第24章-第26章 复习题2025-2026学年 沪教版（上海）九年级数学第一学期期末复习试卷（一）

沪教版九年级上册期末复习试卷（一） 考查范围：第24章～第26章 一．选择题 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（     ） A． B． C． D． 2．下列说法中错误的是（     ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 3．如图，点G是△ABC的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（     ） A． B．4 C．6 D．8 4．如图，在的方格图中，△ABC的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与△ABC相似的是（     ） A．B．C．D． 5.从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（    ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 6.．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 二．填空题 7.已知：＝，那么＝　　　　　　． 8.小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了　　　米 9..如果与相似，的三边之比为3 : 4 : 6，的最长边是10 cm，那么的最短边是______cm． 10.如图，已知AD、BC相交于点O，AB // CD // EF，如果CE = 2，EB = 4，FD = 1.5，那么AD =______．A B C D E F G A B C D E F O （第10题） （第11题） （第16题） 11.如图，点G为的重心，DE经过点G，DE // AC，EF // AB，如果DE的长是4，那么的长是______． 12.已知在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，设，，那么______（用向量、的式子表示）． 13.抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是 14.抛物线在对称轴右侧的部分是______的.(填“上升”或“下降”) 15.如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为___________． 16.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 　　m． 17.如图，在梯形ABCD中，AD // BC，BC = 2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么和的面积比是______． 18.在平行四边形中，，垂足为，为锐角，且，若，，则边长为 ． （第17题） （第18题） 三．简答题 19.计算： 20.如图，已知：中，，点为上一点，，，过点作的垂线交射线于点，延长交于点. （1）求的长；（2）求. 21.如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为． （1）求二次函数的解析式与顶点P坐标； （2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值． 22.日常生活中洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 四．解答题 23.已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 24.已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，求抛物线的表达式； （3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值． 25.如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 沪教版九年级上册期末复习试卷（一）参考答案（仅供参考） 1．下列四组线段中，是成比例线段的一组是（  B   ） A． B． C． D． 解：A选项，，四条线段不成比例，故A错误； B选项，，四条线段成比例，故B正确； C选项，，四条线段不成比例，故C错误； D选项，，四条线段不成比例，故D错误； 故选：B． 2．下列说法中错误的是（  C  ）． A．所有等边三角形都相似 B．和同一个三角形相似的两个三角形也相似 C．所有菱形都相似 D．所有的正方形都相似 解：A等边三角形的角都为，所有等边三角形都相似，则A选项正确，故不符合题意； B相似三角形对应角相等，则和同一个三角形相似的两个三角形也相似，则B选项正确，故不符合题意； C菱形的对应角不一定相等，则所有菱形不一定相似，则C选项错误，故符合题意； D正方形的每个内角都为，所有的正方形都相似，则D选项正确，故不符合题意， 故选C． 3．如图，点G是△ABC的重心，交BC于点E．如果，那么的长为（  B  ） A． B．4 C．6 D．8 解：连接并延长交于D， ∵点G是△ABC的重心， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 4．如图，在的方格图中，△ABC的顶点均在格点上，下列选项中的格点三角形（阴影部分）与相似的是（  A  ） A．