精品解析：江苏常州市金坛区第一中学2026届高三下学期3月质量调研数学试卷

2026年春学期金坛区第一中学高三年级3月质量调研数学试卷 命题人：宫鸡明 审题人：张程 一、单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】解指对数不等式化简集合，再利用集合的交集运算即可得解. 【详解】因为， ， 所以. 故选：A. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用代数形式的复数乘法计算得解. 【详解】. 故选：B 3. 已知为正项等比数列的前n项和，若，则的公比（ ） A. 3 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据等比数列的通项公式以及前n项和公式，列方程求解，即得答案. 【详解】由题意知正项等比数列的公比， 若，则， 故， 所以，解得，（q的负值舍去） 故选：B 4. 设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面向量垂直的性质，结合平面向量数量积的运算性质进行求解即可. 【详解】， 所以. 故选：C 5. 在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作点关于线段的对称点，则的最小值即为到轴的距离，故可求得最小值. 【详解】如图，过点作点关于线段的对称点，则. 设，则有，解得，所以. 设第一象限内的点，则，所以， 而，，所以点到轴的距离为， 所以可视为线段上的点到轴的距离和到的距离之和. 过作轴，显然有， 当且仅当三点共线时，和有最小值. 过点作轴，则即为最小值，与线段的交点， 即为最小值时的位置. 因为，所以的最小值为. 故选：B. 6. 若为奇函数，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由为奇函数，求出的值，利用复合函数的单调性特征求的单调递增区间. 【详解】函数为奇函数，的定义域为， 由，∴， 函数的定义域为， 函数在定义域内单调递增， 当时，的单调递增区间为， 所以的单调递增区间为. 故选：D． 7. 过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】依据题意设出切点，结合导数的几何意义得到斜率，进而得到切线方程，再利用给定条件求解参数，最后求出斜率即可. 【详解】设切点为，切线斜率为，曲线为， 由导数的几何意义得， 故切线方程为，将代入方程， 得到，解得，则，故C正确. 故选：C. 8. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图取的中点，可得 ，即异面直线与所成的角为，然后利用平面，可得两直角三角形的斜边中线长，从而得到求解. 【详解】取的中点，连接，如图所示： ∵分别为的中点，则且， ∴异面直线与所成的角为或其补角． ∵平面，平面，∴，， ∴，同理可得，∴， ∴，则, 故选:C． 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据计算，判断A的真假；计算，判断B的真假；根据。利用古典概型概率公式，求，判断C的真假；分别计算和，可判断D的真假. 【详解】∵，A对； ∵，∴，∴A与B不互斥，B错； ，C对； ∵， 又，， ∴ ∴事件与B相互独立D对． 故选：ACD 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 【答案】ABD 【解析】 【分析】首先根据函数的极值点求参数的值，再利用导数求函数的单调性，判断AB，利用导数的几何意义求过点的切线方程，根据切点的个数，判断切线的条数，判断C，首先根据，利用数形结合确定的范围，再结合图象确定的零点个数，即可判断D. 【详解】对于A中，由函数，可得， 因为是函数的一个极值点，可得， 解得，经检验适合题意，所以A正确： 对于B中，由，令，解得或， 当时，：当时，；当时，， 故在区间上递增，在区间上递减，在区间上递增，所以B正确： 对于C中，设过点且与函数相切的切点为， 则该切线方程为， 由于切点满足直线方程，则， 整理得，解得，所以只能作一条切线，所以C错误： 对于D中，令，则的根有三个，如图所示，， 所以方程有3个不同根，方程和均有1个根， 故有5个零点，所以D正确. 故选：ABD. 11. 已知函数，下列结论正确的有（ ）． A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 无极大值 D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，判断是否互为相反数即可;对于B，根据导函数在这个区间的正负即可;对于C，根据函数的单调性判断有无极大值即可;对于D，根据函数的单调性可知，在处，取最小值，代入即可. 【详解】对于A， ， A错误； 对于B，， 当时，， 且为增函数，所以在上，单调递减； 在上，单调递增； 且，故B正确； 对于C，由单调区间可知， 无极大值，C正确； 对于D，由单调区间可知，，故D错误； 故选：BC. 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 12. 已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线性质，将切线长转化为与圆心到点距离相关的表达式，再利用点到直线的距离公式求出圆心到直线上点的最小距离，进而求得切线长的最小值. 【详解】根据圆的切线性质可知，，在中，由勾股定理可得， 已知圆的方程为，则半径，所以， 要使最小，则需最小，所以的最小值为圆心到直线的距离， 根据点到直线的距离公式可得：， 将代入，可得， 因此，线段长度的最小值为. 故答案为：. 13. 有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号． 【答案】512 【解析】 【分析】根据题设，依次写出每次去掉奇数位后的余项，即可得结果. 【详解】第一次：余下编号，编号为，共500项； 第二次：余下编号，编号为，共250项； 第三次：余下编号，编号为，共125项； 第四次：余下编号，编号为，共62项； 第五次：余下编号，编号为，共31项； 第六次：余下编号，编号为，共15项； 第七次：余下编号，编号为，共7项； 第八次：余下编号，编号为，共3项； 第九次：余下编号，编号为，共1项； 综上，最后剩下. 故答案为： 14. 已知函数，若，则函数的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】导数法判断单调性；即可求出最小值；由题意易知，在单调递增，从而，即可解题. 【详解】若，则， ∴， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. ∴. 若，都有， 则， ∴在单调递增， ∴在恒成立， ∴即， 又， 当且仅当时，等号成立； ∴. 故答案为：；. 四、解答题（本大共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题设结合与的关系可得，进而得到数列的公比为，即可得到，再由题设得到即可求得，进而求解即可； （2）由（1）可得，进而利用错位相减法求解即可. 【小问1详解】 由， 当时，， 两式相减得，，即， 因为数列为等比数列，所以数列的公比为， 当时，，而，解得， 所以. 【小问2详解】 由（1）知，，则， 所以， 则， 两式相减得，， 则. 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【小问1详解】 设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 【小问2详解】 记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 17. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图，在等腰梯形中，连接， 又，可以解得， 在三角形中，， 又平面平面，且平面平面， ，且平面， 平面． 又，且平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得，再利用面面垂直的性质定理得，最后根据线面垂直的判定定理即可证明； （2）首先利用锥体体积公式得，再通过建立合适的空间直角坐标系，求出相关法向量即可求出面面角余弦值, 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）可知，， ． 以为原点，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系． 可得：． 易知平面的一个法向量为， 设平面的法向量为，又， 由 令，解得平面的一个法向量为， ． 平面与平面的夹角的余弦值为． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． （1）求的方程； （2）点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由． 【答案】（1） （2）是定值． 【解析】 【分析】（1）由的面积为4可得c，后由离心率可得a，b，即可得椭圆方程；（2） 设，利用导数几何意义可得切线l方程，后可得到M，N坐标表达式，后利用两点间距离公式结合可得答案. 【小问1详解】 的面积为4，则，得．由离心率为，得，解得，所以，所以的方程为． 【小问2详解】 为定值． 设，由题意可知，直线的斜率存在，设直线的方程为． 由，可得，所以在第一象限内. 所以，故． 因为，所以， 代入直线的方程，得. 即．由，可得，所以直线的方程为，即． 因为直线的方程为，所以直线与直线的交点的坐标为. 直线与直线的交点的坐标为. 所以. . 所以，即的值为定值． 【点睛】关键点睛：本题为圆锥曲线中的定值问题，处理定值问题，可用变量去表示需要判断是否为定值的表达式，通过验证表达式是否与变量有关可解决问题. 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值是，求的值； （3）设函数，若有两个极值点，证明：. 【答案】（1） （2） （3） 由题意得，函数的定义域为，且， 又，令， 因为函数有两个极值点，，则，是方程的两个根， 所以，即，且，， 所以 ， 令，，则， 当时，，则在区间上单调递减， 从而， 故. 【解析】 【分析】（1）求出函数的导函数，即可求出切线的斜率，再由点斜式计算可得； （2）求出函数的单调性，即可得到，再构造函数，利用导数说明函数的单调性，即可求出的值； （3）求出函数的导函数，令，依题意，是方程的两个根，由，，得到且，，从而得到，再令，，利用导数说明函数的单调性，即可得证. 【小问1详解】 当时，则，. 可得，， 即切点坐标为，切线斜率， 所以切线方程为，即. 【小问2详解】 函数的定义域为，又. 当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以的最大值为， 故，整理得到，其中， 设，，则， 故为上的减函数，而， 故的唯一解为，故的解为. 综上所述，. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春学期金坛区第一中学高三年级3月质量调研数学试卷 命题人：宫鸡明 审题人：张程 一、单选题（本大题共8小题，共40分.） 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知i为虚数单位，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知为正项等比数列的前n项和，若，则的公比（ ） A. 3 B. 2 C. D. 4. 设平面向量满足，，，则（ ） A. 3 B. 2 C. D. 1 5. 在平面直角坐标系中，第一象限内的动点，若点P在直线上，则的最小值为（ ） A. B. C. 1 D. 6. 若为奇函数，则的单调递增区间是（ ） A. B. C. D. 7. 过点作曲线的切线l，则l的斜率为（ ） A. 1 B. C. D. 8. 在《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为鳖臑，在鳖臑中，平面，，且，为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求） 9. 如图是一个古典概型的样本空间Ω和事件A和B，其中，，，，下列结论正确的有（ ） A. B. 事件A与B互斥 C. D. 事件与B相互独立 10. 已知函数是函数的一个极值点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数在区间上单调递减 C. 过点能作两条不同的直线与相切 D. 函数有5个零点 11. 已知函数，下列结论正确的有（ ）． A. 是奇函数 B. 在上单调递增 C. 无极大值 D. 的最小值为 三、填空题（本大题共4小题，共20分） 12. 已知直线：和圆C：，点P是直线上的一动点，过点P作圆C的切线，切点为T，则线段长度的最小值为______. 13. 有1000张从1开始依次编号的多米诺骨牌，从小到大排成一行，每次从中去掉处在奇数位置的牌，则最后剩下的一张牌是______号． 14. 已知函数，若，则函数的最小值为______;若，都有，则实数的取值范围为______. 四、解答题（本大共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15. 记为等比数列的前n项和，已知． （1）求的通项公式； （2）设，求数列的前n项和． 16. 甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. （1）求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； （2）求甲获胜的概率. 17. 如图，在三棱台中，，平面平面，． （1）证明：平面； （2）若三棱锥的体积为，求平面与平面的夹角的余弦值． 18. 已知双曲线的左、右焦点分别为，离心率为，点是右支上一点，的面积为4． （1）求的方程； （2）点A是在第一象限的渐近线上的一点，轴，点是右支在第一象限上的一点，且在点处的切线与直线相交于点，与直线相交于点．试判断的值是否为定值？若为定值，求出它的值；若不为定值，请说明理由． 19. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）若的最大值是，求的值； （3）设函数，若有两个极值点，证明：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $