是否存在直线，使得的面积是面积的4倍？说明理由. （ii）是否存在点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1)且 (2)（i）不存在，理由见解析（ii）存在，点的坐标为或 【详解】（1）由题意，设，则， 化简得且， 所以的方程为且. （2） （i）设，直线. 由，得， 即，则， ， ， 即，即， 因为点在轴的正半轴上，则，所以， 又，所以不存在直线，使得的面积是面积的4倍. （ii）直线的方程分别为， 令，则， 则， 所以 ， 当，即时，， 当，即（舍去）时，， 故当点的坐标为或时，为定值. 例2．（25-26高三上·天津南开·月考）已知椭圆的离心率为，短轴长为4. (1)求椭圆C的标准方程； (2)已知动直线l过曲线C的左焦点F，且与椭圆C分别交于P，Q两点，试问x轴上是否存在定点R，使得为定值？若存在，求出该定点坐标；若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)在轴上存在点，使得为定值． 【详解】（1）设椭圆的半焦距为, 由题意可得，解得， ， 所以椭圆的标准方程为． （2）①当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 联立椭圆的方程，可得， 设，则． 设，则 ， 若为定值， 则，解得． 此时点的坐标为． ②当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 代入，得 不妨设， 若，则，，． 综上，在轴上存在点，使得为定值．    例3．（25-26高二上·安徽合肥·期末）已知椭圆的离心率为，过点． (1)求椭圆的方程； (2)已知点，直线与椭圆相交于，两点，且线段被直线平分． ①求直线的斜率； ②若，求直线的方程． 【答案】(1) (2)①；② 【详解】（1）可得. 故椭圆方程为：． （2）①由条件知， 设，，则满足，， 两式作差得：，化简得， 当时，直线l过原点，其斜率不唯一，不合题意； 当时，因为被平分，故， 所以，即直线的斜率． 设直线为，代入椭圆方程可得， 所以，，                       ， ， 故 ， 由得：即，解得 又因为方程①中，所以.                  故所求直线方程为，即 例4．（25-26高三上·山东聊城·月考）已知椭圆的半焦距，离心率，且过点为坐标原点. (1)求椭圆的方程； (2)设过点的直线与椭圆分别交于不同的两点，若，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，整理得， 即，解得或. 当时，，此时C的离心率，符合题意； 当时，，此时C的离心率，不合题意，舍去， 所以椭圆C的方程为. （2）当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为， 联立得， 因为直线l与椭圆C分别交于不同的两点A，B， 所以，整理得. 设，则， 所以 ， 因为，所以令，则， 由，得，即， 因为，所以，解得， 当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为， 此时直线l与椭圆C的两交点分别为， 不妨取，则， 所以，所以，解得， 综上所述，的取值范围为. 变式1．（24-25高二上·江苏南京·月考）已知圆，圆，若动圆与圆外切，且与圆内切，记动圆圆心的轨迹为. (1)求的方程； (2)过的直线与交于两点，且，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设动圆的半径为，由题意 又，故的轨迹为椭圆. 故的轨迹方程为 （2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设为 联立，得 设，则 由，得， 所以，消去得， 解得，所以直线的方程为. 变式2．（24-25高二上·浙江绍兴·期中）已知点在椭圆上，过点作斜率为1的直线与椭圆交于A，B两点. (1)求椭圆C的方程; (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【详解】（1）由题意，故椭圆方程为； （2）由题意，联立椭圆方程得， 整理得，显然，则，， 所以， 由. 变式3．（24-25高二上·天津北辰·期中）已知椭圆的左焦点为圆的圆心，且椭圆上的点到点的距离的最小值为. (1)求椭圆的短轴长; (2)已知经过点的动直线与椭圆交于不同的两点A，B，点，求的值. 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）由圆的一般方程得：圆心为，即，； 又椭圆上的点到点的距离的最小值为，，解得：， ，则其短轴为. （2）由（1）知椭圆方程为. 当直线斜率不存在时，其方程为，，， ，，； 当直线斜率存在时，设，，， 由得：， 因为点在椭圆内部，则直线与椭圆必有两交点， ，， ， ，， . 综上所述：.    变式4．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知为圆上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为. (1)求的方程； (2)过点作直线（与轴不重合）与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意可知：的圆心为，半径为4，且，    则， 可知点的轨迹是以为焦点的椭圆，则， 所以的方程为. （2）因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，    设直线，，则， 联立方程，消去x可得， 则， 又因为， 若，则，即， 可得，解得， 所以的方程为，即. 2 学科网（北京）股份有限公司 $