8.2 立体图形的直观图 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.2　立体图形的直观图 明确目标 发展素养 1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤． 2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长 方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 通过学习空间几何体直观图的画法，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养. 知识点　立体图形的直观图及其画法 (一)教材梳理填空 1．直观图： 直观图是观察者站在 观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在 下得到的平面图形． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： 步骤 画法要求 建系 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝ (或 )，它们确定的平面表示 画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于 的线段 长度 规则 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持 ，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的 3．空间几何体直观图的画法： 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的 ，并且使平行于z轴的线段的 和 都不变． [微思考]　空间几何体的直观图唯一吗？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.( ) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行． ( ) (3)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点． ( ) (4)几何中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中长度为原来的一半． ( ) 2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的 (　　) 答案：C 3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为 (　　) A．90°，90°　　　　　　　 B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 答案：D 题型一　水平放置的平面图形的直观图的画法 【学透用活】 (1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半． (2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． [典例1]　画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图． 【对点练清】 用斜二测画法画(如图所示)边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 题型二　空间几何体的直观图 【学透用活】 (1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示． (2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线的长度比． (3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上． (4)要先画出底面的直观图，再画出其余各面． [典例2]　画正六棱柱的直观图．(底面边长为2 cm，侧棱长为5 cm) 【对点练清】 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 题型三　直观图的还原与计算 【学透用活】 [典例3]　(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．2 (2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状)，该原图形的面积为_________cm2. 【对点练清】 1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？ 2.如图所示，直角梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中， ∠ABC＝45°，AB＝AD＝2，DC⊥BC，求原图形的面积． 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 (　　 ) 2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成 (　　) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm 3．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面是(　　) A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的 三边及中线AD中，最长的线段是 (　　) A．AB　　　　　　　　　 B．AD C．BC D．AC 5．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 6．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论中，正确的是________．(填序号) 7．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2. 8．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观图． 层级(二)　能力提升练 1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 2. 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有 (　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm. 4.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？ 5.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按 斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积． 层级(三)　素养培优练 1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 (　　) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第八章|立体几何初步 8.2　立体图形的直观图 明确目标 发展素养 1.了解斜二测画法的概念并掌握斜二测画法的步骤． 2.能用斜二测画法画出简单空间图形(长 方体、球、圆柱、圆锥、棱柱及其简单组合体)的直观图. 通过学习空间几何体直观图的画法，经历由空间到平面，再由平面到空间的转换过程，培养数学抽象、直观想象和数学运算素养. 知识点　立体图形的直观图及其画法 (一)教材梳理填空 1．直观图： 直观图是观察者站在某一点观察一个空间几何体获得的图形．在立体几何中，立体图形的直观图通常是在平行投影下得到的平面图形． 2．用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤： 步骤 画法要求 建系 在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面 画线 已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段 长度 规则 已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半 3．空间几何体直观图的画法： 画空间几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的平行性和长度都不变． [微思考]　空间几何体的直观图唯一吗？ 提示：不唯一．作直观图时，由于选轴的不同，画出的直观图也不同． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)用斜二测画法画水平放置的∠A时，若∠A的两边分别平行于x轴和y轴，且∠A＝90°，则在直观图中，∠A＝45°.(×) (2)用斜二测画法画平面图形的直观图时，平行的线段在直观图中仍平行． (√) (3)建立z轴的一般原则是让z轴过空间图形的顶点． (√) (4)几何中平行于z轴(或在z轴上)的线段，在其直观图中长度为原来的一半． (×) 2．利用斜二测画法画边长为1 cm的正方形的直观图，可能是下面的 (　　) 答案：C 3．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为 (　　) A．90°，90°　　　　　　　 B．45°，90° C．135°，90° D．45°或135°，90° 答案：D 题型一　水平放置的平面图形的直观图的画法 【学透用活】 (1)斜二测画法中，“斜”是指把直角坐标系xOy变为坐标系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°(或135°)；“二测”是指画直观图时，平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度减半． (2)斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位置与形状的点，并在直观图中画出． (3)斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行位置不改变． [典例1]　画出如图所示水平放置的直角梯形的直观图． [解]　(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，如图①.画相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图②. (2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x′轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′，如图②. (3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图③. 【对点练清】 　 用斜二测画法画(如图所示)边长为4 cm的水平放置的正三角形的直观图． 解：(1)如图①，以BC边所在的直线为x轴，以BC边上的高线AO所在的直线为y轴． (2)画对应的x′轴、y′轴，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上截取O′B′＝O′C′＝2 cm，在y′轴上截取O′A′＝OA，连接A′B′，A′C′，如图②. (3)三角形A′B′C′即为正三角形ABC的直观图． 题型二　空间几何体的直观图 【学透用活】 (1)画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示． (2)斜二测画法保持了原图形的平行性、共线性，保持了平行线的长度比． (3)坐标系的建立要充分利用几何体的对称性，坐标原点一般建在图形的对称中心处，使几何体的顶点尽可能多地落在坐标轴上． (4)要先画出底面的直观图，再画出其余各面． [典例2]　画正六棱柱的直观图．(底面边长为2 cm，侧棱长为5 cm) [解]　画法：(1)画轴．画x′轴、y′轴、z′轴，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°. (2)画底面．根据x′轴、y′轴，画正六边形的直观图ABCDEF，使CF长为4 cm. (3)画侧棱．过A，B，C，D，E，F各点分别作z′轴的平行线，在这些平行线上分别截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，FF′都等于侧棱长5 cm. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，E′，F′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正六棱柱的直观图． 【对点练清】 画出底面是边长为1.2 cm的正方形，侧棱均相等且高为1.5 cm的四棱锥的直观图． 解：画法：(1)画轴．画x轴、y轴、z轴，∠xOy＝45°(或135°)，∠xOz＝90°，如图①. (2)画底面．以O为中心，在xOy平面内，画出正方形的直观图ABCD，使AB＝1.2 cm，EF＝0.6 cm. (3)画顶点，在Oz轴上截取OP，使OP＝1.5 cm. (4)成图．顺次连接PA，PB，PC，PD，并擦去辅助线，将被遮住的部分改为虚线，得四棱锥的直观图，如图②. 题型三　直观图的还原与计算 【学透用活】 [典例3]　(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D．2 (2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6 cm，C′D′＝2 cm，则原图形是________(填四边形的形状)，该原图形的面积为_________cm2. [解析]　(1)由题图知，△OAB为直角三角形． ∵O′B′＝1，∴A′B′＝1，O′A′＝. ∴在原△OAB中，OB＝1，OA＝2， ∴S△ABO＝×2×1＝.故选C. (2)如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝6 cm，OD＝2O′D′＝2×2＝4 cm，CD＝C′D′＝2 cm.在Rt△OCD中， ∴OC＝＝＝6(cm)， ∴OA＝OC.又OA∥BC，OA＝BC， 故四边形OABC是菱形． ∴S菱形ABCO＝OA·OD＝6×4＝24(cm2)． ∴菱形OABC的面积为24 cm2. [答案]　(1)C　(2)菱形　 24 【对点练清】 1．本例(1)中直观图中△O′A′B′的面积与原图形面积之比是多少？ 解：由本例(1)中直观图可得S△O′A′B′＝×1×1＝， 原图形面积为S△OAB＝.所以＝＝. 2.如图所示，直角梯形ABCD是水平放置的一个平面图形的直观图，其中， ∠ABC＝45°，AB＝AD＝2，DC⊥BC，求原图形的面积． 解：如图①，在直观图中，过点A作AE⊥BC，垂足为点E，则在Rt△ABE中，AB＝2，∠ABE＝45°，所以BE＝. 而四边形AECD为矩形，AD＝2， 所以EC＝AD＝2. 所以BC＝BE＋EC＝＋2. 由此可还原原图形如图②，是一个直角梯形． 在原图形中，A′D′＝2，A′B′＝4，B′C′＝＋2，且A′D′∥ B′C′，A′B′⊥B′C′， 所以原图形的面积为S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝×(2＋＋ 2)×4＝2＋8. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．利用斜二测画法画出边长为3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的 (　　 ) 解析：选C　正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为2∶1. 2．若把一个高为10 cm的圆柱的底面画在x′O′y′平面上，则圆柱的高应画成 (　　) A．平行于z′轴且大小为10 cm B．平行于z′轴且大小为5 cm C．与z′轴成45°且大小为10 cm D．与z′轴成45°且大小为5 cm 解析：选A　平行于z轴(或在z轴上)的线段，在直观图中的方向和长度都与原来保持一致．故选A. 3．如图，A′B′∥O′y′，B′C′∥O′x′，则直观图所示的平面是(　　) A．任意三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 解析：选C　因为A′B′∥O′y′，且B′C′∥O′x′，所以原平面图形中AB⊥BC.所以△ABC为直角三角形．故选C. 4.如图所示，△A′B′C′是水平放置的△ABC的直观图，则在原△ABC的 三边及中线AD中，最长的线段是 (　　) A．AB　　　　　　　　　 B．AD C．BC D．AC 解析：选D　还原△ABC，即可看出△ABC为直角三角形，故其斜边AC最长．故选D. 5．(多选)下列命题中正确的是 (　　) A．水平放置的角的直观图一定是角 B．相等的角在直观图中仍然相等 C．相等的线段在直观图中仍然相等 D．若两条线段平行，则在直观图中对应的两条线段仍然平行 解析：选AD　水平放置的平面图形不会改变形状，A正确；正方形的直观图为平行四边形，角度不一定相等，B错；因为平行于x轴的线段长度不变，平行于y轴的线段长度变为原来的一半，所以C错；平行性不会改变，所以D正确．故选A，D. 6．利用斜二测画法得到： ①三角形的直观图是三角形； ②平行四边形的直观图是平行四边形； ③正方形的直观图是正方形； ④菱形的直观图是菱形． 以上结论中，正确的是________．(填序号) 解析：斜二测画法得到的图形与原图形中的线线相交、线线平行关系不会改变，因此三角形的直观图是三角形，平行四边形的直观图是平行四边形． 答案：①② 7．在直观图中，四边形O′A′B′C′为菱形且边长为2 cm，则在坐标系xOy中原四边形OABC为________(填形状)，面积为________cm2. 解析：由题意，结合斜二测画法可知，四边形OABC为矩形，其中OA＝2 cm，OC＝4 cm，所以四边形OABC的面积S＝2×4＝8(cm2)． 答案：矩形　8 8．用斜二测画法画长、宽、高分别为4 cm,3 cm,2 cm的长方体ABCD­A′B′C′D′的直观 图． 解：画法：(1)画轴．如图①，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O(A)，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)画底面．在x轴上取线段AB，使AB＝4 cm；在y轴上取线段AD，使AD＝ cm.过点B作y轴的平行线，过点D作x轴的平行线，设它们的交点为C，则▱ABCD就是长方体的底面ABCD的直观图．(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z轴的平行线，并在这些平行线上分别截取2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′. (4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到长方体的直观图．如图②. 层级(二)　能力提升练 1．水平放置的△ABC，有一边在水平线上，它的斜二测直观图是正三角形A′B′C′，则△ABC是 (　　) A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．任意三角形 解析：选C　如下图所示，斜二测直观图还原为平面图形，故△ABC是钝角三角形．故选C. 2. 如图所示的是水平放置的三角形ABC的直观图△A′B′C′，其中D′是A′C′的中点，在原三角形ABC中，∠ACB≠60°，则原图形中与线段BD的长相等的线段有 (　　) A．0条 B．1条 C．2条 D．3条 解析：选C　先按照斜二测画法把直观图还原为真正的平面图形，然后根据平面图形的几何性质找出与线段BD长度相等的线段．把三角形A′B′C′还原后为直角三角形，则D为斜边AC的中点，所以AD＝DC＝BD.故选C. 3.如图，正方形O′A′B′C′的边长为1 cm，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是________cm. 解析：因为正方形O′A′B′C′的边长为1，它是水平放置的一个平面图形的直观图，所以O′B′＝ cm，对应原图形平行四边 形OABC的高为2 cm， 所以原图形中，OA＝BC＝1 cm， AB＝OC＝＝3(cm)， 故原图形的周长为2×(1＋3)＝8(cm)． 答案：8 4.如图所示，△A′O′B′表示水平放置的△AOB的直观图，点B′在x′轴上，A′O′与x′轴垂直，且A′O′＝2，则△AOB的边OB上的高为多少？ 解：设△AOB的边OB上的高为h，由直观图中边O′B′与原图形中边OB的长度相等，及S原图＝2S直观图，得OB·h＝2··A′O′·O′B′，则h＝4.故△AOB的边OB上的高为4. 5.如图，四边形A′B′C′D′是边长为1的正方形，且它是某个四边形按 斜二测画法画出的直观图，请画出该四边形的原图形，并求出原图形的面积． 解：画出平面直角坐标系xOy，使点A与O重合，在x轴上取点C，使AC＝，再在y轴上取点D，使AD＝2， 取AC的中点E， 连接DE并延长至点B，使DE＝EB，连接DC，CB，BA，则四边形ABCD为正方形A′B′C′D′的原图形(也可以过点C作BC∥y轴，且使CB＝AD＝2，然后连接AB，DC)，如图所示．易知四边形ABCD为平行四边形，∵AD＝2，AC＝，∴S▱ABCD＝2×＝2. 层级(三)　素养培优练 1．如图是水平放置的某个三角形的直观图，D′是△A′B′C′中B′C′边的中点且A′D′∥y′轴，A′B′，A′D′，A′C′三条线段对应原图形中的线段AB，AD，AC，那么 (　　) A．最长的是AB，最短的是AC B．最长的是AC，最短的是AB C．最长的是AB，最短的是AD D．最长的是AD，最短的是AC 解析：选C　由题中的直观图可知，A′D′∥y′轴，B′C′∥x′轴，根据斜二测画法的规则可知，在原图形中AD∥y轴，BC∥x轴，又因为D′为B′C′的中点，所以△ABC为等腰三角形，且AD为底边BC上的高，则有AB＝AC>AD成立． 2．有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形(如图所示)，∠ABC＝45°，AB＝AD＝1，DC⊥BC，求这块菜地的面积． 解：如图①，在直观图中， 过点A作AE⊥BC，垂足为E， ∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°， ∴BE＝. ∵四边形AECD为矩形，AD＝1， ∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝＋ 1.由此可还原原图形如图②. 在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝＋1，且A′D′∥ B′C′，A′B′⊥B′C′， ∴这块菜地的面积S＝(A′D′＋B′C′)·A′B′＝××2＝2＋. 1 学科网（北京）股份有限公司 $