4、7.2.2 复数的乘、除运算-【金版新学案】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7.2.2　复数的乘、除运算 [学习目标]　1.结合多项式的乘法，了解并掌握复数代数形式的乘法和除法运算．　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律，培养数学运算核心素养． 知识点一　复数的乘法运算 问题1.类比多项式的乘法，我们该如何定义两复数的乘法呢？复数的乘法与多项式乘法有何不同？ 提示：复数的乘法法则如下： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；两个复数相乘，类似于两个多项式相乘，只是在所得结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并即可． 问题2.类比实数乘法的交换律、结合律、乘法对加法的分配律，你认为复数满足这些运算律吗？ 提示：满足对于任意z1，z2，z3∈C，有：交换律：z1z2＝z2z1；结合律：(z1z2)z3＝z1(z2z3)； 乘法对加法的分配律：z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3. 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，则z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对任意复数z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 [微提醒]　(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝. (2)复数的乘法类似于多项式的乘法，只要把i2换成－1，然后实部与虚部分别合并． (3)i4n＝1，i4n+1＝i，i4n+2＝－1，i4n+3＝－i. 学生用书第61页 例1　计算下列各题： (1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)； (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i. 解：(1)(1－i)(1＋i)＋(－1＋i)＝1－i2－1＋i＝1＋i. (2)(2－i)(－1＋5i)(3－4i)＋2i ＝(－2＋10i＋i－5i2)(3－4i)＋2i ＝(3＋11i)(3－4i)＋2i ＝(9－12i＋33i－44i2)＋2i ＝53＋21i＋2i＝53＋23i. 两个复数代数形式的乘法运算的一般步骤 第一步：按多项式的乘法展开； 第二步：将i2换成－1； 第三步：进行复数的加、减运算，并将其化简为复数的代数形式．　　 对点练1．(1)计算：(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝(　　) A．2i－13 B．13＋2i C．13－2i D．－13－2i (2)在复平面内，复数z＝(2＋3i)(1－2i)(i为虚数单位)对应的点位于(　　) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)D　(2)D 解析：(1)因为(1－i)2－(2－3i)(2＋3i)＝1－2i＋i2－(4－9i2)＝－13－2i.故选D. (2)因为z＝(2＋3i)(1－2i)＝2－4i＋3i－6i2＝8－i，所以复数z在复平面内对应的点为(8，－1)，位于第四象限．故选D. 知识点二　复数的除法运算 问题3.类比实数的除法运算是乘法运算的逆运算，你认为该如何定义复数的除法运算？ 提示：通常先把(a＋bi)÷(c＋di)写成的形式，再把分子和分母都乘以(c－di)，化简后得结果， 即＝ ＝ ＝＋i(c＋di≠0). 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R且c＋di≠0)是任意两个复数， 则＝＝＝＋i． [微提醒]　复数的除法的实质是分母实数化．若分母为a＋bi型，则分子、分母同乘a－bi；若分母为a－bi型，则分子、分母同乘a＋bi，即分子、分母同乘分母的共轭复数． 例2　(1)已知复数z满足z＝，则z－＝(　　) A．－6i　　　　B．6i C．－8　　　　D．8 (2)复数在复平面内对应的点所在的象限为(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 答案：(1)A　(2)A 解析：(1)因为z＝＝＝4－3i，所以＝4＋3i，则z－＝－6i.故选A. (2)＝＝＝，所以该复数对应的点为，该点在第一象限．故选A. 两个复数代数形式的除法运算步骤 第一步：将除式写成分式； 第二步：“分母实数化”，即将分子、分母同乘以分母的共轭复数； 第三步：将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式．　　 对点练2．若z＝－1＋i, 则＝(　　) A．－1＋i B．－1－i C．－＋i D．－－i 答案：C 解析：＝－1－i，z＝(－1＋i)(－1－i)＝1＋3＝4.＝＝－＋i.故选C. 学生用书第62页 在复数范围内解方程 例3　在复数范围内解下列方程： (1)x2＋5＝0； (2)x2＋4x＋6＝0. 解：(1)因为x2＋5＝0，所以x2＝－5， 又因为(i)2＝(－i)2＝－5， 所以x＝±i，所以方程x2＋5＝0的根为x＝±i. (2)法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2， 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i， 即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二：由x2＋4x＋6＝0知Δ＝42－4×6＝－8<0， 所以方程x2＋4x＋6＝0无实数根． 在复数范围内，设方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)， 则(a＋bi)2＋4(a＋bi)＋6＝0， 所以a2＋2abi－b2＋4a＋4bi＋6＝0， 整理得(a2－b2＋4a＋6)＋(2ab＋4b)i＝0， 所以 又因为b≠0，所以 解得a＝－2，b＝±.所以x＝－2±i， 即方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法 1．求根公式法 (1)当Δ≥0时，x＝； (2)当Δ<0时，x＝－±i. 2．利用复数相等的定义求解 设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将此根代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　　 对点练3．(1)已知2i－3是关于x的方程x2＋6x＋q＝0(q∈R)的一个根，则该方程的另一个根为(　　) A．2i＋3 B．－2i－3 C．2i－3 D．－2i＋3 (2)已知关于x的方程x2＋(k＋2i)x＋2＋ki＝0有实根，求这个实根及实数k的值． 答案：(1)B 解析：(1)根据题意，方程的另一个根为－6－(2i－3)＝－3－2i.故选B. (2)设x＝x0是方程的实根，代入方程并整理得(x＋kx0＋2)＋(2x0＋k)i＝0. 由复数相等的条件得x＋kx0＋2＝2x0＋k＝0， 解得　或 所以方程的实根为x＝或－，相应的k的值为－2或2. 知识 (1)复数的乘法及运算律．(2)复数的除法运算．(3)在复数范围内解方程．(4)i的运算性质． 方法 分母实数化、配方法、求根公式法． 易错误区 分母实数化时忽视i2＝－1造成运算错误． 1．(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：因为(a＋i)(1－ai)＝a－a2i＋i＋a＝2a＋(1－a2)i＝2，所以解得a＝1.故选C. 2．复数z满足：z(2＋i)＝5(i是虚数单位)，则复数z的虚部为(　　) A．－2 B．2 C．－i D．－1 答案：D 解析：z＝＝＝2－i，所以虚部为－1.故选D. 3．已知复数z＝i＋2i2＋3i3＋4i4(其中i为虚数单位)，则|z|＝(　　) A．2 B．2 C．4 D．10 答案：B 解析：依题意，z＝i＋2×(－1)＋3(－i)＋4＝2－2i，所以|z|＝＝2.故选B. 4．已知复数z满足z(1＋i)＝2ti(t∈R)，若|z|＝2，则t＝________． 答案：±2 解析：由z(1＋i)＝2ti(t∈R)，得z＝＝＝ti(1－i)＝t＋ti，因为|z|＝2，所以t2＋t2＝(2)2，解得t＝2或t＝－2. 学科网（北京）股份有限公司 $$