精品解析：广东广州市铁一中学2025～2026学年九年级下学期阶段学情自测数学试卷

初三年级过程性综合素质评价 数学学科 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在数，，0，中有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义逐个判断，即可求解． 【详解】解：根据有理数和无理数的定义，可知和为无理数，0和为有理数， 有理数有2个． 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、，原计算正确，不符合题意； B、，原计算正确，不符合题意； C、，原计算正确，不符合题意； D、与不是同类二次根式，无法合并，因此，原计算错误，符合题意． 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 根据，判断作答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴有两个不相等的实数根， 故选：B． 4. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2025第十五届全运会上，广东代表团发挥出色，共获得43块金牌、46块银牌和42块铜牌．要想清楚地表示出广东体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 【答案】A 【解析】 【分析】掌握不同统计图的特点是解题关键．根据题目要求，结合各统计图的作用判断即可． 【详解】解：∵扇形统计图可以清楚表示出部分占整体的百分比，能体现各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，条形统计图只能清楚反映每个项目的具体数量，折线统计图用来反映数据的变化趋势， ∴适合绘制扇形统计图． 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的全面积是（ ） A. 14π B. 24π C. 26π D. 36π 【答案】A 【解析】 【分析】几何体是圆锥，底面直径是4，则底面周长是4π，母线长是5．求出侧面积是：×4π×5，底面面积是：4π．可得全面积． 【详解】几何体是圆锥，底面直径是4，则底面周长是4π，母线长是5． 则侧面积是：×4π×5=10π， 底面面积是：4π． 则全面积是：10π+4π=14π． 故选A 【点睛】本题考核知识点：几何体的三视图. 解题关键点：分别求出侧面积和底面面积. 6. 在直角坐标系中，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象，绝对值的化简，掌握反比例函数图象是解决问题的关键．需分和两种情况进行讨论，即可得到答案． 【详解】解：当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第一象限的图象； 当时， 函数解析式化简为：， ，故取其在第二象限的图象． 故选：B． 7. 如图，有理数，分别对应数轴上两点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据数轴确定、的取值范围：，，且，再结合有理数的运算法则逐一分析每个选项的正负性，判断结论是否正确． 【详解】解：由数轴可知：，，且 选项A：，， ， ，故A项正确，不符合题意． 选项B：，， ，故B项正确，不符合题意． 选项C：，， ， ，故C项不正确，符合题意． 选项D：，， ，故D项正确，不符合题意． 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有 只羊，乙有 只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设甲有 只羊，乙有 只羊，根据乙给甲一只羊，则甲的羊数为乙的两倍可得：甲的羊数乙的羊数；如果甲给乙一只羊，则两人的羊数相同可得等量关系：甲的羊数乙的羊数，进而可得方程组． 【详解】解：设甲有 只羊，乙有 只羊，根据题意得， ． 9. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【详解】解：A、对角线互相垂直的平行四边形是菱形，符合菱形判定定理，故选项A正确，不符合题目要求； B、只有对角线相等的平行四边形才是矩形，对角线相等的四边形不一定是矩形，例如等腰梯形对角线相等，但不是矩形，故选项B错误，符合题目要求； C、菱形的面积等于对角线乘积的一半，符合菱形面积计算公式，故选项C正确，不符合题目要求； D、一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，符合平行四边形判定定理，故选项D正确，不符合题目要求． 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，，，其中，下列结论一定不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 【答案】B 【解析】 【分析】先求出对称轴，再根据 或 来判断出对称轴在 轴的正半轴，再结合四个点的坐标特点和二次函数的图象性质，即可作答． 【详解】解：， 对称轴为直线， 当 时，则， 函数的图象开口向下， ， 此时对称轴在 轴的正半轴，抛物线的开口方向向下， ，，，， 点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ，， ， 即，故A选项正确； ，越靠近对称轴的 所对应的函数值越大， 点C，D更靠近对称轴，即c，d在a，b之间，故B选项一定不正确； 当 时，则，， ， 此时对称轴在 轴的正半轴，抛物线的开口方向向上， ，，，， 点 与点 关于对称轴对称，点C与点D关于对称轴对称， ，， ， 即，故C选项正确； ，越靠近对称轴的 所对应的函数值越小， 点A，B更靠近对称轴，即a，b在c，d之间，故D选项可能正确； 综上可知：选项B一定不正确符合题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 【答案】 且 【解析】 【分析】此题主要考查了二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件，正确掌握分式有意义的条件是解题关键．直接利用二次根式有意义的条件以及分式有意义的条件得出关于的不等式，进而得出答案． 【详解】解：要使式子有意义， 则且， 解得： 且． 故选： 且 12. 如图，点 、点 、点 在上，，那么的度数为________． 【答案】##100度 【解析】 【分析】在优弧 上任取一点D，连接、，利用圆内接四边形的对角互补求得，再利用圆周角定理求解即可． 【详解】解：在优弧 上任取一点D，连接、，如图， 则， ∵， ∴， ∵， ∴． 13. 一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的底面周长与侧面展开图弧长的关系，解题的关键是利用侧面展开图为半圆这一条件，建立底面周长与半圆弧长的等式求解母线长． 圆锥底面周长等于侧面展开图半圆的弧长；设母线长为，底面半径 ，底面周长为，半圆的弧长为；通过等式求解． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 圆锥底面周长：， 侧面展开图半圆的弧长：， 由底面周长等于侧面展开图弧长，得：， ∴． 故答案为：． 14. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 【答案】 【解析】 【分析】证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解即可． 【详解】解：∵， ， ∴， ∴， 设，则， ∴，即， 故答案为：． 【点睛】本题考查相似三角形的判定及性质，解题的关键是证明，利用相似三角形的面积比等于相似比的平方求解． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与 轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据A（-3，0），B（0，1）的坐标求直线AB的解析式为，根据横坐标的变化规律可知，C8的横坐标为55，代入直线AB的解析式中，可求纵坐标． 【详解】解：设直线AB的解析式为y=kx+b，（k≠0）， ∵A（-3，0），B（0，1）， ， 解得， ∴直线AB的解析式为； ∵对称轴与x轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…， 观察发现：每个数都是前两个数的和， ∴抛物线C8的顶点坐标的横坐标为55， 当x=55时， ∴抛物线C8的顶点坐标为 故答案为： 【点睛】此题考查了待定系数法求一次函数的解析式和二次函数的对称性，还考查了点与函数关系式的关系，考查了学生的分析归纳能力． 16. 如图，矩形 中，，分别与边相切，点E，F分别在 上，将四边形沿着翻折得四边形 并满足所在的直线恰好与相切，切点为P，设线段 的长为x，则___________（用含x的代数式表示）；若，则x的值为 ___________． 【答案】 ①. ②. 3或5 【解析】 【分析】根据切线的性质、正方形的判定和性质以及切线长定理即可利用 表示即可；利用勾股定理，翻折的性质以及直角三角形的判定用含有x的代数式分别表示即可． 【详解】解：如图，分别与矩形 的边相切于点M、N、Q，连接， 则四边形，四边形是正方形， ， ∵是的切线，切点为P、N， ∴； 连接， 由折叠可知，， ∵是的切线，切点为P、N， ∴， ∵， ， ∴， 在中，， 在中，， 在中，， 在 中，， ， 解得 或 ． 故答案为：，3或5． 【点睛】本题考查切线的性质，切线长定理，勾股定理以及矩形、正方形的性质，掌握切线的性质，切线长定理，勾股定理以及矩形、正方形的性质是正确解答的前提． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并在数轴上表示它们的解集． 【答案】－4≤x＜3，数轴见解析 【解析】 【分析】分别求出不等式的解集，再求出其公共部分，然后在数轴上表示出来． 【详解】解：由得：x＜3， 由得：x≥－4， 不等式组的解集为：， 在数轴上表示为： 【点睛】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 18. 如图所示，已知平行四边形 的对角线相交于点 ， ． 求证：平行四边形 是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分的性质，结合已知角相等推导出对角线相等，再根据“对角线相等的平行四边形是矩形”完成证明． 【详解】证明：∵ 四边形 是平行四边形， ∴ ，， ∵ ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∵ 四边形 是平行四边形，且 ， ∴ 平行四边形 是矩形． 19. 先化简，再求值：，其中 【答案】 ； 【解析】 【分析】先计算分式除法，再计算同分母分式减法，接着代入特殊角三角函数值，结合负整数指数幂求出x的值，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解：原式 ； ， 原式． 20. 八街凉卷粉是安宁的特色美食，其口感独特．大米是制作卷粉的原材料之一，安宁某小吃店老板发现今年第三季度平均每千克大米的价格比第二季度上涨了，第三季度花 元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了 千克，求第三季度大米的单价． 【答案】元 千克 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键． 设第二季度大米的单价为 元 千克，则第三季度大米的单价为元 千克，根据“数量总价单价”并结合“第三季度花 元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了 千克”，即可得出关于 的分式方程，解方程并经检验后即可得出答案． 【详解】解：设第二季度大米的单价为 元 千克，则第三季度大米的单价为元 千克， 根据题意可得： ， 解得： ， 经检验， 是原分式方程的解， ， 第三季度大米的单价为元 千克． 21. 我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 【答案】（1）20，11； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键． （1）用特别好（A）的人数特别好的百分数，得出调查的学生数，根据扇形图得出“D”类男生数及女生数，再求女生总人数； （2）求出“C”类别女生数，结合（1）中所求D类男生数，补充条形统计图； （3）由计算可知，A类别1男2女，D类别1男1女，利用列表法求解即可． 【小问1详解】 解：调查学生数为（人）， “D”类别学生数为（人）， 其中男生为 （人）， 调查女生数为（人）， 故答案为：20，11． 【小问2详解】 解：C类学生总数为（人），C类女生人数为（人）； 由（1）D类男生人数为1人； 补充条形统计图如图所示； 【小问3详解】 解：由题意，列表如下： 男A 女 女 男D 男A，男D 男D，女 男D，女 女D 女D，男A 女D，女 女D，女 共有6种等可能的结果，其中一男一女的结果有3种， ∴． 22. 如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线： 经过点，与图象交于 ， 两点． （1）求的值，并在图中画出直线； （2）当点 与点 重合时，点在第一象限内且在直线上，过点 作轴于点． ①求点 的坐标； ②连接，若 ，求的取值范围． 【答案】（1） ∵直线： 经过点， ∴ ， 解得：， ∴直线的解析式为 ， 当时，， ∴直线过点， 画出直线如下： （2）①；② 【解析】 【分析】（1）把点代入解析式求出b，即可； （2）①求出图象的解析式，再联立两函数解析式，即可；②根据题意可得 ， ，再由 ，列出不等式，即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①根据题意得：点， 把点代入得： ， ∴图象的解析式为， 联立得：， 解得：或， ∴点 的坐标为； ②如图， ∵点在第一象限内且在直线上， ∴ ， ∵轴， ∴ ， ， ∵ ， ∴ ，即 ， 解得： ． 23. 利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来． （1）尺规作图：如图1，已知 ， ，在 上方作 ，，（保留作图痕迹不写作法），连接，易证． （2）如图2，在正方形 中，点是对角线 上任意一点（不与点 、 重合），以 为边作正方形 ，点 恰好落在射线 上．直接写出线段、、 之间的数量关系． （3）如图3，在菱形 中，，点在对角线 的延长线上，以为边在 上方作等边三角形，连接．若，，求 的面积． 【答案】（1）见解析 （2） （3） 的面积为． 【解析】 【分析】（1）根据作一个角等于已知角的尺规作图步骤画图即可；再根据全等三角形的判定和性质证明即可； （2）将绕点顺时针旋转 得到，则，，再由等腰直角三角形的性质求解即可； （3）连接交于点O，连接 ．根据等边三角形的判定和性质得出是等边三角形，，再由全等三角形的判定和性质、勾股定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图，，为所求： 证明：， ， ， 在 与中， ， ， ； 【小问2详解】 解： 将绕点顺时针旋转 得到，如图2所示： 则， ， 四边形 和四边形 都是正方形， ，， ， ， 、 、 三点共线， 是等腰直角三角形， ∴， ∵, ∴； 【小问3详解】 解：如图3，连接交于点O，连接 ． 四边形 是菱形， ， ， 是等边三角形，， ， 是等边三角形， ， ， ， 在 与 中， ， ， ， ， ， 的面积． 24. 综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为 ，并且两人相距 ； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为 轴，过甲拿绳子的手作 轴的垂线为 轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 （1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． （2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高 的小明，从甲持绳手的右侧距离甲 处进入游戏能否通过跳绳． （3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少 ，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 【答案】（1）绳子所对应的抛物线解析式为： ；顶点坐标为 （2）从甲持绳手的右侧距离甲 处进入游戏能通过跳绳 （3） 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶， 队列安排方案可以为：距离两侧持绳手 处分别为①④号；距离两侧持绳手 处分别为②⑤号；距离两侧持绳手处分别为⑦⑧号；距离两侧持绳手处分别为③⑥号；最中间的是⑨号（方案不唯一） 【解析】 【分析】（1）绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为，用待定系数法求解即可； （2）由时求出其相应的函数值，便可确定结论； （3）由自变量的值求出函数值，再比较便可． 【小问1详解】 解：绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式为， 根据题意，抛物线经过点，且过点即，把三个点代入表达式， ，解得， 绳子所对应的抛物线解析式为： ， ， 则抛物线顶点坐标为． 【小问2详解】 解：从甲持绳手的右侧距离甲 处进入游戏能通过跳绳． 理由如下： 将代入 得， ， 从甲持绳手的右侧距离甲 处进入游戏能通过跳绳． 【小问3详解】 解：有9位同学采取一路纵队并排的方式同时起跳，人与人之间距离至少0.5米，则首尾两位同学的距离是 （米）， 最理想状态是最中间的同学站在对称轴的位置，此时首尾两位同学距离对称轴距离恰好是2米， 当 时， 将 代入得， ， 将 代入得， ， 将 代入得， ， 将 代入得， ， 此时绳子能顺利的甩过所有队员的头顶． 【点睛】本题是二次函数的应用，主要考查了待定系数法求二次函数的解析式，应用二次函数的解析式由自变量求函数值，由函数值确定自变量等知识判定实际问题，关键是确定抛物线上点的坐标和应用二次函数解析式解决实际问题． 25. 【问题提出】 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形 中，点 ，分别在 ， 边上，，交于点 ，且． （1）线段，的数量关系为______， 的度数为______． 【类比探究】 老师继续提出问题，若改变 的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？ 同学们根据老师的提问画出图形，如图2， 是等腰直角三角形， ，点 ，分别在 ， 边上，，交于点 ，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段 ，的数量关系． （2）请先将条件补充完整：线段 ，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和 的度数，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3， 是等腰直角三角形，，若点 沿 边上一动点，点是射线上一动点，直线，交于点 ，在（2）的条件下，当动点 沿 边从点 移动到点 （与点 重合）时，请直接写出运动过程中长的最大值和最小值． 【答案】（1），；（2）；，，理由见解析；（3）8， 【解析】 【分析】（1）证明 ，根据全等三角形的性质得出，，进而根据三角形外角的性质即可求解； （2）证明，得出，，进而根据（1）的方法即可求解； （3）由题意，可知点 在以为弦．所对圆心角为的上，根据题意画出图形，连接．当点 在线段上时，取得最小值，当点 移动到点 时，点 与点重合，此时取得最大值，利用勾股定理以及线段的和差即可求解． 【详解】解：（1）解：∵ 是等边三角形 ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴，， ∴ 故答案为： ，． （2）线段 ，的数量关系为：； ，． 理由如下：∵ 是等腰直角三角形， ， ∴， ∵，即． ∴． ∴，，即． ∴． （3）长的最小值为，最大值为． 由题意，可知点 在以为弦．所对圆心角为的上（，则，劣弧 所对的圆周角是）． 如解图1所示，． ∵， ∴． 连接．当点 在线段上时，取得最小值， 如解图1所示，此时． ∴． ∴长的最小值为． 当点 移动到点 时，点 与点重合，此时取得最大值． 如解图2所示，由（2），知． ∴长的最大值为8． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定，圆周角定理，熟练掌握综合运用以上知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 初三年级过程性综合素质评价 数学学科 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 在数， ，0，中有理数有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. 下列运算错误的是（ ） A. B. C. D. 3. 一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 有一个实数根 D. 没有实数根 4. 体育强则中国强，国运兴则体育兴．在2025第十五届全运会上，广东代表团发挥出色，共获得43块金牌、46块银牌和42块铜牌．要想清楚地表示出广东体育代表团获得各类奖牌数量与奖牌总数之间的关系，适合绘制（ ） A. 扇形统计图 B. 折线统计图 C. 条形统计图 D. 以上统计图均可以 5. 如图是一个几何体的三视图，则这个几何体的全面积是（ ） A. 14π B. 24π C. 26π D. 36π 6. 在直角坐标系中，函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，有理数， 分别对应数轴上两点，则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 记载于《孙子算经》的牧童分羊问题：“甲得乙一羊则甲为乙两倍，乙得甲一羊则两人相等．”意思是：若乙给甲一只羊，则甲的羊的数量是乙的2倍；若甲给乙一只羊，则两人的羊的数量相等．设甲有只羊，乙有只羊，可列出方程组是（ ） A. B. C. D. 9. 下列结论中，不正确的是（ ） A. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 B. 对角线相等的四边形是矩形 C. 菱形的面积等于对角线乘积的一半 D. 一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 10. 已知二次函数的图象上有四个点：，，，，其中，下列结论一定不正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ，则 C. 若 ，则 D. 若 ，则 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分） 11. 若代数式有意义，则m的取值范围是________． 12. 如图，点 、点、点在 上，，那么的度数为________． 13. 一个圆锥的底面半径为3，若它的侧面展开图是一个半圆，则其母线长为________． 14. 如图，在△ABC中，点D，E分别在边AB，BC上，若，则△BDE与四边形ADEC的面积比是______． 15. 如图，在平面直角坐标系中，，，形状相同的抛物线的顶点在直线上，其对称轴与轴的交点的横坐标依次为2，3，5，8，13，…，根据上述规律，抛物线的顶点坐标为_________． 16. 如图，矩形 中，， 分别与边相切，点E，F分别在 上，将四边形沿着翻折得四边形 并满足所在的直线恰好与 相切，切点为P，设线段 的长为x，则___________（用含x的代数式表示）；若，则x的值为 ___________． 三、解答题（本大题共9小题，满分72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式组，并在数轴上表示它们的解集． 18. 如图所示，已知平行四边形 的对角线相交于点 ， ． 求证：平行四边形 是矩形． 19. 先化简，再求值：，其中 20. 八街凉卷粉是安宁的特色美食，其口感独特．大米是制作卷粉的原材料之一，安宁某小吃店老板发现今年第三季度平均每千克大米的价格比第二季度上涨了，第三季度花 元买到的大米数量比第二季度花同样的钱买到的大米数量少了 千克，求第三季度大米的单价． 21. 我县实施新课程改革后，学生的自主学习、合作交流能力有很大提高，胡老师为了了解班级学生自主学习、合作交流的具体情况，对某班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，并将调查结果分成四类，A：特别好；B：好；C：一般；D：较差；并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）本次调查中，胡老师一共调查了______名同学，其中女生共有______名； （2）将上面的条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，胡老师想从被调查的A类和D类学生中分别选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率． 22. 如图，在平面直角坐标系中，记函数的图象为，直线： 经过点，与图象交于，两点． （1）求 的值，并在图中画出直线； （2）当点与点 重合时，点在第一象限内且在直线上，过点作轴于点． ①求点的坐标； ②连接 ，若 ，求的取值范围． 23. 利用旋转作辅助线，通常能使分散的条件相对集中起来． （1）尺规作图：如图1，已知 ， ，在 上方作 ，，（保留作图痕迹不写作法），连接 ，易证． （2）如图2，在正方形 中，点 是对角线上任意一点（不与点 、重合），以 为边作正方形 ，点恰好落在射线上．直接写出线段、 、之间的数量关系． （3）如图3，在菱形 中，，点 在对角线的延长线上，以 为边在上方作等边三角形，连接．若，，求 的面积． 24. 综合与实践 驱动任务： 跳绳，作为一项全民皆可参与的运动，只要一根绳子就能跳遍天下，是一项简单、有趣的运动．不仅可以锻炼身体，增强免疫力，还可以训练反应能力和协调能力．单人跳、多人跳、花样跳，简单易学，精彩纷呈．学校计划在运动会上增加跳绳比赛项目，数学应用研习小组协助跳绳筹备组对多人跳绳的战队方式进行了相关设计． 研究步骤： 数学建模：图1是甲，乙两人甩绳子的示意图，当绳子甩到最高处时，其形状可近似地看作一条抛物线（如图2所示）． 实践操作： 第一步：选两名身高基本相同的男同学为持绳手，量得两人拿绳子的手离地面的高度都为 ，并且两人相距 ； 第二步：经过多次试跳发现：当绳子甩到最高处时，身高1.75米的小敏同学从乙持绳手的左侧距离乙1.5米处进入游戏，恰好通过； 第三步：现以两人的站立点所在的直线为轴，过甲拿绳子的手作轴的垂线为轴，建立如图2所示的平面直角坐标系． 问题解决： 同学编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 身高/m 1.50 1.61 1.77 1.53 1.68 1.75 1.70 1.68 1.78 （1）求绳子甩到最高处时所对应的抛物线表达式并求出其顶点坐标． （2）当绳子甩到最高处时，通过计算说明身高 的小明，从甲持绳手的右侧距离甲 处进入游戏能否通过跳绳． （3）现有9位同学身高统计如下表，计划采取一路纵队并排的方式同时起跳（如图1），为了保证安全，要求人与人之间距离至少 ，此时绳子能否顺利地甩过所有队员的头顶？若能，请写出队列安排方案；若不能，请说明理由． 25. 【问题提出】 数学课上，老师给出了这样一道题目：如图1，在等边三角形 中，点， 分别在，边上，，交于点，且． （1）线段，的数量关系为______， 的度数为______． 【类比探究】 老师继续提出问题，若改变 的形状，（1）中的结论是否仍然成立呢？ 同学们根据老师的提问画出图形，如图2， 是等腰直角三角形，，点， 分别在，边上，，交于点，同学们发现，想要类比（1）中的探究过程得出结论，还需要确定线段，的数量关系． （2）请先将条件补充完整：线段，的数量关系为______；再根据图2写出线段，的数量关系和 的度数，并说明理由． 【拓展探究】 （3）如图3， 是等腰直角三角形，，若点沿边上一动点，点 是射线上一动点，直线，交于点，在（2）的条件下，当动点沿边从点 移动到点（与点重合）时，请直接写出运动过程中 长的最大值和最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $