精品解析：天津河东区2025-2026学年第二学期高三质量检测（一）数学试卷

河东区2025-2026学年度第二学期高三质量检测（一） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 所以或. 2. 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在是菱形的矩形 【答案】B 【解析】 【分析】由全称命题的否定，即否定条件，否定结论即可求解. 【详解】原命题可以写作：全部的菱形，都不是矩形，是全称命题， 所以该命题的否定是存在量词命题，即：存在一个菱形，它是矩形. 3. 已知函数，当函数的大致图象为下图时，a可能的值是（ ） A. 0.4 B. 0.8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用图象的单调性可确定极值情况，再借助导数来研究零点情况，即可确定参数范围，从而可得到选项判断. 【详解】函数定义域为，求导：  ， 令， 根据图像可知：先减、再增、再减，说明存在两个正的极值点， 所以二次方程有两个不同的正零点， 即方程有两个不等正根，且开口向下， 由判别式可得：， 由韦达定理可得：， ，故， 综上可得：，故A正确. 4. 2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（ ） A. 数据的极差为 B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C. 七年的平均利率为1.65 D. 利率的第80百分位数为1.75% 【答案】D 【解析】 【详解】由数据可知，七年来一年定期存款利率整体呈下降趋势是错误的，故B错误； 利率从小到大排列为， 则数据的极差为，故A错误； 七年的平均利率为，故C错误； 因为，所以利率的第80百分位数是第个数，即，故D正确. 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由，所以. 6. 已知函数（），将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列选项中，p是q的充分不必要条件的为（ ） A. p：函数的最小正周期为，q： B. p：，，q：函数 C. p：，，q：函数的值域为 D. p：，，q：是函数的一个对称中心 【答案】D 【解析】 【分析】由题设结合充分与必要条件定义可得答案. 【详解】A，当的最小正周期为，又，则， 从而；又时，可得的最小正周期为，则. 从而是的充要条件，故A错误； B，当，时，， 则由不能得到，从而不是的充分条件，故B错误； C，当，时，，， 因在上单调递增，在上单调递减， 则，， 从而此时值域为，则由不能得到，从而不是的充分条件，故C错误； D，当，时，由B分析可得， 令，得，从而的对称中心为， 取，得，则； 由题， 若其对称中心为，则， 取，易得不是方程的唯一解（例如也是该方程的一组解）， 则不能得到，从而是的充分不必要条件，故D正确. 7. 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过双曲线与抛物线的定义找出，将抛物线的准线方程代入双曲线方程解出两点坐标，联立双曲线渐近线方程与抛物线方程，找出的关系求解. 【详解】双曲线的右焦点为，抛物线的焦点为， 由焦点相同得，即， 将抛物线的准线代入双曲线方程，得，， 故，，则， 为等边三角形，， 双曲线的渐近线方程为：， 根据对称性，不妨取其中一条渐近线与抛物线方程联立： ，消元得，对应，即， ，即， ，得 所以双曲线的方程为： 8. “明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合物理中的电阻、电流和功率公式，以及基本不等式，即可求出结果. 【详解】由题知，总电阻， 电路电流， 所以滑动变阻器功率为 ， 因为，当且仅当即时，等号成立， 此时满足到的范围， 所以此时最大，且为. 9. 如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】以为坐标原点，所在直线建立平面直角坐标系，根据可得到点的轨迹方程，求出，，三点共线时点坐标，进而得到点坐标，设，表示出，利用辅助角公式即可求出答案. 【详解】以为坐标原点，所在直线建立如图所示平面直角坐标系， 则，，， 设，则，， 因为，所以， 所以点的轨迹方程为， 直线方程为， 联立，解得或（舍去）， 所以当，，三点共线时，， 此时直线方程为， 令，解得，所以， 设，其中， 则，， 所以 ， 其中，， 所以当，即，时，取得最小值，最小值为. 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分，请将答案填在题中横线上. 10. 已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【详解】因为，所以. 11. 若的展开式的常数项为60，则a＝_____ 【答案】4 【解析】 【分析】先求出二项式展开式的通项公式，再令x的系数等于0，求得r的值，即可求得展开式中的常数项的值，再由展开式的常数项为60，求出常数a的值． 【详解】∵展开式的通项公式为Tr+1＝•x﹣2r＝•x6﹣3r， 令6﹣3r＝0，可得 r＝2，∴展开式的常数项为＝60，解得a＝4． 故答案为4． 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题． 12. 已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆心在轴正半轴设圆心坐标，然后根据相切列方程得到，最后计算半径写方程即可. 【详解】设圆心，， 由题意得，解得或0（舍去）， 则圆的半径， 所以圆的方程为. 故答案为：. 13. 某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【详解】第一空，A地流感感染率为，那么A地流感未感染率为， 考虑至少一人感染的对立事件为3人都未感染，那么人都未感染的概率为. 所以至少一人感染的概率为. 第二空，因为A、B两个城区，人口比例为，所以人口占比分别为， 由全概率公式，该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为. 14. 篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点、、，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点，则点到平面的距离的最大值为__________厘米. 【答案】 【解析】 【分析】求出球心到平面的距离，点到平面的距离的最大值为，即可求出答案. 【详解】如图，为球心，为的中心，为中点， 设球半径为， 由题意知为等边三角形，，， 则，， 在中，， 即球心到平面的距离， 当三点共线时，点到平面的距离最大，最大值为. 15. 已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】①因为是偶函数，所以的图象关于直线对称，可设，根据为偶函数，为奇函数性质，列出方程并解出；再结合，解出;先化简的表达式，令，将原不等式转化为关于的不等式， 再进行变形，利用分离参数法，求出实数的取值范围 【详解】①设二次函数，则 又为偶函数，所以， 因为是奇函数，所以，即 化简得，即， 又，所以，所以 又，所以，解得 所以，， ②令，， 则可化为： ， ， 两边除以得  令，则，设， 对称轴为，，故最大值为  若， 恒成立，则，故的取值范围是 三、解答题：本大题共5小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 16. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. （1）求a，的值： （2）求的值； （3）求的面积. 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理角化边，利用余弦定理角化边，最后解方程组即可求解； （2）利用二倍角公式和两角差正弦公式即可求值. 【小问1详解】 在△ABC中，由，，可得， 因为，，， 可得， 代入，，可得：， 化简得：， 所以，，即； 【小问2详解】 由（1）可知C为钝角，且， 则，， 所以. 【小问3详解】 . 17. 如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. （1）求BE与平面所成角的正弦值； （2）求平面FBC与平面的夹角的余弦值； （3）边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 【答案】（1） （2） （3）存在， ，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）建系求点坐标，计算直线方向向量与平面法向量夹角的正弦值； （2）分别求两平面法向量，再求它们夹角的余弦值； （3）设出点的坐标，由题意得平面的法向量. 【小问1详解】 由题意得两两垂直， 以A为原点，为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 则，，，，，，，，，， 设BE与平面所成角为，， 易得平面的法向量为， 则， BE与平面所成角的正弦值为 【小问2详解】 设平面FBC与平面的夹角为， 平面FBC的法向量为，，， 则有，令，则， 平面的法向量为，， 则有，令，则， 平面FBC与平面的夹角的余弦值 【小问3详解】 设，平面的法向量， 若上存在点M，使、E、M、F四点共面，则有， ，， 则有，令，则， ，则，解得，， 故上存在点M，使、E、M、F四点共面，. 18. 已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. （1）求椭圆方程； （2）轴上有一点，，求直线的斜率； （3）若直线与轴交于点，求直线的斜率. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 由题知，，，， 且，，， ，，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）知，， 设过点的直线方程为，过原点且与直线平行的直线为， 联立可得， 则点的坐标为， 联立可得， 则点的坐标为， 所以，， 由，整理为，解得，（舍）， 即直线的斜率为. 【小问3详解】 由题知，， ， ， 由（2）整理为，解得，（舍）， 所以直线的斜率为. 19. 已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. （1）求{，的通项公式； （2）的前n项和为，，求； （3）证明：. 【答案】（1）， （2） （3） ，， 当时，，成立； 当时，，成立； 当时， ， 综上，原不等式成立. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列和等比数列的通项公式和等比中项的性质列方程，解方程即可； （2）根据等差数列求和公式得到，然后利用错位相减法求和即可； （3）通过放缩的思路得到，然后利用裂项相消法求和即可. 【小问1详解】 设的通项公式为，，， ，由得，即，故. 解得， ∴，， 设的通项公式为，，， 由已知， 整理为， ∴，. 【小问2详解】 ，，， ① ② ①-②得： ③ ④ ③-④得： ，. 【小问3详解】 略 20. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 【答案】（1） （2）（i）； （ii）由（ⅰ）可知，，所以， 又函数在单调递增，，，， 所以， 又，所以，所以， 即. 【解析】 【分析】（1）转化为无变号零点，利用导数求解即可； （2）（i）转化为函数有三个零点，进而转化为有两个不相等的正根，根据单调性和零点存在性定理即可求解；（ii）根据，的关系，，结合的单调性，结合（i）中的两根关系、a的取值范围即可得证. 【小问1详解】 （），令（）， 因为函数在定义域内无极值， 所以函数无变号零点，即函数在上无变号零点. 由，得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极小值为， 由上可知，，∴. 【小问2详解】 （ⅰ）（，）， （，），令，则， 因为有三个不同的极值点，即有三个变号零点， 所以必有两个不相等的正根， 所以方程必有两个不相等的正根， 记为，则，且， 由得. 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 因为，且，所以必有，且为极小值点，，且为极大值点. ，当时，，在上有唯一零点， 因为，， 必有为极大值点. 综上，当且仅当时，有三个不同的极值点，即a的取值范围为. （ⅱ）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2025-2026学年度第二学期高三质量检测（一） 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 第Ⅰ卷（选择题 共45分） 一、选择题：本大题共9个小题，每小题5分，满分45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将正确结论的代号填在下表内. 1. 已知全集，集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知命题p：菱形不是矩形，该命题的否定是（ ） A. 菱形是矩形 B. 存在一个菱形，它是矩形 C. 存在菱形不是矩形 D. 存在是菱形的矩形 3. 已知函数，当函数的大致图象为下图时，a可能的值是（ ） A. 0.4 B. 0.8 C. D. 2 4. 2026年1月中国人民银行官宣降息，旨在精准滴灌实体经济的关键领域，是适度宽松货币政策的延续.“明数理”数学兴趣小组通过调查，整理出下表数据，并进行统计学分析.表1为某银行近年来的人民币一年定期存款利率： 时间 2019年 2020年 2021年 2022年 2023年 2024年 2025年 利率% 1.50 1.75 1.75 1.55 1.85 1.65 1.50 关于表中的7个存款利率数据，下列结论正确的是（ ） A. 数据的极差为 B. 七年来，一年定期存款利率整体呈下降趋势 C. 七年的平均利率为1.65 D. 利率的第80百分位数为1.75% 5. 已知，，，则a，b，c的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数（），将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，下列选项中，p是q的充分不必要条件的为（ ） A. p：函数的最小正周期为，q： B. p：，，q：函数 C. p：，，q：函数的值域为 D. p：，，q：是函数的一个对称中心 7. 已知双曲线与抛物线有相同的焦点，抛物线的准线与双曲线交于，两点，三角形为等边三角形，双曲线的一条渐近线与抛物线交于原点与另一点，三角形的面积为，则双曲线的方程为（ ） A. B. C. D. 8. “明数理”数学兴趣小组在跨学科探究学习过程中遇到一个数学物理综合问题，下图为一个串联电路图，电源电压为，定值电阻的阻值为，滑动变阻器的阻值范围是到，已知纯电阻电路下图的一个功率公式为，闭合开关并移动滑动变阻器滑片，则的功率的最大值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图所示，正方形内有一个动点，，，当，，三点共线时，的延长线与交于点，正方形边长为2，则的最小值为（ ） A. 0 B. C. D. 1 第Ⅱ卷（非选择题 共105分） 二、填空题：本大题共6个小题，每小题5分，满分30分，请将答案填在题中横线上. 10. 已知为虚数单位，复数z满足，则__________. 11. 若的展开式的常数项为60，则a＝_____ 12. 已知直线：，：，若圆C的圆心在x轴正半轴上，且与直线，都相切，则圆C的方程为__________. 13. 某地区有A、B两个城区，人口比例为，由于人口密度不同，A、B两地的流感感染率分别为、.若随机选取A地区的3名市民进行该流感检测，至少1人感染的概率为________；若该地区随机选取1名市民进行该流感检测，则感染的概率为__________. 14. 篮球有不同的型号，比如男篮和女篮的比赛用球无论是质量还是大小均不相同，儿童一般用3号球，半径约9厘米.一款儿童篮球为标准球体，半径9厘米，球面上有三点、、，它们相互之间的直线距离均为9厘米，球面上有一动点，则点到平面的距离的最大值为__________厘米. 15. 已知二次函数满足为偶函数，为奇函数，且.的解析式为__________；若，，则实数m的取值范围是__________. 三、解答题：本大题共5小题，满分75分.解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程. 16. 已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，，，. （1）求a，的值： （2）求的值； （3）求的面积. 17. 如图，已知多面体中，底面ABCD为直角梯形，点、、、在底面的垂足分别为A、B、C、D，，，，，，E为的中点，F在上且. （1）求BE与平面所成角的正弦值； （2）求平面FBC与平面的夹角的余弦值； （3）边上是否存在点M，使、E、M、F四点共面，若存在，求出DM的长度，若不存在，则说明理由. 18. 已知椭圆的方程为，上顶点为，右顶点为，，椭圆的离心率为，过点的直线与椭圆交于点（在第一或第四象限），过原点且与直线平行的直线与椭圆在第二象限交于点. （1）求椭圆方程； （2）轴上有一点，，求直线的斜率； （3）若直线与轴交于点，求直线的斜率. 19. 已知公比大于1的等比数列，各项均为正数的等差数列，，，，是与的等比中项. （1）求{，的通项公式； （2）的前n项和为，，求； （3）证明：. 20. 已知函数（）. （1）函数在定义域内无极值，求a的取值范围； （2）函数（），有三个不同的极值点，，，； （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）证明. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $