7.2.2 复数的乘、除运算-【正禾一本通】2024-2025学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书（人教A版2019）

7．2．2　复数的乘、除运算 学习目标　1.掌握复数的乘法和除法运算法则．　2.理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律． 一、复数乘法的运算法则与运算律 【知识提炼】　 1．复数的乘法法则 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意两个复数，那么它们的积(a＋bi)(c＋di)＝ac＋bci＋adi＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i． 2．复数乘法的运算律 对于任意z1，z2，z3∈C，有 交换律 z1z2＝z2z1 结合律 (z1z2)z3＝z1(z2z3) 乘法对加法的分配律 z1(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3 拓展深化　常用结论 ①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)； ②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)； ③(1±i)2＝±2i； ④＝－i；⑤＝i；⑥＝－i. 例1　(1)(2023·全国甲卷)设a∈R，(a＋i)(1－ai)＝2，则a＝(　　 ) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选C.∵(a＋i)(1－ai)＝a＋i－a2i－ai2＝2a＋(1－a2)i＝2，∴2a＝2且1－a2＝0，解得a＝1. (2)(2023·新高考Ⅱ卷)在复平面内，(1＋3i)(3－i)对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选A. 因为(1＋3i)(3－i)＝3－i＋9i－3i2＝6＋8i，所以该复数在复平面内对应的点为(6, 8)，位于第一象限． 感悟升华　两个复数乘法运算的一般步骤 (1)首先按多项式的乘法展开； (2)再将i2换成－1； (3)然后再进行复数的加、减运算，化简为复数的代数形式． 【即学即用】　1.(1)(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)(1－2i)＝(　　) A．－2＋4i B．－2－4i C．6＋2i D．6－2i 解析：选D.＝2＋4－4i＋2i＝6－2i. (2)已知z＝2－i，则z(＋i)＝(　　) A．6－2i B．4－2i C．6＋2i D．4＋2i 解析：选C.因为z＝2－i，故＝2＋i，故z(＋i)＝(2－i)(2＋2i)＝6＋2i. 二、复数除法的运算法则 【知识提炼】　 (a＋bi)÷(c＋di)＝＝＋i(a，b，c，d∈R，且c＋di≠0). 拓展深化　对复数除法的两点说明 (1)实数化：分子、分母同乘以分母的共轭复数c－di，化简后即得结果，这个过程实际上就是把分母实数化，这与根式除法的分母“有理化”很类似． (2)代数式：注意最后结果要将实部、虚部分开． 注意：复数的除法类似于根式的分母有理化． 例2　(1)(2023·新高考Ⅰ卷)已知z＝，则z－＝(　　 ) A．－i B．i C. 0 D. 1 解析：选A.因为z＝＝＝－＝－i，所以＝i，即z－＝－i. (2)(2023·全国乙理)设z＝，则＝(　　) A．1－2i B．1＋2i C．2－i D．2＋i 解析：选B.由题意可得z＝＝＝＝＝1－2i，则＝1＋2i. 感悟升华　两个复数代数形式的除法运算步骤 (1)首先将除式写为分式； (2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数； (3)然后将分子、分母分别进行乘法运算，并将其化为复数的代数形式． 【即学即用】　2.(1)(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，则z＋＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 解析：选D.由题设有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2. (2)如图，在复平面内，复数z1，z2对应的向量分别是，，则对应的点位于(　　 ) A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C.由复数的几何意义知z1＝2＋i，z2＝－1＋i，则＝＝＝－－i，对应的点的坐标为，位于第三象限． 三、在复数范围内解方程 例3　在复数范围内解方程x2＋4x＋6＝0. 解：法一：因为x2＋4x＋6＝0，所以(x＋2)2＝－2， 因为(i)2＝(－i)2＝－2， 所以x＋2＝i或x＋2＝－i，即x＝－2＋i或x＝－2－i， 所以方程x2＋4x＋6＝0的根为x＝－2±i. 法二：因为x2＋4x＋6＝0， 所以x＝＝－2±＝－2±i. 感悟升华　在复数范围内，实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求解方法： (1)求根公式法 ①当Δ≥0时，x＝； ②当Δ＜0时，x＝. (2)利用复数相等的定义求解，设方程的根为x＝m＋ni(m，n∈R)，将其代入方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，化简后利用复数相等的定义求解．　 【即学即用】　3.已知1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的一个根(b，c为实数). (1)求b，c的值； (2)试判断1－i是否是方程的根． 解：(1)∵1＋i是方程x2＋bx＋c＝0的根， ∴(1＋i)2＋b(1＋i)＋c＝0，即(b＋c)＋(2＋b)i＝0. ∴解得∴b＝－2，c＝2. (2)将方程化为x2－2x＋2＝0，把1－i代入方程左边x2－2x＋2＝(1－i)2－2(1－i)＋2＝0，显然方程成立， ∴1－i也是方程的一个根． 1．设复数z满足iz＝1，其中i为虚数单位，则z等于(　　 ) A．－i B．i C．－1 D．1 解析：选A.z＝＝－i. 2．(2024·浙江高一阶段练习)已知i是虚数单位，复数z＝i＋i2，则|z|＝(　　 ) A．1 B．2 C． D．0 解析：选C.z＝i＋i2＝－1＋i，所以|z|＝＝. 3．(1＋i)20－(1－i)20的值是(　　 ) A．－1 024 B．1 024 C．0 D．512 解析：选C.∵(1＋i)2＝2i，∴(1＋i)4＝－4，又(1－i)2＝－2i，∴(1－i)4＝－4，∴(1＋i)20－(1－i)20＝(－4)5－(－4)5＝0. 4．(1＋i)2－＝________． 解析：∵(1＋i)2－＝2i－＝－＋i. 答案：－＋i 学科网（北京）股份有限公司 $$