精品解析：四川泸县第五中学2025-2026学年高二下学期开学检测数学试题

高2024级高二第二学期开学检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将方程化简为标准形式，求出的值，根据定义求准线方程即可. 【详解】由方程，则，则，所以抛物线开口向下，所以准线方程为. 故选：C 2. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出直线的斜率，再利用点斜式即可求出. 【详解】直线的斜率为， 又直线过点，，即. 故选：C. 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据圆与轴相切求得半径，根据圆的标准方程即可得到答案. 【详解】圆心到轴的距离， 由题意知，圆的半径， 所以与轴相切的圆的方程为. 故选：B. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】先证明充分性，当时，求出，即可判断两直线是否平行；再证明必要性，先讨论然后写出两直线方程或两直线斜率，当时，得到两直线斜率的关系，建立方程并求解，然后再验证两直线是否重合即可求得的值.然后得到本题结论. 【详解】当时，直线的斜率，直线的斜率，即，又代入易知两直线不重合，∴，满足充分性； 当时，，，当时，，， 当时，显然，∴，即，∴，∴或， 当时，，，两直线重合，舍去. ∴，满足必要性. ∴“”是“”的充要条件. 故选：C. 5. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【详解】由为的中点，得， 所以. 故选：A 6. 已知数列满足：，，若，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】先根据已知条件判断数列的类型，再代入求的值. 【详解】因为，，所以， 所以是以为首项，为公比的等比数列， 由，得，解得. 故选：C 7. 已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据点到直线的距离公式、双曲线的性质求解即可. 【详解】双曲线的焦点为，渐近线方程为，即，. 取焦点，渐近线方程， 由题意知，整理得. 所以，所以. 故选：A． 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件，确定的关系，求双曲线的离心率. 【详解】如图： 设直线与圆的切点为，作，交于点，则. 因为，，所以. 又为中点，所以，. 又，， 所以可设：，，. 由. 根据双曲线的定义：. 所以. 所以. 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 【答案】AD 【解析】 【分析】根据作差求出的通项，即可判断A、B，根据二次函数的性质判断C，根据等差数列的定义判断D. 【详解】对于A：因为，当时，故A正确； 对于B：当时， 所以， 经检验时也成立，所以， 所以，，则，故B错误； 对于C：因为，所以当或时取得最大值，且， 即数列有最大项，故C错误； 对于D：因为，则，又， 所以是首项为，公差为的等差数列，故D正确. 故选：AD 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，由题意可得，化简后进行判断，对于B，根据抛物线的定义分析判断，对于C，设直线为，，将直线方程代入抛物线方程化简利用根与系数的关系计算判断，对于D，根据抛物线的定义结合基本不等式分析判断. 【详解】由题意得抛物线C：的焦点为，，准线方程为， 圆圆心坐标为，半径为. 对于A：所以本选项说法错误； 对于B：因为， 所以，所以本选项说法正确； 对于C：设直线为，， 由，得， 因为，所以， 直线的方程为， 所以点的坐标为，因为， 所以点的坐标为，而点的坐标为， 所以点的纵坐标和点的纵坐标相同， 所以，因此本选项说法正确； 对于D：设， 由选项C可知，且， 所以 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值是，所以D正确， 故选：BCD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 【答案】AC 【解析】 【分析】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系求得直线方向向量可判断A，由三棱锥体积公式可判断B，由点到线距离的向量法公式即可判断C，设，的中点分别为，，过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面，判断直线与平面交于点为球心，得到点的轨迹长度与点的轨迹长度相等，即可判断D． 【详解】以D为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示．设， 则，，，，． 对于选项A：因为，， 所以， 所以，所以，A正确． 对于选项B：三棱锥的体积， 所以当时，三棱锥的体积取得最大值，B错误． 对于选项C：若，则，，， 所以，， 所以点到直线的距离，C正确． 对于选项D：设，的中点分别为，， 过点作平面的垂线，过点作与棱垂直的平面， 直线与平面交于点，则点为外接球的球心， 显然点的轨迹长度与点的轨迹长度相等． 因为，，所以． 在平面内，点的轨迹方程为，且，， 故点的轨迹长度近似为，即三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为，D错误． 故选：AC． 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件 与事件 相互独立，，，则 _____________________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件 与事件 相互独立，所以事件 与事件 相互独立， ，， 则， 故答案为：. 13. 已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是_______. 【答案】或 【解析】 【分析】联立直线与抛物线方程，进而分，结合的正负情况讨论求解即可. 【详解】联立，得， ①当时，，解得，此时， 直线与抛物线有且仅有一个公共点； ②当时，由， 若，即，方程无实根，则直线与抛物线无交点； 若，即，方程有两个相等实根， 则直线与抛物线相切，有且仅有一个公共点； 若，即且时，方程有两个不等实根， 则直线与抛物线有两个不同交点； 综上所述：当直线斜率或时，直线与抛物线有且仅有一个公共点. 故答案为：或. 14. 空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设四面体的外接球球心为，根据得到，再根据结合的范围求出的范围，再根据的范围即可求出的最小值，利用球的体积公式即可求解. 【详解】设四面体的外接球球心为，外接球半径为， 则，，， 由题意得，则，化简得， 同理，由得，由得， 则， 又， 由得， 化简得， 因为， 由二次函数图象可得当时，取最小值，当或时，取最大值， 即， 而， 所以当时，取得最小值，即取得最小值， 此时外接球的体积， 所以四面体的外接球的体积的最小值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： （1）“取出两球的标号之和为3”的概率； （2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分析可知甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1，结合独立事件概率乘法公式运算求解； （2）取对立事件为取出两球的标号均等于1，根据独立事件概率乘法公式结合对立事件概率求法运算求解. 【小问1详解】 记“取出两球的标号之和为3”为事件A， 可知和为3为或，即甲取1，乙取2，或甲取2，乙取1， 所以. 【小问2详解】 记“取出两球的标号至少有一个大于1”为事件B， 则为“取出两球的标号均等于1”，可得， 所以. 16. 已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为. （1）若点，为圆上一动点，求的最小值； （2）若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值. 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【分析】（1）先用几何法构造直角三角形得到圆心和半径，运用向量法对所求进行整理求解； （2）联立直线与圆的方程，整理得到根与系数的关系，再结合垂直条件运用向量法求解. 【小问1详解】 设圆心坐标为，则半径，圆心到轴的距离为，，得， 圆的方程为. 设，则， 又，， 又， ，， 即的最小值为. 【小问2详解】 （2）设，， 联立，消去得， 由， 得，，. 由，知， 即， ， ，得，满足， . 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）由题意得，再根据椭圆的定义得出周长为，即可求出椭圆标准方程； （2）设直线的方程为，，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理及弦长公式列方程求解即可. 【小问1详解】 因为为C的焦点，所以， 的周长为：，解得， 所以， 所以椭圆C的方程为：． 【小问2详解】 显然直线的斜率不为0，设直线的方程为，， 联立，得， 则，， 所以， 解得，则直线的方程为，即或. 18. 已知数列满足. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：. 【答案】（1）已知 ，移项可得 , 则 , 当 时， , 因为 （常数），且首项 ， 所以 是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列. （2） （3）因为 ， 所以 . 当 时， ，不等式成立； 当 时， . . 所以 . 【解析】 【分析】（1）可根据等差数列的定义，通过计算 是否为常数即可证明； （2）由（1）得到 的通项公式，再利用累加法求出 的通项公式； （3）先对 进行放缩，然后通过裂项相消法证明不等式. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知 是以 4 为首项，4 为公差的等差数列， 根据等差数列通项公式可得 . 当 时，. 将 代入上式可得：. ， 当 时， ，上式也成立. 所以数列 的通项公式为 . 【小问3详解】 略 19. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 【答案】（1） （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设点，利用两点间距离公式构造方程求解； （2）设直线方程，联立曲线方程，结合韦达定理及中点关系求出方程，进而证明结论；分别求出对应弦长，得出，再利用基本不等式求最小值． 【小问1详解】 设，则， 解得． 【小问2详解】 ①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为， 联立，消去得：， 则，设，由韦达定理可得， 为线段的中点， ，代入得，即， 联立，消去得：， 设，同理可得， 则直线的斜率， 直线的方程为， 即变形为：， 令，解得，恒过定点． ②直线对应的弦长， 直线对应的弦长， 的表达式为：， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， ， 的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二第二学期开学检测 数 学 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上. 2．考生必须保持答题卡的整洁. 第I卷 选择题（58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 抛物线的准线方程是（ ） A. B. C. D. 2. 过点且倾斜角为的直线方程为（ ） A. B. C. D. 3. 圆心坐标为，且与轴相切的圆的方程为 （ ） A. B. C. D. 4. 已知直线，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列满足：，，若，则n为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 已知双曲线：（，)的一焦点到渐近线的距离为a，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 8. 双曲线的两个焦点为、，以的实轴为直径的圆记为，过作圆的切线与的两支分别交于、两点，且，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 数列的前项和，则（ ） A. B. C. 数列有最小项 D. 是等差数列 10. 已知抛物线的焦点为，过的直线与和圆交于四个点，且自上而下分别是为坐标原点，直线与的准线交于点，则（ ） A. B. C. D. 的最小值是 11. 如图，在棱长为2的正方体中，，，，则下列说法正确的有（ ） A. B. 三棱锥的体积最大值为1 C. 若，则点到直线的距离为 D. 三棱锥外接球球心轨迹的长度近似为 第II卷 非选择题（92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若事件 与事件 相互独立，，，则 _____________________. 13. 已知直线与抛物线有且只有一个公共点，则实数k的值是_______. 14. 空间直角坐标系中，，则四面体的外接球的体积的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知甲口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个红球，乙口袋中放有质地均匀大小相同标号为1，2，3的三个蓝球，从两个口袋中各任取一球，求： （1）“取出两球的标号之和为3”的概率； （2）“取出两球的标号至少有一个大于1”的概率． 16. 已知圆心在直线上的圆与轴的正半轴相切，圆截轴所得的弦长为. （1）若点，为圆上一动点，求的最小值； （2）若直线与圆交于，两点，且（为坐标原点），求实数的值. 17. 已知椭圆的左右焦点分别为，经过的直线与椭圆交于两点，且的周长为8. （1）求椭圆的方程； （2）若，求直线的方程. 18. 已知数列满足. （1）证明：是等差数列； （2）求数列的通项公式； （3）证明：. 19. 已知动点P到定点与到定直线的距离相等． （1）求动点P的轨迹方程； （2）过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段，的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $