7.1.1 数系的扩充和复数的概念-【金版新学案】2025-2026学年高中数学必修第二册同步课堂高效讲义教师用书word（人教A版）

本讲义聚焦高中数学复数的概念，系统梳理数系从实数系到复数系的扩充过程，通过方程x²+1=0无解问题引入虚数单位i，构建复数代数形式z=a+bi（a,b∈R），明确实部虚部概念，区分实数、虚数、纯虚数分类标准及复数相等充要条件，为后续复数运算奠定基础。 该资料以问题驱动学习，通过“方程无解—引入新数—定义复数”逻辑链培养数学抽象，结合例题变式训练（如复数分类、相等条件应用）提升数学运算与逻辑推理素养。课中助教师引导概念构建，课后通过对点练和综合练习帮助学生巩固知识，查漏补缺。

单元学习五　复数的概念 [单元整体设计]　复数是一种重要的运算对象，有广泛的应用.本章通过解方程等具体问题，感受引入复数的必要性，了解从实数系到复数系的扩充过程和方法；掌握复数的表示、运算及其几何意义，感受人类理性思维在数系扩充过程中的作用.本章特别注重复数表示和运算的几何意义，强调形与数的融合.通过本章学习，提升数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养.基于此，本章共分两个单元整体设计：复数的概念，复数的运算，学习计划5课时(含章末). 本单元内容是整章的基础知识，具有奠基性作用，主要学习复数的扩充过程，复数的相关概念，复数的代数形式及其几何意义.其中复数的引入是数学的又一次扩充，也是中学阶段数学的最后一次扩充.学习计划2课时. 本单元内容重点是复数的概念、代数形式和几何意义.难点是复数的扩充过程和向量表示.在研究的过程中，提升数学抽象、直观想象、数学运算和逻辑推理的核心素养. 7.1　复数的概念 7.1.1　数系的扩充和复数的概念 学习目标 1.了解引进虚数单位i的必要性，了解数系的扩充过程. 2.理解在数系的扩充中由实数集扩展到复数集出现的一些基本概念. 3.掌握复数代数形式的表示方法，理解复数相等的充要条件，培养数学抽象及数学运算的核心素养. 任务一　复数的有关概念 (阅读教材P68—69，完成问题1、2) 问题1.正实数的平方根有两个，0的平方根是0，负实数有平方根吗？ 提示：在实数范围内，负实数无平方根. 问题2.我们知道，方程x2＋1＝0在实数集中无解，联系从自然数集到实数集的扩充过程，你能给出一种方法，适当扩充实数集，使这个方程有解吗？ 提示：为了解决x2＋1＝0这样的方程在实数集中无解的问题，我们设想引入一个新数i，使得x＝i是方程x2＋1＝0的解，即使得i2＝－1. 1.复数 定义 形如a＋bi(a，b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1 表示 方法 复数通常用字母z表示，代数形式为z＝a＋bi(a，b∈R)，其中的a与b分别叫做复数z的实部与虚部 2.复数集 定义 全体复数构成的集合C＝{a＋bi｜a，b∈R}叫做复数集 表示方法 通常用大写字母C表示 [微提醒]　(1)i2＝－1.(2)i和实数之间能进行加法、乘法运算.(3)在z＝a＋bi中不作特殊说明时a，b∈R. 学生用书⬇第59页 (1)已知复数z＝－i，则z的虚部为(　　) A.1 B.i C.－1 D.－i (2)已知复数z＝2a＋1＋(a－2)i(其中i是虚数单位)的实部与虚部相等，则实数a等于(　　) A.－3 B.－2 C.2 D.3 答案：(1)C　(2)A 解析：(1)z＝－i＝0＋(－1)i，故z的虚部为－1.故选C. (2)由题意得2a＋1＝a－2，则a＝－3.故选A. 1.对于复数z＝a＋bi，只有当a，b∈R时，a才是z的实部，b才是z的虚部，且注意虚部不是bi，而是b. 2.不要将复数与虚数的概念混淆，实数也是复数，实数和虚数是复数的两大构成部分. 对点练1.已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是　　　　. 答案：±，5 解析：由题意知 解得a＝±，b＝5. 任务二　复数的分类 (阅读教材P69，完成问题3、4) 问题3.复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以是实数吗？需满足什么条件？ 提示：可以是实数，当b＝0时，z＝a＋bi(a，b∈R)为实数. 问题4.如何利用集合关系表示实数集R和复数集C？ 提示：R⫋C. 1.设复数z＝a＋bi(a，b∈R). (1)z为实数⇔b＝0， (2)z为虚数⇔b≠0， (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 2.复数分类的集合表示 [微提醒]　(1)两个虚数不能比较大小.(2)a＝0是复数z＝a＋bi(a，b∈R)为纯虚数的必要不充分条件. (链接教材P69例1)当m为何实数时，复数z＝＋(m2－2m－15)i是下列数？ (1)虚数；(2)纯虚数；(3)实数. 解：(1)当即m≠5且m≠－3时，z是虚数. (2)当即m＝3或m＝－2时，z是纯虚数. (3)当即m＝5时，z是实数. [变式探究] (变结论)若本例中条件不变，当m为何值时，z＞0. 解：因为z＞0，所以z为实数，需满足 解得m＝5. 复数分类问题的求解方法与步骤 第一步，化标准式：解题时一定要先看复数是否为a＋bi(a，b∈R)的形式，以确定实部和虚部. 第二步，定条件：复数的分类问题可以转化为复数的实部与虚部应该满足的条件问题，只需把复数化为代数形式，列出实部和虚部满足的方程(不等式)即可. 第三步，下结论：设所给复数为z＝a＋bi(a，b∈R)，则： (1)z为实数⇔b＝0； (2)z为虚数⇔b≠0； (3)z为纯虚数⇔a＝0且b≠0. 学生用书⬇第60页 对点练2.(1)若复数(a2－3a＋2)＋(a－1)i是纯虚数，则实数a的值为(　　 ) A.1 B.2 C.1或2 D.－1 (2)已知复数z＝＋(a2－1)i是实数，则实数a的值等于　　　　. 答案：(1)B　(2)－1 解析：(1)根据复数的分类知，需满足即a＝2.故选B. (2)因为复数z＝＋(a2－1)i是实数，且a为实数，则解得a＝－1. 任务三　复数相等 (阅读教材P69，完成问题5) 问题5.复数z＝a＋bi(a，b∈R)是由其实部a与虚部b唯一确定，若a＋bi＝1＋2i，那么a，b的值分别是什么？ 提示：a＝1，b＝2. 复数相等的充要条件 设a，b，c，d都是实数，则a＋bi＝c＋di⇔a＝c且b＝d.特别地，a＋bi＝0⇔a＝b＝0. (链接教材P70练习T3)求满足下列条件的实数x，y的值： (1)(3x－y)＋(x＋2)i＝x－yi； (2)xy－(x＋y)i＝－24＋5i. 解：(1)由题意得 (2)由题意得 解得 解决复数相等问题的基本步骤 第一步：等式两边整理为a＋bi(a，b∈R)的形式； 第二步：由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组； 第三步：解方程组，求出相应的参数. 对点练3.已知a2＋(m＋2i)a＋2＋mi＝0(a，m∈R)成立，则a＝　　　　. 答案：± 解析：因为a，m∈R，所以由a2＋am＋2＋(2a＋m)i＝0，可得 解得所以a＝±. 任务再现 (1)数系的扩充.(2)复数的概念.(3)复数的分类.(4)复数相等的充要条件 方法提炼 方程思想、定义法 易错警示 未化成z＝a＋bi(a，b∈R)的形式 1.若复数z满足z＝4－3i，则z的虚部是(　　) A.3 B.－3 C.3i D.－3i 答案：B 2.下列命题中真命题的个数是(　　) ①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数； ②若a，b∈R，且a＜b，则a＋i＜b＋i； ③实数集是复数集的真子集. A.0 B.1 C.2 D.3 答案：B 解析：对于①，若a＝－1，则(a＋1)i不是纯虚数，故①错误；对于②，虚数不能比较大小，故②错误；显然③正确.故选B. 3.若a，b∈R，i是虚数单位，a＋2 026i＝2－bi，则a2＋bi＝(　　) A.2 026＋2i B.2 026＋4i C.2＋2 026i D.4－2 026i 答案：D 解析：因为a＋2 026i＝2－bi，所以a＝2，－b＝2 026，即a＝2，b＝－2 026，所以a2＋bi＝4－2 026i.故选D. 4.已知C为复数集，R为实数集，设I为虚数集，M为纯虚数集，则下列式子中正确的有　　　　(填序号). ①I∪R＝C； ②I∪M＝M； ③I∩R＝⌀； ④R∩C＝R. 答案：①③④ 解析：I∪M＝I，故②错误. 学科网（北京）股份有限公司 $