7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 明确目标 发展素养 1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 1.通过学习复数代数形式的加、减运算，提升逻辑推理、数学运算素养． 2.通过对复数加、减法运算几何意义的理解，强化直观想象素养. 知识点一　复数的加法、减法 (一)教材梳理填空 1．复数的加法、减法的运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝ (2)z1－z2＝ 2．复数的加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝ ； (2)(z1＋z2)＋z3＝ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个虚数的和或差可能是实数． ( ) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部． ( ) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． ( ) 2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为 (　　) A．1　　　 B．－i　　　 C．5＋2i　　　 D．1－i 3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝ (　　) A．0 B．6i C．6 D．6－6i 知识点二　复数加、减法运算的几何意义 (一)教材梳理填空 复数加 法的几 何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1－z2是从向量的 指向向量的终点的向量Z2Z1―→所对应的复数 (二)基本知能小试 1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________． 2．在复平面内，若，对应的复数分别为7＋i,3－2i，则||＝________. 题型一　复数的加、减运算 【学透用活】 对复数加、减法运算的五点说明 (1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算． (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立． (3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数． (4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算． (5)虚数单位i：在进行复数加、减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号、合并同类项即可． [典例1]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. 【对点练清】 1．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 (　　) A．(0,3)　　　　　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2,0) D．(3,4) 2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 3．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________. 题型二　复数加、减运算的几何意义 【学透用活】 [典例2]　已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长． 【对点练清】 1．设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－. 2．设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2，并在复平面内作出＋. 题型三　复数加、减运算几何意义的应用 【学透用活】 [典例3]　设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. 【对点练清】 1．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为 (　　) A．2 B．4 C．4 D．16 2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为 (　　) A．2＋8i　 　 B．4－4i　 　 C．6－6i　 　 D．－4＋2i 4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于 (　　) A．1 B． C．2 D．2 5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则(　　) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________. 8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)． 层级(二)　能力提升练 1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________. 3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________. 4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值． 层级(三)　素养培优练 1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是 (　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $人教A版数学必修第二册 第七章 | 复数 7.2 复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义 明确目标 发展素养 1.结合实数的加、减运算法则，熟练掌握复数代数形式的加、减运算法则． 2.理解复数加法、减法运算的几何意义，能够利用“数形结合”的思想解题. 1.通过学习复数代数形式的加、减运算，提升逻辑推理、数学运算素养． 2.通过对复数加、减法运算几何意义的理解，强化直观想象素养. 知识点一　复数的加法、减法 (一)教材梳理填空 1．复数的加法、减法的运算法则： 设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a,b,c,d∈R）是任意两个复数，则 (1)z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i. (2)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i. 2．复数的加法运算律： 对任意z1，z2，z3∈C，有 (1)z1＋z2＝z2＋z1； (2)(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)两个虚数的和或差可能是实数． (√) (2)在进行复数的加法时，实部与实部相加得实部，虚部与虚部相加得虚部． (√) (3)复数的减法不满足结合律，即(z1－z2)－z3＝z1－(z2＋z3)可能不成立． (×) 2．计算(3＋i)－(2＋i)的结果为 (　　) A．1　　　 B．－i　　　 C．5＋2i　　　 D．1－i 答案：A 3．已知复数z＋3i－3＝3－3i，则z＝ (　　) A．0 B．6i C．6 D．6－6i 答案：D 知识点二　复数加、减法运算的几何意义 (一)教材梳理填空 复数加 法的几 何意义 复数z1＋z2是以，为邻边的平行四边形的对角线 所对应的复数 复数减 法的几 何意义 复数z1－z2是从向量的终点指向向量的终点的向量Z2Z1―→所对应的复数 (二)基本知能小试 1．已知向量对应的复数为2－3i，向量对应的复数为3－4i，则向量对应的复数为________． 答案：1－i 2．在复平面内，若，对应的复数分别为7＋i,3－2i，则||＝________. 答案：5 题型一　复数的加、减运算 【学透用活】 对复数加、减法运算的五点说明 (1)一种规定：复数的代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的逆运算． (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立．实数的移项法则在复数中仍然成立． (3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一的复数． (4)适当推广：可以推广到多个复数进行加、减运算． (5)虚数单位i：在进行复数加、减运算时，可将虚数单位i看成一个字母，然后去括号、合并同类项即可． [典例1]　(1)计算：(2－3i)＋(－4＋2i)＝________. (2)设z1＝x＋2i，z2＝3－yi(x，y∈R)，且z1＋z2＝5－6i，求z1－z2. [解析]　(1)(2－3i)＋(－4＋2i)＝(2－4)＋(－3＋2)i＝－2－i. 答案：－2－i (2)因为z1＝x＋2i，z2＝3－yi，z1＋z2＝5－6i， 所以(3＋x)＋(2－y)i＝5－6i， 所以所以 所以z1－z2＝(2＋2i)－(3－8i)＝(2－3)＋[2－(－8)]i＝－1＋10i. 【对点练清】 1．在复平面内，若z＝m2(1＋i)－m(4＋i)－6i所对应的点在第二象限，则实数m的取值范围是 (　　) A．(0,3)　　　　　　　　　 B．(－∞，－2) C．(－2,0) D．(3,4) 解析：选D　由题意得z＝(m2－4m)＋(m2－m－6)i. ∵对应的点在第二象限， ∴∴3<m<4. 2．已知复数z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是纯虚数，则实数a＝________. 解析：由条件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i. 又z1＋z2是纯虚数， 所以解得a＝3. 答案：3 3．已知复数z满足|z|＋z＝1＋3i，则z＝________. 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，|z|＝， ∴|z|＋z＝(＋x)＋yi＝1＋3i， ∴解得∴z＝－4＋3i. 答案：－4＋3i 题型二　复数加、减运算的几何意义 【学透用活】 [典例2]　已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶点A，B，C分别对应于复数－5－2i，－4＋5i,2，求点D对应的复数及对角线AC，BD的长． [解]　如图，因为AC与BD的交点M是各自的中点， 所以有zM＝＝， 所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i. 因为 对应的复数为zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以||＝|7＋2i|＝ ＝. 因为对应的复数为zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以||＝|5－12i|＝ ＝13. 故点D对应的复数是1－7i，AC与BD的长分别是和13. 【对点练清】 1．设及分别与复数z1＝5＋3i及复数z2＝4＋i对应，计算z1－z2，并在复平面内作出－. 解：z1－z2＝(5＋3i)－(4＋i)＝(5－4)＋(3－1)i ＝1＋2i，在复平面内作出－如图中Z2Z1―→所示． 2．设及分别与复数z1＝1＋3i及复数z2＝2＋i对应，计算z1＋z2， 并在复平面内作出＋. 解：z1＋z2＝(1＋3i)＋(2＋i)＝(1＋2)＋(3＋1)i＝3＋4i，在复平面内作出 ＋2如图中所示． 题型三　复数加、减运算几何意义的应用 【学透用活】 [典例3]　设z1，z2∈C，已知|z1|＝|z2|＝1，|z1＋z2|＝，求|z1－z2|. [解]　法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， 由题设知a2＋b2＝1，c2＋d2＝1，(a＋c)2＋(b＋d)2＝2. 又∵(a＋c)2＋(b＋d)2＝a2＋2ac＋c2＋b2＋2bd＋d2， ∴2ac＋2bd＝0.∵|z1－z2|2＝(a－c)2＋(b－d)2＝a2＋c2＋b2＋d2－(2ac＋2bd)＝2，∴|z1－z2|＝. 法二：作出z1，z2对应的向量，，使＋＝. ∵|z1|＝|z2|＝1，又，不共线(若，共线，则|z1＋z2|＝2或0与题设矛盾)，∴平行四边形OZ1ZZ2为菱形． 又|z1＋z2|＝，∴∠Z1OZ2＝90°，即四边形OZ1ZZ2为正方形，故|z1－z2|＝. 【对点练清】 1．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)满足|z－4i|＝|z＋2|，则2x＋4y的最小值为 (　　) A．2 B．4 C．4 D．16 解析：选C　由|z－4i|＝|z＋2|，得|x＋(y－4)i|＝|x＋2＋yi|， ∴x2＋(y－4)2＝(x＋2)2＋y2，即x＋2y＝3， ∴2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2＝4， 当且仅当x＝2y＝时，2x＋4y取得最小值4. 2．已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|. 解：法一：设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)， ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，① (a－c)2＋(b－d)2＝1.② 由①②得2ac＋2bd＝1. ∴|z1＋z2|＝＝ ＝. 法二：设O为坐标原点，z1，z2，z1＋z2对应的点分别为A，B，C. ∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1， ∴△OAB是边长为1的正三角形， ∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，∴|z1＋z2|＝|OC|＝＝. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i，则z1－z2在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选D　∵z1－z2＝5－7i，∴z1－z2在复平面内对应的点位于第四象 限． 2.已知复数z对应的向量如图所示，则复数z＋1所对应的向量正确的是(　　) 解析：选A　由图可知z＝－2＋i，所以z＋1＝－1＋i，则复数z＋1所对应的向量的坐标为(－1,1)．故选A. 3．在复平面内，O是坐标原点，，，表示的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，则表示的复数为 (　　) A．2＋8i　 　 B．4－4i　 　 C．6－6i　 　 D．－4＋2i 解析：选B　＝－＝－(＋)＝4－4i. 4．已知z1，z2∈C，|z1＋z2|＝2，|z1|＝2，|z2|＝2，则|z1－z2|等于 (　　) A．1 B． C．2 D．2 解析：选D　由复数加法、减法的几何意义知，在复平面内，以z1，z2所对应的向量为邻边的平行四边形为正方形，所以|z1－z2|＝2.故选D. 5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和z1＋z2为实数，差z1－z2为纯虚数，则(　　) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4 C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 解析：选A　因为z1＋z2＝(a－3)＋(4＋b)i为实数，所以4＋b＝0，b＝－4.因为z1－z2＝(a＋4i)－(－3＋bi)＝(a＋3)＋(4－b)i为纯虚数，所以a＝－3且b≠4.故a＝－3，b＝－4. 6．计算|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝________. 解析：|(3－i)＋(－1＋2i)－(－1－3i)|＝|(2＋i)－(－1－3i)|＝|3＋4i|＝＝5. 答案：5 7．已知x∈R，y∈R，(xi＋x)＋(yi＋4)＝(y－i)－(1－3xi)，则x＝________，y＝________. 解析：由已知得，x＋4＋(x＋y)i＝(y－1)＋(3x－1)i， ∴解得 答案：6　11 8．计算：(1)(1＋2i)＋(－2＋i)＋(－2－i)＋(1－2i)； (2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)． 解：(1)原式＝(－1＋3i)＋(－2－i)＋(1－2i) ＝(－3＋2i)＋(1－2i)＝－2. (2)原式＝(－1＋i)＋ ＋(1＋i) ＝－1＋i＋1＋1＋i＝1＋2i. 层级(二)　能力提升练 1．若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，则a的值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 解析：选D　z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.∵在复平面内z1＋z2所对应的点在实轴上，∴1＋a＝0， ∴a＝－1.故选D. 2．在复平面上，复数－3－2i，－4＋5i,2＋i，z分别对应点A，B，C，D，且四边形ABCD为平行四边形，则z＝________. 解析：由题意知＝，所以2＋i－z＝(－4＋5i)－(－3－2i)，所以z＝3－6i. 答案：3－6i 3．在平行四边形OABC中，各顶点对应的复数分别为zO＝0，zA＝2＋i，zB＝－2a＋3i，zC＝－b＋ai，a，b∈R，则a－b＝________. 解析：因为＋＝，所以2＋i＋(－b＋ai)＝－2a＋3i，所以解得故a－b＝－4. 答案：－4 4．复平面内有A，B，C三点，点A对应的复数是2＋i，向量对应的复数是1＋2i，向量对应的复数是3－i，求C点在复平面内的坐标． 解：∵＝－，∴对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i.设C(x，y)，则(x＋yi)－(2＋i)＝2－3i， ∴x＋yi＝(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i， 故x＝4，y＝－2.∴C点在复平面内的坐标为(4，－2)． 5．已知|z|＝2，求|z＋1＋i|的最大值和最小值． 解：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则由|z|＝2知x2＋y2＝4， 故z对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上， 又|z＋1＋i|表示点(x，y)到点(－1，－)的距离． 又因为点(－1，－)在圆x2＋y2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z＋1＋i|的最大值和最小值分别为4和0. 层级(三)　素养培优练 1．A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，则△OAB一定是 (　　) A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 解析：选C　因为|z1＋z2|＝|z1－z2|，所以|＋|＝|－|，所以|＋|2＝|－|2，因此·＝0，所以⊥，即△OAB一定是直角三角形． 2．已知复平面内的点A，B对应的复数分别是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，设对应的复数是z. (1)求复数z； (2)若复数z对应的点P在直线y＝x上，求θ的值． 解：(1)∵点A，B对应的复数分别是 z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ， ∴点A，B的坐标分别是A(sin2θ，1)，B(－cos2θ，cos 2θ)， ∴＝(－cos2θ，cos 2θ)－(sin2θ，1) ＝(－cos2θ－sin2θ，cos 2θ－1)＝(－1，－2sin2θ)， ∴对应的复数z＝－1＋(－2sin2θ)i. (2)由(1)知点P的坐标是(－1，－2sin2θ)， 代入y＝x，得－2sin2θ＝－， 即sin2θ＝，∴sin θ＝±. 又∵θ∈(0，π)，∴sin θ＝，∴θ＝或. 1 学科网（北京）股份有限公司 $