精品解析：云南玉溪第一中学2025-2026学年高一下学期开学考试数学试题

玉溪一中2025-2026学年下学期高一年级开学考考试 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：2028届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 4. 若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A. B. C. D. 5. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ） A. y＝sin B. y＝sin C. y＝sin D. y＝sin 6. 函数零点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 7. 若函数的最大值是2，则（ ） A B. C. D. 8. 已知正数满足，则下列选项错误的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为2 C. 最小值为 D. 的最小值为6 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为的是（ ） A B. C. D. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 11. 已知函数，若有三个不等实根，且，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 函数有4个零点 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 13. 已知向量，若向量与垂直，则________. 14. 使不等式成立的的取值范围是________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 16. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，污染物的初始含量，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物. （1）求的值. （2）后还剩百分之几的污染物？ （3）污染物减少需要花多少时间（精确到）？ （参考数据：） 17. 已知． （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 玉溪一中2025-2026学年下学期高一年级开学考考试 数学学科试卷 总分：150分，考试时间：120分钟 命题人：2028届数学备课组 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数定义域的求法来求得正确答案. 【详解】依题意，，解得， 所以的定义域的为. 故选：C 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据充分条件和必要条件的定义判断. 【详解】由不能推出，但能推出. 所以是的必要不充分条件. 故选：B. 3. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角函数定义，结合诱导公式求解可得. 【详解】因为角的终边经过点，所以， 所以. 故选：C 4. 若单位向量，的夹角为，向量，向量，则下列命题为假命题的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求和，可判断A的真假；计算，判断C的真假；计算可判断两向量的位置关系，判断BD的真假. 【详解】因为，， 所以，， ，所以，A正确； ，C正确； ，所以，故B错误，D正确. 5. 如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ） A. y＝sin B. y＝sin C. y＝sin D. y＝sin 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择. 【详解】由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为， 故可得，，则.排除B、D. 又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60， 所以|ω|＝，即ω＝－. 故满足题意的函数解析式为：. 故选：. 【点睛】本题考查三角函数在生活中的应用，属基础题. 6. 函数的零点个数为（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】分析函数的奇偶性，数形结合可得出函数在内的零点个数，结合函数奇偶性的性质可得出结果. 【详解】函数的定义域为， 且，故函数为偶函数， 当时，，考虑函数在内的零点个数， 令，可得， 作出函数、在上的图象如下图所示， 由图可知，函数、在上的交点个数为， 故函数在上的零点个数为， 因此，函数的零点个数为. 故选：D. 7. 若函数的最大值是2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据有最大值及指数复合函数的单调性，可得在定义域上先减后增，再由二次函数性质求参数即可. 【详解】由在定义域上递减， 要使有最大值，则在定义域上先减后增， 当，则的最小值为， 所以，可得. 故选：A 8. 已知正数满足，则下列选项错误的是（ ） A. 的最小值为4 B. 的最小值为2 C. 的最小值为 D. 的最小值为6 【答案】D 【解析】 【分析】利用结合基本不等式判断A，利用基本不等式判断B，由结合AB中结论判断C，对于D由解得，所以，再利用换元法和基本不等式求解最值. 【详解】因为，且， 对于A，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为4，说法正确； 对于B，由基本不等式得，解得， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为2，说法正确； 对于C，因为， 由AB得，， 所以，当且仅当时等号成立， 所以的最小值为，说法正确； 对于D，由解得， 则， 令，则， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，说法错误； 故选：D 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式中，值为是（ ） A B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据诱导公式可判断A；由二倍角的正弦公式可计算B；由二倍角的余弦公式可判断C；由诱导公式可计算D. 【详解】对于A：，所以A正确 对于B：，所以B正确 对于C：，所以C不正确 对于D：，所以D正确， 故选：ABD. 10. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 当时，的值域为 C. 将函数的图象向右平移个单位长度可得函数的图象 D. 将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点对称 【答案】AD 【解析】 【分析】由图象可看出函数的周期，并由，可将函数方程求出，方程为，再求在闭区间上的值域，以及图形的变换“左加右减”即可知选项C是错误的，最后再求对称点. 【详解】对于A：由图可知：，故A正确， 由，知，因为，所以， 所以，即， 又因为，所以，所以函数为， 对于B：当时，，所以，故B错误， 对于C，将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象，故C错误， 对于D：将函数的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 因为当时，， 可得到的图象关于点对称，D正确. 故选：AD. 11. 已知函数，若有三个不等实根，且，则（ ） A. 的单调递减区间为 B. 的取值范围是 C. 的取值范围是 D. 函数有4个零点 【答案】ACD 【解析】 【分析】作出函数和有三个交点的图象，结合图象逐个判断即可求解 【详解】作出函数和有三个交点的图象， 可知，的单调递减区间为，故A正确； 的取值范围是，故B错误； 由，得，即， 故，则. 又因为，所以的取值范围为，故C正确； 令，则或， 则函数的零点可转化为或的零点， 由图象可知只有一个零点，有3个零点， 即函数有4个零点，故D正确； 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】对于给定的分段函数，先计算的值，再计算即可. 【详解】因为， 所以， 所以， 故答案为： 13. 已知向量，若向量与垂直，则________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合向量的坐标运算，以及向量垂直的坐标表示，列出方程，即可求解. 【详解】由向量，可得 因为与垂直，可得，解得. 故答案：. 14. 使不等式成立的的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】在同一个坐标系中分别作出三个函数的图象，结合图象可得. 【详解】如图，分别作出的图象，结合图象可知恒成立， 当时，；当时，；当时，； 所以不等式成立的的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】本题主要考查函数图象的应用，利用图象求解不等式的关键是数形结合，侧重考查直观想象的核心素养. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知，，，． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数的关系，先求，，再由余弦的差角公式计算； （2）根据三角恒等变形结合同角三角函数的关系可求，进而求即可求． 【小问1详解】 由题可得，，， ∴，， 又 ． 【小问2详解】 ． 由，则， 由，则， ∴，， 又，，则， ∴， 而， 故． 16. 某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，污染物的初始含量，其中是正的常数，如果在前消除了的污染物. （1）求的值. （2）后还剩百分之几的污染物？ （3）污染物减少需要花多少时间（精确到）？ （参考数据：） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题目中所给的污染物含量与时间的关系，代入数据计算求解即可； （2）将代入，结合指数的运算性质求解即可； （3）设污染物减少需要花，则有，化为对数，利用对数的运算即可得出结果. 【小问1详解】 由题意可知当时，，即， 所以. 【小问2详解】 当时，， 即后，还剩的污染物. 【小问3详解】 设污染物减少需要花，则有， 两边取以为底的对数，得， 所以 ， 即污染物减少大约需要花. 17. 已知． （1）若的解集为，求实数a，b的值； （2）解关于x的不等式． 【答案】（1）； （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）由不等式的解集为，得到为方程的根，代入求得，进而求得不等式的解集，得到的值. （2）把转化为，得到，结合一元二次不等式的解法，分类讨论，即可求解. 【小问1详解】 解：由不等式的解集为， 即的解集为， 所以为方程的根，所以，解得， 又由不等式，解得，所以． 【小问2详解】 解：由不等式等价于，可得， 当时，解不等式得或； 当时，解得； 当时，解得或； 综上，当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为； 当时，不等式的解集为． 18. 已知函数的图象经过点. （1）求的值； （2）求不等式的解集； （3）若成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点的坐标可得解析式； （2）判断奇偶性和单调性，利用性质可解不等式； （3）利用单调性转化，结合基本不等式可求答案. 【小问1详解】 因为函数的图象经过点，所以，解得. 【小问2详解】 ，定义域为，，即为奇函数； 因为为增函数，为减函数，所以为增函数， 等价于，即， 所以，解得或，故解集为. 【小问3详解】 由（2）可知函数为增函数，，所以； 等价于，即在恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值为， 所以，即， 实数的取值范围是. 19. 已知函数． （1）求函数的最小正周期； （2）若将函数的图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，所得的图象在区间内恰有一个对称中心，求的取值范围； （3）若函数在上有唯一零点，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换对化简得到，利用最小正周期公式即可得解； （2）求出变换后的函数解析式为，函数在区间内恰有一个对称中心，即函数在恰有一个对称中心，结合正弦函数图象列不等式即可求解； （3）将函数零点转化为方程，令，方程可化为，分为方程有一根和两根分别求解，即可求出答案. 【小问1详解】 ， 所以函数的最小正周期. 【小问2详解】 由题意得变换后的函数解析式为， 当时，， 函数在区间内恰有一个对称中心，即函数在恰有一个对称中心， 故，解得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 当时，， 作出函数在上的图象，如图所示： 函数在上有唯一零点， 即方程在上有唯一解， 令，方程可化为， 当关于的方程只有一个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的根， 令，解得，此时方程的根为，符合题意； 当关于的方程有两个根时， 若方程在上有唯一解， 则关于的方程的两个根，， 当时，方程只有一个根，不符合题意，则，， 因为函数的对称轴为， 所以方程的两个根，一个小于，一个大于， 所以若，则恒成立， 所以仅需满足即可， 所以，解得. 综上所述，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $