精品解析：安徽滁州市定远县育才学校2025-2026学年高二下学期开学数学试题

定远育才学校2025-2026学年高二下学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 4. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 5. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 7. 已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（　　） A. B. C. D. 8. 在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，下列不正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 直线到平面的距离为 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 两个圆心所在直线的斜率为 B. 两个圆公共弦所在直线的方程为 C. 过点作直线使圆上有且只有一个点到的距离为1，则直线的方程为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，，则直线的方程为 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 11. 已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 是和的等比中项 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则_____________． 13. 若椭圆上存在两点到直线的距离均为，则实数m的取值范围为______． 14. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且（，且）. （1）为何值时，数列是等比数列； （2）若数列是等比数列，求数列的前项和. 16. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离. 18. 已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 （1）求C 的离心率. （2）若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 19. 给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. （1）求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; （2）证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 （3）已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 定远育才学校2025-2026学年高二下学期开学考试 数学试题 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知直线，若直线与连接两点的线段总有公共点，则的倾斜角范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由直线的方程得到直线过定点，再由直线与线段有交点得直线的斜率变化范围，进而可得直线倾斜角的范围. 【详解】由直线， 令，解得，所以直线经过定点. 由，则，， 要使直线与连接两点的线段总有公共点， 则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：D. 2. 如图，为四面体的棱的中点，为的中点，点在线段上，且，设，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基本定理得到，故. 【详解】为四面体的棱的中点，为的中点， 故，， ， 因为，所以， . 故选：A 3. 已知，直线，为上的动点.过点作的切线，切点为，当四边形面积最小时，直线的方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据几何性质可得当最小时四边形面积最小，求出四边形外接圆的方程后可求直线的方程. 【详解】由题意可知，. 故四边形的面积. 由圆得①， 圆心，半径，即. 要使四边形面积最小，即最小， 又，即求的最小值. 当直线与垂直时，最小. 直线的斜率，则方程为即. 联立得，即 . 中点，则四边形外接圆为②， 直线方程为①-②，即. 故选：C. 4. 设双曲线的左､右焦点分别为，点在上，满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设则,在中，利用余弦定理得到的方程，再利用得到的方程，两个方程联立，结合即可求解. 【详解】如图所示： 设,则,在中，， 由余弦定理得， 化简得，即.又， 即， 即， 化简得 ，又 所以 故选：C 5. 在圆幂定理中有一个切割线定理：如图1所示，QR为圆O的切线，R为切点，QCD为割线，则．如图2所示，在平面直角坐标系xOy中，已知点，点P是圆上的任意一点，过点作直线BT垂直AP于点T，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用和余弦定理得到，可得，即可求，进而求得，再利用基本不等式即可得到答案 【详解】连接， 在中，因为是的中点， 所以，平方得， 将代入可得， 因为，所以， 所以， 在，， 所以， 当且仅当即时，取等号, 故选：A 6. 甲、乙两名大学生同时于2025年5月初向银行贷款5000元，甲与银行约定按“等额本金还款法”进行还款，乙与银行约定按“等额本息还款法”进行还款；两人都分12次还清所有的欠款，从2025年6月初开始，每个月月初还一次款，贷款月利率均为0.4%，则2025年10月初甲比乙将多还多少元（精确到个位，参考数据：，，）（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】先求出学生甲在第5个月的还款额，再利用等比数列的性质，求和公式得到学生乙每个月的还款额均为元，从而得到10月初甲比乙将多还元. 【详解】学生甲从5月初到9月初已经还了4个月， 在第5个月的还款额为元， 设学生乙每个月的还款额均为元，第个月还款后还剩余元未还， 显然，，， ……，， 显然，故， 所以，故， 依次类推，可得， 即， 所以， 由等比数列求和公式可得 ， 故元， 学生乙每个月的还款额均为元， 所以甲比乙将多还元． 故选：A 7. 已知直线垂直于抛物线的对称轴，与E交于点A，B（点A在第一象限），过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若，则p=（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，设，作于，进而根据几何关系得，再结合点在上列方程求解即可. 【详解】如图，因为过点A且斜率为的直线与E交于另一点C，若， 所以可设，作于． 因为，则．由，易得， 所以，，即知， 因为点在上． 所以，解得． 故选：A 8. 在直四棱柱中，已知底面为正方形，若，下列不正确的是（ ） A. 平面 B. 直线与所成角的余弦值为 C. 直线与平面所成角的余弦值为 D. 直线到平面的距离为 【答案】C 【解析】 【详解】如图建立空间直角坐标系，则， 所以， 设平面的法向量为， 则，令，则， 所以平面的一个法向量为， 又，所以， 又平面，所以平面，故A正确； 因为， 所以， 所以直线与所成角的余弦值为，故B正确； 因为， 所以， 所以直线与平面所成角的正弦值为， 则直线与平面所成角的余弦值为，故C错误； 因为且，所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面，所以直线到平面的距离， 即为点到平面的距离， 因为，所以点到平面的距离， 故直线到平面的距离为，即D正确. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知圆：，圆：，则（ ） A. 两个圆心所在直线的斜率为 B. 两个圆公共弦所在直线的方程为 C. 过点作直线使圆上有且只有一个点到的距离为1，则直线的方程为 D. 过点作圆的两条切线，切点为，，则直线的方程为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据两个圆的圆心距、半径可以判断这两个圆的位置关系，然后利用四点共圆，推出直线的方程. 【详解】根据题意，圆：，其圆心为，半径． 圆：，即，其圆心为，半径， 则两个圆心所在直线的斜率，故A正确； 圆心距，两圆外离，不存在公共弦，故B不正确； 因为圆上有且只有一个点到的距离为1，所以点到的距离为3， 当直线斜率不存在时，的方程为，满足题意， 故C不正确； 连接，，则，，，B四点共圆（四边形对角互补则四点）， 则该圆的方程为，即圆的方程， 而圆：，且为圆与圆的公共弦， 两式相减得直线的方程为，故D正确. 故选：AD． 10. 已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A. B. 取得最小值时或4 C. D. 的最小值为 【答案】BC 【解析】 【分析】给出作为反例即可判断A，利用二次函数的性质即可判断B，利用裂项相消法判断C，注意到一定是有理数即可判断D. 【详解】对于A，由于，故对不成立，故A错误； 对于B，由二次函数性质知的开口向上，且对称轴为，故当或时，取得最小值，故B正确； 对于C，因为，故对有. 所以，同时有. 故，故C正确； 对于D，因为一定是有理数，所以不可能以无理数为最小值，故D错误. 故选：BC. 11. 已知为等差数列的前项和，且，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 为递减数列 C. 是和的等比中项 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】先由题干中条件得到公差，从而求出通项公式，判断出AB选项；计算出，，发现，故判断C选项的正误；D选项为递增数列，且，，从而得到最小，计算出结果即可判断. 【详解】由题意得：，因为，所以，所以通项公式为：，A选项正确；由于，所以为递增数列，B选项错误；通过计算可得：，，，其中，所以不是和的等比中项，C选项错误；因为为递增数列，且，，故在时取得最小值，，D选项正确 故选：AD 三、填空题：本大题共3小题，共15分. 12. 已知为等差数列，为其前n项和.若，则_____________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据等差数列通项的基本量关系求得首项和公差，再代入差数列的前n项和公式求解即可. 【详解】解：设d为公差，由，， 得， 解得，， 则， 故答案为：4. 13. 若椭圆上存在两点到直线的距离均为，则实数m的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】令直线与椭圆相切，联立椭圆求出参数并求出两切线的距离，再由平行线的距离公式及直线与椭圆关系分析参数的范围. 【详解】令直线与椭圆相切，则， 所以，则， 所以，则切线为，两切线的距离为， 而直线与两切线平行，椭圆上存在两点到该直线的距离均为， 显然直线与椭圆有交点时满足要求，此时， 若直线与的距离为，则， 所以或，其中， 所以直线与切线的距离为，则在该两条直线之间的直线也满足要求，即， 同理，直线与切线的距离为，则在该两条直线之间的直线也满足要求，即， 综上，. 故答案为： 14. 已知中心在坐标原点的椭圆与双曲线有公共焦点，且左，右焦点分别为，，与在第一象限的交点为，是以为底边的等腰三角形，若，与的离心率分别为，，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义、椭圆和双曲线的离心率公式，结合等腰三角形的性质，可得关于的表达式，构造函数，再根据函数的单调性可得的取值范围. 【详解】设椭圆和双曲线的半焦距为，椭圆的长半轴长为，双曲线的实半轴长为． ，， 由于是以为底边的等腰三角形． 若，即有，， 由椭圆的定义可得， 由双曲线的定义可得， 即有，，， 再由三角形的两边之和大于第三边，可得， 可得，即有． 由离心率公式可得， 其中． 令， 由于是上的单调增函数， 是上的单调减函数， 是上的单调增函数， 又，， 又，且趋近于时，趋近于， 的取值范围是， 即的取值范围是． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知数列满足，且（，且）. （1）为何值时，数列是等比数列； （2）若数列是等比数列，求数列的前项和. 【答案】（1）2；（2）. 【解析】 【分析】 （1）本题首先可根据数列是等比数列得出恒成立，然后根据恒成立得出，通过计算即可得出结果； （2）本题首先可根据（1）得出，然后根据等比数列求和公式即可求出数列的前项和. 【详解】（1）若数列是等比数列，则（为非零常数）， 即，对于任意恒成立， 则，解得， 故当时，数列是等比数列； （2）因为由（1）可知，数列是公比为的等比数列，且首项为， 所以，， 故 . 【点睛】本题考查根据等比数列性质求参数以及数列求和，主要考查等比数列的前项和公式，考查推理能力与计算能力，体现了综合性，是中档题. 16. 已知圆的圆心在直线：上，圆过点，且圆与x轴相切，圆：（）与圆内切，切点为A． （1）求圆的标准方程； （2）求r的值以及点A的坐标； （3）过点A的直线l与圆，在第一象限分别交于B，C两点，若，求直线l的方程． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）设圆，利用待定系数法即可求解； （2）根据两圆的位置关系可求出，联立两圆的方程可求出点的坐标； （3）设直线的方程为，表示出两圆的弦心距进而表示出和，最后利用列方程即可求解. 【小问1详解】 设圆，由题意可知， 解得，所以圆的标准方程为. 【小问2详解】 圆的圆心为，半径为， 圆的圆心为，半径为， 两圆的圆心距为，因为两圆内切于点，所以， 解得或（舍去）， 所以圆的标准方程为， 联立，解得，所以点的坐标为. 【小问3详解】 由题意可知，直线的斜率显然是存在的且大于，设直线的方程为，即， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 圆的圆心到直线距离，根据弦长公式可得， 所以，解得或（舍去）， 故直线的方程为. 17. 如图，在四棱锥中，底面为矩形，侧棱底面是的中点，点是棱上靠近的四等分点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求点到直线的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一合理作出辅助线，利用中位线定理得到，再利用线面平行的判定定理得到线面平行，法二建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间位置关系的向量证明求解即可. （2）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，结合线面角的向量求法求解即可. （3）建立空间直角坐标系，求出关键点的坐标和关键平面的法向量，利用空间中点到平面的距离公式求解即可. 【小问1详解】 法一：如图，连接交于，连接， 因为底面为矩形，所以为的中点， 因为为的中点，所以是的中位线， 得到，而平面，平面，故平面. 法二：根据题意，以点为坐标原点， 分别以为轴，建立空间直角坐标系， 由题意得， 则， 设为平面的法向量， 则，即， 令，则，故， 平面，平面. 【小问2详解】 ， ， 直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 由已知得， 由点到直线的距离公式得， 故点到直线的距离为. 18. 已知椭圆C 直线与C 交于点 M，N，且线段的中点为 （1）求C 的离心率. （2）若点M在x轴上，点 P，Q（点Q在点 P的右上方）在C上，且直线与直线平行. （i）求直线与直线之间距离的取值范围； （ii）求证：直线，的交点在定直线上. 【答案】（1） （2）（i），（ii）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用点差法可得，进而得，求得椭圆的离心率； （2）由题可先求得椭圆的方程，（i）设，代入椭圆方程，由求得的范围，结合两平行线间距离公式求得答案；（ii）由（1）点差法结论可得弦的中点始终在直线上，由，得直线与的交点始终在直线上，得证. 【小问1详解】 设，，的中点，则，， 由，两式相减整理得，即， ，解得， 所以椭圆离心率. 【小问2详解】 在中，令，得，故， 由的中点为，故， 直线方程为，即， 所以椭圆的方程为. （i）由，设， 代入椭圆方程并整理得， 由，得，且， 直线与的距离， 结合的范围，得，， ， （ii）设的中点，直线与的交点为， 由（1）知，即，所以， 即弦的中点始终在直线上， 又，所以直线的方程为. 因为，所以直线与的交点始终在直线上， 即直线与的交点在定直线上. 19. 给定数列，，，，定义“变换”为将数列变换成，，，，其中，且这种“变换”记作，继续对数列进行“变换”，得到数列，，依此类推，当得到的数列各项为0时变换结束. （1）求数列，4，2，9经过4次“变换”后得到的数列; （2）证明：数列，，经过有限次“变换”后能够结束的充要条件是 （3）已知数列，2，2028经过K次“变换”后得到的数列各项之和最小，求K的最小值. 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）508 【解析】 【分析】（1）根据定义直接写出即可; （2）从充分性和必要性两方面求证即可; （3）求出数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列，仅除4之外的两项均减小24，得数列经过次“变换”后得到数列6，10，4，接下来经过“变换”依次得到4，6，2，2，4，2，2，2，0，0，2，2，至此数列各项之和最小值为4，即可求K的最小值. 【小问1详解】 由题知：数列 A4，4，2，9经过次“变换”后得到的数列依次为： . 【小问2详解】 充分性：当时，数列，，经过一次“变换”后结束， 必要性：即证明当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 设数列，，，数列，，，数列，0，0，且， 由充分性易知：数列 E只能为非零常数列， 不妨设 为了变换得到数列E的前两项，数列D只有如下四种可能： ，，，，，，，，， 那么数列E的第三项只能是0或者 即不存在数列D，使其经过一次“变换”后变为非零常数列， 故当，，不全相等时，，，经过有限次“变换”后不会结束， 必要性得证. 【小问3详解】 数列，2，2028经过一次“变换”后得到数列，2026， 其结构为a，，4，且远大于， 那么其经过次“变换”后得到数列依次为： 4，a，，4，，，，，，4，，，4 所以数列a，，4经过6次“变换”后得到的数列结构也是形如a，，4的数列， 仅除4之外的两项均减小24， 因为， 所以数列经过次“变换”后得到数列6，10，4， 接下来经过“变换”依次得到4，6，2；2，4，2；2，2，0；0，2，2， 至此数列各项之和最小值为4，K的最小值为 【点睛】关键点点睛：对于数列中的变换题，我们需要在变换中寻找确定的性质，后者需要从具体中抽象出来. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $