精品解析：山东烟台市2026届高三第一次诊断考试数学试卷

2026年山东省烟台市高考第一次诊断试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的最小值为（ ） A B. C. D. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 4 B. C. 9 D. 4. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 5. 已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知数列的前项和记为，若，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 7. 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的，有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 10 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在点处切线方程为 C. 恒成立 D. 恒成立 11. 如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当点在线段上时， B. 当点在线段上时，平面 C. 当点在面上时，三棱锥外接球表面积的最大值为 D. 当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________． 13. 已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 14. 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 16. 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 17. 已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，. （1）求数列的通项公式； （2）设圆的面积为，求证：. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. （1）求的方程； （2）若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点. （1）证明：圆与的准线相切； （2）证明：； （3）求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年山东省烟台市高考第一次诊断试卷 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分. 1. 已知复数为纯虚数，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数的乘法运算，结合复数的意义求解. 【详解】依题意，， 由复数为纯虚数，得，解得， 所以实数的值为. 故选：A 2. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可求得所求代数式的最小值. 【详解】因为，则， 所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为. 故选：C. 3. 已知向量，且，则（ ） A. 4 B. C. 9 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接根据向量垂直的坐标运算求解即可. 【详解】因为向量，且， 所以，解得， 故选：A 4. 某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，收集的数据如下表所示： 零件数个 10 20 30 40 50 加工时间 40 50 60 70 90 由上表的数据求得关于的经验回归方程为，则（ ） A. 1.1 B. 1.2 C. 1.3 D. 1.4 【答案】B 【解析】 【分析】由表格中的数据求得样本数据的样本中心，代入回归方程，求得即可. 【详解】由题意得，， 因为经验回归直线必过点，即点， 所以可得，解得. 故选；B 5. 已知菱形的边长为分别是的中点，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】以为基底，分别表示出，，利用数量积的运算律求即可. 【详解】如图： 以为基底，则，. 又，， 所以. 故选：B 6. 已知数列的前项和记为，若，则（ ） A. 15 B. 31 C. 63 D. 127 【答案】C 【解析】 【分析】根据的关系得数列是等比数列，公比为，首项为，再根据等比数列前项和公式计算即可. 【详解】因为， 所以当时，，即； 当时，，， 两式作差得，即， 所以数列是等比数列，公比为，首项为. 所以 故选：C 7. 已知函数的最小值为，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式确定当时的最小值为，再利用当时的最小值为并结合分离参数法求解参数范围即可. 【详解】由题意得，当时，， 由基本不等式得， 当且仅当时取等号，此时解得， 此时的最小值为，符合题意，当时，可得， 由题意得的最小值为，则，即恒成立， 可得恒成立，令，解得， 令，解得，令，解得， 当时，可得恒成立，令， 则恒成立，可得在上单调递增， 此时，得到， 当时，恒成立，符合题意，此时， 当时，恒成立，由已知得， 则在上单调递增，当时，，此时， 综上，可得，即的取值范围为，故C正确. 故选：C 8. 已知定义在上的函数的导函数为，且对任意的，有，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可得函数的图象关于直线对称，在上单调递减，在上单调递增，进而将问题转化为或恒成立，进而分、两种情况讨论求解即可. 【详解】由，得函数图象关于直线对称， 由，当时，，当时，， 则函数在上单调递减，在上单调递增， 由，则， 即， 所以或， 则或恒成立. 当时，恒成立； 当时，，则或， 而，则不可能恒成立. 综上所述，实数的取值范围为. 故选：A 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分. 9. 函数的部分图象如图所示，则（ ） A. 为的周期 B. 是图象的对称中心 C. 当时，的值域是 D. 的单调递增区间是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据图象中两点距离求周期，进一步得出，代入特殊点坐标求，从而确定函数的解析式，再根据周期、对称中心性质、范围对应函数值范围、单调区间求法判断各选项对错. 【详解】对于A，由图象可知，，则，所以A选项错误， 对于B，又因为，所以， 将点代入，可得，即， 又因为，所以，解得，即， 因为， 所以是图象的对称中心，所以B选项正确， 对于C，当时，， 此时，所以，所以C选项错误， 对于D，令，，解得，， 所以单调递增区间为，. 故选：BD. 10. 已知函数，则（ ） A. 函数在上单调递减 B. 曲线在点处的切线方程为 C. 恒成立 D. 恒成立 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用指数和对数的运算化简，再利用求导判断单调性，利用求导来求切线斜率，利用导数来证明不等式即可作出选项判断. 【详解】由，得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增，故A错误； 由， 可得在点处的切线方程为，故B正确； 由， 构造，则， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 即，故恒成立，故C正确； 由，求导得， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增， 所以，即，则， 当时,上式两边取对数可得:， 则由，可知恒成立，故D正确. 故选：BCD 11. 如图，已知点是棱长为的正方体表面上一动点，则下列结论正确的有（ ） A. 当点在线段上时， B. 当点在线段上时，平面 C. 当点在面上时，三棱锥外接球的表面积的最大值为 D. 当点在面上时，若，则点的轨迹长度为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据正方体中线面的位置关系，可判断AB的真假；当点与点（或）重合时，三棱锥的外接球即为正方体的外接球，求正方体外接球的表面积可判断C的真假；先明确点轨迹是一段弧，再结合弧长公式求弧长可判断D的真假. 【详解】如图： 连接，则， 又为正方体，所以平面， 平面，所以， 因为平面，且，所以平面. 平面，所以. 同理可得，平面，， 所以平面. 同理可得：平面，所以平面平面. 对A：当点在线段上时，平面， 又平面，所以，故A正确； 对B：当点在线段上时，平面， 又平面平面，所以平面，故B正确； 对C：当点与点（或）重合时， 三棱锥的外接球即为正方体的外接球. 设半径为，则. 此时三棱锥的外接球的表面积为：，故C错误； 对D：当点面上时，如图： 设，则，由， 所以点轨迹是平面中，以为圆心，以为半径的圆弧， 与的交点，，与的交点，. 所以. 由余弦定理，，所以. 所以点轨迹的长度为：，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若某圆锥侧面展开图为半圆，则该圆锥的母线与底面所成角的大小为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，求得，进而得到圆锥的母线与底面所成的角的大小. 【详解】设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，可得， 设圆锥的母线与底面所成的角为，则，， 所以圆锥的母线与底面所成的角为. 故答案为：. 13. 已知双曲线的左焦点为是右支上的一个动点，记点到双曲线过第一象限的渐近线的距离为，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】作出符合题意的图形，结合双曲线的定义对目标式合理转化得则即可. 【详解】如图，作出符合题意的图形，作出双曲线的右焦点， 作垂直于渐近线，连接，可得， 由题意得，则， 由双曲线的定义得，则， 则，当且仅当共线时取等， 因为垂直于渐近线，所以垂直于渐近线， 由题意得渐近线方程为， 由点到直线的距离公式得， 则. 故答案为： 14. 若数列满足（，当且仅当为奇数时取“”），则称为“数列”.设数列为“数列”，，则的最小值为__________；若，则正整数的最大值为__________. 【答案】 ①. 16 ②. 86 【解析】 【分析】根据“数列”的概念，结合，利用递推关系可求的最小值；根据数列的单调性，且数列增长速度最慢时，根据求的值即可. 【详解】因为数列为“数列”，且，， 所以当时，； 当时，，又，所以； 当时，. 所以的最小值为16. 因为数列为“数列”，所以， 又，所以数列为递增数列. 问题转化为：数列增长速度最慢时，由，求的值. 此时： 设，则； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； 当时，，又，所以； 当时，，所以； …… 归纳得：当为奇数时，；当为偶数时，. 又. 若，， 由， 即； 若，， 由， 即. 此时，，. 又，所以数列应该是在第85项之后，突然改变增长速度，使得. 故的最大值为86. 故答案为：16；86 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 中，角所对的边分别为. （1）若，求； （2）若，求的面积. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理可得； （2）利用辅助角公式化简求出，然后利用正、余弦定理，结合三角形面积公式求解可得. 【小问1详解】 因为，，所以， 所以，由正弦定理得，解得. 【小问2详解】 因为，所以，即， 因为，所以，所以， 由正弦定理可得， 由余弦定理得，即，解得， 所以. 16. 如图，在四棱锥中，平面分别为的中点. （1）证明：平面； （2）在线段上是否存在点，使得平面，若存在，求的长；若不存在，请说明理由. 【答案】（1）详见解析； （2）存在， 【解析】 【分析】（1）取PD的中点H，易证，得到是平行四边形，从而，再利用线面平行的判定定理证明； （2）建立空间直角坐标系，求得平面PBC的一个法向量，根据平面，由求解. 【小问1详解】 如图：取PD的中点H，连接FH，AH， 因为，又， 所以， 所以四边形是平行四边形， 所以，又平面，平面， 所以平面 【小问2详解】 建立如图所示空间直角坐标系： 则， 所以，， 设平面PBC的一个法向量为， 则，即， 令，则，，所以， 设，则， 若平面，则， 所以，解得， 所以， 则， 所以在线段上是否存在点，使得平面，的长为. 17. 已知点均在抛物线上，，，以点为圆心的圆与轴相切，且圆与圆外切，. （1）求数列的通项公式； （2）设圆的面积为，求证：. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两圆的位置关系列式，可得数列的递推公式，再根据数列的递推公式求通项公式. （2）利用放缩法，结合裂项求和法进行证明. 【小问1详解】 因为点在抛物线上，所以且， 因为圆和圆外切且圆均与轴相切， 所以， 所以， 整理得， 因为，所以， 即，所以数列是以为首项，为公差的等差数列， 所以，所以. 【小问2详解】 由（1）知，， 因为， 所以， 即，原题得证. 18. 已知椭圆的右焦点为，离心率为.过点且与轴不重合的直线交于两点. （1）求的方程； （2）若的平分线垂直于轴. （i）求实数的值； （ii）以为半径的圆的面积分别记为的面积为，求的取值范围. 【答案】（1） （2）（i）4，（ii） 【解析】 【分析】（1）依条件列关于的方程，解方程即可； （2）（i）设直线方程与，，联立椭圆的方程，得到的值，由 的平分线垂直于  轴，得：，再代入坐标，代入韦达定理可得答案；（ii）分别计算三角形与圆的面积，代入，可把表示成关于的函数，利用对勾函数的单调性可得答案. 【小问1详解】 由已知，右焦点为 ，故 ， 离心率 ，解得 ， 由 ， 得椭圆  的方程为 【小问2详解】 （i）设直线  的方程为 ， 代入椭圆方程得， 设 ，，则  的平分线垂直于  轴，等价于 ， 且直线与椭圆有两个交点， 由  得， 将韦达定理代入：， 化简得：， 解得： . 因此，实数  的值为 ； （ii）由（i）知 ，直线方程为 （）， 联立椭圆方程得 则 由直线与椭圆有两个交点得： ， 三角形  的面积， ， 又， 所以， 于是， ， 故， 令 ，则： 考虑函数 ，， 由，得， 故上单调递增， 当时，， 所以的值域为， 因此， 的取值范围是 。 19. 已知抛物线的焦点为，过点且斜率存在的直线与交于两点，点是以线段为直径的圆的圆心，点在圆上（在的右边），且轴，直线与交于另一点，直线与交于另一点. （1）证明：圆与的准线相切； （2）证明：； （3）求. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 （3）3 【解析】 【分析】（1）对的情况分类讨论，再结合韦达定理与中点坐标公式求出，利用焦半径公式求出，最后结合相切的定义求解即可. （2）先求出，再将转化为，利用韦达定理结合题意求出，得到，最后结合两直线不重合判断平行即可. （3）利用弦长公式得到，再构造并结合韦达定理得到，最后求出，利用焦半径公式得到，进而得到的值即可. 【小问1详解】 如图，作出符合题意的图形， 当的斜率为0时，直线与抛物线只有一个交点，不符合题意，排除， 当的斜率不为0时，设方程为，， 联立，消得，， 则，得到， 由中点坐标公式得线段的中点坐标为， 则到准线的距离为， 由焦半径公式得， 则，即圆与的准线相切. 【小问2详解】 设，而点在圆上， 且轴，可得，设， 因在抛物线上，所以，， 则， 设的方程为，的方程为， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，即， 联立方程组，得到， 由韦达定理得，即， 则， 而， ， 得到，， 而 ， 则，即， 可得，且不重合，故. 【小问3详解】 由已知得，，， 由弦长公式得 ， 因为，， 所以 ，而，则， 由题意得， 因为，所以， 由题意得， 可得 ，即， 得到，可得，， 则， 而，， 可得， ， 则 ， 可得 故. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $