专题05 万有引力定律模型 讲义及课时精练-2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

该高中物理讲义以“万有引力定律模型”为核心，通过“开普勒定律”“天体质量与密度计算”“万有引力与重力关系”三大模型构建知识体系，用公式推导、对比表格梳理核心规律，如开普勒第三定律中k值与中心天体的关系，天体质量计算的“g、R法”与“T、r法”对比，呈现清晰知识脉络。 讲义亮点在于例题设计紧密联系航天时事，如“嫦娥六号”“天问二号”等真实情境题，培养科学态度与责任；解法指导强调模型建构，如椭圆轨道简化为圆轨道，提升科学思维。题型涵盖选择、多选、解答题，分层训练适配不同学生，助力教师实施精准教学，支持学生自主复习。

专题05 万有引力定律模型 模型一 开普勒定律 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、解法指导 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3． 开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能适用于同一中心天体的两星体之间。 【例题精讲】 1．2025年9月7日，我国全境可见月全食天象，下列说法正确的是（　　） A．发生月全食现象时，月球挡在地球和太阳中间 B．地球由远日点向近日点运动，公转速度变慢 C．地球绕太阳的运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的中心 D．地球绕太阳运动和月球绕地球运动的半长轴三次方与周期平方之比不同 2．关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，a代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，k与中心天体有关 D．表达式，T代表行星运动的公转周期 3．如图（a）所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中T0为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1 4．我国计划2030年前实现载人登月科学探索。探月卫星A、B绕月球运动的轨道均为椭圆，月球位于椭圆的一个焦点上，两卫星分别与月球间引力F的大小随时间t的变化规律如图所示。已知t2t1，则A、B的质量之比为（　　） A． B． C．16：81 D．81：16 5．2025年3月，西昌卫星发射中心成功将天链二号04星送入预定轨道，该星主要承担为载人航天器提供数据中继与测控服务等任务。卫星发射过程可以简化为如图所示：先将卫星发射至近地轨道使之做匀速圆周运动，当卫星运动到A点时变轨进入椭圆转移轨道，运动到远地点B时再变轨后进入运行轨道做匀速圆周运动。不考虑卫星质量的变化，下列判断正确的是（　　） A．卫星在经过近地轨道的A点时的速度大于经过转移轨道A点时的速度 B．卫星在运行轨道上时的机械能大于在近地轨道上时的机械能 C．卫星在转移轨道上的周期大于运行轨道的周期 D．卫星在转移轨道上经过A点时的加速度等于经过B点时的加速度 （多选）6．如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．远日点附近地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大 B．从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间 C．地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比 D．地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比和月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比相等 （多选）7．水星和金星围绕太阳运动、地球同步卫星和月球围绕地球运动，其运动参数如表格所示，k为半长轴三次方与周期平方之比。已知引力常量为G，根据表格中的信息以下推测正确的是（　　） 半长轴（×106km） 公转周期（天） k值（m3/s2） 水星 57.9 87.9 3.37×1018 金星 108.2 224.7 3.37×1018 地球同步卫星 0.0424 1.0 1.02×1013 月球 0.3844 27.3 1.02×1013 A．开普勒第三定律仅适用于行星绕太阳的运动 B．k与中心天体有关，与环绕天体无关 C．若将月球公转近似看成圆周运动，可估算出月球的质量 D．已知太阳质量约为地球质量的3.3×105倍，可推测k与中心天体的质量成正比 （多选）8．如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 模型二 计算天体的质量和密度 一、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 二、估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 【例题精讲】 1．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地线速度和地球半径 C．核心舱的绕地线速度和绕地周期 D．核心舱的质量和绕地周期 2．如图所示，有两颗绕地球做椭圆运动的卫星1和卫星2，它们轨道的近地点到地球表面的最近距离均为d，远地点到地球表面的最近距离分别为d1＝1.5d、d2＝10d，环绕地球运动的周期之比。已知万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，忽略地球的自转，两卫星均可看作质点，则地球质量为（　　） A． B． C． D． 3．航天员用同一装置使同一单摆分别在地球和月球表面做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．所用单摆的摆长为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球的密度为 4．如图所示，A、B、C分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r，地球公转半径为R，此时AB与BC垂直。水星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2，引力常量为G，所有天体均可视为质点，不考虑其他天体的影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为 B．T1年 C．水星与地球公转线速度之比为 D．太阳的质量为 5．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 6．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 7．2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． （多选）8．2025年10月11日，“引力一号”遥二运载火箭自位于海阳附近黄海海域的“东方航天港号”火箭发射船上点火执行发射任务，随后将“吉星”宽幅02B07星、数天宇星01和02试验星共3颗卫星送入预定轨道。假设三颗卫星在同一平面内绕地球做半径为r、周期为T的匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． （多选）9．人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． （多选）10．随着中国航天科技的飞跃发展，中国航天员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 模型三 万有引力和重力的关系 一、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 二、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、解法指导 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【例题精讲】 1．2025年11月1日4时58分，在轨执行任务的神舟二十号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟二十一号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第7次“太空会师”。空间站的运动可视为匀速圆周运动，其运动周期为T，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则空间站距地球表面的高度为（　　） A． B． C． D． 2．某航天馆有一个可以体验在不同行星表面测量体重的项目，质量为50kg的李华站在体重计上，发现在“水星”和“火星”上示数都显示“20kg”，已知水星是太阳系八大行星里体积最小的，忽略天体的自转，下列说法正确的是（　　） A．水星和火星表面的重力加速度是地球表面的2.5倍 B．水星和火星的质量相等 C．水星和火星的密度与半径的乘积相等 D．水星和火星的第一宇宙速度相等 3．我国“千帆星座”工程计划于2027年完成1296颗卫星的组网部署，以实现全球覆盖。已知地球的半径约为6400km，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，其中用以适配手机直连的卫星在离地约400km的轨道上做匀速圆周运动，周期约为90分钟，根据以上数据可估算出（　　） A．卫星的质量 B．卫星的动能 C．地球的密度 D．地球的自转周期 4．模拟月球表面重力环境可以采用水浮法，即通过调整物体在水中所受浮力与重力的大小关系，实现物体的加速度等于月球表面的重力加速度。已知地球质量是月球的a倍、半径是月球的b倍，物体的质量为m，地球表面的重力加速度为g，则模拟时，物体受到的浮力大小为（　　） A． B． C． D． 5．2024年6月25日嫦娥六号月球背面“挖宝”归来，实现世界首次月球背面采样返回。当它靠近月球后，先悬停在月面上方一定高度，然后关闭发动机自由下落，经过2.25s到达月面（已知月球表面重力加速度约为地球的六分之一），此时探测器的速度大小最接近（　　） A．3.5m/s B．5m/s C．10m/s D．20m/s 6．地球质量为月球质量的81倍，地球半径为月球半径的4倍。宇航员在月球和地球表面同样高度处，由静止释放一物体，物体在空中运动的时间分别计为t月和t地，着地时的速度大小分别计为v月和v地，下列判断正确的是（　　） A．v月：v地＝16：81 B．v月：v地＝9：4 C．t月：t地＝81：16 D．t月：t地＝9：4 （多选）7．2021年2月24日，我国“天问一号”火星探测器成功实施第三次环火制动，进入了环火停泊轨道，并进行为期三个月的探测，在这三个月中，“天问一号”先在高度为h1、周期为T1的停泊轨道上做匀速圆周运动，之后又下降到高度为h2、周期为T2的轨道上做匀速圆周运动。根据以上信息不需要引力常量就可以求的物理量是（　　） A．火星的质量 B．火星的半径 C．火星的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度 （多选）8．“月—地检验”表明地面上物体受到地球的引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律，它们属于同一性质的力，把地球看作均质球体，地球表面上物体都随地球自转，下列说法正确的是（　　） A．物体在赤道受到的地球引力等于重力 B．物体在北极受到的地球引力等于重力 C．物体在南极受到的地球引力等于重力 D．同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等 （多选）9．火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，下列分析正确的是（　　） A．地球与火星表面的重力加速度之比为9：4 B．地球与火星表面的重力加速度之比为4：9 C．地球与火星的第一宇宙速度之比为3： D．地球与火星的第一宇宙速度之比为：3 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．从“嫦娥奔月”神话故事到“嫦娥五号”发射、绕月运行、着月成功，我国实现了古人伟大的梦想。假设“嫦娥五号”绕月球某轨道做匀速圆周运行的周期为T，当把轨道半径减为原来的一半时，“嫦娥五号”在新轨道运行的周期为（　　） A． B． C．2T D． 2．2024年9月26日清晨，深圳天文台首次拍摄到了备受瞩目的紫金山﹣阿特拉斯彗星（C/2023A3）。据悉该彗星绕太阳运行的轨道为一个椭圆，周期约为61751年。已知太阳的质量为M，半径为R，彗星近日点到太阳表面距离为h1，下列说法正确的是（　　） A．C/2023 A3 在近日点的速率小于远日点的速率 B．由以上条件可以求出C/2023 A3 的密度 C．C/2023 A3轨道半长轴与日地平均距离的比值约为1.5×104 D．C/2023 A3在近日点的速率大于 3．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 4．我国发射的“天和”核心舱距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．地球的质量 B．地球的质量 C．核心舱的质量 D．核心舱的质量 5．天文学家发现红矮星G1002拥有两颗行星，其中行星G11002c的轨道近似为圆形，轨道半径约为0.074AU（地球绕太阳的公转半径为1AU），公转周期为21天（约0.058年），则该红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001 B．0.1 C．10倍 D．1000倍 6．2025年11月，火星环绕探测器“天问一号”成功观测到来自太阳系以外的彗星——阿特拉斯。观测发现该彗星有一颗小卫星绕其做匀速圆周运动，测得卫星的轨道半径为r，运行周期为T。若彗星可视为半径为R的均匀球体，万有引力常量为G，忽略彗星以外其他星球对小卫星的影响，则下列说法正确的是（　　） A．彗星的质量 B．彗星的质量 C．若卫星轨道半径增大，则周期变小 D．若卫星轨道半径增大，则卫星的绕行速度增大 7．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t 8．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 二．多选题（共3小题） （多选）9．星下点轨迹是卫星运动轨迹垂直向下在地球表面的投影。某卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星轨道和绕行方向如图甲所示。图乙是卫星第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ圈的星下点轨迹展开图。其中P点是第Ⅰ、Ⅱ圈星下点轨迹展开图的一个交点。已知地球自转周期为24h，卫星轨道半径约是地球半径的1.084倍。下列说法正确的是（　　） A．若地球没有自转，则该卫星的星下点轨迹为一个点 B．该卫星的向心加速度约等于重力加速度g C．该卫星第Ⅰ、Ⅱ圈星下点经过P点的时间间隔等于该卫星的运行周期 D．根据赤道与星下点轨迹展开图的交点，可知该卫星的运行周期约1.5h （多选）10．如图所示，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上运行的周期为T，近月点P到月心的距离为a，远月点Q到月心的距离为b，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 D．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 （多选）11．某行星外围有一圈厚度为d的发光物质，简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确观测后发现：发光带绕行星中心运行的速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中所标v0为已知），则下列说法正确的是（　　） A．发光带是该行星的组成部分 B．行星表面的重力加速度 C．该行星的质量为 D．该行星的平均密度为 三．解答题（共3小题） 12．我国航天技术发展迅速，设想数年后，宇航员登陆某星球表面，以便完善该星球的档案资料，查阅以往资料可知：该星球质量为地球质量的，半径为地球半径的，已知地球表面重力加速度为10m/s2（忽略星球自转）。 （1）求该星球表面重力加速度大小； （2）现在该球星表面做平抛运动实验，落点在一抛物线上，抛物线方程为y＝x2，其中A、B两点坐标分别为A（0，3.5）和B（0，11），现从A、B两点分别先后水平抛出1和2两个小球，两球刚好在抛物线上相遇，其中1球抛出的初速度v1＝1m/s，忽略一切阻力，求： ①A、B相遇点的坐标； ②2球抛出时初速度大小v2以及1、2两球抛出的时间差Δt。 13．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 14．航天员登陆某星球后站在星球表面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，并以绳断时的速度v0水平飞出，通过水平距离d后落于星球表面。已知握绳的手离星球表面的高度为d，手与球之间的绳长为，忽略星球上气体阻力。求： （1）星球表面的重力加速度大小g。 （2）绳所能承受的最大拉力大小Fmax。 （3）如果该星球半径为R，星球自转的周期为T，求该星球的同步卫星高度h。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 万有引力定律模型 模型一 开普勒定律 一、开普勒行星运动定律 1．开普勒第一定律：所有的行星围绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在所有椭圆的一个焦点上． 2．开普勒第二定律：从太阳到行星的连线在相等的时间内扫过相等的面积． 3．开普勒第三定律：行星轨道半长轴的三次方与公转周期的二次方的比是一个常量．其表达式为＝k，其中r代表椭圆轨道的半长轴，T代表行星绕中心天体公转的周期，k是一个与行星无关(填“有关”或“无关”)的常量． 二、解法指导 1．行星绕太阳运动的轨道通常按圆轨道处理。 2．设在极短时间Δt内，由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，则近日点的速度最大，远日点的速度最小。 3． 开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同，且该定律只能适用于同一中心天体的两星体之间。 【例题精讲】 1．2025年9月7日，我国全境可见月全食天象，下列说法正确的是（　　） A．发生月全食现象时，月球挡在地球和太阳中间 B．地球由远日点向近日点运动，公转速度变慢 C．地球绕太阳的运动轨迹是椭圆，太阳位于椭圆的中心 D．地球绕太阳运动和月球绕地球运动的半长轴三次方与周期平方之比不同 【答案】D 【解析】解：A.月全食的形成条件是地球位于太阳和月球之间，地球挡住了太阳射向月球的光，月球进入地球的本影区，故A错误； B.根据开普勒第二定律（面积定律），地球公转轨道为椭圆，近日点时距离太阳近，为满足面积相等，公转速度快；远日点时距离太阳远，公转速度慢。因此，地球由远日点向近日点运动时，公转速度应变快，故B错误； C.由开普勒第一定律（轨道定律）可知，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳位于椭圆的一个焦点上，而非椭圆的中心，故C错误； D.根据开普勒第三定律（周期定律），行星绕太阳运动的半长轴的三次方与公转周期平方之比为一常数k，即k，其中k仅由中心天体的质量决定，地球绕太阳运动的中心天体是太阳，月球绕地球运动的中心天体是地球，二者的中心天体的质量不一样，故k值不同，故D正确。 故选：D。 2．关于开普勒行星运动定律，下列说法不正确的是（　　） A．所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 B．表达式，a代表行星与太阳之间的最近距离 C．表达式，k与中心天体有关 D．表达式，T代表行星运动的公转周期 【答案】B 【解析】解：A．根据开普勒第一定律，所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上，故A正确； B．在开普勒第三定律表达式中，a代表行星运行轨道的半长轴，而非行星与太阳之间的最近距离，故B错误； C．根据开普勒第三定律，k是与中心天体质量相关的常数，故C正确； D．根据开普勒第三定律，T代表行星运动的公转周期，故D正确。 题目要求选择不正确的，故选：B。 3．如图（a）所示，太阳系外行星M、N均绕恒星Q做同向匀速圆周运动。由于N的遮挡，行星M被Q照亮的亮度随时间做如图（b）所示的周期性变化，其中T0为N绕Q运动的公转周期。则两行星M、N的轨道半径之比为（　　） A．2：1 B．3：1 C．3：2 D．4：1 【答案】D 【解析】解：设M的周期为T'，M和N两次相距最近的时间内N比M要多转一圈，则根据遮挡时间可知 解得 T′＝8T0 设行星M、N绕Q运动的半径分别为rM、rN 根据开普勒第三定律可得 解得 故ABC错误，D正确。 故选：D。 4．我国计划2030年前实现载人登月科学探索。探月卫星A、B绕月球运动的轨道均为椭圆，月球位于椭圆的一个焦点上，两卫星分别与月球间引力F的大小随时间t的变化规律如图所示。已知t2t1，则A、B的质量之比为（　　） A． B． C．16：81 D．81：16 【答案】D 【解析】解：由图可知，A卫星的周期TA＝2t2，B卫星的周期TB＝t1，又，根据开普勒第三定律 可得，A卫星，引力的最大值与最小值之比为9：1，根据Gm 则远月点与近月点距离之比为3：1 rA近+rA远＝2aA，A在远月点，，B卫星，引力的最大值与最小值之比为4：1，Gm 则远月点与近月点距离之比为2：1 rB近+rB远＝2aB，B在远月点， 代入数据得，故D正确，ABC错误。 故选：D。 5．2025年3月，西昌卫星发射中心成功将天链二号04星送入预定轨道，该星主要承担为载人航天器提供数据中继与测控服务等任务。卫星发射过程可以简化为如图所示：先将卫星发射至近地轨道使之做匀速圆周运动，当卫星运动到A点时变轨进入椭圆转移轨道，运动到远地点B时再变轨后进入运行轨道做匀速圆周运动。不考虑卫星质量的变化，下列判断正确的是（　　） A．卫星在经过近地轨道的A点时的速度大于经过转移轨道A点时的速度 B．卫星在运行轨道上时的机械能大于在近地轨道上时的机械能 C．卫星在转移轨道上的周期大于运行轨道的周期 D．卫星在转移轨道上经过A点时的加速度等于经过B点时的加速度 【答案】B 【解析】解：AB、卫星在近地轨道A点通过外力做功加速，做离心运动才可以进入转移轨道，则卫星在经过近地轨道的A点时的速度小于经过转移轨道A点时的速度。接着在转移轨道B点通过外力做功加速进入运行轨道，所以卫星在运行轨道上时的机械能大于在近地轨道上时的机械能，故A错误，B正确； C.根据开普勒第三定律得，由于运行轨道的半径大于转移轨道的半长轴，则卫星在转移轨道上的周期小于运行轨道的周期，故C错误； D.根据牛顿第二定律得， 解得a，则卫星在转移轨道上经过A点时的加速度大于经过B点时的加速度，故D错误。 故选：B。 （多选）6．如图是地球沿椭圆轨道绕太阳运行所处不同位置对应的节气，下列说法正确的是（　　） A．远日点附近地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积最大 B．从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间 C．地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比 D．地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比和月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比相等 【答案】BC 【解析】解：A.由开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，故A错误； B.地球从冬至到春分与太阳的连线扫过的面积，比从春分到夏至与太阳的连线扫过的面积更小，所以从冬至到春分的运行时间小于从春分到夏至的运行时间，故B正确； C.在极短时间Δt内地球与太阳的连线扫过的面积为，根据开普勒第二定律可知地球与太阳的连线在单位时间内扫过的面积都相等，可得地球公转的线速度最大值与最小值之比等于地心到太阳中心最大距离与最小距离之比，故C正确； D.地球绕太阳运动，月球绕地球运动，中心天体不同，则地球公转轨道半长轴的三次方与公转周期平方之比与月球公转轨道半长轴三次方与公转周期平方之比不相等，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．水星和金星围绕太阳运动、地球同步卫星和月球围绕地球运动，其运动参数如表格所示，k为半长轴三次方与周期平方之比。已知引力常量为G，根据表格中的信息以下推测正确的是（　　） 半长轴（×106km） 公转周期（天） k值（m3/s2） 水星 57.9 87.9 3.37×1018 金星 108.2 224.7 3.37×1018 地球同步卫星 0.0424 1.0 1.02×1013 月球 0.3844 27.3 1.02×1013 A．开普勒第三定律仅适用于行星绕太阳的运动 B．k与中心天体有关，与环绕天体无关 C．若将月球公转近似看成圆周运动，可估算出月球的质量 D．已知太阳质量约为地球质量的3.3×105倍，可推测k与中心天体的质量成正比 【答案】BD 【解析】解：A．水星和金星围绕太阳运动、地球同步卫星和月球围绕地球运动的运动参数均符合开普勒第三定律，说明开普勒第三定律也适用于卫星绕行星的运动，故A错误； B．设中心天体的质量为M，环绕天体的质量为m，则有 结合开普勒第三定律 代入数据得，即k与中心天体有关，和环绕天体无关，故B正确； C．若将月球公转近似看成圆周运动根据，可算出月球公转中心天体地球的质量，故C错误； D．由表格中数据可知，水星和金星围绕太阳运动的k值约为地球同步卫星和月球围绕地球运动的k的倍，与太阳质量约为地球质量的3.3×105倍一致，结合，推测k与中心天体的质量成正比，故D正确。 故选：BD。 （多选）8．如图所示，地球的公转轨道接近圆，周期为T1，哈雷彗星的运动轨道是一个非常扁的椭圆，周期为T2。已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，线速度大小为v1；在远日点与太阳中心的距离为r2，线速度大小为v2，地球公转轨道半径为r。则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】解：AB、根据开普勒第二定律，设在极短时间Δt内，在近日点和远日点哈雷彗星与太阳中心的连线扫过的面积相等，有v1Δt•r1v2Δt•r2， 解得，故A正确，B错误； CD、根据开普勒第三定律有， 已知哈雷彗星在近日点和太阳中心距离为r1，在远日点与太阳中心的距离为r2，所以a， 解得： ，故C错误，D正确。 故选：AD。 模型二 计算天体的质量和密度 一、计算天体的质量 1．称量地球的质量 (1)思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转，物体的重力等于地球对物体的万有引力． (2)关系式：mg＝G. (3)结果：M＝，只要知道g、R、G的值，就可计算出地球的质量． 2．太阳质量的计算 (1)思路：质量为m的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力． (2)关系式：＝mr. (3)结论：mS＝，只要测出行星的公转周期T以及它和太阳之间的距离r就可以计算出太阳的质量． 二、估算天体质量和密度的两种方法 (1)“g、R”法(“自力更生”法)：已知天体表面的重力加速度g和天体半径R。 ①由G ＝mg，得天体质量M＝。 ②天体密度ρ＝＝＝。 (2)“T、r”法(“引入外援”法)：测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T。 ①由G＝mr，得M＝。 ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝。 【例题精讲】 1．2021年4月，我国自主研发的空间站“天和”核心舱成功发射并入轨运行，若核心舱绕地球的运行可视为匀速圆周运动，已知引力常量，由下列物理量能计算出地球质量的是（　　） A．核心舱的质量和绕地半径 B．核心舱的绕地线速度和地球半径 C．核心舱的绕地线速度和绕地周期 D．核心舱的质量和绕地周期 【答案】C 【解析】解：核心舱绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有 整理可得 其中，v＝ωr 可见，要计算出地球的质量，需知道核心舱的绕地线速度和绕地半径、角速度和绕地半径、周期和绕地半径以及绕地线速度和绕地周期，故C正确，ABD错误。 故选：C。 2．如图所示，有两颗绕地球做椭圆运动的卫星1和卫星2，它们轨道的近地点到地球表面的最近距离均为d，远地点到地球表面的最近距离分别为d1＝1.5d、d2＝10d，环绕地球运动的周期之比。已知万有引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，忽略地球的自转，两卫星均可看作质点，则地球质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：根据题意分析可知，由开普勒第三定律，卫星1和卫星2的周期之比，可求卫星1和卫星2的半长轴之比为 根据几何关系， 联立解得地球的半径 根据密度、质量和体积的关系可知，，忽略地球的自转，地球质量满足 解得，故A正确，BCD错误； 故选：A。 3．航天员用同一装置使同一单摆分别在地球和月球表面做受迫振动实验，得到如图所示的共振曲线。将月球视为密度均匀、半径为R的球体，引力常量为G，地球表面的重力加速度为g，不考虑星球自转的影响。下列说法正确的是（　　） A．该单摆在月球上的共振频率为f2 B．所用单摆的摆长为 C．月球表面的重力加速度为 D．月球的密度为 【答案】D 【解析】解：单摆做受迫振动，当驱动力频率等于单摆的固有频率时，发生共振现象。月球表面的重力加速度g月小于地球表面的g，由公式可知，单摆在月球上的固有频率低于在地球上的固有频率。 A.由图像可知f1＜f2，结合频率与重力加速度的关系分析，该单摆在月球上的共振频率为f1，在地球上的共振频率为f2，故A错误； B.在地球表面，共振频率为f2，根据，解得：，故B错误； C.根据固有频率公式可得，解得：，故C错误； D.在月球表面，根据万有引力等于重力有，月球质量，联立解得：；将代入上式得，故D正确。 故选：D。 4．如图所示，A、B、C分别表示太阳、水星和地球，假设水星和地球在同一平面内绕太阳做匀速圆周运动，水星公转半径为r，地球公转半径为R，此时AB与BC垂直。水星的公转周期为T1，地球的公转周期为T2，引力常量为G，所有天体均可视为质点，不考虑其他天体的影响，下列说法正确的是（　　） A．从地球上看，太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为 B．T1年 C．水星与地球公转线速度之比为 D．太阳的质量为 【答案】B 【解析】解：A.太阳和水星与眼睛连线所成角度的正弦值最大为，故A错误； B.由开普勒第三定律可知，又T2＝1年，联立解得年，故B正确； C.由万有引力提供向心力有，可得，则水星与地球公转线速度之比为，故C错误； D.由，可得太阳的质量，故D错误。 故选：B。 5．2025年12月16日，我国在太原卫星发射中心用长征四号乙运载火箭成功发射立体测绘卫星资源三号04星。若卫星入轨后做匀速圆周运动，轨道半径为r，卫星在时间t内转过的圈数为n，引力常量为G，不考虑地球的自转，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：设地球的质量为M，卫星的质量为m，根据万有引力提供向心力有，解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 6．若一均匀球形星体的自转周期为T，离星球表面最近卫星的周期为T0，引力常量为G，某物体在该星球表面赤道处称重为F1，在两极处称重为F2，则该星球的平均密度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：设星球质量为M，半径为R，物体质量为m。在赤道处，物体受万有引力和离心力影响，称重 其中 在两极处，无离心力，称重 则 解得 密度 由 得 解得 故ABC错误，D正确。 故选：D。 7．2025年11月25日清晨，长征二号F遥二十二运载火箭托举着神舟二十二号飞船直冲天际，恰好穿越初升的太阳圆面，一幅“一箭穿日”的壮美画卷被镜头定格，如图所示。若飞船与空间站对接后，在半径为R的圆轨道上做匀速圆周运动，运行速率为v，引力常量为G，则地球的质量为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】解：根据万有引力提供向心力有：， 解得地球的质量为：，故C正确，ABD错误。 故选：C。 （多选）8．2025年10月11日，“引力一号”遥二运载火箭自位于海阳附近黄海海域的“东方航天港号”火箭发射船上点火执行发射任务，随后将“吉星”宽幅02B07星、数天宇星01和02试验星共3颗卫星送入预定轨道。假设三颗卫星在同一平面内绕地球做半径为r、周期为T的匀速圆周运动。已知地球半径为R，地球表面的重力加速度大小为g，引力常量为G。则地球的质量可表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】解：AB.在地球表面有，解得地球的质量为，故A正确，B错误； CD.对卫星，根据万有引力提供向心力可得，解得，故C正确，D错误。 故选：AC。 （多选）9．人类发射的火星探测器进入火星的引力范围后，绕火星做匀速圆周运动。已知引力常数为G，火星的半径为R，探测器运行轨道在其表面上空高h处，运行周期为T，则下列关于火星的质量和平均密度的表达式正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【解析】解：AD.探测器绕火星做匀速圆周运动的轨道半径为r＝R+h，根据万有引力提供向心力有，解得火星的质量为，故A正确，D错误。 BC.火星体积，结合密度公式，将M代入解得火星的平均密度为，故B正确，C错误。 故选：AB。 （多选）10．随着中国航天科技的飞跃发展，中国航天员将登上月球。假设宇航员登月后，在月面做了一个自由落体运动的实验，将一小球由静止释放，经过一小段时间t，小球的速度大小为v0，已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，引力常量为G，一探测器在离月面的高度为月球半径倍的轨道上绕月球做匀速圆周运动，下列说法正确的是（　　） A．月面的重力加速度大小为 B．探测器的线速度大小为 C．月球的半径为2n2v0t D．月球的密度为 【答案】BD 【解析】解：A、根据自由落体运动的规律可得：v0＝gt，解得月球表面的重力加速度大小为：g，故A错误； B.探测器套月球做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力有：m，解得：v 已知月球的第一宇宙速度大小为nv0，则有： 所以探测器的线速度大小为：v，故B正确； C.第一宇宙速度等于卫星贴近地面做匀速圆周运动的环绕速度，则有：mg＝m，即：nv0 解得月球的半径为：R＝n2v0t，故C错误； D.根据万有引力和重力的关系可得：mg 根据密度计算公式可得：ρ，其中V 联立解得月球的密度为：，故D正确。 故选：BD。 模型三 万有引力和重力的关系 一、万有引力定律的建立 1．太阳与行星间引力的推导 (1)太阳对行星的引力：F∝. (2)行星对太阳的引力：F′∝. (3)总结F与F′的关系：F＝F′∝. 2．万有引力定律 (1)内容：任何两个物体之间都存在相互作用的引力，引力的大小与这两个物体的质量的乘积成正比，与这两个物体之间的距离的平方成反比． (2)表达式：F＝G. (3)万有引力定律中的距离r，是指两个质点之间的距离；对于质量分布均匀的球体，指的是两个球心之间的距离． 二、引力常量 1．测定：在1798年，英国物理学家卡文迪许利用扭秤实验较精确地测出引力常量． 2．数值：国际科学联盟理事会科技数据委员会2002年推荐的引力常量数值为G＝6.672(10)×10－11 N·m2/kg2，通常可以取G＝6.67×10－11 N·m2/kg2. 三、解法指导 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F表现为两个效果：一是重力mg，二是提供物体随地球自转的向心力F向，如图所示。 (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R。 (2)在两极上：G＝mg2。 2．星体表面上的重力加速度 (1)在地球表面附近的重力加速度为g(不考虑地球自转)，mg＝G，得g＝。 (2)在地球上空距离地心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝。 3．万有引力的两个推论 (1)推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的各部分万有引力的合力为0。 (2)推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对它的万有引力，即F＝G。 【例题精讲】 1．2025年11月1日4时58分，在轨执行任务的神舟二十号航天员乘组顺利打开“家门”，欢迎远道而来的神舟二十一号航天员乘组入驻中国空间站，这是中国航天史上第7次“太空会师”。空间站的运动可视为匀速圆周运动，其运动周期为T，已知地球半径为R，地球表面的重力加速度为g，忽略地球自转的影响，则空间站距地球表面的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】解：根据，又由mg，联立解得空间站距地球表面的高度hR，故D正确，ABC错误。 故选：D。 2．某航天馆有一个可以体验在不同行星表面测量体重的项目，质量为50kg的李华站在体重计上，发现在“水星”和“火星”上示数都显示“20kg”，已知水星是太阳系八大行星里体积最小的，忽略天体的自转，下列说法正确的是（　　） A．水星和火星表面的重力加速度是地球表面的2.5倍 B．水星和火星的质量相等 C．水星和火星的密度与半径的乘积相等 D．水星和火星的第一宇宙速度相等 【答案】C 【解析】解：A.体重计示数为物体所受重力，即G＝mg。已知李华质量m＝50kg，在水星和火星上体重计示数为20kg，则其重力G＝20kg×g地 由G＝mg星，可得mg星＝20kg×g地 代入数据的g星＝0.4g地，故A错误； B.由万有引力定律，行星表面重力加速度 可得行星质量，因水星和火星的半径R星不同，且g星相同，故M星不相等，故B错误； C.行星密度，体积 联立得，则，因g星相同，故pR星相等，故C正确； D.第一宇宙速度，因水星和火星的半径R星不同，且g相同，故v不相等，故D错误。 故选：C。 3．我国“千帆星座”工程计划于2027年完成1296颗卫星的组网部署，以实现全球覆盖。已知地球的半径约为6400km，引力常量G＝6.67×10﹣11N•m2/kg2，其中用以适配手机直连的卫星在离地约400km的轨道上做匀速圆周运动，周期约为90分钟，根据以上数据可估算出（　　） A．卫星的质量 B．卫星的动能 C．地球的密度 D．地球的自转周期 【答案】C 【解析】解：根据m（R+h），结合ρ，而VπR3，联立可以求解地球的密度，卫星质量m在计算过程约掉，不可求，也不能求解卫星的动能，由本题所给条件无法求解地球的自转周期，故C正确，ABD错误。 故选：C。 4．模拟月球表面重力环境可以采用水浮法，即通过调整物体在水中所受浮力与重力的大小关系，实现物体的加速度等于月球表面的重力加速度。已知地球质量是月球的a倍、半径是月球的b倍，物体的质量为m，地球表面的重力加速度为g，则模拟时，物体受到的浮力大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：根据黄金代换式，可得重力加速度表达式。已知地球质量M地＝aM月，地球半径R地＝bR月，地球表面重力加速度为g。则•g月，得。求物体所受浮力模拟月球重力环境时，物体加速度，根据牛顿第二定律，物体所受合力。物体在水中受重力mg（竖直向下）和浮力F浮（竖直向上），合力F合＝mg﹣F浮，联立得，解得，故B正确，ACD错误。 故选：B。 5．2024年6月25日嫦娥六号月球背面“挖宝”归来，实现世界首次月球背面采样返回。当它靠近月球后，先悬停在月面上方一定高度，然后关闭发动机自由下落，经过2.25s到达月面（已知月球表面重力加速度约为地球的六分之一），此时探测器的速度大小最接近（　　） A．3.5m/s B．5m/s C．10m/s D．20m/s 【答案】A 【解析】解：计算得月球表面重力加速度约为，探测器落地速度，最接近3.5m/s，故A正确，BCD错误。 故选：A。 6．地球质量为月球质量的81倍，地球半径为月球半径的4倍。宇航员在月球和地球表面同样高度处，由静止释放一物体，物体在空中运动的时间分别计为t月和t地，着地时的速度大小分别计为v月和v地，下列判断正确的是（　　） A．v月：v地＝16：81 B．v月：v地＝9：4 C．t月：t地＝81：16 D．t月：t地＝9：4 【答案】D 【解析】解：CD、根据题意分析可知，设地球质量为M地，半径为R地，月球质量为M月，半径为R月。已知， 根据万有引力等于重力得 则 因此 由题意从同样高度抛出 则 故D正确，C错误； AB、根据题意分析可知，由v2＝2gh，可得 故 故AB错误。 故选：D。 （多选）7．2021年2月24日，我国“天问一号”火星探测器成功实施第三次环火制动，进入了环火停泊轨道，并进行为期三个月的探测，在这三个月中，“天问一号”先在高度为h1、周期为T1的停泊轨道上做匀速圆周运动，之后又下降到高度为h2、周期为T2的轨道上做匀速圆周运动。根据以上信息不需要引力常量就可以求的物理量是（　　） A．火星的质量 B．火星的半径 C．火星的第一宇宙速度 D．火星表面的重力加速度 【答案】BCD 【解析】解：AB、“天问一号”绕火星做匀速圆周运动，设火星的半径为R，根据万有引力定律可知，m（R+h1），m（R+h2） 联立解得R，火星的质量无法计算，故A错误，B正确； D.根据万有引力等于重力有mg，联立m（R+h1），可解得g，故D正确 C.第一宇宙速度是物体绕火星表面做匀速圆周运动的运行速度，m，联立可得火星的第一宇宙速度，故C正确； 故选：BCD。 （多选）8．“月—地检验”表明地面上物体受到地球的引力与月球受到地球的引力遵从同样的规律，它们属于同一性质的力，把地球看作均质球体，地球表面上物体都随地球自转，下列说法正确的是（　　） A．物体在赤道受到的地球引力等于重力 B．物体在北极受到的地球引力等于重力 C．物体在南极受到的地球引力等于重力 D．同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等 【答案】BCD 【解析】解：A.把地球看作均质球体，则物体在地球表面任何位置受到地球的引力都相等，此引力的两个分力一个是物体的重力，另一个提供物体随地球自转的向心力。在赤道上，向心力最大，重力最小，故A错误； BC.在两极，向心力为0，物体受到的地球引力等于重力，故BC正确； D.同一物体在南纬30°和北纬30°的向心加速度大小相等且均指向地轴，因此同一物体在南纬30°和北纬30°受到的重力大小相等，故D正确。 故选：BCD。 （多选）9．火星半径是地球半径的，火星质量大约是地球质量的，下列分析正确的是（　　） A．地球与火星表面的重力加速度之比为9：4 B．地球与火星表面的重力加速度之比为4：9 C．地球与火星的第一宇宙速度之比为3： D．地球与火星的第一宇宙速度之比为：3 【答案】AC 【解析】解：根据万有引力等于重力mg 解得：g 根据万有引力等于向心力m 得：v 由已知条件可知地球与火星表面的重力加速度之比为9：4 地球与火星的第一宇宙速度之比为3： 故选：AC。 课时精练 一．选择题（共8小题） 1．从“嫦娥奔月”神话故事到“嫦娥五号”发射、绕月运行、着月成功，我国实现了古人伟大的梦想。假设“嫦娥五号”绕月球某轨道做匀速圆周运行的周期为T，当把轨道半径减为原来的一半时，“嫦娥五号”在新轨道运行的周期为（　　） A． B． C．2T D． 【答案】A 【解析】解：由万有引力定律可得 代入数据得 当轨道半径减为一半时，运行周期为原来的，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2．2024年9月26日清晨，深圳天文台首次拍摄到了备受瞩目的紫金山﹣阿特拉斯彗星（C/2023A3）。据悉该彗星绕太阳运行的轨道为一个椭圆，周期约为61751年。已知太阳的质量为M，半径为R，彗星近日点到太阳表面距离为h1，下列说法正确的是（　　） A．C/2023 A3 在近日点的速率小于远日点的速率 B．由以上条件可以求出C/2023 A3 的密度 C．C/2023 A3轨道半长轴与日地平均距离的比值约为1.5×104 D．C/2023 A3在近日点的速率大于 【答案】D 【解析】解：A、根据开普勒第二定律，彗星在近日点速率大于远日点速率，故A错误； B.题目未提供彗星的质量或体积，由密度的定义式可知无法计算密度，故B错误； C.由开普勒第三定律，彗星轨道半长轴与日地距离的比值1562，远小于1.5×104，故C错误； D.根据万有引力提供向心力，彗星做圆周运动经过近日点有，近日点速率，变轨到椭圆轨道需在此处点火加速，故椭圆轨道经过近日点，故D正确。 故选：D。 3．2030年之前，中国航天员将登上月球。如图所示，月球的半径为R，假设甲、乙两艘宇宙飞船分别绕月球做椭圆轨道和圆轨道运动，甲的近地点正好在月面，远地点与月面的最近距离为2R，甲的远地点与乙轨道的最近距离为R，则甲、乙的周期之比为（　　） A．1：1 B．2：1 C． D． 【答案】A 【解析】解：由题意可得甲椭圆轨道的长轴为4R，则半长轴为2R，设乙圆轨道的半径为r，当甲的远地点与乙的最近距离为R，由几何关系可得 r＝R+R＝2R，解得 r＝2R，设甲、乙的周期分别为T甲T乙，由开普勒第三定律可得，则有T甲：T乙＝1：1，故A正确，BCD错误。 故选：A。 4．我国发射的“天和”核心舱距离地面的高度为h，运动周期为T，绕地球的运动可近似为匀速圆周运动。已知万有引力常量为G，地球半径为R，根据以上信息可知（　　） A．地球的质量 B．地球的质量 C．核心舱的质量 D．核心舱的质量 【答案】B 【解析】解：AB、根据万有引力提供向心力，有 整理得地球质量，故A错误，B正确； CD、根据前面分析可知，核心舱质量m在公式中被消去，无法求解，故CD错误。 故选：B。 5．天文学家发现红矮星G1002拥有两颗行星，其中行星G11002c的轨道近似为圆形，轨道半径约为0.074AU（地球绕太阳的公转半径为1AU），公转周期为21天（约0.058年），则该红矮星的质量约为太阳质量的（　　） A．0.001 B．0.1 C．10倍 D．1000倍 【答案】B 【解析】解：根据万有引力提供向心力有，整理得，结合公转半径比和公转周期比，解得0.1，故B正确，ACD错误。 故选：B。 6．2025年11月，火星环绕探测器“天问一号”成功观测到来自太阳系以外的彗星——阿特拉斯。观测发现该彗星有一颗小卫星绕其做匀速圆周运动，测得卫星的轨道半径为r，运行周期为T。若彗星可视为半径为R的均匀球体，万有引力常量为G，忽略彗星以外其他星球对小卫星的影响，则下列说法正确的是（　　） A．彗星的质量 B．彗星的质量 C．若卫星轨道半径增大，则周期变小 D．若卫星轨道半径增大，则卫星的绕行速度增大 【答案】A 【解析】解：AB.根据，得彗星的质量M，故A正确，B错误； CD.根据开普勒第三定律k可知，轨道半径r越大，周期T越大，根据，得v，可知轨道半径r越大，绕行速度v越小，故CD错误。 故选：A。 7．2025年9月7日晚，天空上演壮丽月全食。此时太阳、地球、月球连成一线，地球居中遮挡阳光。已知地球绕太阳，月球绕地球均为逆时针运动。地球绕太阳运动的周期为T1，轨道半径为r1，月球绕地球运动的周期为T2，轨道半径为r2。忽略太阳与月球之间的引力，某一时刻三者位置关系如图所示，下列说法正确的是（　　） A． B．太阳与地球质量之比为 C．太阳与地球密度之比为 D．太阳，地球，月球由图示位置到再次出现月全食所需时间为t 【答案】D 【解析】解：C、由于不知道太阳与地球的球体半径，故无法求出太阳与地球密度之比，故C错误； AB、设太阳质量M，地球质量m，月球质量m0，地球绕太阳 月球绕地球 联立得太阳与地球质量之比为，，故AB错误； D.太阳、地球、月球由图示位置到再次出现月全食，月球多转半圈，有 解得再次出现月全食所需时间为，故D正确。 故选：D。 8．我国“天问二号”小行星探测器计划于2025年5月发射，主要任务是对近地小行星2016HO3开展伴飞、探测并取样返回。假设“天问二号”小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时速度为v，降落在小行星表面采样时发现同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍。已知小行星的自转周期为T，引力常量G，则下列说法正确的是（　　） A．小行星的质量为 B．小行星静止轨道的高度为 C．贴近小行星表面运行的卫星周期为 D．小行星的密度为 【答案】D 【解析】解：A、小行星探测器在小行星的静止轨道上运行时的周期等于小行星的自转周期为T， 设小行星的静止轨道的轨道半径为r，根据圆周运动公式有， 解得， 由万有引力提供向心力有， 解得小行星的质量，故A错误； B.根据题意可知，样品在赤道上时，根据万有引力与重力关系有， 样品在北极时，根据万有引力等于重力有， 同一样品在赤道时的重力是其在北极时重力的倍，即， 联立解得小行星的半径， 则小行星静止轨道的高度为，故B错误； C.由万有引力提供向心力有， 又有， 联立解得，故C错误； D．结合AB分析可得，小行星的密度为，故D正确。 故选：D。 二．多选题（共3小题） （多选）9．星下点轨迹是卫星运动轨迹垂直向下在地球表面的投影。某卫星绕地球做匀速圆周运动，卫星轨道和绕行方向如图甲所示。图乙是卫星第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ圈的星下点轨迹展开图。其中P点是第Ⅰ、Ⅱ圈星下点轨迹展开图的一个交点。已知地球自转周期为24h，卫星轨道半径约是地球半径的1.084倍。下列说法正确的是（　　） A．若地球没有自转，则该卫星的星下点轨迹为一个点 B．该卫星的向心加速度约等于重力加速度g C．该卫星第Ⅰ、Ⅱ圈星下点经过P点的时间间隔等于该卫星的运行周期 D．根据赤道与星下点轨迹展开图的交点，可知该卫星的运行周期约1.5h 【答案】BD 【解析】解：A、若地球没有自转，则该卫星的星下点轨迹为圆，故A错误； B.由及可知，由于r≈1.084R，所以该卫星的向心加速度约等于重力加速度g，故B正确； C.则该卫星第Ⅰ、Ⅱ圈星下点经过P点的时间间隔等于该卫星的运行周期，因地球有自转，可知该卫星第Ⅰ、Ⅱ圈星下点经过P点的时间间隔并不等于该卫星的运行周期，故C错误； D.根据赤道与星下点轨迹展开图的交点可知，卫星第Ⅰ圈到第Ⅲ圈沿相同方向通过赤道时，地球转过45°，用时间，可知该卫星的运行周期约1.5h，故D正确。 故选：BD。 （多选）10．如图所示，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上运行的周期为T，近月点P到月心的距离为a，远月点Q到月心的距离为b，引力常量为G，下列说法正确的是（　　） A．月球的质量为 B．月球的质量为 C．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 D．“鹊桥二号”在P、Q两点的速度之比为 【答案】BD 【解析】解：AB.由题意可知，“鹊桥二号”在环月大椭圆轨道上的轨道半长轴为，由开普勒第三定律可知k，设一环绕月球圆轨道运动的卫星的周期为T0，轨道半径为r0，根据万有引力定律可得，又k，联立解得月球的质量为，故B正确，A错误； CD.由开普勒第二定律可知 ，解得，故D正确，C错误。 故选：BD。 （多选）11．某行星外围有一圈厚度为d的发光物质，简化为如图甲所示模型，R为该行星除发光带以外的半径。现不知发光带是该行星的组成部分还是环绕该行星的卫星群，某科学家做了精确观测后发现：发光带绕行星中心运行的速度与到行星中心的距离r的关系如图乙所示（图中所标v0为已知），则下列说法正确的是（　　） A．发光带是该行星的组成部分 B．行星表面的重力加速度 C．该行星的质量为 D．该行星的平均密度为 【答案】BC 【解析】解：A、若光带是该行星的组成部分，其角速度应与行星自转角速度相同，则应有v＝ωr，即v与r成正比，与图乙所示关系不符，因此该发光带不是该行星的组成部分，故A错误； B.当r＝R时，在行星表面有，解得行星表面的重力加速度为，故B正确； C.若光带是环绕该行星的卫星群，由万有引力提供向心力，有，可得行星的质量为，由图乙知，当r＝R时，v＝v0，代入得，故C正确； D.行星的平均密度为，其中，代入质量表达式得，故D错误。 故选：BC。 三．解答题（共3小题） 12．我国航天技术发展迅速，设想数年后，宇航员登陆某星球表面，以便完善该星球的档案资料，查阅以往资料可知：该星球质量为地球质量的，半径为地球半径的，已知地球表面重力加速度为10m/s2（忽略星球自转）。 （1）求该星球表面重力加速度大小； （2）现在该球星表面做平抛运动实验，落点在一抛物线上，抛物线方程为y＝x2，其中A、B两点坐标分别为A（0，3.5）和B（0，11），现从A、B两点分别先后水平抛出1和2两个小球，两球刚好在抛物线上相遇，其中1球抛出的初速度v1＝1m/s，忽略一切阻力，求： ①A、B相遇点的坐标； ②2球抛出时初速度大小v2以及1、2两球抛出的时间差Δt。 【答案】（1）该星球表面重力加速度大小为5m/s2。 （2）①A、B相遇点的坐标为（1，1）。 ②2球抛出时初速度大小为0.5m/s，1、2两球抛出的时间差为1s。 【解析】解：（1）在星球表面，重力与万有引力相等，即，可得该处的重力加速度。 已知该星球质量，半径，则其表面重力加速度，计算得，代入，解得：。 （2）①设1球的运动时间为t1，两球相遇点的坐标为（x，y）。根据平抛运动规律，1球的水平位移x＝v1t1，竖直位移满足。 同时，相遇点位于抛物线y＝x2上，联立方程得x2＝3.5﹣2.5x2，解得：x＝1m，进而得y＝1m，故相遇点坐标为（1，1）。 ②对于2球，其竖直位移满足，代入y＝1m，yB＝11m，得，解得：t2＝2s。 由水平位移公式x＝v2t2，代入x＝1m，解得：v2＝0.5m/s。由1球的水平位移x＝v1t1，代入解得：t1＝1s。因此，两球抛出的时间差Δt＝t2﹣t1，解得：Δt＝1s。 答：（1）该星球表面重力加速度大小为5m/s2。 （2）①A、B相遇点的坐标为（1，1）。 ②2球抛出时初速度大小为0.5m/s，1、2两球抛出的时间差为1s。 13．如图所示，在某星球上将一物体以初速度v0沿与水平方向成37°角从A点斜向上抛出，经过B点时速度与水平方向的夹角为53°。已知A、B之间的水平距离为L，该星球的半径为R，忽略星球自转的影响，不计星球表面的大气阻力，sin53°＝0.8，求： （1）该星球表面的重力加速度g； （2）该星球的第一宇宙速度。 【答案】（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 【解析】解：（1）物体在星球表面做斜上抛运动，水平方向上位移满足L＝v0cos37°t，可得，竖直方向上速度满足vBsin53°＝﹣v0sin37°+gt，其中，联立得； （2）根据牛顿第二定律，可得星球的第一宇宙速度。 答：（1）该星球表面的重力加速度g为； （2）该星球的第一宇宙速度为。 14．航天员登陆某星球后站在星球表面上，手握不可伸长的轻绳一端，绳的另一端系有质量为m的小球，使球在竖直平面内以手为圆心做圆周运动。当球某次运动到最低点时，绳恰好受到所能承受的最大拉力被拉断，并以绳断时的速度v0水平飞出，通过水平距离d后落于星球表面。已知握绳的手离星球表面的高度为d，手与球之间的绳长为，忽略星球上气体阻力。求： （1）星球表面的重力加速度大小g。 （2）绳所能承受的最大拉力大小Fmax。 （3）如果该星球半径为R，星球自转的周期为T，求该星球的同步卫星高度h。 【答案】（1）星球表面的重力加速度大小为。 （2）绳所能承受的最大拉力大小为。 （3）该星球的同步卫星高度为。 【解析】解：（1）小球绳断后做平抛运动，分解为水平和竖直两个分运动： 水平方向小球做平抛运动，位移d＝v0t 竖直方向小球做自由落体运动，下落高度 解得星球表面的重力加速度大小。 （2）小球在圆周运动最低点时，拉力与重力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律得，其中圆周运动的半径 解得绳所能承受的最大拉力大小。 （3）对于同步卫星，由万有引力提供向心力得 在星球表面，对质量m′的物体，有 解得该星球的同步卫星高度。 答：（1）星球表面的重力加速度大小为。 （2）绳所能承受的最大拉力大小为。 （3）该星球的同步卫星高度为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $