精品解析：河南天立教育2025-2026学年高二下学期开学联考数学试题

河南省天立教育2025—2026学年度春期高二年级开学联考 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 2. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 4. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 40 8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 最小值为 C. 的最小值为 D. 满足的点有且只有一个 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 的前项和 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数满足，则__________. 13. 已知向量，，若，则________． 14. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； （2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 16. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 17. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. （1）求的方程； （2）设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省天立教育2025—2026学年度春期高二年级开学联考 数学试题卷 本试题卷共4页，四大题，19小题，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名､班级､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试题卷上无效. 3.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回. 一､单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知点在抛物线上，过点作圆的切线，若切线长为，则点到的准线的距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 【答案】A 【解析】 【分析】由圆的切线的性质可求得，结合抛物线方程计算可得点横坐标，即可得点到的准线的距离. 【详解】如图所示： 设切点为Q，则， 则， 设，则由两点间距离公式得到， 解得，因为，所以， 因为的准线方程为，所以点到的准线的距离PE为. 故选：A. 2. 已知函数，则（ ） A. －12 B. 12 C. －26 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】求出导数，令，求出，再求出. 【详解】因为函数，所以， 令则，，解得， 所以，， 所以，， 所以. 故选：C 3. 若点在圆外，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆的一般方程以及点在圆外，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围. 【详解】因为点在圆外，则，解得. 故选：B. 4. 已知数列为等比数列， ，则 （ ） A. B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等比数列的性质与通项公式即可得解. 【详解】因为为等比数列，则公比， 所以，又， 所以 ，解得， 又，而恒成立， 所以，则，故. 故选：C. 5. 点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可. 【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即， 结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：. 故选：A. 6. 已知空间向量，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量投影的概念，结合向量的数量积计算得出结果. 【详解】根据题意，， ，， 在上的投影向量可为 故选：A. 7. 已知等差数列的公差，，，记该数列的前n项和为，则的最大值为（ ） A. 20 B. 24 C. 36 D. 40 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，结合等差数列性质求出及通项公式，再确定所有非负数项即可得解. 【详解】等差数列中，公差，即数列是递减等差数列， 显然，而，且，解得，则， ，由，得，因此数列前9项均为非负数，从第10项起均为负数， 所以的最大值为. 故选：C. 8. 数学美的表现形式多种多样，我们称离心率（其中）的椭圆为黄金椭圆，现有一个黄金椭圆方程为，若以原点为圆心，短轴长为直径作为黄金椭圆上除顶点外任意一点，过作的两条切线，切点分别为，直线与轴分别交于两点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意O、A、P、B四点在以OP为直径的圆上，可设点P坐标为，从而得出四点所在圆的方程为，利用两圆方程之差求得切点A、B所在直线方程，进而求得M、N两点坐标即可解决本题. 【详解】依题意有OAPB四点共圆，设点P坐标为，则该圆的方程为：， 将两圆方程：与相减，得切点所在直线方程为 ，解得，因为，所以 故选：A 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知圆，过直线上一点向圆作两切线，切点为、，则（ ） A. 直线恒过定点 B. 最小值为 C. 的最小值为 D. 满足的点有且只有一个 【答案】AC 【解析】 【分析】根据、与圆相切，得到直线的方程，可判断A选项；由勾股定理得当最小时最小，可判断B选项；根据弦长公式，可判断C选项；由可得到，可判断D选项. 【详解】 对于A，圆的圆心为，半径为， 设，在直线上，， 、为圆的切线， 以为直径的圆的方程为， ，两式作差可得直线的方程为， 将代入得：， 满足，解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，，当最小时，最小， ，， ，此时，故B错误； 对于C，， 到的距离， ， 当时，，故C正确； 对于D，若，则，即， ， 存在两个点使，故D错误. 故选：AC. 10. 数列满足：，，，下列说法正确的是（ ） A. 数列为等比数列 B. C. 数列是递减数列 D. 的前项和 【答案】AB 【解析】 【分析】推导出，，从而数列为首项为，公比为3的等比数列，由此利用等比数列的性质能求出结果． 【详解】解：数列满足：，，， ，， ， 数列为首项为，公比为3的等比数列，故正确； ，，故正确； 数列是递增数列，故错误； 数列的前项和为：， 的前项和，故错误． 故选：． 11. 如图，点是棱长为2的正方体的表面上一个动点，是线段的中点，则（ ） A. 若点满足，则动点的轨迹长度为 B. 三棱锥体积的最大值为 C. 当直线与所成的角为时，点的轨迹长度为 D. 当在底面上运动，且满足平面时，线段长度最大值为 【答案】CD 【解析】 【分析】利用线面垂直的性质定理可得动点的轨迹为矩形，其周长为；显然三棱锥体积的最大值即为正四面体，易知最大值为；易知当点在线段和弧上时，直线与所成的角为，可知其轨迹长度为；根据面面平行的判定定理可求出点在底面上的轨迹为三角形，易知长度的最大值为. 【详解】对于A，易知平面平面，故动点的轨迹为矩形， 动点的轨迹长度为矩形的周长，即为，所以错误； 对于B，因为，而等边的面积为定值， 要使三棱锥的体积最大，当且仅当点到平面的距离最大， 易知点是正方体到平面距离最大的点， 所以，此时三棱锥即为棱长是的正四面体， 其高为，所以，B错误； 对于C：连接AC，，以B为圆心，为半径画弧，如图1所示， 当点在线段和弧上时，直线与所成的角为， 又， 弧长度，故点的轨迹长度为，故正确； 对于D，取的中点分别为， 连接，如图2所示， 因为平面平面，故平面， ，平面平面，故平面； 又平面，故平面平面； 又， 故平面与平面是同一个平面. 则点的轨迹为线段： 在三角形中， 则， 故三角形是以为直角的直角三角形； 故，故长度的最大值为，故正确. 故选：. 【点睛】方法点睛：立体几何中动点轨迹问题经常利用不动点的位置和动点位置关系，利用线面、面面平行或垂直的判定定理和性质定理，找出动点的轨迹进而计算出其轨迹长度. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设函数满足，则__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据导数的定义及极限的运算性质计算可得. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 13. 已知向量，，若，则________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据空间向量的共线，可得向量之间有倍数关系，由此可得方程组，即可求解答案. 【详解】由题意知向量，，， 故存在实数，使得， 即，解得， 故， 故答案为：3 14. 已知双曲线的左焦点为，过坐标原点作直线与双曲线的左右两支分别交于两点，且，则双曲线的渐近线方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】双曲线的右焦点为，四边形是平行四边形，有，，又，解得，中由余弦定理得，可求出得双曲线的渐近线方程. 【详解】双曲线的右焦点为，连接， 由关于原点对称，也关于原点对称，可知四边形是平行四边形， 又，，则有，， 又由双曲线的定义得，解得， 再由余弦定理：， 即，得， 再由， 故渐近线方程为：， 故答案为：. 【点睛】方法点睛： 双曲线与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余弦定理、，得到a，c的关系．双曲线的渐近线是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的渐近线，常见有两种方法：①求出a，b，代入渐近线方程；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合转化为a，b的齐次式，代入渐近线方程即可． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知圆. （1）若的坐标为，求过点与圆C相切的直线方程； （2）直线与圆交于两点，求的取值范围（为坐标原点）. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）利用斜率分类思想，来设出切线方程，然后利用圆心到切线的距离等于半径，即可求得斜率，从而可得切线方程； （2）联立直线与圆的方程，利用韦达定理，结合向量的坐标运算，可求得参数范围. 【小问1详解】 圆的圆心为，半径，过点的切线， 若切线的斜率不存在，则直线方程为，符合题意； 若切线的斜率存在，设切线方程为，即 则根据相切可得：，即，解得， 所以切线方程为，即； 即过点的切线方程为或， 【小问2详解】 由，得， 整理可得：， 设， 由，解得 则， 所以 ， 即， 因为， 所以， 即的取值范围为. 16. 已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为． （1）求椭圆的方程及离心率； （2）若直线BD的斜率为0，求t的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意得，进一步得，由此即可得解； （2）设，，联立椭圆方程，由韦达定理有，而，令，即可得解. 【小问1详解】 由题意，从而， 所以椭圆方程为，离心率为； 【小问2详解】 直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾， 从而设，， 联立，化简并整理得， 由题意，即应满足， 所以， 若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设， 所以，在直线方程中令， 得， 所以， 此时应满足，即应满足或， 综上所述，满足题意，此时或. 17. 设抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，且的最小值为4. （1）求的方程； （2）设过的另一直线交于两点，且点在直线上. （i）证明：直线过定点； （ii）对于（i）中的定点，当的面积为时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）（i）证明如下： 设直线方程：. 由消去得.① 又由（1）知，同理. 当的斜率不存在时，的斜率不存在时，不妨设 此时，； 当的斜率存在时，直线的斜率. 直线方程为，化简得② 由①②得，即. 由得，直线过定点； 所以直线过定点； （ii）或. 【解析】 【分析】（1）借助弦长公式构造方程，结合二次函数得到最值计算即可； （2）（i）设直线方程：. 直曲联立.另外，由前问求出.进而得到直线方程，化简得到.即可求出定点. （ii）先求出和直线方程，还求出点到直线的距离，根据面积公式计算出点坐标，即可求出直线方程. 【小问1详解】 设直线方程：，代入中，消去得. 设，则. 当时，有的最小值为. ，故的方程为. 【小问2详解】 （i）略 （ii）由（i）知， 直线方程为：，点到直线的距离， ，解得或6.所以点坐标为，或. 且，或. 直线方程为或. 【点睛】方法点睛：处理定点问题的思路： （1）确定题目中的核心变量（此处设为k）， （2）利用条件得到有关k与x，y的等式， （3）所谓定点，是指存在一个特殊的点，使得无论k的值如何变化，等式恒成立，此时要将关于k与x，y的等式进行变形，直至找到定点， ①若等式的形式为整式，则考虑将含k的式子归为一组，让系数等于0，求出定点； ②若等式的形式是分式，一方面可考虑让分子等0，一方面考虑分子和分母为倍数关系，可消去k变为常数. 18. 如图，在四棱锥中，侧面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中为的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）线段上是否存在，使得它到平面的距离为？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由. 【答案】（1） 为的中点， 侧面底面. 侧面底面平面， 平面. （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）已知侧面底面，应用面面垂直性质定理证明线面垂直； （2）建立空间向量求出平面PAD的法向量和平面的法向量，再应用二面角余弦公式计算求解； （3）设点，再应用点到平面距离公式计算求参即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵底面为直角梯形， 其中， ，又平面， ∴以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立 如图所示的空间直角坐标系. 则， ， 设平面PAD的法向量. 设平面的法向量， 则，取，得. 设平面与平面夹角为， 则， 故平面与平面夹角的余弦值为. 【小问3详解】 设线段上存在， 使得它到平面的距离为， 到平面的距离， 解得或（舍去）， 则，则 19. 已知数列的前项积为．定义：若存在，使得对任意的，恒成立，则称数列为“数列”． （1）若，且为“2数列”，求． （2）若，且为“数列”，的前项的平方和为，数列是各项均为正数的等比数列，满足，求的值和的通项公式． （3）若，，且为“数列”，的前项和为，证明：． 【答案】（1） （2）， （3） 因为为“数列”，所以， 即对任意的恒成立， 因为，，所以． 再结合，，，反复利用， 可得对任意的，． 设函数，则． 由，得． 当时，，所以在上单调递减． 所以当时，，即． 又，所以． 可得，，，， 累加可得， 即，即， 所以． 【解析】 【分析】（1）根据“2数列”的定义计算即可； （2）根据题意得到，然后结合“数列”的定义列方程得到，最后写通项即可； （3）根据“数列”的定义得到，然后构造函数得到，最后利用累加法证明即可. 【小问1详解】 由，且为“2数列”，得，即， 则， ， ， ． 【小问2详解】 设数列的公比为， 由，得， 即， 则． 两式相减得， 即． 因为是首项为2的“数列”，所以， 即， 所以， 即对任意的恒成立． 因为，， 则，即， 解得，． 又由，即，得，所以． 检验可知符合要求，故数列的通项公式为． 【小问3详解】 略 【点睛】关键点睛：本题为数列的新定义题型，准确理解“数列”的含义，紧扣题意将问题转化为熟悉的数学知识进行求解，同时构造函数，利用导数研究函数的单调性是证明不等式的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $