精品解析：云南曲靖市罗平县八壹高级中学2025-2026学年高二下学期入学考试数学试卷

罗平八壹高级中学春季入学考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 4. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 6. 在正方体中，P为的中点，则直线 与所成的角为（ ） A. B. C. D. 7. 直线与圆相切，则 A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的焦点在 轴上 B. 椭圆的长轴长是 C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 的坐标为 11. 数列的前 项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 14. 已知P是：上的动点，则P到直线l： 距离的最小值为________ 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前 项和．若，求． 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，，求数列{cn}的前n项和Tn． 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于 ， 两点，求的面积. 18. 在四棱锥中，底面 是正方形，若． （1）证明：平面平面 ； （2）求二面角的平面角的余弦值． 19. 已知动点在运动过程中总满足关系式 （1）请说明动点的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； （2）记点的轨迹为曲线，且曲线与 轴交于两个不同的点，当动点与两点均不重合时，证明直线 的斜率之积为定值，并求出此定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 罗平八壹高级中学春季入学考 高二年级数学试卷 （考试时间：120分钟 满分：150分） 注意事项： 1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的考号、姓名、考场、座位号、班级在答题卡上填写清楚． 2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试卷上作答无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件，利用递推关系，直接求解即可. 【详解】因为，，所以，， 故选：C. 2. 抛物线的焦点坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先将方程化简为标准形式，即可得焦点坐标. 【详解】由抛物线可得，故焦点坐标为. 故选：C. 3. 已知，，且，则（ ） A. B. 4 C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间平行向量的坐标表示公式进行求解即可. 【详解】因为，，且， 所以. 故选：B 4. 直线过点且与直线垂直，则的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由两直线垂直，斜率相乘得，可求得斜率，利用点斜式求解即可. 【详解】直线的斜率为，则直线的斜率为， 因此，直线的方程为，即. 故选：. 5. 若直线是圆的一条对称轴，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】若直线是圆的对称轴，则直线过圆心，将圆心代入直线计算求解． 【详解】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得． 故选：A． 6. 在正方体中，P为的中点，则直线 与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】平移直线至，将直线 与所成的角转化为 与所成的角，解三角形即可. 【详解】 如图，连接，因为∥， 所以或其补角为直线 与所成的角， 因为平面，所以，又，， 所以平面，所以， 设正方体棱长为2，则， ，所以. 故选：D 7. 直线与圆相切，则 A. -2或12 B. 2或-12 C. -2或-12 D. 2或12 【答案】D 【解析】 【详解】∵直线与圆心为（1,1）,半径为1的圆相切，∴＝1或12,故选D. 考点：本题主要考查利用圆的一般方程求圆的圆心和半径，直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式的应用. 8. 已知是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且，则C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的定义及条件，表示出，结合余弦定理可得答案. 【详解】因为，由双曲线的定义可得， 所以，； 因为,由余弦定理可得， 整理可得，所以，即. 故选：A 【点睛】关键点睛：双曲线的定义是入手点，利用余弦定理建立间的等量关系是求解的关键. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆，则下列说法中正确的是（ ） A. 椭圆的焦点在 轴上 B. 椭圆的长轴长是 C. 椭圆的焦距为 D. 椭圆的离心率为 【答案】ABD 【解析】 【分析】设椭圆的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ，根据椭圆方程可判断焦点位置，并求，由此判断A，结合相关定义判断BCD. 【详解】设椭圆的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 ， 因为椭圆的方程为， 所以椭圆的焦点在 上，且，A正确， 所以椭圆的长轴长为，B正确， 椭圆的焦距为，C错误； 椭圆的离心率，D正确. 故选：ABD. 10. 已知抛物线的焦点为为坐标原点，点在抛物线上，若，则（ ） A. B. C. D. 的坐标为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据题意，利用抛物线的定义，求得点 的坐标，结合选项，逐项判定，即可求解. 【详解】由抛物线，可得， 因为点在抛物线上，且， 根据抛物线的定义，可得，解得， 又因为，所以，即， 则. 故选：ABC. 11. 数列的前 项和为，已知，则下列说法正确的是（ ） A. 数列是递增数列 B. C. 当时， D. 当或4时，取得最大值 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据给定的前 项和，求出，再逐项判断作答. 【详解】数列的前 项和，当时，， 而满足上式，所以，B正确； 数列是公差为的等差数列，是单调递减的，A不正确； 当时，，C正确； 当时，，即数列前3项均为正，第4项为0，从第5项起为负， 因此当或4时，取得最大值，D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知等差数列满足，则的通项公式为_____． 【答案】 【解析】 【分析】先列出等差数列的通项，结合已知条件求出公差，进而得出通项公式． 【详解】已知是等差数列，设公差为 ，则， ， ，解得， ． 故答案为：． 13. 若方程表示焦点在x轴上的椭圆，则实数k的取值范围是______ 【答案】 【解析】 【详解】因为方程表示焦点在x轴上的椭圆， 故，解得，即实数k的取值范围是. 14. 已知P是：上的动点，则P到直线l： 距离的最小值为________ 【答案】 【解析】 【详解】将圆的方程配方得, 因此圆心为，半径， 根据点到直线的距离公式，圆心C到直线l： 的距离：， 则P到直线l： 距离的最小值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 等比数列中，． （1）求的通项公式； （2）记为的前 项和．若，求 ． 【答案】（1）或 . （2）. 【解析】 【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m． 详解：（1）设的公比为 ，由题设得． 由已知得，解得（舍去），或． 故或． （2）若，则．由得，此方程没有正整数解． 若，则．由得，解得． 综上，． 点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题． 16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且2Sn＝3an﹣3． （1）求数列{an}的通项公式； （2）设，，求数列{cn}的前n项和Tn． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用来求得. （2）利用裂项求和法求得. 【小问1详解】 依题意①， 当时，. 当时，②， ①-②得， 所以是首项为，公比为 的等比数列，所以， 当时，上式也符合，所以. 【小问2详解】 ，. 所以. 17. 已知椭圆的左、右焦点分别为，，且经过点. （1）求椭圆的方程； （2）倾斜角为的直线经过点，且与椭圆交于 ， 两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义可求长半轴长，再求出短半轴长后可求椭圆方程； （2）联立直线方程和椭圆方程后求出交点的横坐标，从而可求弦长，再求出左焦点到直线的距离后可求面积. 【小问1详解】 由题意可知，记. 则， 所以，故，所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由题设可得直线 的斜率为 ，故其方程为， 由得，所以，， 所以. 点到直线 的距离为， 所以的面积. 18. 在四棱锥中，底面 是正方形，若． （1）证明：平面平面 ； （2）求二面角的平面角的余弦值． 【答案】（1）证明：取 的中点为，连接. 因为，，则 ， 而，故. 在正方形 中，因为，故，故， 因为，故，故为直角三角形且， 因为，故平面 ， 因为平面，故平面平面 . （2）. 【解析】 【分析】（1）取 的中点为，连接，可证平面 ，从而得到面面 . （2）在平面 内，过作，交 于 ，则，建如图所示的空间坐标系，求出平面、平面的法向量后可求二面角的余弦值. 【详解】（1）略 （2）在平面 内，过作，交 于 ，则， 结合（1）中的平面 ，故可建如图所示的空间坐标系. 则，故. 设平面的法向量， 则即，取 ，则， 故. 而平面的法向量为，故. 二面角的平面角为锐角，故其余弦值为. 19. 已知动点在运动过程中总满足关系式 （1）请说明动点 的轨迹是什么曲线，并求出轨迹的标准方程； （2）记点 的轨迹为曲线，且曲线与 轴交于两个不同的点，当动点 与两点均不重合时，证明直线 的斜率之积为定值，并求出此定值． 【答案】（1）动点 的轨迹是椭圆，椭圆的标准方程为. （2）直线 的斜率之积为定值. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的定义判断动点 的轨迹，并求出椭圆的标准方程；（2）先求出曲线与 轴的交点坐标，再根据直线的斜率公式求出直线的斜率，最后计算它们的斜率之积. 【小问1详解】 设，，， 则动点 到定点，的距离之和为 ， 又，满足， 所以动点 的轨迹是以，为焦点的椭圆. 因为焦点在 轴上，设 的轨迹方程为， ， ，，所以， 则椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 令，解得， 所以，， 直线的斜率为， 直线的斜率为， . 因为点在椭圆上，满足， 所以， 将代入得：， 所以直线的斜率之积为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $