精品解析：河南省郑州中学2025-2026学年高二上学期期末数学试题

2025-2026学年上期期末考试 高二数学学科试题卷 注意事项： 本试卷分单选题、多选题、填空题和解答题.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题读卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 或1 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，且，则和可分别作为（ ） A. 双曲线和抛物线的离心率 B. 双曲线和椭圆的离心率 C. 椭圆和抛物线的离心率 D. 两双曲线的离心率 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 11. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 三、填空题（每题5分） 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 14. 如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____. 四、解答题（共77分） 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求的面积. 17. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值. 18. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （i）求数列的通项及； （ii）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期期末考试 高二数学学科试题卷 注意事项： 本试卷分单选题、多选题、填空题和解答题.考试时间120分钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，在试题读卷上作答无效，交卷时只交答题卡. 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 双曲线的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线方程公式即可得到答案. 【详解】双曲线中，则， 故其渐近线方程为. 故选：B. 2. 经过，两点的直线的方向向量为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据方向向量与斜率关系直接求解即可. 【详解】直线的方向向量为，，解得：. 故选：B. 3. 已知，，若a，b，c三个数成等比数列，则（ ） A. 5 B. 1 C. D. 或1 【答案】D 【解析】 【分析】根据三个数成等比数列，列式计算，即可得答案. 【详解】由题意知，，a，b，c三个数成等比数列， 则，故， 故选：D 4. 如图所示，空间四边形中，，点在上，且，为中点，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到答案. 【详解】，为中点， 故. 故选：B 5. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点为，点是点在坐标平面内的投影，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对称性可得点的坐标，再由投影点坐标的特征可直接得到结果. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为， 所以点在坐标平面内的投影为点. 故选：D. 6. 已知，，且，则和可分别作为（ ） A. 双曲线和抛物线的离心率 B. 双曲线和椭圆的离心率 C. 椭圆和抛物线的离心率 D. 两双曲线的离心率 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得，结合圆锥曲线离心率范围即可得解. 【详解】由题意，，且， 所以，解得， 所以和可分别作为双曲线和抛物线的离心率. 故选：A. 7. 在空间直角坐标系中，直线经过点，且其方向向量，则点到直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量点到线的距离公式进行求解即可. 【详解】因为，直线的方向向量， 所以， 因为， 所以点到直线的距离为， 故选：A 8. 已知双曲线E：的左、右焦点分别为，，过点的直线与双曲线E的右支交于A，B两点，若，且双曲线E的离心率为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由双曲线的定义结合已知条件求得，从而再得，由余弦定理求得，由诱导公式得，设，则，再由余弦定理求得，从而利用余弦定理求解即可. 【详解】因为双曲线的离心率为，所以，因为， 所以， 由双曲线的定义可得， 所以， 在中， 由余弦定理得， 在中，， 设，则， 由得 ，解得，所以， 所以. 故选：D. . 9. 下列说法正确的是（ ） A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是4 B. 点(0，2)关于直线y=x+1的对称点为(1，1) C. 过(x1,y1)，(x2,y2)两点的直线方程为 D. 若直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后，回到原来的位置，则该直线l的斜率为－ 【答案】BD 【解析】 【分析】对选项A，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A错误，对选项B，首先设出对称点，再解方程组即可判断B正确，对选项C，根据直线两点式公式即可判断C错误，对选项D，设直线方程为，根据题意得到，再解方程即可判断D正确. 【详解】对选项A，直线，当时，，当时，， 所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A错误. 对选项B，设关于直线的对称点为， 则，解得，即对称点为，故B正确. 对选项C，当或时，直线方程无意义，故C错误. 对选项D，由题知：直线方程斜率存在，设直线方程为， 直线l沿x轴向左平移3个单位长度，再沿y轴向上平移2个单位长度后， 回到原来的位置，则， 所以，解得，故D正确. 故选：BD 10. 已知点，，点P在圆上运动，则（ ） A. 直线AB与圆C相离 B. 的面积的最小值为 C. 的最大值为6 D. 当最小时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】求得直线AB的方程为，得到圆心C到直线AB的距离，可判定A正确；由，点P到直线AB的距离的最小值为，结合三角形的面积公式，可判定B错误；根据，可判定C正确；当最小时，得到直线PB与圆C相切，结合切线长公式，可判定D正确. 【详解】对于A中，由点，，点P在圆上运动， 则圆心为，半径为2，直线AB的方程为， 则圆心C到直线AB的距离，所以直线AB与圆C相离，所以A正确； 对于B中，因为，点P到直线AB的距离的最小值为， 则面积的最小值为，所以B错误； 对于C中，由，所以C正确； 对于D中，当最小时，直线PB与圆C相切，此时，所以D正确. 故选：ACD． 11. 在四棱台中，底面，正方形的边长为4，，，则（ ） A. B. 是平面的一个法向量 C. 异面直线与所成角的余弦值为 D. 当点在侧面内（含边界）运动时， 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A，利用线面垂直证明线线垂直，再证明线面垂直，即可判断B，利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即可判断C，利用空间向量法来求数量积，即可判断D． 【详解】 如图，由正方形的边长为4，，，可得： ，故A正确； 由底面，底面，则， 因为正方形，所以， 又因为平面，所以平面， 即是平面的一个法向量，故B正确； 如图建立空间直角坐标系，由正方形的边长为4，，，可得： ， 则 所以， 即异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 当点在侧面内（含边界）运动时，可设，则 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题（每题5分） 12. 已知等差数列的前项和为，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】由等差数列的求和公式和下标的性质计算可得. 【详解】因为等差数列的前项和为，若， 所以. 故答案为：32. 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 【答案】或6 【解析】 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 14. 如图，直线过抛物线的焦点F，且直线与抛物线和圆的交点为A，B，C，D.则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】根据抛物线定义可得，，当直线与轴垂直时，，当直线与轴不垂直时，设直线方程为，联立方程组，借助基本不等式求最值. 【详解】由题意得，即为圆的圆心，准线方程为． 由抛物线的定义得， 又，所以． 同理． ①当直线与轴垂直时，则有， ∴． ②当直线与轴不垂直时，设直线方程为， 由消去y整理得， ∴， ∴， 当且仅当时等号成立． 综上可得． 故答案为：． 四、解答题（共77分） 15. 已知圆的圆心在直线上，且直线被圆截得的弦长为. （1）求圆的方程； （2）过点作圆的切线，求切线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆心坐标以及弦长公式计算可得结果； （2）分别讨论直线斜率是否存在，再由圆心到切线的距离等于半径可得结果. 【小问1详解】 圆的圆心为， 由圆心在直线上可得，即圆心； 易知圆心到直线的距离为， 由弦长公式可得，解得； 所以圆的方程为； 【小问2详解】 当切线斜率不存在时，过点的直线方程为， 显然到的距离等于3，符合题意； 当切线斜率存在时，可设过点的直线方程为， 则圆心到的距离为，解得； 此时切线方程为，即； 综上可知，切线的方程为或. 16. 已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，且轴时，. （1）求抛物线的标准方程； （2）若直线与抛物线交于两点，求的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，求出，故，得到抛物线方程； （2）联立与抛物线方程，得到两根之和，两根之积，求出弦长和面积. 【小问1详解】 令时，，解得， 故当轴时，，所以， 故抛物线的标准方程为； 【小问2详解】 设，，由（1）可知， 由，消去得， 则，， 所以， 又，，所以， 故 因为点到直线的距离， 所以的面积为 17. 如图，在棱长为4的正方体中，，分别是，上的动点，且. （1）求证：； （2）当三棱锥的体积取得最大值时，求平面与平面的夹角的正切值. 【答案】（1）证明见解析； （2）. 【解析】 【分析】（1）构建空间直角坐标系，令且，应用向量法求证垂直即可； （2）由三棱锥体积最大，只需面积最大求出参数，再标出相关点的坐标，求平面与平面的法向量，进而求它们夹角的余弦值，即可得正切值. 【小问1详解】 如下图，构建空间直角坐标系，令且， 所以，，，， 则，，故， 所以，即. 【小问2详解】 由（1），三棱锥体积取最大，即面积最大， 所以，当时，故E，F为，上的中点， 所以，，，故，， 若为面的法向量，则， 令，故， 又面的法向量为，易得平面与平面的夹角为锐角， 所以， 则， 故平面与平面的夹角正切值为. 18. 已知等比数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入n个数，使这个数组成一个公差为的等差数列． （i）求数列的通项及； （ii）在数列中是否存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）（i） （ii）不存在，理由见详解. 【解析】 【分析】（1）由前项和与的关系式利用作差即可求出公比，代入求出首项即可得到通项公式； （2）（i）由（1）的结论和等差数列的定义即可得出通项公式结果，再利用等比数列求和公式求和即可；（ii）假设这样的项存在，利用等差中项和等比中项的性质即可做出判断. 【小问1详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，∴， ∴. 【小问2详解】 （i）由题意可知：， ∴（i）求数列的通项：， ； （ii）假设在数列中存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列， 则， 即， 则 又∵m，k，p成等差数列，∴， ∴ ∴化简得：即 ∴， ∴，又∵， ∴，与已知矛盾， ∴数列中不存在3项（其中m，k，p成等差数列）成等比数列. 19. 如图，从椭圆上一点（异于椭圆的左、右顶点）射出的光线照射到椭圆的右焦点上，经轴反射，反射光线过椭圆上的另一点． （1）写出的坐标； （2）证明：直线过定点； （3）、、、四点能否共圆？请说明理由． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）、、、四点不能共圆，理由见解析 【解析】 【分析】（1）求出、、的值，即可得出点的坐标； （2）由题可知直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，设点、，将该直线的方程与椭圆方程联立，由已知条件得出，结合韦达定理得出、所满足的关系式，化简直线的方程，即可求出直线所过定点的坐标； （3）求出线段、的中垂线的方程，将这两直线的方程联立，求出外心的横坐标，根据可得出结论. 【小问1详解】 在椭圆中，，， 则，故. 【小问2详解】 若直线的斜率不存在，则点、重合，不合乎题意， 若直线的斜率为零，则该直线与轴重合，与题意矛盾， 故直线的斜率存在且不为零， 设直线的方程为，设点、， 由，得， ， 由韦达定理可得，． 由，得， 又，故， 即， 则， 化简整理得，于是直线的方程为， 因此直线过点. 【小问3详解】 、、、四点不能共圆，事实上，总在的外接圆的内部．理由如下： 线段的垂直平分线方程为，即． 同理，线段的垂直平分线方程为． 联立上述两个方程，得的外心的横坐标为 ． 因，故， 所以，于是， 所以在的外接圆的内部，故、、、四点不能共圆. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $