专题09 机械能守恒模型 讲义及课时精练 -2025-2026学年高一下学期物理人教版必修第二册

专题09 机械能守恒模型 模型一 判断机械能是否守恒 1.重力做功的特点 （1）重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 （2）重力做功不引起物体机械能的变化。 2.重力势能 （1）表达式Ep＝mgh。 （2）重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 （3）ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－（Ep2－Ep1）＝－ΔEp。 3.弹性势能 （1）定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 （2）ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4.机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 （2）表达式：＝。 （3）守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 【例题精讲】 1.（2025秋•锡林郭勒盟期末）将塑料袋装入适量水，上端悬挂在固定的挂钩上，如图所示，下列说法正确的（　　） A．若稍向下拉塑料袋的底部，水的机械能会增加 B．若稍向下拉塑料袋的底部，水的机械能会减少 C．若稍向左推塑料袋的侧面，水的机械能保持不变 D．若稍向左推塑料袋的侧面，水的机械能可能减少 【答案】A 【解析】解：根据功能原理，不论是向下拉还是向左推塑料袋，都是对塑料袋和水这个系统做了正功，系统的机械能增加，故A正确，BCD错误。 故选：A。 2.（2025秋•琼山区校级月考）如图所示，下列说法正确的是（不计摩擦、空气阻力以及滑轮和细线的质量）（　　） A．甲图中，火箭匀速升空，火箭的机械能守恒 B．乙图中，物块在外力F的作用下减速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落，物块B加速上升的过程中，AB系统机械能守恒 【答案】D 【解析】解：A.火箭升空过程中有化学能转化为机械能，所以火箭机械能增加，故A错误； B.物块在外力F的作用下减速上滑，外力对物体做正功，所以物块的机械能不守恒，故B错误； C.物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，弹力对A物体做负功所以物体机械能减小，故C错误； D.物块A加速下落，物块B加速上升的过程中，整个过程只有重力做功，所以AB系统机械能守恒，故D正确。 故选：D。 3.（2025秋•荔湾区校级期末）2025年4月22日，全球首张无人机物流通行证正式获批，低空经济发展迈入全新高度。如图所示，一架无人机搭载货物竖直升空，先由静止从地面起飞做匀加速运动，随后做加速度小于g的匀减速运动，最终悬停于某一高度。忽略空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．货物一直处于超重状态 B．无人机对货物的支持力先做正功后做负功 C．货物克服重力做功的功率先增大后减小 D．无人机及货物构成的系统在上升过程中机械能守恒 【答案】C 【解析】解：A.货物先匀加速（加速度向上，超重），后匀减速（加速度向下，失重），并非一直处于超重状态，故A错误； B.无人机对货物的支持力方向始终向上，与货物的位移方向一致，因此支持力始终做正功，故B错误； C.货物克服重力做功的功率P＝mgv，速度v先匀加速增大、后匀减速减小，故功率先增大后减小，故C正确； D.无人机对货物的支持力对系统做功，不满足“只有重力做功”的机械能守恒条件，系统机械能不守恒，故D错误。 故选：C。 4.（2025秋•香坊区校级期末）2025年7月12日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球馆开幕。如图甲所示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D为同一轨迹上等高的两点，A为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是（　　） A．嗒嗒球从C点经最高点A到达D点的过程中机械能守恒 B．嗒嗒球在最高点A的加速度方向竖直向下 C．在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能最小 D．上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间 【答案】D 【解析】解：A．由轨迹图可知，嗒嗒球运动过程中受到空气阻力作用，且空气阻力做负功，导致机械能减小，因此机械能不守恒。故A错误； B．嗒嗒球在最高点A时，受到重力和水平方向的空气阻力作用，合力方向不是竖直向下，根据牛顿第二定律，所以加速度方向不是竖直向下，故B错误； C．分析在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能是否最小。嗒嗒球在最高点A时，所受重力和空气阻力的合力方向斜向下偏左，此时合力方向与速度方向的夹角大于90°，嗒嗒球继续做减速运动，所以最高点A的动能不是最小，故C错误；， D．上升阶段空气阻力的竖直分力向下，下降阶段空气阻力的竖直分力向上，所以上升阶段竖直方向的平均加速度大于下降阶段竖直方向的平均加速度，根据可知，上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间，故D正确。 故选：D。 5.（2025秋•北辰区校级月考）如图所示，一轻绳绕过光滑的轻质小定滑轮O，一端和小球连接，另一端与套在光滑固定直杆上物块连接，C点与滑轮O在同一高度，OD与直杆垂直，OC与OE等长。现将物块从C点由静止释放，在其下滑到E点的过程中（　　） A．物块和小球机械能不守恒 B．小球的重力势能一直在增加 C．物块滑至D点时，小球重力瞬时功率为零 D．物块滑至D点时，物块具有的机械能最小 【答案】C 【解析】解：A、物块和小球组成的系统只有动能、重力势能和弹性势能相互转化，机械能守恒，故A错误； BC、物块由C到D过程，小球向下运动，至D点时，物块沿绳子方向的速度为0，即小球速度为0，物块由D到E过程，小球向上运动，则小球重力先做负功再做正功，故小球的重力势能先减小后增加，物块滑至D点时，小球重力瞬时功率为零，故B错误，C正确； D、物块滑至D点时，小球的重力势能最小，动能为0，机械能最小，故物块具有的机械能最大，故D错误。 故选：C。 （多选）6．（2025秋•济南期末）如图所示为某次蹦极运动的简化过程。弹性绳的一端固定在O点，另一端和运动员相连。运动员从A点自由下落，至B点弹性绳刚好伸直，然后到达最低点C，整个过程忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．从B点到C点的过程中弹性绳的弹性势能先减小后增大 B．从A点到C点的过程中运动员的重力势能一直减小 C．从B点到C点的过程中运动员的动能先增大后减小 D．从A点到C点的过程中运动员的机械能增大 【答案】BC 【解析】解：A.从B到C，弹性绳的形变量持续增大，弹性势能与形变量的平方成正比，因此弹性绳的弹性势能一直增大，故A错误； B.从A到C，运动员的高度持续降低，重力势能Ep＝mgh随高度降低而一直减小，故B正确； C.从B到C，初始阶段弹性绳弹力小于重力，合力向下，运动员加速，动能增大；当弹力等于重力时，速度达到最大；之后弹力大于重力，合力向上，运动员减速，动能减小。因此运动员的动能先增大后减小，故C正确； D.从A到B，只有重力做功，运动员机械能守恒；从B到C，弹性绳的弹力对运动员做负功，运动员的机械能转化为弹性绳的弹性势能，因此运动员的机械能减小，而非增大，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．（2025秋•银川校级月考）如图所示，不悬挂重物B，给物块A一个沿斜面向下的初速度，A恰好能做匀速直线运动，悬挂重物后，牵引物块A的细线与斜面平行，轻质定滑轮光滑，由静止释放A，在A下滑过程中（B始终未着地），下列说法正确的是（　　） A．A、B组成的系统机械能不守恒 B．重物B重力做功小于B的动能增量 C．B的重力势能减少量等于A、B动能的增量 D．细线对A做的功等于A的机械能增量 【答案】AC 【解析】解：A．以A、B组成的系统为研究对象，由于系统要克服摩擦力做功，因此A、B组成的系统机械能不守恒，故A正确； B．设细线拉力大小为FT，重物B下降高度为h，根据动能定理有WG﹣FTh＝ΔEk，故WG＞ΔEk，故B错误； C．由题意知，A的重力势能减少量等于摩擦产生的热量，根据能量守恒，B的重力势能减少量等于A、B动能的增加量，故C正确； D．根据功能关系可知，除重力以外力做功等于机械能变化量，即细线对A做的功和摩擦力对A做的功的代数和等于A的机械能增量，故D错误。 故选：AC。 模型二 单体机械能守恒 1.单物体机械能守恒的常用表达式 2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 （1）选取研究对象—物体。 （2）分析物体受力，判断是否守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）分析物体运动状态：确定研究对象在初、末状态时的机械能。 （4）列方程、求解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp）进行求解。 3.注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 【例题精讲】 1.（2025秋•丽水期末）如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为37°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（　　） A．m＝0.5kg，f＝1.0N B．m＝0.5kg，f＝0.5N C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N 【答案】A 【解析】解：考虑物块沿斜面上行与下滑两个阶段，由动能定理W合＝ΔEk可得：在上滑阶段：﹣（mgsinθ+f）s1＝0﹣Ek0，代入已知数值得10（6m+f）＝40； 在下滑阶段：（mgsinθ﹣f）（s2﹣s1）＝Ek2﹣0，代入数据得10（6m﹣f）＝20；联立以上两式，解得：m＝0.5kg，f＝1.0N。故BCD错误，A正确。 故选：A。 2.（2025秋•博望区校级期末）如图所示，质量为M＝1kg的带有光滑半圆轨道ABC的滑块放置在光滑水平面上，半圆轨道半径为R＝0.9m，轨道的底端A与水平面相切。质量m＝2kg的小球从水平面上以初速度v0＝12m/s滑上半圆轨道，然后从半圆轨道的最高点C飞出，重力加速度g取10m/s2，则小球落地时落点与滑块的A点间距离为（　　） A．1.8m B．2.4m C．3m D．3.6m 【答案】D 【解析】解：设小球在C点的速度为vC1，滑块在C点的速度为vC2。小球从A运动至C的过程中，系统在水平方向动量守恒，且机械能守恒。 根据水平方向动量守恒定律可得：mv0＝mvC1+MvC2。根据机械能守恒定律可得：。 代入具体数值，由24＝2vC1+vC2与，联立求解得到：vC1＝6m/s，vC2＝12m/s。另一组解vC1＝10m/s，vC2＝4m/s不符合小球在C点相对滑块向左运动的情形。 小球离开C点后做平抛运动，其落地时间，解得：t＝0.6s。 在时间t内，小球的水平位移xm＝vC1t，解得：xm＝3.6m；滑块的水平位移xM＝vC2t，解得：xM＝7.2m。 因小球离开C点时与A点处于同一水平位置，故落地时落点与A点的距离为Δx＝|xm﹣xM|，解得：Δx＝3.6m。故ABC错误，D正确。 故选：D。 3.（2025秋•雨花区校级月考）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在足够长轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小圆环，圆环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆间的距离为d。现将圆环从图中所示的A处由静止释放，此时连接圆环的细绳与水平方向的夹角为30°，整个过程中重物都只在竖直方向运动且未与定滑轮相碰。忽略定滑轮的质量和大小，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为mg B．圆环刚释放时，重物的加速度大小为g C．圆环下落到最低点的过程中，圆环的机械能一直减小 D．圆环下落到与定滑轮等高的位置时，圆环的速度大小为 【答案】A 【解析】解：AB、设圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为T，重物加速度为a，圆环加速度沿绳方向的分量为a'。对重物有2mg﹣T＝2ma，对圆环沿垂直绳方向有Tsin30°+mg＝ma'，根据运动的关联性可知a'sin30°＝a，联立解得，，故A正确，B错误； C、圆环下落到最低点的过程中，轻绳对圆环的拉力方向先向下后向上，因此该拉力对圆环先做正功后做负功，圆环的机械能先增加后减小，故C错误； D、当圆环下落到与定滑轮等高的位置时，其速度方向竖直向下，由运动的分解可知此时重物的速度为零。对系统由机械能守恒定律有，解得，故D错误。 故选：A。 4.（2025秋•滨州期末）如图所示，一半径R＝0.5m的圆形轨道竖直放置在粗糙水平地面上，轨道内壁光滑，O点为圆形轨道的圆心，B点为最高点，∠BOC＝60°，轨道在A处与水平地面相切。在A处放置一小物块，质量m＝1kg，给它一水平向左的初速度v0m/s，使其沿圆形轨道运动，从C点抛出后落至D点。已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。小物块从A点到D点的运动过程中，圆形轨道始终保持静止，则（　　） A．小物块经过C点时，速度大小为m/s B．小物块经过C点时，轨道对小物块的压力大小为32N C．小物块经过C点时，地面对圆形轨道的摩擦力方向水平向右 D．CD两点间的水平距离为m 【答案】D 【解析】解：A、小物块从A到C的过程中，只有重力对小物块做功，可知小物块的机械能守恒，即：，解得：vC＝4m/s，故A错误； B、在C点时，对小物块受力分析，如图： 即，可得：N＝27N，故B错误； C、由B选项分析，可知小物块经过C点时，轨道对小物块的压力指向左下方，由相互作用力知识可知小物块对轨道的压力斜向右上方； 轨道始终保持静止，即轨道受力平衡，则地面对轨道的摩擦力水平向左，故C错误； D、小物块从C点离开轨道后，水平方向：x＝vCcos60°t，竖直方向：，解得CD间的水平距离为：，故D正确。 故选：D。 5.（2025秋•海南期末）如图1所示，一轻质弹簧原长为24cm，劲度系数k＝800N/m，左端固定在竖直墙上，右端水平地面上有一质量为m的滑块（不与弹簧连接）。用水平力将滑块从原长处缓慢推至P点，弹簧压缩了12cm，撤去外力后滑块由静止沿水平地面弹出，最后停在N点。以弹簧左端为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴，滑块从P点到N点的过程中，加速度a随位置坐标x的变化规律如图2所示。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量m＝5kg B．滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2 C．N点的坐标xN＝48cm D．滑块的最大动能Ekm＝8J 【答案】C 【解析】解：B、撤去外力后，滑块从P点向右运动，先做加速度逐渐减小的加速运动。当弹簧弹力与滑动摩擦力相等时，加速度减为0，速度达到最大值。之后，滑块继续向右做加速度逐渐增大的减速运动，脱离弹簧后做匀减速运动，最终在N点速度减为0。由图2可知，滑块脱离弹簧后做匀减速运动的加速度大小为。根据牛顿第二定律有μmg＝ma2，解得：μ＝0.4，故B错误。 A、滑块在P点刚要开始向右滑动时，加速度。根据kx﹣μmg＝ma1，解得：m＝4kg，故A错误。 D、当滑块速度最大时，弹簧弹力与滑动摩擦力大小相等。设此时弹簧压缩量为x'，有kx'＝μmg，解得：x'＝2cm，此时弹簧长度为22 cm。将a﹣x图像中纵坐标乘以滑块质量m，可转化为合力F合与位移x的图像，图线与x轴所围面积表示合力所做的功。根据动能定理有W合＝Ekm，计算可得Ekm＝4.0J，故D错误。 C、对滑块从P点运动到N点的全过程应用动能定理，有，代入数据解得：xN＝48cm，故C正确。 故选：C。 （多选）6．（2026•许昌模拟）如图所示，不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮将甲、乙两物块（均可视为质点）连接，物块甲套在固定的竖直光滑杆上。某时刻将甲、乙两物块由静止释放，物块甲从P上升，能到达的最高点为Q。已知Q点与滑轮上缘O点在同一水平线上，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g。则物块甲从P点上升到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块乙的动能先增大后减小 B．绳子对物块乙的拉力大小一直小于其重力大小 C．物块乙的机械能一直在减小 D．物块甲上升到Q点时的加速度为g 【答案】ACD 【解析】解：A.物块甲的速度v甲可分解为沿绳和垂直绳的分量，乙的速度v乙＝v甲cosθ。甲上升时，θ从0°增至90°，cosθ从1减到0，因此v乙先增大后减小。乙的动能也是先增大后减小，故A正确； B.乙先加速运动，后减速运动，绳子对乙的拉力先小于重力，后大于重力，故B错误。 C.乙的机械能：绳子拉力对乙做负功，故乙的机械能一直减小，故C正确。 D.甲在Q点的加速度：Q点时绳子与杆垂直，沿绳速度为0，v乙＝0.此时甲只受重力，加速度为g，故D正确。 故选：ACD。 （多选）7．（2025秋•广州月考）如图甲所示，将一劲度系数为k的轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质量为m的小物块，小物块距离地面高度为h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示，其中h4到h5间的图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块上升至高度h3时，弹簧形变量为0 B．小物块上升至高度h4时，加速度为g C．解除锁定前，弹簧的弹性势能为mgh5 D．小物块从高度h2上升到h4，弹簧的弹性势能减少 【答案】BD 【解析】解：A、小物块上升至高度h3时动能最大，则此时弹簧弹力与重力平衡，弹簧形变量不为零，故A错误； C、物块和弹簧组成的系统机械能守恒，可得解除锁定前，弹簧的弹性势能为Epx＝mg（h5﹣h1），故C错误； B、因为h4到h5间的图像为直线，即小物块做匀减速直线运动，所以小物块上升至高度h4时，弹簧形变量为零，弹簧恢复原长，小物块只受重力，加速度为g，故B正确； D、小物块从高度h2上升到h4，物块的动能先增大后减小，小物块速度先增大后减小，结合前面选项分析可知，该过程弹簧一直处于压缩状态，弹簧在该过程中逐渐恢复原长，所以弹簧的弹性势能在减少，故D正确。 故选：BD。 模型三 轻杆连接的机械能守恒 一、角速度相等 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 ）转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足： 。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒。 （4）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （5）由 知， 与 成正比。 二、角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景（关联速度情景） （1）两物体速度的关联实质：沿杆方向的分速度大小相等。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1.（2025春•仓山区校级期中）如图，光滑轨道ABC，AB为半径R的圆弧，BC水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑过程中机械能保持不变 B．a、b滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做正功 D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程a、b两球的速度始终相等 【答案】C 【解析】解：B．对a、b构成的系统机械能守恒，则有 解得a、b滑到水平轨道上时速度为，故B错误； C．若没有杆，对a球分析有 解得速度满足 可知，有杆时a球最终速度大于没有杆时的最终速度，即有杆时a球最终动能大于没有杆时的最终动能，则整个过程中轻杆对a球做正功，故C正确； A．a球下滑过程中，杆对a球做了功，a球机械能不守恒，其机械能发生变化，故A错误； D．，两小球沿杆方向的分速度相等，令a、b速度与杆夹角分别为α、β，则有vacosα＝vbcosβ 当杆全部处于圆弧中时，根据几何关系有α＝β＝30° 此时两球速度大小相等，当a在水平轨道，b在圆弧轨道上时，α、β不相等，此时两球速度大小不相等，故D错误。 故选：C。 2.（2025秋•新吴区校级月考）如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴O在竖直平面内自由转动，杆的两端固定有两小球A和B（可看作质点）。A、B的质量分别为m和4m，到转轴O的距离分别为2l和l，现使轻杆从水平位置由静止开始绕O轴自由转动90°后，A球到达最高点，下列说法正确的是（　　） A．当A球到达最高点时，转轴O对轻杆的支持力为5mg B．当A球到达最高点时，球B的线速度大小 C．当A球到达最高点时，轻杆对其提供的是支持力 D．在转动90°的过程中，杆对球B做的功为﹣3mgl 【答案】D 【解析】解：B、根据系统机械能守恒定律，可得由于两球角速度相同，则联立解得，，故B错误； AC、对A、B两球，分别应用牛顿第二定律，有，解得FA＝0，FB＝6mg，由此可知，当A球运动至最高点时，轻杆对A球的作用力为零，对B球的作用力为6mg，方向竖直向上，根据牛顿第三定律，B球对轻杆的作用力大小为6mg，方向竖直向下，因此转轴O对轻杆的支持力为6mg，故AC错误； D、对B球应用动能定理，有，解得W＝﹣3mgl，故D正确。 故选：D。 3.（2025秋•安宁区校级月考）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．a落地前，轻杆对b先做负功后做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为2mg 【答案】B 【解析】解：A.当a到达底端时，b的速度为零，b的速度在整个过程中，先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误； B.a运动到最低点时，b的速度为零，根据系统机械能守恒定律得 解得 故B正确； C.b的速度在整个过程中，先增大后减小，所以a对b的作用力先是动力后是阻力，所以b对a的作用力就先是阻力后是动力，所以在b减速的过程中，b对a是向下的拉力，此时a的加速度大于重力加速度，故C错误； D.ab整体的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D错误。 故选：B。 4.（2025春•江苏月考）如图所示，两小滑块P、Q的质量分别为m和2m，P、Q通过光滑铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的光滑竖直杆上，Q放在光滑水平地面上。原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆上O点。将P由静止释放，此时轻杆与竖直方向夹角α＝30°；P下降到最低点时α变为60°重力加速度为g，则在P下降的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．下降过程中P的机械能先增大后减小 C．P达到最大动能时，Q受到地面的支持力大小为2mg D．弹簧弹性势能最大值为 【答案】D 【解析】解：AB、对于P与Q构成的系统，由于弹簧对Q施加作用力而做功，故该系统的机械能并不守恒。然而，对于将P、Q及弹簧三者视为一个整体系统时，仅重力与弹簧弹力做功，因此该整体系统的机械能守恒。P自起始位置向下运动过程中，轻杆始终对P的下落产生阻碍作用，对P做负功，故而P的机械能持续减少，故AB错误； C．在P下降过程中，其动能达到最大值之前，P处于加速下降状态。对P与Q组成的整体，在竖直方向上应用牛顿第二定律可得3mg﹣N＝ma，当P的动能达到最大时，其加速度a＝0，代入解得N＝3mg，故C错误； D．当P运动至最低点时，其速度减为零，Q的速度亦为零，此时弹簧的弹性势能达到最大值。根据系统机械能守恒定律，有Ep＝mgL（cos30°﹣cos60°），解得弹性势能的最大值为，故D正确。 故选：D。 5.（2024秋•平江县期末）如图所示，一轻质定滑轮O固定在天花板上，物块A和B通过竖直轻弹簧拴接在一起，同时用不可伸长的轻绳绕过滑轮连接物块A和C，物块C穿在竖直固定的细杆上。OA竖直，OC间距l＝0.6m且水平，此时A、C间轻绳刚好拉直而无作用力。已知物块A、B、C质量均为m＝0.4kg，不计一切摩擦阻力，g取10m/s2。现将物块C由静止释放，下滑h＝0.8m时物块B刚好被提起，下列说法不正确的是（　　） A．此时物块A上升的高度为0.4m B．弹簧的劲度系数为20N/m C．绳子对物块C做功的大小等于物块A动能的增加量 D．此时物块A速度的大小为 【答案】C 【解析】解：A、初始状态，绳子恰好拉直但无张力，物块A受力平衡，受到重力mg和弹簧向上的支持力F1＝mg，由胡克定律得弹簧压缩量。当物块C下滑h＝0.8m时，滑轮右侧绳长变为，解得：L＝1.0m，绳长增加了ΔL＝L﹣l，解得：ΔL＝0.4m，因此物块A上升高度hA＝0.4m，故A正确。 B、物块B刚好被提起时，弹簧对B的拉力F2＝mg，此时弹簧伸长量。物块A上升的总高度，代入数据解得劲度系数，故B正确。 C、根据功能关系，绳子对物块C做的功等于其机械能的减少量。对整个系统分析，物块C减少的机械能等于物块A增加的机械能与弹簧弹性势能变化量之和。由于x1＝x2，弹簧弹性势能变化量为零，因此绳对C做的功等于A增加的动能与重力势能之和，故C错误。 D、设物块C的速度为vC，物块A的速度为vA，将vC沿绳方向分解得，解得：vA＝0.8vC。全过程系统机械能守恒，有，代入数据解得物块A的速度，故D正确。 本题选不正确的，故选：C。 （多选）6．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图甲，固定粗糙直杆OM与水平面夹角53°，套有质量1kg的滑块。弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过O点正上方的光滑定滑轮Q，与滑块相连，弹性绳原长为OQ。PQ＝1.6m且垂直OM，以P为原点沿杆向下建立x轴。滑块无初速度释放，下滑时加速度与位移的关系为一条直线（图乙）。已知x1＝0.64m，x2为滑块减速到零的位置坐标，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性绳弹力大小F＝kl（k＝10N/m，l为伸长量），g＝10m/s2，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．滑块与直杆间的动摩擦因数为μ B．图乙中a1＝﹣a2＝6.4m/s2 C．滑块沿杆下滑过程中最大速度为m/s D．滑块沿杆上滑过程中速度最大的位置在x1处 【答案】BC 【解析】解：根据题意可知，弹性绳原长等于OQ，当滑块位移为x时，绳子伸长量为：；根据胡克定律F＝kΔl，代入数据得；垂直杆方向的分力，代入数据解得Fy＝16N，方向背离杆；滑块重力垂直于杆的分量Gy＝mgcos53°，代入数据得，解得Gy＝6N；由于Fy＞Gy，滑块被压向杆的另一侧，其法向压力FN＝Fy﹣Gy，代入数据解得FN＝10N；沿杆方向的分力，代入数据解得Fx＝10x，方向指向P点。 A、在滑块下滑过程中，根据牛顿第二定律有，代入数据得，整理得a＝（8﹣10μ）﹣10x；由a﹣x图像可知当x1＝0.64m时加速度为零，即8m/s2﹣10μm/s2＝10•0.64m/s2，解得μ＝0.16，故A错误； B、由图像特征可知，滑块从x＝0到x2速度由零减至零，根据动能定理可知a﹣x图像与轴围成的总面积应为零，由几何对称性得x2＝2x1，代入数据解得x2＝1.28m，此时加速度，解得，故B正确； C、滑块下滑至x＝x1时加速度为零，此时速度最大，最大速度的平方等于图像围成三角形面积的两倍，即，解得，故C正确； D、滑块上滑时摩擦力方向改变，加速度为零的位置满足Fx＝mgsin53°+μFN，代入数据得10x＝8N+0.16•10N，解得x＝0.96m，该位置与x1不同，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．（2024秋•昭通期末）如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 【答案】BC 【解析】解：AB、设轻绳AO与竖直方向的夹角为θ，将小环A的速度正交分解，结合关联速度可得vAcosθ＝vB。最初小环A与重物B的速度均为零，当小环A运动至N点时θ＝90°，故此时重物B的速度也为零，因此重物B先加速下降后减速下降，其状态先失重后超重，故A错误，B正确； D、在△NAO 中，设绳子与竖直杆之间的夹角为 θ＝∠NAO。由几何关系可知，vB＝vAcosθ。当 θ＝60° 时，代入三角函数值可得 vB＝vA•cos60°，即，整理得 vA＝2vB。故D错误； C、小环A从M位置运动到N位置的过程中，小环A与重物B组成的系统机械能守恒，有，解得小环A运动到N位置时的动能，故C正确。 故选：BC。 模型四 弹簧连接的机械能守恒 1. 常见图例： 2. 四点提醒 （1）含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时， 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化， 物体和弹簧组成的系统机械能守恒， 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 （2）对同一弹簧， 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定， 弹簧的伸长量和压缩量相等时， 弹簧的弹性势能相等。 （3）弹簧弹力做功与路径无关，取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 （4）由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统， 当弹簧形变量最大时， 弹簧两端连接的物体速度相等； 弹簧处于自然长度时， 弹簧弹性势能最小（为零）。 【例题精讲】 1.（2025秋•随州期末）如图所示，一竖直放置的半径R＝1m的固定光滑圆环上穿有一个质量m＝1kg的小环，小环通过一根原长也为R、劲度系数k＝100N/m的轻质弹簧与圆环的最高点A相连，弹簧弹性势能Epkx2（x为形变量），取重力加速度大小g＝10m/s2，小环从与A点相距为R的B点由静止开始下滑，之后的运动过程中小环获得的最大动能为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：以圆心O为重力势能零点。根据几何关系，小环在B点时与最高点A的连线AB为弦，已知AB＝R，则△OAB为等边三角形，此时小环相对于A点的转角θ＝60°。 根据机械能守恒定律，系统总机械能表达式为。 代入初始条件θ＝60°及Ek＝0，解得系统总机械能E＝mgRcos60°，计算得：E＝5J。 令，则有cosθ＝1﹣2s2，代入能量守恒方程整理，得到动能表达式。 当时，解得，此时动能Ek取得最大值。 代入数据计算最大动能。故A正确，BCD错误。 故选：A。 2.（2025秋•莱西市校级期末）如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 【答案】C 【解析】解：A、设PO的距离为L，过程I中，根据动能定理有。设MO的距离为L1，过程Ⅱ中，当Q速度最大时，根据平衡条件kL1＝mgsinθ+μmgcosθ。P、M两点之间的距离L2＝L﹣L1，联立可得，故A错误； B、根据功能关系，过程Ⅱ中，Q从P点单向运动到O点时，Q和弹簧组成的系统损失的机械能ΔE＝μmgcosθ•L。结合，解得：。但在过程Ⅱ中，单独对Q而言其机械能是增加的，故B错误； D、无论Q从何处释放，其在斜面上运动时，弹簧与Q初始时的势能最终转化为摩擦热。当在M点时，满足kL1＝mgsinθ+μmgcosθ；当在O点时，满足mgsinθ＝μmgcosθ。因此在OM（含O、M点）之间速度减为零时，Q将保持静止，故D错误； C、设过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为x，根据能量守恒定律有。结合，解得：，故C正确。 故选：C。 3.（2025秋•武昌区校级月考）如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于伸长状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 【答案】D 【解析】解：A．刚开始时细线的张力为零，以AB整体为研究对象，根据受力可知，此时弹簧的弹力大小为F弹＝2mgsin30° 刚释放C时，设A、B间的弹力大小为N，细线拉力大小为T，此时的加速度为a，以C为研究对象，根据牛顿第二定律得mg﹣T＝ma 以B为研究对象，根据牛顿第二定律可得T+N﹣mgsin30°＝ma 以A为研究对象，根据牛顿第二定律可得F弹﹣mgsin30°﹣N＝ma 解得A、B间的弹力，故A错误； B．A、B分离瞬间，A、B具有共同沿斜面向上的加速度，且加速度大小相同，合外力沿斜面向上，对A进行受力分析，可知弹簧仍处于压缩状态，故B错误； C．初始时弹簧的压缩量为 当A的速度最大时，加速度为零，即弹簧的弹力与A的重力沿斜面向下的分力平衡，则此时弹簧的压缩量为 可知A的速度最大时它沿斜面上升的距离为 故C错误； D．A、B分离时，两者之间的弹力为零，设此时的加速度为a′，细线的拉力大小为T′，以C为研究对象，物体受到重力和细线的拉力，根据牛顿第二定律可得mg﹣T′＝ma′ 以B为研究对象，物体受到细线的拉力和物体自身的重力以及垂直于斜面的弹力，根据牛顿第二定律可得T′﹣mgsin30°＝ma′ 联立解得，故D正确。 故选：D。 4.（2024秋•江西期末）如图所示，弹簧的左端固定，将小球套在水平杆上，装置的各种摩擦均不计。a点是压缩弹簧后小球静止释放的位置，b点是弹簧原长时小球的位置，c点是小球到达最右端的位置。小球由a点运动到c点的过程中（水平面光滑），下列说法中错误的是（　　） A．在a点时，弹簧的弹性势能最大 B．在b点时，小球的运动速度最大 C．从a点到b点，小球的机械能逐渐增大 D．从b点到c点，小球处于加速滑动过程 【答案】D 【解析】解：A．在a点，弹簧被最大程度压缩，弹簧弹性势能最大，故A正确； B．在b点，弹簧处于原长，弹力瞬时为零，小球动能（速度）达到最大值，故B正确； C．a到b的过程中，弹簧弹力对小球做正功，小球的机械能逐渐增大，故C正确； D．b到c的过程中，弹簧被拉伸形成的弹力与小球运动方向相反，小球做减速运动，故D错误。 本题选错误的，故选：D。 5.（2024秋•南阳期末）如图甲所示，水平面AB与竖直面内的半圆形导轨CDB在B点平滑相接，各处摩擦因数相同，D为半圆形导轨的中点。一质量为m＝1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩到A点后由静止释放，在弹力作用下获得向右的速度后脱离弹簧，从B点进入半圆形导轨，物体沿半圆形导轨从B运动到C过程中速度平方与其上升高度的关系如图乙所示，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．弹簧压缩到A点时弹簧的弹性势能为18J B．物体运动到C点时对半圆形导轨的压力大小为10N C．物体从B运动到C的过程中，合力对物体做的功为10J D．物体从D运动到C的过程中，物体的机械能减少值ΔE＜1J 【答案】D 【解析】解：A、由图乙可知，物体在B点的速度大小为v0＝6m/s。若水平面AB光滑，依据能量守恒定律，弹簧在A点时的弹性势能为，解得：Ep＝18J。由于实际轨道粗糙，故弹簧在A点时的弹性势能大于18J，故A错误； B、由图乙可知，半圆轨道半径R＝0.4m，物体在C点的速度大小为v1＝4m/s。设在C点导轨对物体的弹力为N，由牛顿第二定律得，代入数据解得：N＝30N。根据牛顿第三定律，物体在C点时对半圆形导轨的压力大小为30N，故B错误； C、根据动能定理，物体从B到C过程合外力做功为，解得：W＝﹣10J，故C错误； D、由能量守恒定律，物体从B到C过程减少的机械能为，代入数据解得：E＝2J。由于物体从B到C速度持续减小，依据牛顿运动定律分析可知，此过程物体对导轨的压力逐渐减小，由摩擦力公式f＝μN可知，物体从B到D过程所受摩擦力大于从D到C过程所受摩擦力。根据功能关系可知，物体从B到D过程克服摩擦力做功大于从D到C过程克服摩擦力做功。因整个过程机械能减少2J，故从D到C过程机械能的减少量小于1J，故D正确； 故选：D。 （多选）6．（2025秋•衡阳县期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端有一固定挡板P，质量均为m的物块A、B放置在斜面上，A、B用轻质弹簧连接，用力将弹簧压短后锁定，使A、B静止在斜面上，A与P的接触面与斜面垂直。解除弹簧锁定后，物块B开始沿斜面上滑，B上滑距离x后速度达到最大，再上滑距离x后到达最高点，此时物块A刚要离开挡板P，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．解除弹簧锁定前，挡板对A的支持力大小为mgsinθ B．解除弹簧锁定瞬间，挡板对A的支持力大于2mgsinθ C．物块B运动的最大速度为2 D．物块B运动的最大速度为 【答案】BD 【解析】解：A、解除弹簧锁定前，A、B和弹簧处于静止状态，对整体，根据平衡条件可得挡板对A的支持力大小为N＝2mgsinθ，故A错误； B、解除弹簧锁定瞬间，B具有沿斜面向上的加速度，设此时弹簧的弹力为T，则T＞mgsinθ 对A，由平衡条件有N＝mgsinθ+T 联立可得N＞2mgsinθ，故B正确； CD、设弹簧的劲度系数为k，当B速度最大时，加速度为零，设弹簧的压缩量为x1，则有kx1＝mgsinθ 当B到达最高点时，设弹簧的伸长量为x2，物块A刚要离开挡板P，则有kx2＝mgsinθ 可知x2＝x1 即两种状态下弹簧的弹性势能相等，物块B由速度最大到最高点的过程，根据系统机械能守恒可得 解得B运动的最大速度为，故C错误，D正确。 故选：BD。 （多选）7．（2025秋•立山区校级期末）如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平地面上，上端叠放质量未知的物体A和质量为m的物体B（A物体与弹簧拴接），弹簧的劲度系数为k，初始时系统静止。现用竖直向上的拉力F作用在物体B上，使物体A、B从静止开始一起竖直向上做匀加速直线运动，直到A、B分离。A、B两物体在开始一段时间内的速度v随时间t的变化分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（　　） A．施加拉力F的瞬间，物体A加速度大小为 B．t2时刻弹簧处于原长 C．过程中F的最大值为mg D．物体A的质量为 【答案】ACD 【解析】解：A、根据v﹣t图像的斜率可知，A与B共同做匀加速直线运动的加速度大小为，在施加拉力瞬间，物体A的加速度即为该恒定值，故，故A正确。 B、当物体A的速度达到最大值时，其加速度为零，对A进行受力分析，满足kΔx＝mAg。由于mA＞0，因此弹簧仍处于压缩状态，并非原长，故B错误。 C、在共同加速阶段，对物体B进行受力分析，满足F+N﹣mg＝ma。随着位移增大，支持力N逐渐减小，而拉力F逐渐增大。至t1时刻，N＝0，拉力达到最大值Fmax，满足Fmax＝m（g+a），解得：，故C正确。 D、系统初始状态满足kΔx0＝（mA+m）g。A与B分离瞬间，对A有。代入，解得：，故D正确。 故选：ACD。 模型五 轻绳连接的机械能守恒 一、速度大小相等 解题要点： 1. 常见图例 2. 三点提醒 （1）明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 （2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 （3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒，但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 二、速度大小不等 解题要点： 因两物体速度大小不相等，需分析物体速度关系，根据第一讲考点四相关知识，对速度进行分解， 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1.（2025春•哈尔滨校级期中）如图所示，水平面上固定一个平台，上面有一个固定的光滑圆弧轨道AB，O为圆心，OB竖直，∠AOB＝60°，轨道半径6m，在圆弧A点固定一个光滑小滑轮（图中未画出），有两个小球P，Q质量分别为m1＝6kg、m2＝2kg，通过轻绳连接并跨过小滑轮。开始时P球紧挨着滑轮静止释放，当P球到达圆弧B点时，Q球还未到达滑轮处，g＝10m/s2，求小球P到达B点时的速度大小（　　） A．m/s B．4m/s C．m/s D．m/s 【答案】B 【解析】解：小球P从A滑到B的过程中，设到达B点时P的速度为v，则Q的速度vcos30°，对小球P、Q的系统列机械能守恒有： 解得小球P到达B点时的速度大小 v＝4m/s 故ACD错误，B正确； 故选：B。 2.（2025春•厦门校级期中）光滑的细杆固定放置，与水平方向的夹角为37°，质量为m的小球与质量为2m的物块通过轻质细线连接，细线跨过天花板上的两个轻质定滑轮。小球套在细杆上从某处由静止开始上滑，细线一直处于伸直状态，当小球运动到A点时，速度沿着杆斜向上大小为，细线与细杆之间的夹角为37°，当小球运动到B点时，细线与细杆垂直。已知A、B两点之间的距离为L，重力加速度大小为g，小球与物块（均视为质点）总在同一竖直平面内运动，，，下列说法正确的是（　　） A．当小球在A点时，物块的速度大小为 B．小球从A点运动到B点，系统总重力势能的减小量为mgL C．当小球运动到B点时，小球的速度的大小为0 D．小球从A点运动到B点，细线对小球做的功为 【答案】D 【解析】解：A、小球位于A点时，将实际速度v0沿细线方向和垂直细线方向进行分解，沿细线方向的分速度。根据关联速度关系，此时物块的速度等于小球沿细线方向的分速度，即，故A错误。 C、同理，当小球运动至B点时，其速度大小不为零。将小球速度沿细线及垂直细线方向分解，由于此时细线与细杆垂直，即细线方向与小球速度方向垂直，因此沿细线方向的分速度为零，物块的速度亦为零，故C错误。 B、小球从A点运动到B点，其重力势能增加量为。物块下落的高度为，其重力势能减少量为Ep2＝2mgh＝mgL。则整个系统重力势能的减少量为，故B错误。 D、小球自A点运动至B点过程中，细线对小球做的功W细线1与细线对物块做的功W细线2大小相等，符号相反。对物块应用动能定理，有，解得。因此，细线对小球所做的功为，故D正确。 故选：D。 3.（2025春•成都校级月考）如图所示，套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上，弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连，绕过定滑轮O点的轻绳一端连接小球，另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块，使轻绳刚好伸直但恰好无拉力，之后由静止释放小滑块，小球从M点沿杆向N点运动。已知斜面的倾角为30°，小球的质量为m，小滑块的质量为6m，ON长度为L，ON与MN垂直。初始时轻绳与杆的夹角为37°，O点左侧的轻绳与斜面平行，小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等，重力加速度为g，sin37°＝0.6。在小球从M点向上运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球和小滑块组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度 D．小球运动到N点时的速度大小为 【答案】D 【解析】解：A、由题意可知，对于小球、小滑块和弹簧组成的系统，只有重力和弹力做功，系统机械能守恒。因弹簧的弹性势能是变化的，故小球和小滑块组成的系统机械能不守恒，故A错误； B、小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等，两个时刻弹簧形变量大小相等。由几何关系可知，在M点弹簧的压缩量为 小球在M点时，由平衡条件有mg＝kx1，解得弹簧的劲度系数为，故B错误； C、设轻绳与杆的夹角为θ，根据关联速度关系有v滑＝v球cosθ，则在运动过程中小滑块的速度不是始终大于小球的速度，故C错误； D、当小球运动到N点时θ＝90°，此时滑块的速度为0。由于小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等，故在M、N两点弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守恒得 解得小球运动到N点时的速度大小为，故D正确。 故选：D。 4.（2025秋•五华区月考）如图，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球。S点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OS直线上。N点在Q点正上方，且LQN＝LQS＝LQM。M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向S摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达S后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球恰能沿圆弧摆到N点 B．小球向右摆到M点，然后就摆回来 C．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后做斜抛运动 D．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后竖直下落 【答案】C 【解析】解：A、小球在摆动过程中，只有重力做功，机械能守恒，小球在P点动能为零，P和N等高，则小球若能到N点，在N点时动能也应为零； 由图可知，小球在右半部分做圆周运动，若圆周运动可通过最高点N，根据：，可知其最小速度不为零，则从P到N，机械能不守恒，故不可能摆到N点，故A错误； B、若小球向右摆到M点，就摆回来，则其在M点的速度减为零，而M点比P点低，重力势能比P低，从P到M，机械能不守恒，故小球在M的速度不为零，会继续向上圆周运动一段，故B错误； CD、结合AB选项分析，小球可到达MN之间某处，根据曲线运动的特点，可知小球的速度沿切线方向，即斜向左上方，受到重力作用，即小球做斜抛运动，故C正确，故D错误。 故选：C。 5.（2025秋•九龙坡区校级期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧支架竖直放置，与圆心O等高的圆弧边缘C点处有一小滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的小球和物块，挂在定滑轮两边，且m1＝4m2，开始时小球和物块均静止，且能视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g。小球从C点静止释放直到小球到达圆弧的A点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能守恒 B．到达A点时小球的速度大小为 C．轻绳对物块所做的功比轻绳对小球所做的功多 D．轻绳对物块做功为 【答案】B 【解析】解：A.除重力以外的轻绳的拉力对小球做功，小球的机械能不守恒。但对小球和物块组成的系统，没有机械能与其他能的转化，机械能守恒，故A错误； B.以小球和物块作为研究对象，根据系统机械能守恒，结合两物体沿绳子方向速度相同，有 解得到达A点时小球的速度大小 故B正确； C.由于系统机械能守恒，结合功能关系，轻绳对小球做的负功和对物块做的正功一样大，故C错误； D.物块不是匀速运动，因此轻绳拉力不等于m2g，故轻绳对物块做功不等于，故D错误。 故选：B。 （多选）6．（2025秋•红桥区期末）如图所示，水平桌面上的物体甲，用细绳与物体乙连接，甲、乙质量分别为m、2m。细绳绷紧后静止释放物体乙，物体乙下降的高度为h。不计滑轮和细绳的质量，忽略摩擦，该过程中（　　） A．乙的机械能守恒 B．甲和乙总的机械能守恒 C．乙的重力势能减少了2mgh D．甲的动能增加了2mgh 【答案】BC 【解析】解：A、根据题意分析可知，乙下降过程，绳对乙的拉力对乙做负功，可知乙的机械能减小，故A错误； B、根据题意分析可知，对甲、乙构成的系统，系统所受外力只有重力做功，甲和乙总的机械能守恒，故B正确； C、根据题意分析可知，乙所受重力做正功2mgh，则乙的重力势能减少了2mgh，故C正确； D、根据题意分析可知，对甲、乙构成的系统进行分析有 解得 即甲的动能增加了，故D错误。 故选：BC。 （多选）7．（2025秋•贺兰县校级月考）如图所示，NPQ是由细杆弯成的半圆弧，其半径为R，半圆弧的一端固定在天花板上的N点，NQ是半圆弧的直径，处于竖直方向，P点是半圆弧上与圆心等高的点。质量为m的小球A（可视为质点）穿在细杆上，通过轻绳与质量也为m的小球B相连，轻绳绕过固定在C处的轻质小定滑轮。将小球A移到P点，此时CP段轻绳处于水平伸直状态，CP＝2R，然后将小球A由静止释放。不计一切摩擦，已知重力加速度为g，在小球A由P点运动到圆弧最低点Q的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球A的动能可能先增大后减小 B．小球A始终比小球B运动得快（释放点P除外） C．当小球A绕滑轮转过角度为30°时，小球A的动能为0.5mgR D．小球A刚释放时，小球A、B的加速度大小分别为aA＝g、aB＝0 【答案】BD 【解析】解：A、下滑过程中，小球A所受的合力与速度成锐角，所以小球A的动能一直增大，故A错误； B、设小球A运动到某位置（P点除外）时，A、C连线与水平方向的夹角为θ，由关联速度可知vB＝vAsinθ（其中0°＜θ≤45°），所以小球A的速度始终比小球B的速度大，故B正确； C、当小球A绕滑轮转过30°时，小球A下降的距离为hA＝R•sin60°，减少的重力势能为EpA＝mghA＝mgR•sin60°，小球B下降的高度为hB＝2R﹣2Rcos30°，减少的重力势能为EpB＝mghB＝mg•2R（1﹣cos30°），此时两小球的速度关系为vB＝vAsin30°，由系统机械能守恒有EpA+EpB＝EkA+EkB，结合动能计算公式联立解得，故C错误； D、小球A刚释放时受重力、杆的弹力、绳的拉力，杆的弹力和绳的拉力大小相等、方向相反，所以A球所受的合外力为重力，即加速度为g，小球B此时受重力和绳的拉力，合力为零，所以此时B的加速度为0，故D正确。 故选：BD。 课时精练 1、 选择题（共8小题） 1.（2025春•青羊区校级期中）下面实例中研究对象的运动过程机械能守恒的是（　　） A．沿滑梯匀速下滑的小孩 B．打开降落伞后下降的跳伞运动员 C．自由下落的苹果 D．随摩天轮在竖直平面内匀速转动的乘客 【答案】C 【解析】解：A.沿滑梯匀速下滑的小孩，动能不变，重力势能减少，则其机械能减少，故A错误； B.打开降落伞下降的运动员受空气阻力的作用，除重力做功之外还有空气阻力做功，其机械能不守恒，故B错误； C.自由下落的苹果，苹果的重力远大于空气阻力，可以认为苹果只受重力，苹果的机械能守恒，故C正确； D.随摩天轮在竖直平面内匀速转动的乘客，动能不变，重力势能变化，故机械能不守恒，故D错误。 故选：C。 2.（2026•浙江）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（　　） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 【答案】D 【解析】解：A、运动员在转弯时具有向心加速度，故A错误； B、赛道有阻力，阻力做负功，因此运动员和钢架雪车整体机械能逐渐减小，故B错误； C、由于赛道是倾斜的，支持力垂直赛道向上，因此支持力与重力不在同一直线，不是一对平衡力，故C错误； D、力的作用是相互的，因此钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力，故D正确。 故选：D。 3.（2025秋•邓州市期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，一滑块以初速度v0从斜面底端滑上斜面，一段时间后又返回斜面底端。下列说法正确的是（　　） A．滑块返回斜面底端时的速度大于v0 B．滑块返回斜面底端时的速度小于v0 C．滑块上滑过程中处于超重状态，下滑过程中处于失重状态 D．滑块上滑过程中和下滑过程中均处于失重状态 【答案】D 【解析】解：AB.由于斜面光滑，仅重力做功，滑块的机械能守恒。当滑块返回斜面底端时，其重力势能与初始状态一致，故而动能也相同，速度大小为v0，但方向相反，故AB错误； CD.对滑块受力分析，沿斜面方向合力为mgsinθ，所以加速度a＝gsinθ，方向始终沿斜面向下。加速度有竖直向下的分量，因此滑块上滑和下滑过程中均处于失重状态，故C错误，D正确。 故选：D。 4.（2024秋•六安期末）如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定，轨道两端等高，质量为m的物体（可视为质点）自轨道M点以初速度v0沿切线方向向下滑到最低点P点时，向心加速度大小a向＝3g，g为重力加速度，则下列说法中正确的是（　　） A．物体在M点的加速度方向指向圆心 B．物体运动到P点时对轨道的压力大小为3mg C．物体从M点运动到P点的过程中机械能损失了mgR D．物体恰好能运动到N点 【答案】C 【解析】解：A．物体在M点的加速度是水平加速度和竖直加速度的合成，并不指向圆心，故A错误； B．在P点，有FN﹣mg＝man 代入数据得FN＝4mg，故B错误； C．P点速度满足 从M到P点运用动能定理 代入数据得 所以物体从M点运动到P点的过程中机械能损失了，故C正确； D．由于左半部分速度大于右半部分速度，所以MP段对物体的支持力大于PN段对物体的支持力，即M到P摩擦力做功大于从P到N做的功，所以P到N过程中机械能损失小于，则物体可以从N飞出去，故D错误。 故选：C。 5.（2025秋•泰安校级期末）如图所示，水平面上固定放置一半径为R且表面光滑的半球体，一质量为m的小球从半球体的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．小球将沿着半球表面下滑到底端 B．小球脱离半球体时，小球与半球体球心连线和竖直方向间夹角为45° C．小球脱离半球体时的速度大小为 D．小球脱离半球体时的速度大小为 【答案】C 【解析】解：ABC、当小球运动至某一位置时，将脱离半球体表面，设此时小球与球心连线同竖直方向的夹角为θ，根据机械能守恒定律有，且此刻由法向动力学方程得，联立两式解得，进而求得，故AB错误，C正确； D、脱离瞬间小球的竖直分速度为vsinθ，此后小球竖直方向做匀加速运动，满足关系，重力的瞬时功率表达式为P＝mgv'y，联立计算可得，故D错误。 故选：C。 6.（2025秋•重庆校级月考）如图甲所示，水平地面上轻弹簧左端固定，右端通过滑块压缩0.4m后锁定，t＝0时解除锁定同时释放滑块，其v﹣t图像如图乙所示，其中bc段为直线，对应的运动时间为0.4s，直线Od是图线过O点的切线，已知滑块质量m＝5.0kg，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．滑块与地面间的动摩擦因数为0.4 B．解除锁定后滑块运动0.3m，滑块速度达最大 C．弹簧的劲度系数为200N/m D．滑块与弹簧分离后运动的距离为0.8m 【答案】B 【解析】解：A、由v﹣t图像斜率表示加速度，滑块脱离弹簧后加速度。由牛顿第二定律μmg＝ma，解得：μ＝0.5，故A错误； B、当加速度为零时滑块速度最大，此时弹簧弹力F弹＝μmg＝25N＝kx，解得：x＝0.1m。故滑块运动距离0.3m时速度达到最大，故B正确； C、刚释放时加速度。由牛顿第二定律kx﹣μmg＝ma，联立解得：k＝250N/m，故C错误。 D、滑块与弹簧分离后做匀减速运动，运动距离，故D错误。 故选：B。 7.（2025•安徽二模）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球转动到最低点时，A球的速度最大 B．A球的最大速度为 C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大 D．A球的最大速度为 【答案】D 【解析】解：根据题意知两球的角速度相同，线速度之比为 vA: vB＝ω•2l:ω•l＝2:1 当OA与竖直方向的夹角为θ时，由机械能守恒得： 解得： 由数学知识知，当θ＝45°时，sinθ+cosθ有最大值， 最大值为： 故ABC错误，D正确。 故选：D。 8.（2025•广州一模）如图，小滑块P、Q的质量分别为m、3m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当轻杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时，将P由静止释放，P下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内。忽略一切摩擦，重力加速度为g，在P下降的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．两个滑块的速度大小始终一样 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于4mg 【答案】C 【解析】解：A.不计一切摩擦，对于P、Q和弹簧三者组成的系统只有重力和弹力做功，系统的机械能守恒，由于弹簧的弹性势能是变化的，所以P、Q组成的系统机械能不守恒，故A错误； B.初始时P、Q的速度均为零，在P下降的过程中，Q一直沿着杆向左运动，P下降至最低点时，P的速度为零，Q速度也为零，但由速度的分解可知P、Q的速度大小不是始终一样，故B错误； C.P下降至最低点时，弹簧弹性势能最大，此时P、Q的速度都为零，由于P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒，故此时弹簧弹性势能等于系统减少的重力势能，即弹簧弹性势能的最大值为：，故C正确； D.根据P、Q和弹簧三者组成的系统机械能守恒可知，当P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q的机械能最大，即Q的动能最大，速度最大，轻杆对Q的作用力为零，则水平横杆对Q的支持力大小等于Q的重力3mg，故D错误； 故选：C。 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•天津期末）如图所示，某物体在运动过程中，受竖直向下的重力和水平方向的风力，某段时间内，重力对物体做功8J，风力对物体做功﹣6J，则以下说法中正确的是（　　） A．外力对物体做的总功为14J B．物体的重力势能增加了8J C．物体的机械能减少了6J D．物体的动能增加了2J 【答案】CD 【解析】解：A、外力做的总功等于各个分力做功的代数和，所以外力对物体做的总功为W总＝WG+W风＝8J+（﹣6）J＝2J，故A错误； B、重力对物体做的是正功，所以物体的重力势能减小了8J，故B错误； C、重力以外的力做的功等于物体机械能的变化量，因为风力对物体做功是﹣6J，所以物体的机械能减少了6J，故C正确； D、根据动能定理可知物体动能的变化量等于合外力做的功，所以物体的动能增加了2J，故D正确。 故选：CD。 （多选）10．（2026•潍坊模拟）如图所示，a、b两小球分别固定在长为15cm的轻质细杆两端，初始时轻杆竖直，a靠在光滑竖直墙壁上，b位于光滑水平地面上。现对b施加微小扰动，使b沿水平面向右滑行，直到a落到水平地面。已知两球质量均为0.3kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．a离开竖直墙壁瞬间，加速度大小为10m/s2 B．从a离开竖直墙壁至落地过程，水平面对b的支持力不变 C．杆与竖直墙壁夹角为37°时，a、b的速率之比为4:3 D．b的最大动能为 【答案】AD 【解析】解：A、a离开竖直墙壁瞬间，墙壁对a的支持力为0，此时杆的弹力也为0，故a只受重力作用，加速度大小为10m/s2，故A正确； B、对a、b两小球组成的整体受力分析，由于a球在离开竖直墙壁后，受到杆的弹力方向一直改变，竖直方向上系统的加速度一直变化，故竖直方向整体的合力为变力，则水平面对b的支持力不断变化，故B错误； C、当杆与竖直墙壁夹角为37°时，设a、b两小球的速度大小分别为va1和vb1，根据两球沿杆方向速度大小相等，可得va1cos37°＝vb1cos53°，解得a、b的速率之比为va1：vb1＝3：4，故C错误； D、当小球a离开墙壁时，杆的弹力为0，小球b达到最大速度。设此时杆与竖直方向的夹角为θ，杆长为L，a、b两小球的速度大小分别为va和vb，根据系统机械能守恒可知，a减少的重力势能等于系统增加的动能，则有 又vacosθ＝vbsinθ 解得 求导可知当时，vb取极值，即 最b的大动能，故D正确。 故选：AD。 （多选）11．（2025秋•鸡冠区校级期末）如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于压缩状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 【答案】BD 【解析】解：A、初始状态，细线张力为零。取A与B整体分析，由平衡条件可得弹簧弹力：F弹＝2mgsin30°＝mg。刚释放C瞬间，设A、B间弹力为N，细线拉力为T，三者加速度均为a。对C应用牛顿第二定律：mg﹣T＝ma。对B应用牛顿第二定律：T+N﹣mgsin30°＝ma。对A应用牛顿第二定律：F弹﹣mgsin30°﹣N＝ma。联立解得：，故A错误。 D、AB分离时，两者间弹力N'＝0。设此时加速度为a'，细线拉力为T'。对C应用牛顿第二定律：mg﹣T'＝ma'。对B应用牛顿第二定律：T'﹣mgsin30°＝ma'。联立解得：，故D正确。 B、AB分离瞬间，二者具有沿斜面向上的共同加速度，合外力方向沿斜面向上，因此弹簧仍处于压缩状态，故B正确。 C、初始弹簧压缩量：。A速度最大时加速度为零，弹簧弹力与A重力沿斜面向下分力平衡，此时压缩量：。则A沿斜面上升的距离：，故C错误。 故选：BD。 三、解答题（共5小题） 12.（2025秋•北京期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内半径为R的粗糙半圆形导轨BC在B点相接。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为vB，之后沿半圆形导轨运动，经过C点的速度为vC。不计空气阻力，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （2）物体在C点对导轨的压力大小F压； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功Wf。 【答案】（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能为； （2）物体在C点对导轨的压力大小为mmg； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功为mg2R。 【解析】解：（1）因水平面AB光滑，物体在水平面运行时机械能守恒，故弹簧的弹性势能满足 （2）物体经过C点的速度为vC，轨道对物体的弹力满足 化简得 由牛顿第三定律得轨道对物体的弹力与物体对导轨的压力大小相等，故 （3）物体从B点运动到C点，由动能定理可得 解得 答：（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能为； （2）物体在C点对导轨的压力大小为mmg； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功为mg2R。 13.（2025秋•南阳期末）如图所示，竖直放置的轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物块甲连接，初始时物块甲静止在b位置。质量为m的物块乙从距物块甲上方h处由静止释放，直到与甲相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间甲、乙两物块的总动能为，然后一起（甲、乙不粘连）向下运动到最低点d（未画出），这一过程中，甲、乙整体经过c点（未画出）时的动能最大且为。整个过程中弹簧始终在弹性限度内且处于竖直状态，重力加速度大小为g。 （1）求物块甲的质量m甲； （2）求b位置到最低点d的距离xbd； （3）通过分析判断从最低点反弹后甲、乙是否会分离，并说明如果会分离，在什么位置分离，如果不会分离，最高点在什么位置。 【答案】（1）物块甲的质量为2m。 （2）b位置到最低点d的距离为。 （3）甲、乙不会分离，最高点在平衡位置b点上方，距b点高度为。 【解析】解：（1）物块乙自由下落过程机械能守恒，有。随后与物块甲发生碰撞，此过程动量守恒，mv0＝（m+m甲）v1。 碰撞后系统的总动能为，代入已知条件，联立上述方程，解得：m甲＝2m。 （2）在b点，系统处于平衡状态，弹簧的压缩量为，代入m甲＝2m，得。 在c点，系统的动能达到最大，此时加速度为零，受力平衡，即kΔxc＝（m+m甲）g，代入m甲＝2m，解得。 从b点运动到c点的过程中，根据能量守恒定律有，代入、m甲＝2m、Δxb与Δxc的表达式， 可得，同时由题设，代入并整理，解得弹簧的劲度系数。 系统做简谐运动，其最大动能对应弹性势能与重力势能转换的平衡点，振幅A满足，代入Ekmax与k，解得振幅。 b点到最低点d的距离等于从b到c的位移与振幅之和，即xbd＝（Δxc﹣Δxb）+A，代入、及，解得。 （3）甲、乙两物块不会发生分离。分离的临界条件是两物块间的相互作用力为零，对应弹簧恢复原长，此时系统的加速度大小为g。 由（2）问可知，系统振动的振幅，而c点对应的弹簧压缩量Δxc＝h，比较可得A＜Δxc， 这意味着在整个振动过程中，弹簧的形变量始终大于零，即弹簧始终处于压缩状态，系统的加速度始终小于重力加速度g，无法达到分离的临界条件，故两物块不会分离。 振动最高点位于平衡位置b点上方，其距离b点的高度为振幅A与b、c两点高度差之差，即Δx＝A﹣（Δxc﹣Δxb），代入数据，解得最高点距b点的高度为。 答：（1）物块甲的质量为2m。 （2）b位置到最低点d的距离为。 （3）甲、乙不会分离，最高点在平衡位置b点上方，距b点高度为。 14.（2025秋•五华区校级月考）如图所示，质量mB＝2kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2m/s2做匀加速直线运动。已知弹簧的劲度系数k＝600N/m，g＝10m/s2。求： （1）整个装置静止时，弹簧的压缩量x1； （2）整个过程中变力F的最小值； （3）A、B分离瞬间，A的速度大小v。 【答案】（1）整个装置静止时，弹簧的压缩量为0.05m。 （2）变力F的最小值为6N。 （3）A、B分离瞬间，A的速度大小为0.2m/s。 【解析】解：（1）整个系统静止时，将A与B视为一个整体，由平衡条件及胡克定律可得kx1＝（mA+mB）g，代入数据解得弹簧的压缩量为x1＝0.05m。 （2）对A、B整体进行受力分析，依据牛顿第二定律得F+kx﹣（mA+mB）g＝（mA+mB）a。 在向上运动的过程中，弹簧的压缩量x逐渐减小，而外力F随之逐渐增大，因此当t＝0且x＝x1时，F取得最小值，解得Fmin＝6N。 （3）当A与B之间的弹力恰好为零时，两者发生分离。此时对物体B分析，有kx2﹣mBg＝mBa，解得此刻弹簧的压缩量x2＝0.04m。 物块A向上移动的位移h＝x1﹣x2，解得h＝0.01m，根据运动学公式v2＝2ah，可求得A、B分离瞬间A的速度大小为v＝0.2m/s。 答：（1）整个装置静止时，弹簧的压缩量为0.05m。 （2）变力F的最小值为6N。 （3）A、B分离瞬间，A的速度大小为0.2m/s。 15.（2025秋•乌兰察布期中）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q固定在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上表面光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 （1）求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （2）求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离。 【答案】（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为mgR。 （2）小球与弹簧刚接触时速度的大小为，B、A两点间的距离为。 【解析】解：（1）小球从A点运动至圆弧轨道最低点，竖直位移为R，重力做功WG＝mgh，代入得WG＝mgR。 （2）设接触弹簧时速度为v，弹簧压缩至Ep＝2mgR时速度为v'，由题意。压缩过程机械能守恒，由，解得：。 设B、A间距为h，小球从B静止下滑至轨道底端过程，机械能守恒，由，代入v值解得：。 答：（1）小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功为mgR。 （2）小球与弹簧刚接触时速度的大小为，B、A两点间的距离为。 16.（2025秋•南岗区校级期中）如图所示，竖直固定的杆上套一根轻弹簧，弹簧下端固定，上端连接小球甲。小球甲和乙用跨过轻滑轮的轻绳连接，O为滑轮的顶点，OQ水平。开始时托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳OP与OQ夹角为α＝53°，现由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与其在P点时弹簧的弹力大小相等，PQ＝d，甲的质量为m，乙的质量为4m，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g，忽略一切摩擦，乙球运动过程中始终未碰地。求： （1）弹簧的劲度系数； （2）甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； （3）甲球到达Q点时的速度大小。 【答案】（1）弹簧的劲度系数为； （2）甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量为2mgd； （3）甲球到达Q点时的速度大小为。 【解析】解：（1）设小球甲在P点时弹簧的压缩量为x1，其经过Q点时弹簧的伸长量为x2。 依题意，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与其在P点时弹簧的弹力大小相等，则有x2＝x1 且有x2+x1＝d 则x2＝x1 小球甲在P点时，根据胡克定律有 mg＝kx1 解得k （2）甲球到达Q点时，乙球下降的高度为 h＝OP﹣OQd 乙球重力势能的减少量ΔEp＝4mgh＝2mgd （3）设甲球到达Q点时的速度大小为v，因甲、乙两球沿绳方向的速度相等，可知此时乙球的速度为零，小球甲在P、Q两点时弹力大小相等，弹簧的弹性势能相等，由系统机械能守恒可得 ΔEp＝mgd 解得v 答：（1）弹簧的劲度系数为； （2）甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量为2mgd； （3）甲球到达Q点时的速度大小为。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 机械能守恒模型 模型一 判断机械能是否守恒 1.重力做功的特点 （1）重力做功只跟它的起点和终点的位置有关，而跟物体运动的路径无关。 （2）重力做功不引起物体机械能的变化。 2.重力势能 （1）表达式Ep＝mgh。 （2）重力势能的特点 ①系统性：重力势能是物体和地球所共有的。 ②相对性：重力势能的大小与参考平面的选取有关，但重力势能的变化量与参考平面的选取无关。 （3）ΔEp与WG的关系 ①定性关系：重力对物体做正功，重力势能减小；重力对物体做负功，重力势能增大。 ②定量关系：重力对物体做的功等于物体重力势能的减小量，即WG＝－（Ep2－Ep1）＝－ΔEp。 3.弹性势能 （1）定义：发生弹性形变的物体的各部分之间由于有弹力的相互作用而具有的势能。 （2）ΔEp与W弹的关系：弹力做正功，弹性势能减少；弹力做负功，弹性势能增加。定量表达式为W弹＝－ΔEp。 4.机械能守恒定律 （1）内容：在只有重力或弹力做功的物体系统内，动能与势能可以互相转化，总的机械能保持不变。 （2）表达式：＝。 （3）守恒条件 ①系统只受重力或弹簧弹力的作用，不受其他外力。 ②系统除受重力或弹簧弹力作用外，还受其他内力和外力，但这些力对系统不做功。 ③系统内除重力或弹簧弹力做功外，还有其他内力和外力做功，但这些力做功的代数和为零。 【例题精讲】 1.（2025秋•锡林郭勒盟期末）将塑料袋装入适量水，上端悬挂在固定的挂钩上，如图所示，下列说法正确的（　　） A．若稍向下拉塑料袋的底部，水的机械能会增加 B．若稍向下拉塑料袋的底部，水的机械能会减少 C．若稍向左推塑料袋的侧面，水的机械能保持不变 D．若稍向左推塑料袋的侧面，水的机械能可能减少 2.（2025秋•琼山区校级月考）如图所示，下列说法正确的是（不计摩擦、空气阻力以及滑轮和细线的质量）（　　） A．甲图中，火箭匀速升空，火箭的机械能守恒 B．乙图中，物块在外力F的作用下减速上滑，物块的机械能守恒 C．丙图中，物块A以一定的初速度将弹簧压缩的过程中，物块A的机械能守恒 D．丁图中，物块A加速下落，物块B加速上升的过程中，AB系统机械能守恒 3.（2025秋•荔湾区校级期末）2025年4月22日，全球首张无人机物流通行证正式获批，低空经济发展迈入全新高度。如图所示，一架无人机搭载货物竖直升空，先由静止从地面起飞做匀加速运动，随后做加速度小于g的匀减速运动，最终悬停于某一高度。忽略空气阻力，下列说法正确的有（　　） A．货物一直处于超重状态 B．无人机对货物的支持力先做正功后做负功 C．货物克服重力做功的功率先增大后减小 D．无人机及货物构成的系统在上升过程中机械能守恒 4.（2025秋•香坊区校级期末）2025年7月12日，浙江省第五届体育大会在台州市体育中心网球馆开幕。如图甲所示是嗒嗒球比赛的场景，图乙为嗒嗒球在空中飞行的轨迹图，图中C、D为同一轨迹上等高的两点，A为该轨迹的最高点，则下列关于嗒嗒球的说法正确的是（　　） A．嗒嗒球从C点经最高点A到达D点的过程中机械能守恒 B．嗒嗒球在最高点A的加速度方向竖直向下 C．在嗒嗒球飞行的整个过程中，最高点A的动能最小 D．上升阶段CA段的飞行时间小于下降阶段AD段的运动时间 5.（2025秋•北辰区校级月考）如图所示，一轻绳绕过光滑的轻质小定滑轮O，一端和小球连接，另一端与套在光滑固定直杆上物块连接，C点与滑轮O在同一高度，OD与直杆垂直，OC与OE等长。现将物块从C点由静止释放，在其下滑 到E点的过程中（　　） A．物块和小球机械能不守恒 B．小球的重力势能一直在增加 C．物块滑至D点时，小球重力瞬时功率为零 D．物块滑至D点时，物块具有的机械能最小 （多选）6．（2025秋•济南期末）如图所示为某次蹦极运动的简化过程。弹性绳的一端固定在O点，另一端和运动员相连。运动员从A点自由下落，至B点弹性绳刚好伸直，然后到达最低点C，整个过程忽略空气阻力，该过程中下列说法正确的是（　　） A．从B点到C点的过程中弹性绳的弹性势能先减小后增大 B．从A点到C点的过程中运动员的重力势能一直减小 C．从B点到C点的过程中运动员的动能先增大后减小 D．从A点到C点的过程中运动员的机械能增大 （多选）7．（2025秋•银川校级月考）如图所示，不悬挂重物B，给物块A一个沿斜面向下的初速度，A恰好能做匀速直线运动，悬挂重物后，牵引物块A的细线与斜面平行，轻质定滑轮光滑，由静止释放A，在A下滑过程中（B始终未着地），下列说法正确的是（　　） A．A、B组成的系统机械能不守恒 B．重物B重力做功小于B的动能增量 C．B的重力势能减少量等于A、B动能的增量 D．细线对A做的功等于A的机械能增量 模型二 单体机械能守恒 1.单物体机械能守恒的常用表达式 2.求解单个物体机械能守恒问题的基本思路 （1）选取研究对象—物体。 （2）分析物体受力，判断是否守恒：根据研究对象所经历的物理过程，进行受力、做功分析，判断机械能是否守恒。 （3）分析物体运动状态：确定研究对象在初、末状态时的机械能。 （4）列方程、求解方程：选取方便的机械能守恒定律的方程形式（Ek1＋Ep1＝Ek2＋Ep2，ΔEk＝－ΔEp）进行求解。 3.注意：单物体机械能守恒的问题，往往也能用动能定理解决。 【例题精讲】 1.（2025秋•丽水期末）如图甲所示，一物块以一定初速度沿倾角为37°的固定斜面上滑，运动过程中摩擦力大小f恒定，物块动能Ek与运动路程s的关系如图乙所示。重力加速度大小取10m/s2，物块质量m和所受摩擦力大小f分别为（　　） A．m＝0.5kg，f＝1.0N B．m＝0.5kg，f＝0.5N C．m＝0.8kg，f＝0.5N D．m＝0.8kg，f＝1.0N 2.（2025秋•博望区校级期末）如图所示，质量为M＝1kg的带有光滑半圆轨道ABC的滑块放置在光滑水平面上，半圆轨道半径为R＝0.9m，轨道的底端A与水平面相切。质量m＝2kg的小球从水平面上以初速度v0＝12m/s滑上半圆轨道，然后从半圆轨道的最高点C飞出，重力加速度g取10m/s2，则小球落地时落点与滑块的A点间距离为（　　） A．1.8m B．2.4m C．3m D．3.6m 3.（2025秋•雨花区校级月考）如图所示，将质量为2m的重物悬挂在足够长轻绳的一端，轻绳的另一端系一质量为m的小圆环，圆环套在竖直固定的光滑直杆上，光滑定滑轮与直杆间的距离为d。现将圆环从图中所示的A处由静止释放，此时连接圆环的细绳与水平方向的夹角为30°，整个过程中重物都只在竖直方向运动且未与定滑轮相碰。忽略定滑轮的质量和大小，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．圆环刚释放时，轻绳中的张力大小为mg B．圆环刚释放时，重物的加速度大小为g C．圆环下落到最低点的过程中，圆环的机械能一直减小 D．圆环下落到与定滑轮等高的位置时，圆环的速度大小为 4.（2025秋•滨州期末）如图所示，一半径R＝0.5m的圆形轨道竖直放置在粗糙水平地面上，轨道内壁光滑，O点为圆形轨道的圆心，B点为最高点，∠BOC＝60°，轨道在A处与水平地面相切。在A处放置一小物块，质量m＝1kg，给它一水平向左的初速度v0m/s，使其沿圆形轨道运动，从C点抛出后落至D点。已知重力加速度g＝10m/s2，不计空气阻力。小物块从A点到D点的运动过程中，圆形轨道始终保持静止，则（　　） A．小物块经过C点时，速度大小为m/s B．小物块经过C点时，轨道对小物块的压力大小为32N C．小物块经过C点时，地面对圆形轨道的摩擦力方向水平向右 D．CD两点间的水平距离为m 5.（2025秋•海南期末）如图1所示，一轻质弹簧原长为24cm，劲度系数k＝800N/m，左端固定在竖直墙上，右端水平地面上有一质量为m的滑块（不与弹簧连接）。用水平力将滑块从原长处缓慢推至P点，弹簧压缩了12cm，撤去外力后滑块由静止沿水平地面弹出，最后停在N点。以弹簧左端为坐标原点，水平向右为正方向建立x轴，滑块从P点到N点的过程中，加速度a随位置坐标x的变化规律如图2所示。已知弹簧始终在弹性限度内，重力加速度g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．滑块的质量m＝5kg B．滑块与水平地面间的动摩擦因数μ＝0.2 C．N点的坐标xN＝48cm D．滑块的最大动能Ekm＝8J （多选）6．（2026•许昌模拟）如图所示，不可伸长的轻绳跨过轻质定滑轮将甲、乙两物块（均可视为质点）连接，物块甲套在固定的竖直光滑杆上。某时刻将甲、乙两物块由静止释放，物块甲从P上升，能到达的最高点为Q。已知Q点与滑轮上缘O点在同一水平线上，不计空气阻力和一切摩擦，重力加速度为g。则物块甲从P点上升到Q点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．物块乙的动能先增大后减小 B．绳子对物块乙的拉力大小一直小于其重力大小 C．物块乙的机械能一直在减小 D．物块甲上升到Q点时的加速度为g （多选）7．（2025秋•广州月考）如图甲所示，将一劲度系数为k的轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质量为m的小物块，小物块距离地面高度为h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示，其中h4到h5间的图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块上升至高度h3时，弹簧形变量为0 B．小物块上升至高度h4时，加速度为g C．解除锁定前，弹簧的弹性势能为mgh5 D．小物块从高度h2上升到h4，弹簧的弹性势能减少 模型三 轻杆连接的机械能守恒 一、角速度相等 1. 常见图例 2. 模型特点 ( 1 ）转动时两物体的角速度相等；所以各物体满足： 。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒。 （4）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （5）由 知， 与 成正比。 二、角速度不等 1. 常见图例 2. 某一方向分速度相等情景（关联速度情景） （1）两物体速度的关联实质：沿杆方向的分速度大小相等。 （2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 （3）对于杆和物体组成的系统，若忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统的机械能守恒。 【例题精讲】 1.（2025春•仓山区校级期中）如图，光滑轨道ABC，AB为半径R的圆弧，BC水平，质量均为m的小球a、b固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为R，开始时a球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．a球下滑过程中机械能保持不变 B．a、b滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对a球做正功 D．从释放到a、b滑到水平轨道上，整个过程a、b两球的速度始终相等 2.（2025秋•新吴区校级月考）如图所示，一轻杆可绕光滑固定转轴O在竖直平面内自由转动，杆的两端固定有两小球A和B（可看作质点）。A、B的质量分别为m和4m，到转轴O的距离分别为2l和l，现使轻杆从水平位置由静止开始绕O轴自由转动90°后，A球到达最高点，下列说法正确的是（　　） A．当A球到达最高点时，转轴O对轻杆的支持力为5mg B．当A球到达最高点时，球B的线速度大小 C．当A球到达最高点时，轻杆对其提供的是支持力 D．在转动90°的过程中，杆对球B做的功为﹣3mgl 3.（2025秋•安宁区校级月考）如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则（　　） A．a落地前，轻杆对b先做负功后做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终不大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为2mg 4.（2025春•江苏月考）如图所示，两小滑块P、Q的质量分别为m和2m，P、Q通过光滑铰链用长为L的轻杆连接，P套在固定的光滑竖直杆上，Q放在光滑水平地面上。原长为的轻弹簧水平放置，右端与Q相连，左端固定在竖直杆上O点。将P由静止释放，此时轻杆与竖直方向夹角α＝30°；P下降到最低点时α变为60°重力加速度为g，则在P下降的过程中，下列说法正确的是（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．下降过程中P的机械能先增大后减小 C．P达到最大动能时，Q受到地面的支持力大小为2mg D．弹簧弹性势能最大值为 5.（2024秋•平江县期末）如图所示，一轻质定滑轮O固定在天花板上，物块A和B通过竖直轻弹簧拴接在一起，同时用不可伸长的轻绳绕过滑轮连接物块A和C，物块C穿在竖直固定的细杆上。OA竖直，OC间距l＝0.6m且水平，此时A、C间轻绳刚好拉直而无作用力。已知物块A、B、C质量均为m＝0.4kg，不计一切摩擦阻力，g取10m/s2。现将物块C由静止释放，下滑h＝0.8m时物块B刚好被提起，下列说法不正确的是（　　） A．此时物块A上升的高度为0.4m B．弹簧的劲度系数为20N/m C．绳子对物块C做功的大小等于物块A动能的增加量 D．此时物块A速度的大小为 （多选）6．（2025秋•沙坪坝区校级期末）如图甲，固定粗糙直杆OM与水平面夹角53°，套有质量1kg的滑块。弹性轻绳一端固定于O点，另一端跨过O点正上方的光滑定滑轮Q，与滑块相连，弹性绳原长为OQ。PQ＝1.6m且垂直OM，以P为原点沿杆向下建立x轴。滑块无初速度释放，下滑时加速度与位移的关系为一条直线（图乙）。已知x1＝0.64m，x2为滑块减速到零的位置坐标，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，弹性绳弹力大小F＝kl（k＝10N/m，l为伸长量），g＝10m/s2，sin53°＝0.8。下列说法正确的是（　　） A．滑块与直杆间的动摩擦因数为μ B．图乙中a1＝﹣a2＝6.4m/s2 C．滑块沿杆下滑过程中最大速度为m/s D．滑块沿杆上滑过程中速度最大的位置在x1处 （多选）7．（2024秋•昭通期末）如图所示，质量为m的小环A套在光滑竖直细杆上，小环A经由跨过光滑固定轻质定滑轮的不可伸长的轻绳与质量为3m的重物B相连。小环A从图中M位置上升至与定滑轮的连线处于水平的N位置，已知∠NMO＝45°，NO＝d，下列说法正确的是（　　） A．小环A由M到N位置，重物B做加速运动 B．小环A由M到N位置，重物B先失重后超重 C．N位置，小环A的动能为 D．∠NAO＝60°时，小环A与重物B速度关系 模型四 弹簧连接的机械能守恒 1. 常见图例： 2. 四点提醒 （1）含弹簧的系统内只有弹簧弹力和重力做功时， 物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能之间相互转化， 物体和弹簧组成的系统机械能守恒， 而单个物体或弹簧机械能都不守恒。 （2）对同一弹簧， 弹性势能的大小由弹簧的形变量决定， 弹簧的伸长量和压缩量相等时， 弹簧的弹性势能相等。 （3）弹簧弹力做功与路径无关，取决于初、末状态弹簧形变量的大小。 （4）由两个或两个以上的物体与弹簧组成的系统， 当弹簧形变量最大时， 弹簧两端连接的物体速度相等； 弹簧处于自然长度时， 弹簧弹性势能最小（为零）。 【例题精讲】 1.（2025秋•随州期末）如图所示，一竖直放置的半径R＝1m的固定光滑圆环上穿有一个质量m＝1kg的小环，小环通过一根原长也为R、劲度系数k＝100N/m的轻质弹簧与圆环的最高点A相连，弹簧弹性势能Epkx2（x为形变量），取重力加速度大小g＝10m/s2，小环从与A点相距为R的B点由静止开始下滑，之后的运动过程中小环获得的最大动能为（　　） A． B． C． D． 2.（2025秋•莱西市校级期末）如图所示，倾角为θ的固定斜面，其顶端固定一劲度系数为k的轻质弹簧，弹簧处于原长时下端位于O点。质量为m的滑块Q（视为质点）与斜面间的动摩擦因数μ＝tanθ。过程I：Q以速度v0从斜面底端P点沿斜面向上运动恰好能滑至O点；过程Ⅱ：将Q连接在弹簧的下端并拉至P点由静止释放，Q通过M点（图中未画出）时速度最大，过O点后能继续上滑。弹簧始终在弹性限度内，假设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，忽略空气阻力，重力加速度为g。则（　　） A．P、M两点之间的距离为 B．过程Ⅱ中，Q在从P点单向运动到O点的过程中损失的机械能为 C．过程Ⅱ中，Q从P点沿斜面向上运动的最大位移为 D．连接在弹簧下端的Q无论从斜面上何处释放，最终一定静止在M点以下 3.（2025秋•武昌区校级月考）如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于伸长状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 4.（2024秋•江西期末）如图所示，弹簧的左端固定，将小球套在水平杆上，装置的各种摩擦均不计。a点是压缩弹簧后小球静止释放的位置，b点是弹簧原长时小球的位置，c点是小球到达最右端的位置。小球由a点运动到c点的过程中（水平面光滑），下列说法中错误的是（　　） A．在a点时，弹簧的弹性势能最大 B．在b点时，小球的运动速度最大 C．从a点到b点，小球的机械能逐渐增大 D．从b点到c点，小球处于加速滑动过程 5.（2024秋•南阳期末）如图甲所示，水平面AB与竖直面内的半圆形导轨CDB在B点平滑相接，各处摩擦因数相同，D为半圆形导轨的中点。一质量为m＝1kg的物体（可视为质点）将弹簧压缩到A点后由静止释放，在弹力作用下获得向右的速度后脱离弹簧，从B点进入半圆形导轨，物体沿半圆形导轨从B运动到C过程中速度平方与其上升高度的关系如图乙所示，重力加速度g＝10m/s2，则（　　） A．弹簧压缩到A点时弹簧的弹性势能为18J B．物体运动到C点时对半圆形导轨的压力大小为10N C．物体从B运动到C的过程中，合力对物体做的功为10J D．物体从D运动到C的过程中，物体的机械能减少值ΔE＜1J （多选）6．（2025秋•衡阳县期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面底端有一固定挡板P，质量均为m的物块A、B放置在斜面上，A、B用轻质弹簧连接，用力将弹簧压短后锁定，使A、B静止在斜面上，A与P的接触面与斜面垂直。解除弹簧锁定后，物块B开始沿斜面上滑，B上滑距离x后速度达到最大，再上滑距离x后到达最高点，此时物块A刚要离开挡板P，已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．解除弹簧锁定前，挡板对A的支持力大小为mgsinθ B．解除弹簧锁定瞬间，挡板对A的支持力大于2mgsinθ C．物块B运动的最大速度为2 D．物块B运动的最大速度为 （多选）7．（2025秋•立山区校级期末）如图所示，一轻质弹簧的下端固定在水平地面上，上端叠放质量未知的物体A和质量为m的物体B（A物体与弹簧拴接），弹簧的劲度系数为k，初始时系统静止。现用竖直向上的拉力F作用在物体B上，使物体A、B从静止开始一起竖直向上做匀加速直线运动，直到A、B分离。A、B两物体在开始一段时间内的速度v随时间t的变化分别对应图乙中A、B图线（t1时刻A、B的图线相切，t2时刻对应A图线的最高点），重力加速度为g，则（　　） A．施加拉力F的瞬间，物体A加速度大小为 B．t2时刻弹簧处于原长 C．过程中F的最大值为mg D．物体A的质量为 模型五 轻绳连接的机械能守恒 一、速度大小相等 解题要点： 1. 常见图例 2. 三点提醒 （1）明确两物体沿绳方向的分速度大小相等。 （2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向的高度变化的关系。 （3）对于单个物体，一般绳上的力会做功，机械能不守恒，但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 二、速度大小不等 解题要点： 因两物体速度大小不相等，需分析物体速度关系，根据第一讲考点四相关知识，对速度进行分解， 再利用机械能守恒定律进行求解。 【例题精讲】 1.（2025春•哈尔滨校级期中）如图所示，水平面上固定一个平台，上面有一个固定的光滑圆弧轨道AB，O为圆心，OB竖直，∠AOB＝60°，轨道半径6m，在圆弧A点固定一个光滑小滑轮（图中未画出），有两个小球P，Q质量分别为m1＝6kg、m2＝2kg，通过轻绳连接并跨过小滑轮。开始时P球紧挨着滑轮静止释放，当P球到达圆弧B点时，Q球还未到达滑轮处，g＝10m/s2，求小球P到达B点时的速度大小（　　） A．m/s B．4m/s C．m/s D．m/s 2.（2025春•厦门校级期中）光滑的细杆固定放置，与水平方向的夹角为37°，质量为m的小球与质量为2m的物块通过轻质细线连接，细线跨过天花板上的两个轻质定滑轮。小球套在细杆上从某处由静止开始上滑，细线一直处于伸直状态，当小球运动到A点时，速度沿着杆斜向上大小为，细线与细杆之间的夹角为37°，当小球运动到B点时，细线与细杆垂直。已知A、B两点之间的距离为L，重力加速度大小为g，小球与物块（均视为质点）总在同一竖直平面内运动，，，下列说法正确的是（　　） A．当小球在A点时，物块的速度大小为 B．小球从A点运动到B点，系统总重力势能的减小量为mgL C．当小球运动到B点时，小球的速度的大小为0 D．小球从A点运动到B点，细线对小球做的功为 3.（2025春•成都校级月考）如图所示，套在光滑竖直杆上的轻弹簧与杆一起固定在水平地面上，弹簧的另一端与穿在杆上的小球相连，绕过定滑轮O点的轻绳一端连接小球，另一端连接放在光滑固定斜面上的小滑块。初始时托住小滑块，使轻绳刚好伸直但恰好无拉力，之后由静止释放小滑块，小球从M点沿杆向N点运动。已知斜面的倾角为30°，小球的质量为m，小滑块的质量为6m，ON长度为L，ON与MN垂直。初始时轻绳与杆的夹角为37°，O点左侧的轻绳与斜面平行，小球经过N点时弹簧的弹力大小与初始时相等，重力加速度为g，sin37°＝0.6。在小球从M点向上运动到N点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球和小滑块组成的系统机械能守恒 B．弹簧的劲度系数为 C．在运动过程中小滑块的速度始终大于小球的速度 D．小球运动到N点时的速度大小为 4.（2025秋•五华区月考）如图，一细绳的上端固定在天花板上靠近墙壁的O点，下端拴一小球。S点是小球下垂时的平衡位置。Q点代表一固定在墙上的细长钉子，位于OS直线上。N点在Q点正上方，且LQN＝LQS＝LQM。M点与Q点等高。现将小球从竖直位置（保持绳绷直）拉开到与N等高的P点，释放后任其向S摆动。运动过程中空气阻力可忽略不计。小球到达S后，因细绳被长钉挡住，将开始沿以Q为中心的圆弧继续运动。在这以后（　　） A．小球恰能沿圆弧摆到N点 B．小球向右摆到M点，然后就摆回来 C．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后做斜抛运动 D．小球沿圆弧摆到M和N之间某处后竖直下落 5.（2025秋•九龙坡区校级期末）如图所示，半径为R的四分之一圆弧支架竖直放置，与圆心O等高的圆弧边缘C点处有一小滑轮，一轻绳两端系着质量分别为m1与m2的小球和物块，挂在定滑轮两边，且m1＝4m2，开始时小球和物块均静止，且能视为质点，不计一切摩擦，重力加速度为g。小球从C点静止释放直到小球到达圆弧的A点的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球的机械能守恒 B．到达A点时小球的速度大小为 C．轻绳对物块所做的功比轻绳对小球所做的功多 D．轻绳对物块做功为 （多选）6．（2025秋•红桥区期末）如图所示，水平桌面上的物体甲，用细绳与物体乙连接，甲、乙质量分别为m、2m。细绳绷紧后静止释放物体乙，物体乙下降的高度为h。不计滑轮和细绳的质量，忽略摩擦，该过程中（　　） A．乙的机械能守恒 B．甲和乙总的机械能守恒 C．乙的重力势能减少了2mgh D．甲的动能增加了2mgh （多选）7．（2025秋•贺兰县校级月考）如图所示，NPQ是由细杆弯成的半圆弧，其半径为R，半圆弧的一端固定在天花板上的N点，NQ是半圆弧的直径，处于竖直方向，P点是半圆弧上与圆心等高的点。质量为m的小球A（可视为质点）穿在细杆上，通过轻绳与质量也为m的小球B相连，轻绳绕过固定在C处的轻质小定滑轮。将小球A移到P点，此时CP段轻绳处于水平伸直状态，CP＝2R，然后将小球A由静止释放。不计一切摩擦，已知重力加速度为g，在小球A由P点运动到圆弧最低点Q的过程中，下列说法正确的是（　　） A．小球A的动能可能先增大后减小 B．小球A始终比小球B运动得快（释放点P除外） C．当小球A绕滑轮转过角度为30°时，小球A的动能为0.5mgR D．小球A刚释放时，小球A、B的加速度大小分别为aA＝g、aB＝0 课时精练 1、 选择题（共8小题） 1.（2025春•青羊区校级期中）下面实例中研究对象的运动过程机械能守恒的是（　　） A．沿滑梯匀速下滑的小孩 B．打开降落伞后下降的跳伞运动员 C．自由下落的苹果 D．随摩天轮在竖直平面内匀速转动的乘客 2.（2026•浙江）如图所示，钢架雪车运动员在具有阻力的倾斜赛道上滑行，则（　　） A．运动员在转弯时加速度为0 B．运动员和钢架雪车整体机械能守恒 C．钢架雪车所受重力和赛道对钢架雪车的支持力是一对平衡力 D．钢架雪车对赛道的压力与赛道对钢架雪车的支持力是一对作用力和反作用力 3.（2025秋•邓州市期末）如图所示，倾角为θ的光滑斜面固定在地面上，一滑块以初速度v0从斜面底端滑上斜面，一段时间后又返回斜面底端。下列说法正确的是（　　） A．滑块返回斜面底端时的速度大于v0 B．滑块返回斜面底端时的速度小于v0 C．滑块上滑过程中处于超重状态，下滑过程中处于失重状态 D．滑块上滑过程中和下滑过程中均处于失重状态 4.（2024秋•六安期末）如图所示，一半径为R，粗糙程度处处相同的半圆形轨道竖直固定，轨道两端等高，质量为m的物体（可视为质点）自轨道M点以初速度v0沿切线方向向下滑到最低点P点时，向心加速度大小a向＝3g，g为重力加速度，则下列说法中正确的是（　　） A．物体在M点的加速度方向指向圆心 B．物体运动到P点时对轨道的压力大小为3mg C．物体从M点运动到P点的过程中机械能损失了mgR D．物体恰好能运动到N点 5.（2025秋•泰安校级期末）如图所示，水平面上固定放置一半径为R且表面光滑的半球体，一质量为m的小球从半球体的最高点由静止开始下滑，重力加速度为g，不计空气阻力，小球可视为质点，关于该过程下列说法正确的是（　　） A．小球将沿着半球表面下滑到底端 B．小球脱离半球体时，小球与半球体球心连线和竖直方向间夹角为45° C．小球脱离半球体时的速度大小为 D．小球脱离半球体时的速度大小为 6.（2025秋•重庆校级月考）如图甲所示，水平地面上轻弹簧左端固定，右端通过滑块压缩0.4m后锁定，t＝0时解除锁定同时释放滑块，其v﹣t图像如图乙所示，其中bc段为直线，对应的运动时间为0.4s，直线Od是图线过O点的切线，已知滑块质量m＝5.0kg，重力加速度g取10m/s2，下列说法正确的是（　　） A．滑块与地面间的动摩擦因数为0.4 B．解除锁定后滑块运动0.3m，滑块速度达最大 C．弹簧的劲度系数为200N/m D．滑块与弹簧分离后运动的距离为0.8m 7.（2025•安徽二模）一质量不计的直角形支架两端分别连接质量为m和2m的小球A和B支架的两直角边长度分别为2l和l，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示，开始时OA边处于水平位置，由静止释放，重力加速度为g，则（　　） A．A球转动到最低点时，A球的速度最大 B．A球的最大速度为 C．A球第一次转动到OA边与竖直方向的夹角为60°时，A球的速度最大 D．A球的最大速度为 8.（2025•广州一模）如图，小滑块P、Q的质量分别为m、3m，P、Q间通过轻质铰链用长为L的刚性轻杆连接，Q套在固定的水平横杆上，P和竖直放置的轻弹簧上端相连，轻弹簧下端固定在水平横杆上。当轻杆与竖直方向的夹角α＝30°时，弹簧处于原长状态，此时，将P由静止释放，P下降到最低点时α＝60°。整个运动过程中P、Q始终在同一竖直平面内，滑块P始终没有离开竖直墙壁，弹簧始终在弹性限度内。忽略一切摩擦，重力加速度为g，在P下降的过程中（　　） A．P、Q组成的系统机械能守恒 B．两个滑块的速度大小始终一样 C．弹簧弹性势能的最大值为 D．P和弹簧组成的系统机械能最小时，Q受到水平横杆的支持力大小等于4mg 二、多选题（共3小题） （多选）9．（2025秋•天津期末）如图所示，某物体在运动过程中，受竖直向下的重力和水平方向的风力，某段时间内，重力对物体做功8J，风力对物体做功﹣6J，则以下说法中正确的是（　　） A．外力对物体做的总功为14J B．物体的重力势能增加了8J C．物体的机械能减少了6J D．物体的动能增加了2J （多选）10．（2026•潍坊模拟）如图所示，a、b两小球分别固定在长为15cm的轻质细杆两端，初始时轻杆竖直，a靠在光滑竖直墙壁上，b位于光滑水平地面上。现对b施加微小扰动，使b沿水平面向右滑行，直到a落到水平地面。已知两球质量均为0.3kg，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8，g取10m/s2。下列说法正确的是（　　） A．a离开竖直墙壁瞬间，加速度大小为10m/s2 B．从a离开竖直墙壁至落地过程，水平面对b的支持力不变 C．杆与竖直墙壁夹角为37°时，a、b的速率之比为4:3 D．b的最大动能为 （多选）11．（2025秋•鸡冠区校级期末）如图所示，倾角为30°且足够长的固定光滑斜面底端有一固定挡板，轻弹簧一端与挡板连接，另一端与物块A接触但不连接，A上方放置另一物块B，B与物块C用跨过光滑轻质定滑轮的细线连接，B与定滑轮间的细线与斜面平行。开始时用手托住C，使细线处于伸直但不拉紧的状态，此时A、B静止在斜面上。某时刻突然释放C，一段时间后A、B分离，此时C未触地。已知A、B分离时，B的速度大小为v，A、B、C的质量均为m，弹簧劲度系数为k，弹簧的形变始终在弹性限度内，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．刚释放C时，A、B间的弹力大小为 B．分离时刻弹簧处于压缩状态 C．A的速度最大时沿斜面上升的距离为 D．A、B分离时，B的加速度大小为 三、解答题（共5小题） 12.（2025秋•北京期末）如图所示，光滑水平面AB与竖直面内半径为R的粗糙半圆形导轨BC在B点相接。一个质量为m的物体将弹簧压缩至A点后由静止释放，在弹力作用下物体获得某一向右速度后脱离弹簧，它经过B点的速度为vB，之后沿半圆形导轨运动，经过C点的速度为vC。不计空气阻力，重力加速度为g。求： （1）弹簧压缩至A点时的弹性势能Ep； （2）物体在C点对导轨的压力大小F压； （3）物体沿半圆形导轨运动过程中阻力做的功Wf。 13.（2025秋•南阳期末）如图所示，竖直放置的轻质弹簧下端固定在水平地面上，上端与物块甲连接，初始时物块甲静止在b位置。质量为m的物块乙从距物块甲上方h处由静止释放，直到与甲相碰，碰撞时间极短，碰后瞬间甲、乙两物块的总动能为，然后一起（甲、乙不粘连）向下运动到最低点d（未画出），这一过程中，甲、乙整体经过c点（未画出）时的动能最大且为。整个过程中弹簧始终在弹性限度内且处于竖直状态，重力加速度大小为g。 （1）求物块甲的质量m甲； （2）求b位置到最低点d的距离xbd； （3）通过分析判断从最低点反弹后甲、乙是否会分离，并说明如果会分离，在什么位置分离，如果不会分离，最高点在什么位置。 14.（2025秋•五华区校级月考）如图所示，质量mB＝2kg的水平托盘B与一竖直放置的轻弹簧焊接，托盘上放一质量mA＝1kg的小物块A，整个装置静止。现对小物块A施加一个竖直向上的变力F，使其从静止开始以加速度a＝2m/s2做匀加速直线运动。已知弹簧的劲度系数k＝600N/m，g＝10m/s2。求： （1）整个装置静止时，弹簧的压缩量x1； （2）整个过程中变力F的最小值； （3）A、B分离瞬间，A的速度大小v。 15.（2025秋•乌兰察布期中）如图，物块P固定在水平面上，其上表面有半径为R的圆弧轨道。P右端与薄板Q固定在一起，圆弧轨道与Q上表面平滑连接。一轻弹簧的右端固定在Q上，另一端自由。质量为m的小球自圆弧顶端A点上方的B点自由下落，落到A点后沿圆弧轨道下滑，小球与弹簧接触后，当速度减小至刚接触时的时弹簧的弹性势能为2mgR。g为重力加速度大小，忽略空气阻力，圆弧轨道及Q的上表面光滑，弹簧长度的变化始终在弹性限度内。 （1）求小球从落入圆弧轨道至离开圆弧轨道，重力对其做的功； （2）求小球与弹簧刚接触时速度的大小及B、A两点间的距离。 16.（2025秋•南岗区校级期中）如图所示，竖直固定的杆上套一根轻弹簧，弹簧下端固定，上端连接小球甲。小球甲和乙用跨过轻滑轮的轻绳连接，O为滑轮的顶点，OQ水平。开始时托住乙球，左侧轻绳刚好竖直伸直但无张力，甲球静止于P点，绳OP与OQ夹角为α＝53°，现由静止释放乙球，当小球甲经过Q点时，弹簧的弹力大小与其在P点时弹簧的弹力大小相等，PQ＝d，甲的质量为m，乙的质量为4m，sin53°＝0.8，重力加速度大小为g，忽略一切摩擦，乙球运动过程中始终未碰地。求： （1）弹簧的劲度系数； （2）甲球到达Q点时，乙球重力势能的减少量； （3）甲球到达Q点时的速度大小。 1 学科网（北京）股份有限公司 $