7.1.2 复数的几何意义 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第七章 | 复数 7.1 复数的概念 7.1.2 复数的几何意义 明确目标 发展素养 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数． 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题. 1.通过学习复平面及复数的几何意义，提升直观想象、逻辑推理素养． 2.通过研究复数模与向量模的关系，增强直观想象素养. 知识点一　复平面与复数的几何意义 (一)教材梳理填空 1．复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做 ，x轴叫做 ，y轴叫做 实轴上的点都表 ；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2. 复数的几何意义： (二)基本知能小试 1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A．(0，－1)　　　　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为 (　　) A．0 B．－5 C．－5i D．5 知识点二　复数的模与共轭复数 (一)教材梳理填空 1．复数的模： (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． (2)记法：记作 或 ，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于 (a的绝对值)． 2．共轭复数： (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为 时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做 (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝ (二)基本知能小试 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 2．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z＝________. 3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________. 题型一　复数与复平面内点的关系 【学透用活】 [典例1]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． 【对点练清】 1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值． 2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． 题型二　复数与复平面内向量的关系 【学透用活】 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． [典例2]　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是 (　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 (　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i 【对点练清】 1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________． 2．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点． (1)求向量 ＋， 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． 题型三　共轭复数 【学透用活】 [典例3]　已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值． 【对点练清】 1．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 题型四　与复数模有关的问题 【学透用活】 [典例4]　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？ 【对点练清】 1．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝ (　　) A．1＋2i　　　　　　　　 B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i 2．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是 (　　) A．(－2，2) B．(－2,2) C．(－1,1) D．(－，) 课时跟踪检测 　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是 (　　) A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 (　　) A．(1，)　　　　　　　 B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为 (　　) A．8－3i B．－8－3i C．3＋8i D．－8＋3i 4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为 (　　) A．－1＋i B．1－i C．－5－5i D．5＋5i 5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是(　　) A．复数z的虚部为i B．|z|＝ C．复数z的共轭复数＝1－i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________. 7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝________.(写出一个即可) 8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限； (2)位于x轴负半轴上； (3)位于上半平面(含实轴)． 层级(二)　能力提升练 1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝ (　　) A．1＋i B．2 C．(－1，) D．－1＋i 2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________． 3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限． 4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离． 5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 层级(三)　素养培优练 设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为. (1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||； (2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 | 复数 7.1 复数的概念 7.1.2 复数的几何意义 明确目标 发展素养 1.了解复平面的概念，理解复数、复平面内的点、复平面内的向量之间的对应关系． 2.理解共轭复数的概念，并会求共轭复数． 3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法，会求复数的模，并能解决相关的问题. 1.通过学习复平面及复数的几何意义，提升直观想象、逻辑推理素养． 2.通过研究复数模与向量模的关系，增强直观想象素养. 知识点一　复平面与复数的几何意义 (一)教材梳理填空 1．复平面： 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数． 2. 复数的几何意义： (二)基本知能小试 1．已知复数z＝－i，复平面内对应点Z的坐标为 (　　) A．(0，－1)　　　　　　　　　 B．(－1,0) C．(0,0) D．(－1，－1) 答案：A 2．在复平面内，若＝(0，－5)，则对应的复数为 (　　) A．0 B．－5 C．－5i D．5 答案：C 知识点二　复数的模与共轭复数 (一)教材梳理填空 1．复数的模： (1)定义：向量的模叫做复数z＝a＋bi的模或绝对值． (2)记法：记作|z|或|a＋bi|，即|z|＝|a＋bi|＝，其中a，b∈R. 如果b＝0，那么z＝a＋bi是一个实数a，它的模就等于|a|(a的绝对值)． 2．共轭复数： (1)定义：一般地，当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数．虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数． (2)表示方法：复数z的共轭复数用表示，即如果z＝a＋bi，那么＝a－bi. (二)基本知能小试 1．(2024·新课标Ⅱ卷)已知z＝－1－i，则|z|＝(　　) A．0 B．1 C. D．2 解析：选C 由z＝－1－i，得|z|＝＝. 2．已知复数z对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－，则z＝________. 答案：－＋2i 3．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x＝______，y＝________. 答案：－1　1 题型一　复数与复平面内点的关系 【学透用活】 [典例1]　求实数a分别取何值时，复数z＝＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件： (1)在复平面的第二象限内； (2)在复平面内的x轴上方． [解]　(1)由点Z在复平面的第二象限内， 可得解得a＜－3. (2)由点Z在复平面内的x轴上方， 可得 即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3. 【对点练清】 1．[变设问]若本例中条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值． 解：因为点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0， 解得a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上． 2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值． 解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上， 所以＋a2－2a－15＋7＝0， 即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0， 解得a＝－2或a＝±.所以a＝－2或a＝±时， 点Z在直线x＋y＋7＝0上． 题型二　复数与复平面内向量的关系 【学透用活】 (1)根据复数与平面向量的对应关系，可知当平面向量的起点为原点时，向量的终点对应的复数即为向量对应的复数．反之，复数对应的点确定后，从原点引出的指向该点的有向线段，即为复数对应的向量． (2)解决复数与平面向量一一对应的题目时，一般以复数与复平面内的点一一对应为工具，实现复数、复平面内的点、向量之间的转化． [典例2]　(1)向量对应的复数是5－4i，向量对应的复数是－5＋4i，则＋对应的复数是 (　　) A．－10＋8i　　　　　　　 B．10－8i C．0 D．10＋8i (2)设O是原点，向量，对应的复数分别为2－3i，－3＋2i，那么向量对应的复数是 (　　) A．－5＋5i B．－5－5i C．5＋5i D．5－5i [解析]　(1)由复数的几何意义，得＝(5，－4)，＝(－5,4)，所以＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以＋对应的复数为0. (2)由复数的几何意义，得＝(2，－3)，＝(－3,2)，＝－＝(2，－3)－(－3,2)＝(5，－5)． 所以对应的复数是5－5i. [答案]　(1)C　(2)D 【对点练清】 1．已知复数z1＝－1＋2i，z2＝1－i，z3＝3－2i，它们所对应的点分别是A，B，C，若＝x＋y (x，y∈R)，则x＋y 的值是________． 解析：由复数的几何意义可知，＝x＋y， 即3－2i＝x(－1＋2i)＋y(1－i)， ∴3－2i＝(y－x)＋(2x－y)i. 由复数相等可得解得∴x＋y＝5. 答案：5 2．在复平面内，点A，B，C对应的复数分别为1＋4i，－3i，2，O为复平面的坐标原点． (1)求向量 ＋， 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD的顶点D对应的复数． 解：(1)由复数的几何意义，得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＋＝(1,4)＋(0，－3)＝(1,1)，＝－＝(2,0)－(1,4)＝(1，－4)，所以＋对应的复数是1＋i，对应的复数是1－4i. (2)法一：由已知得点A，B，C的坐标分别为(1,4)，(0，－3)，(2,0)，则AC的中点为，2，由平行四边形的性质知BD的中点也是，2，若设D(x0，y0)，则有解 得故D(3,7)． 法二：由已知得＝(1,4)，＝(0，－3)，＝(2,0)，所以＝(1,7)，＝(2,3)，由平行四边形的性质得＝＋＝(3,10)，而＝(0，－3)，于是D(3,7)． 题型三　共轭复数 【学透用活】 [典例3]　已知复数x2＋x－2＋(x2－3x＋2)i(x∈R)是4－20i的共轭复数，求x的值． [解]　由题意得，4－20i的共轭复数为4＋20i，则解得x＝－3，故x的值为－3. 【对点练清】 1．设z＝－3＋2i，则在复平面内对应的点位于 (　　) A．第一象限　　　　　　　 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 解析：选C　由已知可得，＝－3－2i，故对应的点(－3，－2)，位于第三象限． 2．已知x2＋x＋(y－1)i与2＋3i互为共轭复数，求实数x，y的值． 解：由题意，可得 解得x＝1或－2，y＝－2， 所以x的值为1或－2，y的值为－2. 题型四　与复数模有关的问题 【学透用活】 [典例4]　已知复数z1＝＋i，z2＝－＋i. (1)求|z1|及|z2|并比较大小； (2)设z∈C，满足条件|z|＝|z1|的复数z对应的点Z的轨迹是什么图形？ [解]　(1)|z1|＝|＋i|＝＝2， |z2|＝ ＝1，所以|z1|>|z2|. (2)法一：设z＝x＋yi(x，y∈R)，则点Z的坐标为(x，y)． 由|z|＝|z1|＝2得 ＝2，即x2＋y2＝4. 所以点Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 法二：由|z|＝|z1|＝2知||＝2(O为坐标原点)， 所以Z到原点的距离为2. 所以Z的轨迹是以原点为圆心，2为半径的圆． 【对点练清】 1．若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝，则复数z＝ (　　) A．1＋2i　　　　　　　　 B．－1－2i C．±1±2i D．1＋2i或－1－2i 解析：选D　依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)， 由|z|＝得 ＝，解得a＝±1， 故z＝1＋2i或z＝－1－2i. 2．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是 (　　) A．(－2，2) B．(－2,2) C．(－1,1) D．(－，) 解析：选D　因为|z|＜2，所以 ＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－＜a＜. 课时跟踪检测 　　　　　　　　　　　　　 层级(一)　“四基”落实练 1．(多选)设z＝(2m2＋2m－1)＋(m2－2m＋2)i(m∈R)，则下列结论中不正确的是 (　　) A．z在复平面内对应的点在第一象限 B．z一定不是纯虚数 C．z在复平面内对应的点在实轴上方 D．z一定是实数 解析：选ABD　2m2＋2m－1＝2m＋2－，m2－2m＋2＝(m－1)2＋1>0，则z在复平面内对应的点一定在实轴上方．A、B、D均不正确． 2．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是 (　　) A．(1，)　　　　　　　 B．(1，) C．(1,3) D．(1,5) 解析：选B　|z|＝，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，)．故选B. 3．在复平面内，O为原点，向量对应的复数为8＋3i，与关于x轴对称，则点B对应的复数为 (　　) A．8－3i B．－8－3i C．3＋8i D．－8＋3i 解析：选A　关于x轴对称的复数是共轭复数，其实部相同，虚部互为相反数． 4．设O为原点，向量，对应的复数分别为2＋3i，－3－2i，那么向量对应的复数为 (　　) A．－1＋i B．1－i C．－5－5i D．5＋5i 解析：选D　由已知可得＝(2,3)，＝(－3，－2)，所以＝－＝(2,3)－(－3，－2)＝(5,5)，所以对应的复数为5＋5i.故选D. 5．(多选)已知复数z＝1＋i(其中i为虚数单位)，则以下说法正确的是(　　) A．复数z的虚部为i B．|z|＝ C．复数z的共轭复数＝1－i D．复数z在复平面内对应的点在第一象限 解析：选BCD　因为复数z＝1＋i，所以其虚部为1，故A错误；|z|＝＝，故B正确；复数z的共轭复数＝1－i，故C正确；复数z在复平面内对应的点为(1,1)，显然位于第一象限，故D正确．故选B，C，D. 6．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为，则a＝______，复数z的共轭复数＝________. 解析：∵＝，且a＞0， ∴a＝1，则z＝1－i，∴＝1＋i. 答案：1　1＋i 7．若复数z在复平面内对应的点位于第二象限，且|z|＝2，则z＝________.(写出一个即可) 解析：设z＝a＋bi，a，b∈R，因为复数z在复平面内对应的点在第二象限，所以a<0，b>0.又因为|z|＝2，所以a2＋b2＝4.显然当a＝－1，b＝时，符合题意． 答案：－1＋i 8．当实数m为何值时，复数z＝(m2－8m＋15)＋(m2＋3m－28)i在复平面内的对应点： (1)位于第四象限； (2)位于x轴负半轴上； (3)位于上半平面(含实轴)． 解：(1)若点位于第四象限，则 ∴∴－7<m<3. (2)若点位于x轴负半轴上，则 ∴∴m＝4. (3)若点位于上半平面(含实轴)， 则m2＋3m－28≥0，解得m≥4或m≤－7. 层级(二)　能力提升练 1．已知复数z对应的向量为 (O为坐标原点)，与实轴正向的夹角为120°，且复数z的模为2，则复数z＝ (　　) A．1＋i B．2 C．(－1，) D．－1＋i 解析：选D　设复数z对应的点为(x，y)， 则x＝|z|·cos 120°＝2×－＝－1， y＝|z|·sin 120°＝2×＝， 所以复数z对应的点为(－1，)，所以z＝－1＋i. 2．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2i的点在直线y＝x 上，则实数m的值为________． 解析：∵z＝(m－3)＋2i表示的点在直线y＝x上， ∴m－3＝2，解得m＝9. 答案：9 3．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2，|z2|＝，则z2＝__________，复数z2在复平面内对应的点在第________象限． 解析：设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，解得或所以z2＝5＋4i或＋i，显然复数z2对应的点在第一象限． 答案：5＋4i或＋i　一 4．在复平面内，复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，求向量＋与对应的复数及A，B两点之间的距离． 解：因为复数－3－i与5＋i对应的向量分别是与，其中O是原点，所以＝(－3，－1)，＝(5,1)， 所以＋＝(－3，－1)＋(5,1)＝(2,0)， 所以向量＋对应的复数是2. 又＝－＝(－3，－1)－(5,1)＝(－8，－2)， 所以对应的复数是－8－2i，A，B两点之间的距离 ||＝＝2. 5．在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模：z1＝1－i；z2＝－＋i；z3＝－2；z4＝2＋2i. 解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)， Z2－，，Z3(－2,0)，Z4(2,2)， 则向量 ，，，分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示． 各复数的模分别为： |z1|＝＝； |z2|＝ ＝1； |z3|＝＝2；|z4|＝＝2. 层级(三)　素养培优练 设复数z＝log2(m2－3m－3)＋ilog2(m－2)，m∈R对应的向量为. (1)若的终点Z在虚轴上，求实数m的值及||； (2)若的终点Z在第二象限内，求m的取值范围． 解：(1)因为的终点Z在虚轴上，所以复数Z的实部为0， 则有log2(m2－3m－3)＝0， 所以m2－3m－3＝1，所以m＝4或m＝－1. 因为所以m＝4， 此时z＝i，＝(0,1)，||＝1. (2)因为的终点Z在第二象限内，则有所以m∈ . 学科网（北京）股份有限公司 $