B．C．D． 答案：A 解：由题意可知，，， A、三条边长分别为、、，且， 此三角形为直角三角形，且长直角边与短直角边之比为， 此三角形与△ABC相似，符合题意； B、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； C、此三角形的长直角边与短直角边之比为，不能证明相似，不符合题意； 5.从如图所示的二次函数的图象中，观察得出了下面五条信息： ①；②；③；④；⑤．你认为其中正确信息的有（  A  ） A．①②③⑤ B．①②③④ C．①②④⑤ D．①③④⑤ 分析：主要考查图象与二次函数系数之间的关系，由抛物线的开口方向判断与0的关系，由抛物线与轴的交点判断与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断． 解：∵函数图象与轴的交点在轴的负半轴可知， ∴， 故①正确； 函数图象开口向上， ， ∵函数的对称轴为直线， ∴， ∴故， 故②正确； 把代入函数解析式，由函数的图象可知，时，即， 故③正确； ∵， ∴， 故④错误； ∵， ∴， 故⑤正确； 其中正确信息的有①②③⑤． 故选：A． 6.．如图，将矩形直线折叠，使得点落在点处，交于点，若，，则的值为（  C  ） A． B． C． D． 分析：首先根据题意证明出，得到，设，则，根据勾股定理求出，然后根据正切的概念求解即可． 解：∵四边形是矩形 ∴，， 由折叠可得，， ∴， 又∵ ∴， ∴， 设，则 在中， 解得： ． 故选C． 二．填空题 7.已知：＝，那么＝　　　　　　． 解：∵＝，∴设x＝2a，y＝3a，∴＝＝．故答案为：． 8.小明沿坡比为1：的山坡向上走了100米．那么他升高了　　　米 解：∵坡比为1：， ∴设BC＝x米，则AC＝x米， 由勾股定理得，BC2+AC2＝AB2，即x2+（x）2＝1002， 解得，x1＝50，x2＝﹣50（舍去）， ∴BC＝50米， 故答案为：50． 9..如果与相似，的三边之比为3 : 4 : 6，的最长边是10 cm，那么的最短边是______cm． 解：最长边为，设最短边为cm，所以比例为： 10.如图，已知AD、BC相交于点O，AB // CD // EF，如果CE = 2，EB = 4，FD = 1.5，那么AD =______． A B C D E F O 解：由平行线分线段成比例定理可得，， 所以． 11.如图，点G为的重心，DE经过点G，DE // AC，EF // AB，如果DE的长是4，那么的长是______． ∵点G为的重心，DE // AC， ∴，则．∵EF // AB， ∴． ∵DE // AC，EF // AB， ∴四边形ADEF是平行四边形，∴AF = DE = 4， ∴， ∴．A B C D E F G 12.已知在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD，设，，那么______（用向量、的式子表示）． 解：∵在梯形ABCD中，AD//BC，BC=2AD， ∴． ∵，， ∴． 13.抛物线y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是 解：y＝x2+2先向右平移2个单位，再向下平移3个单位得到的抛物线的表达式是y＝（x﹣2）2﹣1． 14.抛物线在对称轴右侧的部分是______的.(填“上升”或“下降”) 解：根据题意，得 抛物线开口向下，对称轴为 ∴对称轴右侧的部分是下降的 15.如果将抛物线平移，顶点移到点P（3，-2）的位置，那么所得新抛物线的表达式为___________． 解：抛物线y=−2x²平移,使顶点移到点P(3,-2)的位置,所得新抛物线的表达式为 y=−2(x-3)²-2. 故答案为y=−2(x-3)²-2. 16.如图，一位篮球运动员投篮，球沿抛物线y＝﹣0.2x2+x+2.25运行，然后准确落入篮筐内，已知篮筐的中心离地面的高度为3.05m，则他距篮筐中心的水平距离OH是 　　m． 【分析】根据所建坐标系，水平距离OH就是y＝3.05时离他最远的距离． 【解答】解：当y＝3.05时，3.05＝﹣0.2x2+x+2.25， x2﹣5x+4＝0， （x﹣1）（x﹣4）＝0， 解得：x1＝1，x2＝4， 故他距篮筐中心的水平距离OH是4m． 故答案为：4． 17.如图，在梯形ABCD中，AD // BC，BC = 2AD，点E是CD的中点，AC与BE交于点F，那么和的面积比是______． 解析：延长BE、AD交于点G． A B C D E F ∵AD // BC， ∴． G．A B C D E F ∵， ∴， ∴， ∴． ∵AD // BC， ∴， ∴． 设， 则， ∴， ∴． ∵ ∴． ∵ ， ∴． 18.在中，，垂足为，为锐角，且，若，，则边长为 ． 分析：如图，设．利用相似三角形的性质，构建方程即可解决问题； 解：当在内部时，如图，设． ， ， ， ， ， ， 整理得：， 解得或3， 或3， 或， 当在外部时，设． ， ， ， ， ，（舍去）， ∴， ， 故答案为或或． 三．简答题 19.计算：sin30°•tan60°+.． 原式= 20.如图，已知：中，，点为上一点，，，过点作的垂线交射线于点，延长交于点. （1）求的长；（2）求. 1 学科网（北京）股份有限公司 解析：（1）证△ABC∽△FAC，得，将相关线段的长代入计算可得； （2）作CH⊥AB，先计算AB=5，据此可得CH=，AH=，EH=AE-AH=，依据tanD=tan∠ECH=可得答案． 【详解】（1），，， ，，，， ，即，解得； （2）如图，过点作于点， ，，，则， ，， . 21.如图，已知：二次函数y＝x2+bx的图象交x轴正半轴于点A，顶点为P，一次函数y＝x﹣3的图象交x轴于点B，交y轴于点C，∠OCA的正切值为． （1）求二次函数的解析式与顶点P坐标； （2）将二次函数图象向下平移m个单位，设平移后抛物线顶点为P′，若S△ABP＝S△BCP，求m的值． 分析：(1)先由直线解析式求出点B,C坐标,利用∠OCA正切值求得点A坐标,再利用待定系数法求解可得; (2)由平移知点P`坐标为(1,-1-m),设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M 知M(1,- ),先得出S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1）,S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|,根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得 解：（1）∵y＝x﹣3，∴x＝0时，y＝﹣3， 当y＝0时， x﹣3＝0，解得x＝6，∴点B（6，0），C（0，﹣3）， （2）∵P`坐标为(1,-1-m),设抛物线对称轴与x轴交于点H,与BC交于点M 知M(1,- ),先得出S△ABP′＝AB•P′H＝×4（m+1）＝2（m+1）,S△BCP′＝S△P′MC+S△P′MB＝P′M•OB＝3|﹣m|,根据S△ABP＝S△BCP列出方程求解可得 22.日常生活中的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，1.73） 解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示， 则四边形MEGN为矩形， ∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm）， 在Rt△AMN中，sin∠AMN，cos∠AMN， ∴AN＝AM×sin37°≈106（cm），MN＝AM×cos37°≈108（cm）， ∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm）， ∵∠ACG＝60°， ∴CG19.60（cm）， ∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm）， 答：EC的长约为27.6cm． 四．解答题 23.已知：梯形ABCD中，AD//BC，AD=AB，对角线AC、BD交于点E，点F在边BC上，且∠BEF=∠BAC． （1）求证：△AED∽△CFE； （2）当EF//DC时，求证：AE=DE． 解：（1） 又，. ∵AD//BC， （2）∵EF//DC， . . ∴． ∵AD//BC，∴，∴．即，. 24.已知抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，顶点B在第二象限内，AP⊥AB，交x轴于点P，tan∠APB＝2，点P的横坐标为m． （1）求点B的坐标（用含m的代数式表示）； （2）当m＝2时，求抛物线的表达式； （3）如果抛物线的对称轴与x轴相交于点C，且四边形ACBP是梯形，求m的值． 分析： （1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A，可得A（0，-2），过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N，证Rt△BMA∽Rt△ANP，结合tan∠APB＝2，可得BM和AM的长，即可求得B点坐标； （2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2），设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2，将A点代入，即可求得抛物线的表达式； （3）利用待定系数法求直线AC的表达式，利用四边形ACBP是梯形，AC∥BP，求直线BP的表达式，代入B点和P点的坐标求解m． 解析： （1）抛物线y＝ax2+bx﹣2与y轴相交于点A， ∴A（0，-2） 过点A作x轴的平行线交过点B与y轴的平行线于点M，交过点P与y轴的平行线于点N， ∵∠BAM+∠PAN＝90°，∠PAN+∠APN＝90°， ∴∠BAM＝∠APN， ∴Rt△BMA∽Rt△ANP， ∵tan∠APB＝2， ∴两个三角形相似比为2， 则BM＝2AN＝2m，AM＝2PN＝2OA＝4， 则点B的坐标为（﹣4，2m﹣2）； （2）当m＝2时，则顶点B的坐标为（﹣4，2） 设抛物线的表达式为y＝a（x+4）2+2， 将点A的坐标代入上式得：﹣2＝a（0+4）2+2，解得a＝， 故抛物线的表达式为y＝（x+4）2+2＝x2﹣2x﹣2； （3）如上图，点C的坐标为（﹣4，0） 设直线AC的表达式为y＝sx+t，则，解得 故直线AC的表达式为y＝x﹣2， ∵四边形ACBP是梯形， 故直线AC∥BP， 故设直线BP的表达式为y＝x+p， 将点P的坐标代入上式得：0＝m+p， 将点B的坐标代入上式得：2m﹣2＝， 解得m＝． 25.如图，梯形中，，对角线，，，，点是边上一个动点，，交于点、交延长线于点，设， (1)试用的代数式表示； (2)设，求关于的函数解析式，并写出定义域； (3)当是等腰三角形时，直接写出的长． 解：（1）∵AC⊥BC （2） . 整理得： （3）当是等腰三角形时，长为、10或7 解题过程如下： ∴当是等腰三角形时，也是等腰三角形 第一种情况：当时，则有 第二种情况：当时，则有 第三种情况：当时，作 于H，如图， 则有 $