7.2.2 复数的乘、除运算 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 明确目标 发展素养 1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够进行复数的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推理素养. 知识点一　复数的乘法及运算律 (一)教材梳理填空 1．复数的乘法法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝ 2．复数乘法的运算律： 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝ 结合律 (z1z2)z3＝ 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝ [微思考]　已知z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝z2正确吗？ (二)基本知能小试 1．(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．6 2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝(　　) A．－2 B. C．－ D．2 (一)教材梳理填空 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. [微思考]　复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的数？ (二)基本知能小试 1．复数－i＋等于 (　　) A．－2i　 　　 B.i　 　 C．0　 　 D．2i 2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．已知复数z满足(1＋3i)z＝10，则z＝________. 题型一　复数的乘法运算 【学透用活】 对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． (2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. [典例1]　(1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)·(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) 【对点练清】 1．(2＋2i)(1－2i)＝ (　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 2．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________. 题型二　复数的除法运算 【学透用活】 对复数除法的三点说明 (1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． (3)常用结论： ①＝－i；②＝i；③＝－i. [典例2]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　B．i　　　C．0　　　D．1 (2)设z＝，则|z|＝(　　) A．2 B. C. D．1 【对点练清】 1．(2025·全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数 对应的点位于 (　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　　 D．第四象限 3．计算：＋－. 题型三　复数范围内方程根的问题 【学透用活】 [典例3]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是不是方程的根． 【对点练清】 在复数范围内解下列方程． (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i　　　　　　　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 3．(2025·北京高考)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　) A. B．2 C．4 D．8 4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 6．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________． 7．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________. 8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． 9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 层级(二)　能力提升练 1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 (　　) A．复数z＝的虚部为 B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数z满足∈R，则z∈R 2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________. 3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______. 4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值． 5．已知复数z＝1＋i. (1)设ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求实数a，b的值． 层级(三)　素养培优练 1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝ (　　) A.　　　　B. C．2 D．3 2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是 (　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.2 复数的乘、除运算 明确目标 发展素养 1.掌握复数代数形式的乘、除运算法则，能够进行复数的乘、除运算． 2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律. 1.通过对复数的乘、除运算的学习，提升数学运算、逻辑推理素养． 2.通过对i的乘方周期性的理解，提升逻辑推理素养. 知识点一　复数的乘法及运算律 (一)教材梳理填空 1．复数的乘法法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i. 2．复数乘法的运算律： 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 [微思考]　已知z＝x＋yi(x，y∈R)，则|z|2＝z2正确吗？ 提示：不正确．例如，|i|2＝1，而i2＝－1. (二)基本知能小试 1．(2025·全国Ⅰ卷)(1＋5i)i的虚部为(　　) A．－1　　　　B．0　　　　C．1　　　　D．6 解析：选C　(1＋5i)i＝i＋5i2＝i－5，故虚部为1. 2．(2024·全国甲卷)设z＝i，则z·＝(　　) A．－2 B. C．－ D．2 解析：选D 因为z＝i，所以＝－i，z·＝2，故选D. 知识点二　复数的除法及运算律 (一)教材梳理填空 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)， 则＝＝＋i. [微思考]　复数的除法，其实质是分母“实数化”，即把分子和分母同乘一个什么样的数？ 提示：进行复数的除法运算时，分子、分母同乘分母的“实数化因式”(共轭复数)． (二)基本知能小试 1．复数－i＋等于 (　　) A．－2i　 　　 B.i　 　 C．0　 　 D．2i 答案：A 2．在复平面内，复数z＝(i为虚数单位)的共轭复数对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：D 3．已知复数z满足(1＋3i)z＝10，则z＝________. 答案：1－3i 题型一　复数的乘法运算 【学透用活】 对复数乘法的三点说明 (1)类比多项式运算：复数的乘法运算与多项式乘法运算很类似，可仿多项式乘法进行运算，但结果要将实部、虚部分开(i2换成－1)． (2)运算律：多项式乘法的运算律在复数乘法中仍然成立，乘法公式也适用． (3)常用结论： ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2 (a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i. [典例1]　(1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)·(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 (2)若复数(1－i)(a＋i)在复平面内对应的点在第二象限，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞) [解析]　(1)∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1，故选C. (2)(1－i)(a＋i)＝(a＋1)＋(1－a)i，因为对应的点在第二象限，所以解得a<－1. [答案]　(1)C　(2)B 【对点练清】 1．(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝ (　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：选D　(2＋2i)(1－2i)＝2－4i＋2i＋4＝6－2i. 2．(2024·天津高考)已知i是虚数单位，复数(＋i)·(－2i)＝________. 解析：(＋i)(－2i)＝()2－2i＋i－2i2＝7－i. 答案：7－i 题型二　复数的除法运算 【学透用活】 对复数除法的三点说明 (1)实数化：分子、分母同乘分母的共轭复数，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． (3)常用结论： ①＝－i；②＝i；③＝－i. [典例2]　(1)(2023·新课标Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　) A．－i　　　B．i　　　C．0　　　D．1 (2)设z＝，则|z|＝(　　) A．2 B. C. D．1 [解析]　(1)因为z＝＝＝－，所以＝，所以z－＝－－＝－i，故选A. (2)法一：∵z＝＝＝， ∴|z|＝ ＝. 法二：|z|＝＝＝. [答案]　(1)A　(2)C 【对点练清】 1．(2025·全国Ⅱ卷)已知z＝1＋i，则＝(　　) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：选A　＝＝＝－i. 2.如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则复数 对应的点位于 (　　) A．第一象限　　 B．第二象限 C．第三象限　　　 D．第四象限 解析：选B　由复数的几何意义知，z1＝－2－i，z2＝i，所以＝＝－1＋2i，对应的点在第二象限． 3．计算：＋－. 解：原式＝＋－ ＝＋－ ＝8＋8－16i－16＝－16i. 题型三　复数范围内方程根的问题 【学透用活】 [典例3]　已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数)． (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是不是方程的根． [解]　(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴解得∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立，∴1－i也是方程的一个根． 【对点练清】 在复数范围内解下列方程． (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5. 又因为(i)2＝(－i)2＝－5，所以x＝±i， 所以方程x2＋5＝0的根为±i. (2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2. 因为(i)2＝(－i)2＝－2，所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根． 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝±，所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．(2024·新课标Ⅰ卷)若＝1＋i，则z＝(　　) A．－1－i　　　　　　　　　 B．－1＋i C．1－i D．1＋i 解析：选C　因为＝＝1＋＝1＋i，所以z＝1＋＝1－i.故选C. 2．(2024·全国甲卷)若z＝5＋i，则i(＋z)＝(　　) A．10i B．2i C．10 D．2 解析：选A　因为z＝5＋i，所以＝5－i，所以i(＋z)＝10i，故选A. 3．(2025·北京高考)已知复数z满足i·z＋2＝2i，则|z|＝(　　) A. B．2 C．4 D．8 解析：选B　由i·z＋2＝2i，得z＝＝2＋2i，所以|z|＝＝2. 4．若a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝－4i，则a＝ (　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 解析：选B　因为a为实数，且(2＋ai)(a－2i)＝4a＋(a2－4)i＝－4i，得4a＝0且a2－4＝－4，解得a＝0，故选B. 5．若复数z满足(2＋i)z＝|3－4i|，则z在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　∵(2＋i)z＝|3－4i|＝＝5，∴z＝＝＝2－i，z在复平面内对应的点为(2，－1)，在第四象限，故选D. 6．已知复数(a＋2i)(1＋i)的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是________． 解析：(a＋2i)(1＋i)＝a－2＋(a＋2)i， 因为实部为0，所以a－2＝0，即a＝2. 答案：2 7．复数z＝(i为虚数单位)，则|z|＝________. 解析：∵z＝＝＝＝－i， ∴|z|＝ ＝. 答案： 8．若z1＝a＋2i，z2＝3－4i，且为纯虚数，则实数a的值为________． 解析：＝＝＝， 根据已知条件可知3a－8＝0，解得a＝. 答案： 9．已知为z的共轭复数，若z·－3i＝1＋3i，求z. 解：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝a－bi(a，b∈R)， 由题意得(a＋bi)(a－bi)－3i(a－bi)＝1＋3i， 即a2＋b2－3b－3ai＝1＋3i，则有 解得或所以z＝－1或z＝－1＋3i. 层级(二)　能力提升练 1．(多选)已知i为虚数单位，则下列结论正确的是 (　　) A．复数z＝的虚部为 B．复数z＝的共轭复数＝－5－2i C．复数z＝－i在复平面内对应的点位于第二象限 D．复数z满足∈R，则z∈R 解析：选ABD　对于A，z＝＝＝－＋i，其虚部为，故A正确；对于B，z＝＝(2＋5i)i＝－5＋2i，故＝－5－2i，故B正确；对于C，z＝－i，在复平面内对应点的坐标为，位于第四象限，故C不正确；对于D，设z＝a＋bi(a，b∈R)，则＝＝，又∈R，得b＝0，所以z＝a∈R，故D正确． 2．若关于x的方程x2＋(2－i)x＋(2m－4)i＝0有实数根，则纯虚数m＝________. 解析：设m＝bi(b∈R且b≠0)，则x2＋(2－i)x＋(2bi－4)i＝0，化简得(x2＋2x－2b)＋(－x－4)i＝0，即解得∴m＝4i. 答案：4i 3．若1＋i是关于x的实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个复数根，则b＝______，c＝______. 解析：∵实系数方程x2＋bx＋c＝0的一个虚根为1＋i， ∴其共轭复数1－i也是方程的根． 由根与系数的关系知 ∴b＝－2，c＝3. 答案：－2　3 4．已知复数z＝－3＋2i(i为虚数单位)是关于x的方程2x2＋px＋q＝0(p，q为实数)的一个根，求p＋q的值． 解：∵z＝－3＋2i是关于x的方程2x2＋px＋q＝0的一个根，∴2×(－3＋2i)2＋p(－3＋2i)＋q＝0， 即2×(9－4－12i)－3p＋2pi＋q＝0， 得10＋q－3p＋(2p－24)i＝0. 由复数相等得解得∴p＋q＝38. 5．已知复数z＝1＋i. (1)设ω＝z2＋3－4，求ω； (2)若＝1－i，求实数a，b的值． 解：(1)因为z＝1＋i， 所以ω＝z2＋3－4＝(1＋i)2＋3(1－i)－4＝－1－i. (2)因为z＝1＋i， 所以＝＝1－i， 即＝1－i， 所以(a＋b)＋(a＋2)i＝(1－i)i＝1＋i， 所以解得 层级(三)　素养培优练 1．欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ，把自然对数的底数e，虚数单位i，三角函数cos θ和sin θ联系在一起，被誉为“数学的天桥”，若复数z满足(eiπ－z)·i＝1＋i，则|z|＝ (　　) A.　　　　　　　　　B. C．2 D．3 解析：选A　由欧拉公式eiθ＝cos θ＋isin θ有：eiπ＝cos π＋isin π＝－1.由(eiπ－z)·i＝1＋i，即(－1－z)·i＝1＋i.所以－1－z＝＝1－i，即z＝－2＋i，所以|z|＝＝. 2．(多选)设z1，z2，z3为复数，z1≠0.下列命题中正确的是 (　　) A．若|z2|＝|z3|，则z2＝±z3 B．若z1z2＝z1z3，则z2＝z3 C．若2＝z3，则|z1z2|＝|z1z3| D．若z1z2＝|z1|2，则z1＝z2 解析：选BC　由复数的形式知选项A显然不正确；当z1z2＝z1z3时，有z1z2－z1z3＝z1(z2－z3)＝0，又z1≠0，所以有z2＝z3，故选项B正确；当2＝z3时，则z2＝3，|z1z2|2－|z1z3|2＝(z1z2)(1 2)－(z1z3)(1 3)＝z1z212－z1z3·13＝0，故选项C正确；当z1z2＝|z1|2时，则z1z2＝|z1|2＝z11⇒z1z2－z11＝z1(z2－1)＝0，又z1≠0，所以1＝z2，故选项D不正确． 3．复数z＝且|z|＝4，z对应的点在第一象限．若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值． 解：z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi. 由|z|＝4，得a2＋b2＝4.① 因为复数0，z，对应的点构成正三角形， 所以|z－|＝|z|， 把z＝－2a－2bi代入化简得|b|＝1.② 又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0. 由①②得故所求值为a＝－，b＝－1. 1 学科网（北京）股份有限公司 $