7.1.1 数系的扩充和复数的概念 讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 明确目标 发展素养 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数． 2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用. 1.通过对复数的概念的理解，提高数学抽象素养． 2.通过对复数的认识，提升逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　复数的概念 (一)教材梳理填空 1．复数的定义及表示方法： (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做 ，满足i2＝－1.其中a叫做复数的 ，b叫做复数的 (2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi. 2．复数集： (1)定义： 构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 3．复数相等： 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当 且 . [微思考]　若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？ 提示：由复数相等的性质知a＝b＝0. (二)基本知能小试 1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 (　　) ①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i. A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 (　　) A．3－i B．3＋i C．－1＋4i D．1＋3i 3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________. 知识点二　复数的分类 (一)教材梳理填空 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2) 集合表示： [微思考]　虚数为什么不能比较大小？ (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)复数z＝bi是纯虚数． ( ) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． ( ) (3)实数集和虚数集的交集不是空集． ( ) 2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________. 题型一　复数的有关概念 【学透用活】 [典例1]　(多选)下列说法中错误的是(　　) A．复数2＋3i的虚部是3 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 【对点练清】 下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 题型二　复数的分类 【学透用活】 [典例2]　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)是虚数；(2)是纯虚数． 【对点练清】 1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 2．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z>0? 题型三　复数相等及应用 【学透用活】 (1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数． (2)运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错． [典例3]　(1)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A．4或0　　　　　　　　　 B．－4或0 C．2或0 D．－2或0 (2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________． 【对点练清】 1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________． 2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 (　　) A．3－3i　　　　　　　 B．3＋i C．－＋i D.＋i 2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　) A．A∪B＝C B．A＝B C．A∩(∁SB)＝∅ D．(∁SA)∪(∁SB)＝C 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 (　　) A. B．或π C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 (　　) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________. 7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________． 8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？ (1)z是实数； (2)z是纯虚数． 层级(二)　能力提升练 1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 (　　) A．4 B．－1 C．－1或4 D．－1或6 3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________． 4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围． 层级(三)　素养培优练 若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？ 学科网（北京）股份有限公司 $ 7.1 复数的概念 7.1.1 数系的扩充和复数的概念 明确目标 发展素养 1.在问题情境中了解数系的扩充过程，通过方程的解认识复数． 2.理解复数的代数表示，掌握两个复数相等的充要条件及应用. 1.通过对复数的概念的理解，提高数学抽象素养． 2.通过对复数的认识，提升逻辑推理和数学运算素养. 知识点一　复数的概念 (一)教材梳理填空 1．复数的定义及表示方法： (1)定义：形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1.其中a叫做复数的实部，b叫做复数的虚部． (2)表示方法：复数通常用字母表示，即z＝a＋bi. 2．复数集： (1)定义：全体复数构成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做复数集． (2)表示：通常用大写字母C表示． 3．复数相等： 在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中任取两个数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi与c＋di相等当且仅当a＝c且b＝d. [微思考]　若a＋bi＝0(a，b∈R)，则a与b的关系是什么？ 提示：由复数相等的性质知a＝b＝0. (二)基本知能小试 1．已知复数z＝1＋i，则下列结论中正确的个数是 (　　) ①z的实部为1；②z>0；③z的虚部为i. A．1　　　　　　　　　　 B．2 C．3 D．0 答案：A 2．若复数z的实部和虚部之和为3，则复数z可以是 (　　) A．3－i B．3＋i C．－1＋4i D．1＋3i 答案：C 3．若a－2i＝bi＋1，a，b∈R，则a2＋b2＝________. 答案：5 知识点二　复数的分类 (一)教材梳理填空 (1)复数a＋bi(a，b∈R) (2) 集合表示： [微思考]　虚数为什么不能比较大小？ 提示：引入虚数单位i后，规定i2＝－1，但i与0的大小关系不能确定．理由如下： 若i>0，则2i>i，两边同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，与实数系中的数的大小规定相矛盾； 若i<0，则－2<－1，得－2i>－i，所以－2i·i<－i·i，即2<1，与实数系中数的大小规定也是矛盾的，故虚数不能比较大小，只有相等与不相等之分． (二)基本知能小试 1．判断正误： (1)复数z＝bi是纯虚数． (×) (2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (√) (3)实数集和虚数集的交集不是空集． (×) 2．若复数z＝(x2－1)＋(x－1)i为纯虚数，则x的值为(　　) A．－1 B．0 C．1 D．－1或1 答案：A 3．已知复数z＝m＋(m2－1)i(m∈R)满足z<0，则m＝________. 答案：－1 题型一　复数的有关概念 【学透用活】 [典例1]　(多选)下列说法中错误的是(　　) A．复数2＋3i的虚部是3 B．形如a＋bi(b∈R)的数一定是虚数 C．若a∈R，a≠0，则(a＋3)i是纯虚数 D．若两个复数能够比较大小，则它们都是实数 [解析]　复数2＋3i的虚部是3，A正确；形如a＋bi(b∈R)的数不一定是虚数，B错误；只有当a∈R，a＋3≠0时，(a＋3)i是纯虚数，C错误；若两个复数能够比较大小，则它们都是实数，D正确，故选B，C. [答案]　BC　 【对点练清】 下列说法中正确的是(　　) A．复数由实数、虚数、纯虚数构成 B．若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有x≠0 C．在复数z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，则复数z一定不是纯虚数 D．若a，b∈R且a＞b，则a＋i＞b＋i 解析：选C　选项A错误，复数由实数与虚数构成，在虚数中又分为纯虚数和非纯虚数；选项B错误，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是虚数，则必有y≠0，但可以x＝0；选项C正确，若复数z＝x＋yi(x，y∈R)是纯虚数，必有x＝0，y≠0，因此只要x≠0，复数z一定不是纯虚数；选项D错误，当a，b∈R时，a＋i与b＋i都是虚数，不能比较大小． 题型二　复数的分类 【学透用活】 [典例2]　当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)是虚数；(2)是纯虚数． [解]　(1)当 即m≠5且m≠－3时，z是虚数． (2)当 即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数． 【对点练清】 1．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z为实数？ 解：由解得m＝5. 即m＝5时，z是实数． 2．[变设问]若本例中条件不变，当m为何值时，z>0? 解：因为z>0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 题型三　复数相等及应用 【学透用活】 (1)复数相等的充要条件是“化虚为实”的主要依据，多用来求解参数． (2)运用复数相等的充要条件a＋bi＝c＋di⇔时，应注意前提条件a，b，c，d∈R，否则易出错． [典例3]　(1)若z1＝－3－4i，z2＝(n2－3m－1)＋(n2－m－6)i(m，n∈R)，且z1＝z2，则m＋n＝(　　) A．4或0　　　　　　　　　 B．－4或0 C．2或0 D．－2或0 (2)若log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1，则实数x的值是________． [解析]　(1)由z1＝z2，得n2－3m－1＝－3且n2－m－6＝－4，解得m＝2，n＝±2，所以m＋n＝4或0，故选A. (2)因为log2(x2－3x－2)＋ilog2(x2＋2x＋1)>1， 所以 即解得x＝－2. [答案]　(1)A　(2)－2 【对点练清】 1．已知x2－y2＋2xyi＝2i，则实数x，y的值分别为________． 解析：∵x2－y2＋2xyi＝2i，∴ 解得或 答案：或 2．已知A＝{1,2，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i}，B＝{－1,3}，A∩B＝{3}，则实数a＝________. 解析：由题意知，a2－3a－1＋(a2－5a－6)i＝3(a∈R)， ∴解得 ∴a＝－1，故实数a的值为－1. 答案：－1 课时跟踪检测 层级(一)　“四基”落实练 1．以3i－的虚部为实部，以3i2＋i的实部为虚部的复数是 (　　) A．3－3i　　　　　　　 B．3＋i C．－＋i D.＋i 解析：选A　3i－的虚部为3,3i2＋i＝－3＋i的实部为－3，故选A. 2．若a，b∈R，i是虚数单位，且b＋(a－2)i＝1＋i，则a＋b的值为 (　　) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：选D　由b＋(a－2)i＝1＋i，得b＝1，a＝3，所以a＋b＝4. 3．设集合A＝{实数}，B＝{纯虚数}，C＝{复数}，若全集S＝C，则下列结论正确的是(　　) A．A∪B＝C B．A＝B C．A∩(∁SB)＝∅ D．(∁SA)∪(∁SB)＝C 解析：选D　集合A，B，C的关系如图所示，可知只有(∁SA)∪(∁SB)＝ C正确．故选D. 4．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为 (　　) A. B．或π C．2kπ＋(k∈Z) D．kπ＋(k∈Z) 解析：选D　由复数相等定义得 ∴tan θ＝1，∴θ＝kπ＋(k∈Z)． 5．若复数(a2－a－2)＋(|a－1|－1)i(a∈R)不是纯虚数，则 (　　) A．a＝－1 B．a≠－1且a≠2 C．a≠－1 D．a≠2 解析：选C　由题意得a2－a－2≠0或解得a≠－1. 6．如果x－1＋yi与i－3x为相等复数，x，y为实数，则x＝________，y＝________. 解析：由复数相等可知，解得 答案：　1 7．若(m2－1)＋(m2－2m)i＞1，则实数m的值为________． 解析：由题意得解得m＝2. 答案：2 8．设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i(m∈R)，试求 m取何值时？ (1)z是实数； (2)z是纯虚数． 解：(1)由m2＋3m＋2＝0且m2－2m－2>0，解得m＝－1或m＝－2，故当m＝－1或m＝－2时，复数z是实数． (2)当实部等于零且虚部不等于零时，复数表示纯虚数． 由lg(m2－2m－2)＝0，且m2＋3m＋2≠0，解得m＝3，故当m＝3时，复数z是纯虚数． 层级(二)　能力提升练 1．“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的 (　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析：选B　因为1－a＋a2＝a－2＋>0，所以若复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数，则4－a2＝0，即a＝±2.所以“复数4－a2＋(1－a＋a2)i(a∈R)是纯虚数”是“a＝－2”的必要不充分条件． 2．已知集合M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，且M∩N＝{3}，则实数m的值为 (　　) A．4 B．－1 C．－1或4 D．－1或6 解析：选B　由于M∩N＝{3}，故3∈M，必有m2－3m－1＋(m2－5m－6)i＝3，所以m2－3m－1＝3，m2－5m－6＝0，解得m＝－1. 3．已知复数z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为________． 解析：由题意知cos α＋cos 2α＝0，∴2cos2α＋cos α－1＝0， ∴cos α＝－1或cos α＝.∵0<α<2π，∴α＝π，，， ∴α的取值集合为. 答案： 4．已知复数z1＝m＋(4－m2)i(m∈R)，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(λ，θ∈R)，并且z1＝z2，求λ的取值范围． 解：由z1＝z2得消去m得λ＝4sin2θ－3sin θ＝42－.由于－1≤sin θ≤1，故－≤λ≤7.即λ的取值范围为. 层级(三)　素养培优练 若m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？ 解：当z1∈R时，m3＋3m2＋2m＝0，m＝0，－1，－2，z1＝1或2或5.当z2∈R时，m3－5m2＋4m＝0，m＝0,1,4，z2＝2或6或18.上面m的公共值为m＝0，此时z1与z2同时为实数，且z1＝1，z2＝2.所以使z1>z2的m值的集合为空集． 学科网（北京）股份有限公司 $