精品解析：上海华耀宝山实验学校2025-2026学年上学期九年级数学期末试卷

九年级数学练习卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分，考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在中，，，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形、三角形的面积、勾股定理，先根据的值求出的长度，再用勾股定理求，再利用锐角三角函数的定义逐项分析即可判断． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∴， ∴， 故A选项说法正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴， 故B选项说法正确，不符合题意； 如图，作的垂直平分线交于点， 则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故C选项说法错误，符合题意； 在中，，， ∴， 故D选项说法正确，不符合题意； 故选：C． 2. 已知非零向量、、，不能判定的条件是（ ） A. ， B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面向量．根据向量平行的定义，两个非零向量平行当且仅当它们的方向相同或相反，即存在实数使得．需逐一分析各选项是否满足此条件． 【详解】解：A、∵，， ∴，， ∴，故此选项不符合题意； B、不能判定，故此选项符合题意； C、∵， ∴， ∴，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，故此选项不符合题意； 故选：B． 3. 在四边形中，对角线与相交于点O，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、平行线的判定，需通过比例关系结合对顶角相等证明三角形相似，利用相似三角形对应角相等得到内错角相等，进而判定两直线平行． 【详解】解：A、，无法推出能判定的角的关系，不符合题意． B、， ∵， ∴， 又∵（对顶角相等）， ∴（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）， ∴（相似三角形的对应角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）．符合题意． C、，无法推出能判定的角的关系，不符合题意． D、，无法推出能判定的角的关系，不符合题意． 故选：B． 4. 抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了二次函数与一次函数的知识，关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质； 根据二次函数图象开口方向确定a的正负，再根据对称轴的位置确定b的正负，根据一次函数经过的象限，确定a的正负、b的正负，逐一判断即可得到答案. 【详解】解：对于A，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线经过一、三、四象限知，，， a、b都矛盾， ∴A不可能； 对于B，由二次函数的图象可知，， ∴， 由直线应经过一、二、三象限知， ，， ∴B可能： 对于C，由二次函数的图象可知，， ∴， ∵二次函数的图象交y轴于负半轴， ∴，a矛盾， ∴故C不可能； 对于D，由二次函数的图象可知，， ∴， 与轴交于， 由直线应经过一、二、四象限知，，， 与轴交于， 但两个图象与y轴交点不同， ∴故D不可能． 故选：B． 5. 如图，在中，，点D为边上的黄金分割点（），点G为的重心，连接．若，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】运用平行线分线段成比例，相似三角形的判定和性质，黄金分割性质，三角形重心性质，逐一判断即得． 【详解】解：A、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴A正确： B、延长交于点H，连接并延长交于点I， ∵点D为边上的黄金分割点（）， ∴， ∴， ∵点G为的重心， ∴是的中线， ∴， ∴， ∴， 即，同理， ∵是的中线，，， ∴， ∴， ∴B正确； C、∵， ∴， ∵， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴C正确； D、∵， ∴， ∴． ∴D不正确． 【点睛】本题考查了相似三角形综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，黄金分割性质，三角形重心性质，是解题的关键． 6. 关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（ ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形相似的判定条件，涉及两个命题：①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似；②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形是否相似．需结合等腰三角形的几何特性，使用相似三角形的判定方法（如SAS、AA、SSS等），并可能构造具体例子或代数推导来验证命题的真假． 【详解】解：猜想① 设等腰中，，腰上的高为； 等腰中，， 腰上的高为，且 则与可能相等或互补， 若，， 两三角形顶角互补，底角分别为和，形状不同，不相似； ∴猜想① 错误 分析猜想② 设等腰中，底边，底边高； 等腰中，底边，底边高，且 ∵等腰三角形底边高平分底边， ∴，， 则 又∵， ∴ （两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似） ∴ ，等腰中，等腰中， 故， ∴ （两角对应相等，两三角形相似） ∴ 猜想② 正确 综上，① 错误② 正确， 故选A 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．根据比例的性质得到，再代入计算． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 8. 若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 【答案】或2 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，圆与坐标轴的交点问题，正确分类讨论是解题的关键． 分两种情况讨论：①经过原点；②与轴相切且与轴相交，再结合图形分别求出对应的圆的半径长即可． 【详解】解：①如图，当经过原点时，与两坐标轴只有3个交点， 此时该圆的半径长； ②如图，当与轴相切（切点为）且与轴相交时，与两坐标轴只有3个交点， 则轴， 此时该圆的半径长； ∴综上，该圆的半径长是或2． 故答案为：或2． 9. 某市新建一座电视塔，设计师先用木料制作了一个高度为2米的模型塔，且该模型塔的高度是实际塔高的．已知建成后的电视塔顶端加装了一根天线，且这根天线占实际塔高的．若要在模型塔上加装天线，则天线长应为______米． 【答案】0.04（或） 【解析】 【分析】本题考查比例关系的应用，关键在于理解模型与实际物体之间的线性比例关系，并能正确应用到各个组成部分（包括塔身和天线）．注意不能将天线长度直接按模型高度计算，而应基于实际结构中的比例进行换算，最终得出模型中对应的尺寸． 【详解】解：已知模型塔高为2米，且是实际塔高的， 实际塔高为米． 天线占实际塔高的， 实际天线长度为米． 模型与实际的比例为， 模型天线长度为米（或米）． 故答案为0.04（或） 10. 如图，为了适应老年人乘坐轮椅进出小区的需求，某小区打算改造小区入口的斜坡．已知原斜坡竖直高度米，斜坡的坡比为，若改造后C点向左移动了2.8米，则新坡面的长度为______米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用——坡度坡角问题，数形结合，正确地作出辅助线利用三角函数定义求解是解题的关键． 根据坡度求出的长度，可得的长度，由勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴, ∴． 故答案为：． 11. 某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，比较实数的大小．先根据线段比例关系和已知等式建立关于k的一元二次方程，求出正数k的值，再比较与的大小确定较小矩形的长，最后结合矩形面积公式计算面积； 【详解】解：∵， ∴由得，则， ∵， ∴， ∵，两边同时除以得， ，即， 解得， ∵k是线段长度的比值， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵矩形花坛的宽为， ∴较小矩形的面积为，代入得： ． 故答案为： ． 12. 在中，点E和点F分别在边和上，若与相似，且满足，，，，则的长为______． 【答案】15或 【解析】 【分析】题目主要考查相似三角形的性质，熟练掌握是解题关键． 本题需分两种情况讨论与的相似对应关系，利用相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长计算的长度． 【详解】解：当时， ∴ ∵，，， ∴ 解得； 当时， ∴， ∵，，， ∴ 解得 综上，的长为15或， 故答案为：15或． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点．若的面积是1，则四边形的面积是______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中线，熟练掌握三角形中线等分三角形面积，是解题的关键． 根据点F是边上的中点，得，同理根据点D是边上的中点，得，即得． 【详解】解：∵点F是边上的中点， ∴， ∴， ∴. ∵点D是边上的中点， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 【答案】 【解析】 【分析】把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F，可得，，由垂直平分，得，得，即得答案． 【详解】解：把向上平移2个单位长度，得到线段，连接，取点G，连接，交于点F， 则， ∴， ∵ ， ∴垂直平分， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了解直角三角形应用——网格中的三角形，熟练掌握网格作图，平移性质，等腰三角形定义，线段垂直平分线判定和性质，解直角三角形相关计算，是解题的关键. 15. 新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义、待定系数法求抛物线解析式、二次函数的平移，理解新定义是解题的关键． 先根据“半垂点”的定义确定点坐标，进而求出抛物线的解析式，再根据平移的性质即可求出新抛物线的对称轴． 【详解】解：∵为该抛物线的“半垂三角形”，点，点C为“半垂点”， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵点C在x轴正半轴上， ∴点， 设抛物线的解析式为， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， ∵将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位， ∴新抛物线的解析式为， ∴新抛物线的对称轴是直线． 故答案为：． 16. 已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质，二次函数点的坐标特征，一元二次方程，熟练掌握以上知识点并数形结合是解题的关键． 根据题意，利用待定系数法得出的解析式为，再分、、三种情况，结合图像求解即可． 【详解】解：， 抛物线的顶点坐标为，与轴交于点， 设的解析式为， ，解得， 的解析式为， ①当时，，即， ，即， 解得或， 又， ， ②时，在抛物线上，符合题意； ③当时，令，即， ，解得， 的对称轴为， 与轴交于点，且， 当时，在上，方程有一个解， 又， 时，线段与该抛物线图像有交点， 综上，． 故答案为：． 17. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理． 根据题意作出图形，根据折叠的性质得到，，，，根据矩形的性质得到，，根据勾股定理得到，进而根据勾股定理得到，求出，则，根据勾股定理求出，根据等面积法求出，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：根据题意作图如下， ∵将沿直线翻折，点D的对应点记作点F， ∴，，，， ∵矩形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 解得：， ∴． 故答案为：． 18. 在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数的知识，求出与的关系是本题的关键． 过作，设，根据角可证为等腰三角形，进而得到为的中位线，得到，再由勾股定理求出，进而求即可． 【详解】解：如图，过作，设， 由旋转可知，，， ， 又， ， ， ， 则， 为等腰三角形， 为的中点， 的面积是的3倍， ， ，， ， ∴，即， 为的中位线， ，则， ， ． 故答案为：． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【请在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤】 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了特殊三角函数值的混合运算、零指数幂，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键． 先代入特殊角的三角函数值，再根据零指数幂的性质化简，最后根据实数的运算法则计算即可． 【详解】解： ． 20. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，，线段交对角线于点O，设，． （1）用和表示：______；______；______． （2）作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论） 【答案】（1），， （2）见解析 【解析】 【分析】此题考查了平面向量的知识、平行四边形的性质以及平行线分线段成比例的性质．注意掌握平行四边形法则与三角形法则的应用是解此题的关键． （1）先利用平行四边形性质，得到对角线向量，再判定，得出相似比，根据比例关系，分别求出 和 ．再利用向量减法，计算 和 ，得到最终表达式． （2）由（1）的结论，已知 ，过点 分别作、的平行线，构造平行四边形，得到在和方向上的分向量和，直接写出用和表示的线性组合结论． 【小问1详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴ ∵，且， ∴，相似比为， ∴，即． ∴， ， ∴ ； 故答案为：，， 【小问2详解】 解：由（1）知： 作图时，过点分别作、的平行线，交于，交于，则： （在方向上的分向量） （在方向上的分向量） 结论：． 21. 如图，已知在四边形中，对角线和相交于点O，，，，，，． （1）求证：； （2）求的正弦值． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）证明，得，得，由，得,得，得,即得 （2）由，得,由，，得，由，得，得，得， ，得， ，得,即得． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点B作于点F， 由（1）知，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了相似三角形综合，熟练掌握相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，解直角三角形，是解题的关键． 22. 如图所示是由边长为1的小正方形构成的网格． （1）______； （2）请仅用无刻度的直尺作图： ①如图1，以为对角线作菱形，且； ②如图2，在右侧作点P，使得四边形是平行四边形； ③如图3，在的内部作点K，使； ④如图4，以Q为对称中心作的中心对称图形，其中点L、M、N分别与点R、S、T对应． 【答案】（1） （2）①见解析；②见解析；③见解析；④见解析 【解析】 【分析】（1）用矩形面积减去周围3个三角形的面积即可： （2）①按菱形的对角线互相垂直平分作图即可；②按平行四边形的对边相等作图；③根据中线平分三角形面积，同高的三角形面积比等于底边比作图；④根据成中心对称的两个图形的对应点连线经过对称中心，并且被对称中心平分作图． 【小问1详解】 解： 故答案为： 【小问2详解】 解：①如图，四边形即为所作的菱形． 理由：∵， ∴， ∵， ∴, ∴ ②如图，四边形即为所作的平行四边形． 理由：∵，， ∴四边形为平行四边形 ③如图，即为所作的三角形． 理由：∵M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ ④如图，即为所作的三角形． 【点睛】本题考查了网格作图．熟练掌握网格三角形面积计算方法，菱形性质，平行四边形性质，三角形中线性质，同高的三角形面积与底边的关系，是解题的关键． 23. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若，求证：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角可得出，连接，利用切线的性质可得出，利用等边对等角和对顶角的性质可得出，等量代换得出，然后利用三角形内角和定理求出，即可得证； （2）连接，证明，得出，求出，再根据已知条件得出，从而得出，证明，根据，得出，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵， ∴， ∵是切线， ∴，即， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：连接， 根据解析（1）可得：， ∴， ∴， ∵是切线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，切线的性质，相似三角形的判定和性质，灵活运用以上知识是解题的关键． 24. 新定义：若抛物线与轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在轴上的交点的连线与轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”， 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点（点在点的右侧）、与轴交于点，顶点为点，且． （1）求证：抛物线是“半垂抛物线”； （2）已知点是抛物线上一点，横坐标为，连接． ①若点位于轴下方，且，求直线的解析式； ②若，求此时的值． 【答案】（1）见解析 （2）①，② 【解析】 【分析】（1）先利用在抛物线上，代入解析式可得，进而用表示出点、点，再根据抛物线轴对称性质求出点坐标，进而利用三角形面积列方程求出； （2）①如图，设直线交轴于点，过点作，设延长交轴于点，先求得直线的解析式为：，得出直线与轴交点坐标为，根据得出，进而得出点，则直线的解析式为：，联立抛物线求得，进而求得直线的解析式为； ②作的外接圆，交抛物线于点，则，设，根据以及勾股定理求得点的坐标，根据建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：连接， ∵抛物线交轴于点， ∴，即， ∴抛物线为， ∴点；，对称轴为， ∴ ∵， ∴， 解得：， 即抛物线解析式为， ∴点， ∴， ∴， 故该抛物线为“半垂抛物线”， 【小问2详解】 解：①如图，设直线交轴于点，过点作，设延长交轴于点， 由（1）可知：点；， ∴直线的解析式为：， ∴直线与轴交点坐标为， ∴ ∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴点， ∴直线的解析式为：， 联立抛物线和直线解析式得： ， 解得：，， 即点， ∵点，， ∴直线的解析式为， ②解：如图所示，作的外接圆，交抛物线于点，则 ∵点是的外接圆的圆心， ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴点在上， 设， ∵， ∴ 解得： ∴, ∴ 设 ∵ ∴ 整理得， 即 ∵不与重合， ∴ ∴ 25. 如图，在中，，，，点M是边上的动点（不与点A、B重合），连接． （1）如图1，过点M作，连接，若，，求的正切值． （2）如图2，若，在边上取一点Q，使得，连接交于点O，求的度数； （3）已知点P在边上， ①若和均为等腰三角形，则______； ②过点M作的垂线，垂足为H，若平分，且为等腰三角形，求的长． 【答案】（1） （2） （3）①或或；②或． 【解析】 【分析】（1）过点N作于点D，于点E，取的中点O，连接，证明四边形是矩形，得，求出，可得,得，即得； （2）过点M作于点P，交于点R，求出,证明，得，得， 求出，得，得，即得； （3）解：①过P作于点I，设，分当时，当时，当时，三种情况解答；②证明，得，得，设，求出， ，根据为等腰三角形，分当时，当时， 当时，三种情况解答． 【小问1详解】 解：过点N作于点D，于点E，取的中点O，连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴. 【小问2详解】 解：过点M作于点P，交于点R， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：①过点P作于点I，设， 当时， ， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得（舍去），或； 当时，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得或（舍去）； 综上，或或； 故答案为：或或； ②∵平分，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， 设， 则， ∴， 解得， ∴， ∴， ∵为等腰三角形， ∴当时，设， 则， ∵， ∴， 解得； 当时， ； 当时， ∵， ∴不存在； 综上，或． 【点睛】本题考查了三角形综合．熟练掌握矩形判定和性质，直角三角形性质，正切定义，等腰三角形，角平分线性质，全等三角形判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例定理 ，相似三角形的判定和性质，分类讨论，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习卷 考生注意： 1．本试卷共25题． 2．试卷满分150分，考试时间100分钟． 3．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效． 4．除第一、二大题外，其余各题如无特殊说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题（本大题共6题，每题4分，满分24分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】 1. 在中，，，，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知非零向量、、，不能判定的条件是（ ） A. ， B. C. D. 3. 在四边形中，对角线与相交于点O，能判定的条件是（ ） A. B. C. D. 4. 抛物线与直线在同一坐标系内的图象可能是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，点D为边上的黄金分割点（），点G为的重心，连接．若，则下列说法中错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 关于等腰三角形相似的判定，某同学提出如下猜想，下列说法中正确的是（ ） ①两腰及一腰上的高对应成比例的两个等腰三角形相似； ②底边和底边上的高对应成比例的两个等腰三角形相似． A. ①错误②正确 B. ①正确②错误 C. ①②均正确 D. ①②均错误 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】 7. 已知，则______． 8. 若以点为圆心的圆与两坐标轴只有3个交点，则该圆的半径长是______． 9. 某市新建一座电视塔，设计师先用木料制作了一个高度为2米的模型塔，且该模型塔的高度是实际塔高的．已知建成后的电视塔顶端加装了一根天线，且这根天线占实际塔高的．若要在模型塔上加装天线，则天线长应为______米． 10. 如图，为了适应老年人乘坐轮椅进出小区的需求，某小区打算改造小区入口的斜坡．已知原斜坡竖直高度米，斜坡的坡比为，若改造后C点向左移动了2.8米，则新坡面的长度为______米． 11. 某园林设计师规划一个矩形花坛，并在长边上确定景观树的位置（记作点），要求将矩形花坛的长边分成两段，且满足．已知该矩形长为t，宽为，现从树的位置作一条垂直于长边的直线，将花坛分为两个小矩形区域，那么分割得到的较小矩形面积是______．（用含t的代数式表示） 12. 在中，点E和点F分别在边和上，若与相似，且满足，，，，则的长为______． 13. 如图，在中，点D、E、F分别是边上的中点．若的面积是1，则四边形的面积是______． 14. 如图，在由边长为1的小正方形构成的网格中，线段与线段交于点O，则的余弦值是______． 15. 新定义：若抛物线与x轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在y轴上的交点的连线与x轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”，称抛物线在x轴上的这个交点为“半垂点”，称抛物线在坐标轴上的三个交点形成的三角形为抛物线的“半垂三角形”． 已知抛物线是“半垂抛物线”，且为该抛物线的“半垂三角形”，点，点，点C为“半垂点”．将抛物线先向左平移4个单位，再向下平移3个单位后，得到新抛物线的对称轴是直线______． 16. 已知抛物线，若点，点，且线段与该抛物线图像有交点，则t的取值范围是______． 17. 如图，在矩形中，，，E为边上一点，连接，将沿直线翻折，点D的对应点记作点F，且点F在对角线上．连接，与相交于点O，则______． 18. 在中，，将该三角形绕点B旋转，使得点A落在点，点C落在延长线上的点，延长交线段于点D．若的面积是的3倍，则______． 三、解答题（本大题共7题，满分78分） 【请在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤】 19. 计算：． 20. 如图，在平行四边形中，，E是边上一点，，线段交对角线于点O，设，． （1）用和表示：______；______；______． （2）作出在和方向上的分向量并用和的线性组合表示．（不要求写作法，仅需作出图形并写出结论） 21. 如图，已知在四边形中，对角线和相交于点O，，，，，，． （1）求证：； （2）求的正弦值． 22. 如图所示是由边长为1的小正方形构成的网格． （1）______； （2）请仅用无刻度的直尺作图： ①如图1，以为对角线作菱形，且； ②如图2，在右侧作点P，使得四边形是平行四边形； ③如图3，在的内部作点K，使； ④如图4，以Q为对称中心作的中心对称图形，其中点L、M、N分别与点R、S、T对应． 23. 如图，为半圆O的直径，点F在半圆上，点P在的延长线上，与半圆相切于点C，与的延长线相交于点D，与相交于点E，． （1）求证：； （2）若，求证：． 24. 新定义：若抛物线与轴正半轴有两个交点，且其中一个交点与抛物线在轴上的交点的连线与轴夹角为，则称该抛物线为“半垂抛物线”， 如图，在平面直角坐标系中，抛物线交轴于点、点（点在点的右侧）、与轴交于点，顶点为点，且． （1）求证：抛物线是“半垂抛物线”； （2）已知点是抛物线上一点，横坐标为，连接． ①若点位于轴下方，且，求直线的解析式； ②若，求此时的值． 25. 如图，在中，，，，点M是边上的动点（不与点A、B重合），连接． （1）如图1，过点M作，连接，若，，求的正切值． （2）如图2，若，在边上取一点Q，使得，连接交于点O，求的度数； （3）已知点P在边上， ①若和均为等腰三角形，则______； ②过点M作的垂线，垂足为H，若平分，且为等腰三角形，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $