精品解析：河南郑州市第六高级中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间：120分钟 分值：150分 ⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的． 1. 若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 3. 在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 5. 已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（ ） A. B. C. D. 6. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 7. 已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. ⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中， 有多项符合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于方程，下列说法正确的有（ ） A. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 B. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 C. 方程有可能表示等轴双曲线 D. 若方程表示双曲线，则或 10. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 11. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列是递增数列 D. 若，则的最小值为11 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分． 12. 已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 13. 已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________. 14. 已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 16. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）． （1）当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 17. 已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 18. 如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求的面积的取值范围． 19. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程？ （2）记数列的前项和为．当时，求； （3）若，求所有可能的取值集合． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期高二年级期末试题 数学学科 考试时间：120分钟 分值：150分 ⼀、单项选择题：本题共8⼩题，每⼩题5分，共40分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的． 1. 若经过，两点的直线的斜率是2，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意知，整理得，解得. 2. 已知点是点在坐标平面内的射影，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据空间直角坐标系，可得点在坐标平面内的射影为， 所以点，可得，所以. 3. 在等差数列中，为其前项和，若，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列前项和的性质可知，，也成等差数列，结合等差中项求解即可. 【详解】在等差数列中，，，仍成等差数列， 所以，，成等差数列. 所以，即， 解得. 4. 抛物线上一点到焦点的距离，则点的坐标是（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线的焦半径公式即可求解. 【详解】设， 焦点，故，故， 则，故， 因此或. 5. 已知是边长为的等边三角形，取各边的中点，作第2个三角形，然后再取各边的中点，作第3个三角形，如果这个作图过程可以一直继续下去，那么所有这些三角形的面积之和将趋近于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意得到所有这些三角形的面积可构成等比数列，结合等比数列的前项和公式求解即可. 【详解】设等边三角形的边长为，则面积为：. . 每次取各边中点作新三角形，新三角形为等边三角形，边长为原三角形的，则面积为原三角形的. 所以所有这些三角形的面积构成的数列为首项为，公比为的等比数列， 设所有这些三角形的面积之和为，则. 因为，所以当时，，则， 所以所有这些三角形的面积之和将趋近于. 6. 在平行六面体中，，，，是的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】 ， ，，， , ． 7. 已知圆，直线，当直线被圆截得的弦最小时，若圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线所过的定点与圆的位置，结合圆的几何意义、点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】 ，所以该直线恒过定点， 因为， 所以定点在该圆的内部， 圆的圆心为，半径为， 当直线与直线垂直时， 直线被圆截得的弦最小， 则有， 由， 所以，即， 化简为：. 因为圆心到直线的距离为， 因为，， 所以圆上的点到直线的距离为，这样的点的个数为. 8. 在棱长为4的正方体中，在棱上，，均在棱上，，，底面内有一动点满足，侧面内有一动点满足，点是棱上一动点，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用解析几何知识可得点的轨迹是圆，点的轨迹是椭圆，它们到直线上的点的最小距离正好是直线上同一个点，则问题即可求解. 【详解】 如图建立空间直角坐标系，结合已知条件可得： ，，，， ，设在底面， 由，平方得：  整理配方得：， 即点的轨迹是圆心为，半径的圆在底面内的部分， 因为直线在底面的方程是，到直线的距离为，要最小化距离， 则取的最大坐标：， 所以到的最小距离为，且垂足为， 又由已知得，，在侧面，满足， 由椭圆定义可知： ，，得，，， 所以点的轨迹是椭圆，且椭圆的中心为，长轴沿方向，短轴沿方向， 在侧面的方程是，到的距离为，的最小值为， 对应，到的垂足也为， 两个垂足重合于， 因此最小值为： . ⼆、多项选择题：本题共3⼩题，每⼩题6分，共18分．在每⼩题给出的选项中， 有多项符合题⽬要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 关于方程，下列说法正确的有（ ） A. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 B. 若，它表示焦点在轴上的双曲线 C. 方程有可能表示等轴双曲线 D. 若方程表示双曲线，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题意，结合双曲线的标准方程及双曲线的性质，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以A正确； 对于B，若，可得方程，表示焦点在轴上的双曲线，所以B正确； 对于C，若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解； 若方程表示焦点在轴上的等轴双曲线，则，无解， 综上可得，不存在实数使得方程表示等轴双曲线，所以C错误； 对于D，若方程表示双曲线，则满足， 解得或，所以D正确. 10. 把正方形纸片沿对角线折成直二面角，，分别为，的中点，是原正方形的中心，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 与平面所成角的正弦值为 D. 若原正方形的边长为，则三棱锥的外接球表面积为 【答案】CD 【解析】 【分析】由题意可得两两互相垂直，以此建系，由空间向量的坐标运算结合法向量，求解即可. 【详解】连接，由题意得，， 因为是直二面角，且平面平面, 所以平面，因为平面，所以， 所以两两互相垂直， 以为轴正方向建立空间直角坐标系，如图： 不妨设正方形边长为2，则， 则， 因为为中点，则，即， 因为为中点，则，即， 对于A，， 则， 因为， 则， 解得，则，故A错误； 对于B，，则，故B错误； 对于C，易得平面的法向量为，与平面所成角为， 则，故C正确； 对于D，因为点到点的距离都是， 所以三棱锥的外接球半径为， 所以三棱锥的外接球表面积为，故D正确. 11. 已知数列的首项，且满足，下列说法正确的是（ ） A. B. 数列为等比数列 C. 数列是递增数列 D. 若，则的最小值为11 【答案】BC 【解析】 【分析】对递推公式取倒数，进行变形即可判断出选项B；根据等比数列的通项公式求出，即可判断选项A；对通项公式分离常数，结合复合函数单调性的判断方法即可判断出选项C；解不等式即可判断出选项D. 【详解】由可得，，则. 所以是以为首项，为公比的等比数列，故B正确. 所以，即， 所以数列的通项公式为. 所以，故A错误. 因为，当增大时，增大，减小，增大， 所以是递增数列，故C正确. 若，则，即，整理得， 因为，，， 所以，解得，所以的最小值为12，故D错误. 三、填空题：本题共3⼩题，每⼩题5分，共15分． 12. 已知两点，，则线段的垂直平分线的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用垂直平分线的性质求出直线的斜率和直线上的点，进而利用点斜式求解． 【详解】线段的垂直平分线，垂直于直线，且过直线的中点， 设的中点为，则， 设直线的斜率为，则，解得， 直线方程为，一般形式为． 13. 已知两点、，直线、相交于点，且这两条直线的斜率之积为，则点的轨迹方程为________. 【答案】 【解析】 【分析】设点，利用斜率公式结合题中条件得出等式，化简即可. 【详解】设点，由直线、的斜率之积为， 整理得，即， 因此，点的轨迹方程为. 故答案为：. 【点睛】本题考查动点轨迹方程的求解，在涉及几何要素的关系时，一般设动点坐标为，根据题中条件列等式，化简计算即可得解，但同时要注意变量范围的求解，考查计算能力，属于基础题. 14. 已知等比数列的前项和为，且．在与之间插入个数，使这个数组成一个公差为的等差数列，若为数列的前项和，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用递推式结合等比数列性质求出，进而求出及，从而得出表达式，再利用错位相减法化简，求出． 【详解】当时，，则， 即，故公比为3； 当时，，解得， ， 由题意知，，则， 解得，， 令，则①， ②， 用①减②得，， 解得， ． 四、解答题：本题共5⼩题，共77分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤． 15. 设动点与定点的距离和到直线的距离的比是． （1）求动点的轨迹方程； （2）过点的直线与动点的轨迹相交于两点，且恰好是线段的中点，求直线的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出方程，化简即可得解； （2）利用“点差法”求出直线的斜率即可得解. 【小问1详解】 设动点，由题意可得 所以，化简整理得， 所以动点的轨迹方程是 【小问2详解】 设， 因为在动点的轨迹上，所以，， 两式相减得， 即 因为是线段的中点，所以， 所以，即直线的斜率， 所以直线的方程为，即 16. 如图，在棱长为的正四面体（四个面都是正三角形）中，是的中点，是棱上的动点（不与重合）． （1）当是棱的中点时，求直线与夹角的正弦值； （2）当时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过空间建系，求出直线与的方向向量，计算它们的夹角余弦进而得到正弦值； （2）先求出平面与平面的法向量，计算法向量夹角的余弦即得平面夹角余弦 【小问1详解】 由题意得，故以为原点，,所在直线分别为轴、轴， 以垂直于且垂足为的直线为轴，建立如图所示空间直角坐标系， 因为正四面体棱长为2，则， 所以，，，， 易得点在底面的投影为等边三角形的中心，则， 则，即， 因为是棱的中点，所以，即， 所以，， 所以 故直线与夹角的正弦值为. 【小问2详解】 由题意得，设，，， 则，解得， 设平面的法向量为， 因为，， 所以，所以， 令，则，所以， 设平面的法向量为， 因为，， 所以， 令，则，，所以， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值. 17. 已知圆，点，点是圆上一动点，点是的中点． （1）求点的轨迹方程； （2）若圆与点的轨迹相交于两点，求过三点的圆的方程． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设出点和点的坐标，因为是的中点，所以利用中点坐标公式建立与的坐标关系；又因为在圆上，将的坐标代入圆的方程，即可得到点的轨迹方程。 （2）先求出圆与点的轨迹的交点、，利用圆系方程，设出过两点的圆系方程，再将点的坐标代入求出参数，得到所求圆的方程. 【小问1详解】 设点，， 因为点是的中点，所以，所以， 因为点在圆上，所以， 化简得， 所以点的轨迹方程是. 【小问2详解】 由（1）可得点的轨迹为圆，其一般方程为， 圆的一般方程为， 设经过两点的圆的方程为， 化简得， 将点代入得， 所以， 所以经过三点的圆的方程， 化简得， 故过三点的圆的方程为. 18. 如图，从椭圆（）上一点向轴作垂线，垂足恰为左焦点，为椭圆右顶点，为椭圆上顶点，且，，为椭圆右焦点，过的直线（不与重合）与椭圆交于两点． （1）求椭圆的方程； （2）在轴上是否存在一点，使得？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； （3）求的面积的取值范围． 【答案】（1） （2）存在， （3） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质，结合代入法进行求解即可； （2）设出直线的方程与椭圆的方程联立，根据一元二次方程根的判别式、韦达定理，结合假设法、直线的斜率公式进行求解即可； （3）根据椭圆弦长公式，结合三角形面积公式、点到直线距离公式、基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 由题意得，所以， 因为∥，所以，所以， 又因为，， 所以， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 设直线的方程为，， 联立方程得， ， 由韦达定理得，， 假设存在点，使得， 则， 即， 即，所以， 所以，所以， 所以存在点，使得. 【小问3详解】 由（2）得 因为点到直线的距离 所以的面积 令，则，， 因为当时，，当且仅当时，取等号， 所以，当且仅当，即时取最大值， 所以的面积的取值范围为. 19. 任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘3再加上1；若是偶数，就将该数除以2． 反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈1→4→2→1． 这就是数学史上著名的“冰雹猜想”（又称“角谷猜想”等）．若取正整数，根据上述运算法则得出7→22→11→34→17→52→26→13→40→20→10→5→16→8→4→2→1，共需经过16个步骤变成1（简称为16步“雹程”）现给出冰雹猜想的递推关系如下：已知数列满足：（为正整数），． （1）当时，试确定使得需要多少步雹程？ （2）记数列的前项和为．当时，求； （3）若，求所有可能的取值集合． 【答案】（1）19步雹程 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用递推关系依次求值即可得到多少步； （2）利用列举20项求和，再对剩下的项利用周期性求和即可； （3）利用逆运算，即减1除以3或2倍来推出首项，即可得到集合. 【小问1详解】 根据递推关系式，当时，，，， 结合题干中信息，当时还需要16个步骤使得， 故使得需要3+16=19步雹程. 【小问2详解】 由题意得，， 从第21项开始，数列进入4→2→1循环节，周期，一个循环节之和为4+2+1=7 从第21项到第2026项共有2026-20=2006项，包含668个完整周期剩余2项 因此 所以 【小问3详解】 因为， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或； ①当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则，所以或； ②当时， 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 若为偶数，则，若为奇数，则不成立，所以； 综上：或或 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $