21.3.1矩形知识归纳与题型突破2025-2026学年人教版数学八年级下册（十一大题型）

21.3.1矩形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十一大题型） 知识归纳： 知识点一：矩形的性质 （1）性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，�还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半． 知识点二：矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 题型突破： 题型一：由矩形的性质求线段的长度 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 2.如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，BC＝1，则BD的长是 　 　． 3.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　． 5.如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________．    题型二：矩形和垂直平分线的综合应用 1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 题型三：由矩形的性质求角的度数 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　） A．70° B．60° C．80° D．45° 2.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 5.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 　　． 题型四：由矩形的性质求面积 1.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 2.如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 5.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积． 题型五：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D． 2.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 3.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　． 4.如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）． （1）写出点B的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标． 题型六：矩形的判定条件 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 2.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 题型六：证明四边形是矩形（三直角） 1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 2.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形． 题型七：证明四边形是矩形（三平行四边形+一直角） 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论． 2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形． 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形． 题型八：证明四边形是矩形（平行四边形+对角线相等） 1.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 2.如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 3.如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO． 求证：四边形AMCN是矩形． 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O． （1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF； （2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形． 题型十：矩形的判定与性质综合 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，BD＝BE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ABD＝60°，AC＝4，求矩形ABCD的面积． 2.如图，在▱ABCD中，连接BD，E为边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，已知∠BDF＝90°． （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积． 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°． （1）求证：四边形ACFD是矩形； （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积． 4.如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 题型十一：直角三角形斜边的中线 1.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　） A．6 B．6.5 C．10 D．13 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 3.如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4.如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 5.如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 6.如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE． （1）若BE＝5，求DE的长； （2）求证：AB＝BC． 【答案】 21.3.1矩形知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版八年级下册（十一大题型） 知识归纳： 知识点一：矩形的性质 （1）性质：矩形是特殊的平行四边形，它具有平行四边形的所有性质，�还具有自己独特的性质： ① 边的性质：对边平行且相等． ② 角的性质：四个角都是直角． ③ 对角线性质：对角线互相平分且相等． ④ 对称性：矩形是中心对称图形，也是轴对称图形． 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 直角三角形中，角所对的边等于斜边的一半． 知识点二：矩形的判定 判定①：有一个角是直角的平行四边形是矩形． 判定②：对角线相等的平行四边形是矩形． 判定③：有三个角是直角的四边形是矩形． 题型突破： 题型一：由矩形的性质求线段的长度 1.如图，矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，若∠AOB＝60°，BD＝8，则DC长为（　　） A．4 B．4 C．3 D．5 【答案】B． 2.如图，矩形ABCD两条对角线相交于点O，若∠AOD＝60°，BC＝1，则BD的长是 　 　． 【答案】2． 3.如图，矩形ABCD中，AC，BD交于点O，M，N分别为BC，OC的中点，若MN＝3，则BD＝　 　． 【答案】12． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝3．在边AD上取一点E，使BE＝BC．过点C作CF⊥BE，垂足为点F，则BF的长为 　　． 【答案】． 5.如图，矩形的对角线相交于点，点分别是线段上的点．若，则的长为___________．    【答案】 题型二：矩形和垂直平分线的综合应用 1.如图，矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN分别交AD，BC于点M，N．若AM＝1，BN＝2，则BD的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】A 2.如图，矩形ABCD的两条对角线相交于点O，CE垂直平分DO，AB＝4，则BE等于（　　） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 3.如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB＝8，对角线AC的垂直平分线与边AD，BC分别交于点E，F，则EF的长为（　　） A． B． C． D．5 【答案】B 4.如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE＝（　　） A．3 B．3.5 C．2.8 D．2.5 【答案】D 题型三：由矩形的性质求角的度数 1.如图，四边形ABCD和四边形AEFG都是矩形．若∠BAG＝20°，则∠DGF等于（　　） A．70° B．60° C．80° D．45° 【答案】A． 2.如图，矩形ABCD中，连接AC，延长BC至点E，使BE＝AC，连接DE．若∠E＝70°，则∠BAC的度数是（　　） A．40° B．45° C．50° D．60° 【答案】C． 3.如图，把一张矩形纸片沿对角线折叠，如果量得∠EDF＝22°，则∠FDB的大小是（　　） A．22° B．34° C．24° D．68° 【答案】B． 4.如图，矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，点M在边DC上，若AM平分∠DMB，则∠AMD的大小是（　　） A．45° B．60° C．75° D．30° 【答案】C． 5.如图，若将四根木条钉成的矩形木框变形为平行四边形ABCD的形状，并使其面积为矩形面积的一半，则平行四边形ABCD的最大内角的大小是 　 　． 【答案】150°． 题型四：由矩形的性质求面积 1.如图，点P是矩形ABCD的对角线上一点，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，连接PB，PD，若AE＝1，PF＝3，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】A． 2.如图，点E是矩形ABCD边AD上一动点，连接BE，以BE边作矩形BEFG，使得FG始终经过点C．若矩形ABCD的面积为s1，矩形BEFG的面积为s2，则s1与s2的大小关系是（　　） A．s1＜s2 B．s1＝s2 C．s1＞s2 D．不确定 【答案】B． 3.我们把两条对角线所成两个角的大小之比是1：2的矩形叫做“和谐矩形”，如果一个“和谐矩形”的对角线长为10cm，则矩形的面积为　 　cm2． 【答案】25． 4.如图，过矩形ABCD的对角线BD上一点K分别作矩形两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMKP的面积S1与矩形QCNK的面积S2的大小关系是S1　 　S2；（填“＞”或“＜”或“＝”） 【答案】S1＝S2． 5.已知：矩形ABCD中，延长BC至E，使BE＝BD，F为DE的中点，连接AF、CF． （1）求证：CF⊥AF； （2）若AB＝10cm，BC＝16cm，求△ADF的面积． 【答案】（1）证明：如图，连接BF，在矩形ABCD中，AD＝BC，∠ADC＝∠BCD＝90°， ∵F为DE的中点， ∴CF＝DF， ∴∠CDF＝∠DCF， ∴∠ADC+∠CDF＝∠BCD+∠DCF， 即∠ADF＝∠BCF， 在△ADF和△BCF中， ， ∴△ADF≌△BCF（SAS）， ∴∠AFD＝∠BFC， ∵BE＝BD，F为DE的中点， ∴BF⊥DE， ∴∠AFC＝∠AFB+∠BFC＝∠AFB+∠AFD＝90°， ∴CF⊥AF； （2）解：∵△ADF≌△BCF， ∴点F到AD、BC的距离相等， ∵AB＝10cm， ∴点F到AD的距离为10＝5cm， ∴△ADF的面积16×5＝40cm2． 题型五：矩形的性质与坐标轴的综合运用 1.如图，在矩形COED中，点D的坐标是（1，3），则CE的长是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D． 2.定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA＝3，OC＝4，点M（2，0），在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　） A．（3，1）或（3，3） B．（3，）或（3，3） C．（3，）或（3，1） D．（3，）或（3，1）或（3，3） 【答案】D． 3.矩形ABCD中，A（﹣3，2），B（0，2），C（0，3），则点D坐标为　 　． 【答案】（﹣3，3）． 4.如图，长方形OABC中，O为平面直角坐标系的原点，A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6），点B在第一象限内，点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O→C→B→A→O的路线移动（移动一周）． （1）写出点B的坐标； （2）当点P移动了4秒时，求出点P的坐标； （3）在移动过程中，当△OBP的面积是10时，直接写出点P的坐标． 【答案】解：（1）∵A点的坐标为（4，0），C点的坐标为（0，6）， ∴OA＝4，OC＝6， ∴点B（4，6）； （2）∵点P移动了4秒时的距离是2×4＝8， ∴点P的坐标为（2，6）； （3）如图， ①当点P在OC上时，S△OBPOP1×4＝10， ∴OP1＝5， ∴点P（0，5）； ②当点P在BC上，S△OBPBP2×6＝10， ∴BP2， ∴CP2＝4， ∴点P（ ，6）； ③当点P在AB上，S△OBPBP3×4＝10， ∴BP3＝5， ∴AP3＝6﹣5＝1， ∴点P（4，1）； ④当点P在AO上，S△OBPOP4×6＝10， ∴OP4， ∴点P（，0）． 综上，点P的坐标为（0，5）或（，6）或（4，1）或（，0）． 题型六：矩形的判定条件 1.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．BE⊥DC C．∠ADB＝90° D．CE⊥DE 【答案】B． 2.在四边形ABCD中，AC、BD交于点O，在下列条件中，不能判定四边形ABCD为矩形的是（　　） A．AO＝CO，BO＝DO，∠BAD＝90° B．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD C．∠BAD＝∠BCD，∠ABC+∠BCD＝180°，AC⊥BD D．∠BAD＝∠ABC＝90°，AC＝BD 【答案】C． 3.如图，四边形ABCD为平行四边形，延长AD到E，使DE＝AD，连接EB，EC，DB，添加一个条件，不能使四边形DBCE成为矩形的是（　　） A．AB＝BE B．CE⊥DE C．∠ADB＝90° D．BE⊥DC 【答案】D． 4.如图，在△ABC中，D，E分别是AB，AC的中点，点F，G在边BC上，且DG＝EF．只需添加一个条件即可证明四边形DFGE是矩形，这个条件可以是 　 　．（写出一个即可） 【答案】DE＝FG（答案不唯一）． 题型六：证明四边形是矩形（三直角） 1.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD是△ABC的中线，AN为△ABC的外角∠CAM的平分线，CE∥AD，交AN于点E．求证：四边形ADCE是矩形． 【答案】证明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD是BC边的中线， ∴AD⊥BC，∠BAD＝∠CAD， ∴∠ADC＝90°， ∵AN为△ABC的外角∠CAM的平分线， ∴∠MAN＝∠CAN， ∴∠DAE＝90°， ∵CE∥AD， ∴∠AEC＝90°， ∴四边形ADCE为矩形． 2.如图，平行四边形ABCD的四个内角的平分线分别相交于点E、F、G、H，求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABC+∠BCD＝180°， ∵BH，CH分别平分∠ABC与∠BCD， ∴∠HBC＝∠ABC，∠HCB＝∠BCD， ∴∠HBC+∠HCB＝（∠ABC+∠BCD）＝×180°＝90°， ∴∠H＝90°， 同理∠HEF＝∠F＝90°， ∴四边形EFGH是矩形． 3.如图，在平行四边形ABCD中，AE，BF，CN，DM分别是∠DAB，∠ABC，∠BCD，∠CDA的角平分线，且相交于点O，K，H，G，求证：四边形HGOK是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAB+∠ABC＝180°． ∵AE，BF分别平分∠DAB，∠ABC， ∴∠GAB+∠GBA＝（∠DAB+∠ABC）＝×180°＝90°． ∴∠GOK＝90°， 同理：∠OKH＝90°，∠KHG＝90°， ∴∠HGO＝90°， ∴四边形KHGO是矩形． 题型七：证明四边形是矩形（三平行四边形+一直角） 1.如图，在△ABC中，D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点，当∠BAC＝90°时，想一想，四边形AEDF是什么特殊的四边形？证明你的结论． 【答案】解：∵D，E，F分别是边BC，AB，AC的中点， ∴DE∥AC，DF∥AB， ∴四边形AEDF是平行四边形， 又∵∠BAC＝90°， ∴四边形AEDF是矩形 2.已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AE平分∠BAC的外角，DE∥AB交AE于点E．试说明四边形ADCE是矩形． 【答案】证明：如图所示：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠ACB， ∵AE是∠BAC的外角平分线， ∴∠FAE＝∠EAC， ∵∠B+∠ACB＝∠FAE+∠EAC， ∴∠B＝∠ACB＝∠FAE＝∠EAC， ∴AE∥CD， 又∵DE∥AB， ∴四边形AEDB是平行四边形， ∴AE平行且等于BD， 又∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴BD＝CD，∠ADC＝90°， ∴AE平行且等于CD， ∴四边形ADCE是平行四边形， 又∵∠ADC＝90°， ∴平行四边形ADCE是矩形． 即四边形ADCE是矩形． 3.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD，EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG，求证：四边形EFGH是矩形． 【答案】证明：∵EF∥AC∥HG，EH∥BD∥FG， ∴EF∥HG，EH∥FG， ∴四边形EFGH是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴EF⊥FG， ∴四边形EFGH是矩形． 题型八：证明四边形是矩形（平行四边形+对角线相等） 1.如图，在▱ABCD中对角线AC，BD相交于点O，∠1＝∠2，试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论． 【答案】解：四边形ABCD是矩形，理由如下： ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AC＝2OC，BDE＝2OB， ∵∠1＝∠2， ∴OC＝OB， ∴AC＝BD， ∴▱ABCD是矩形． 2.如图，已知▱ABCD中，E，F分别在边BC，AD上，且BE＝DF，AC，EF相交于O，连接AE，CF． （1）求证：AE＝CF； （2）若∠FOC＝2∠OCE，求证：四边形AECF是矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝BC，AD∥BC， ∵BE＝DF， ∴AF＝CE，AF∥EC， ∴四边形AECF是平行四边形， ∴AE＝CF． （2）∵∠FOC＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴∠OEC＝∠OCE， ∴OE＝OC， ∵四边形AECF是平行四边形， ∴OA＝OC，OE＝OF， ∴AC＝EF， ∴四边形AECF是矩形． 3.如图，已知平行四边形ABCD，若M，N是BD上两点，且BM＝DN，AC＝2MO． 求证：四边形AMCN是矩形． 【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∵BM＝DN， ∴OB﹣BM＝OD﹣DN，即OM＝ON， ∴四边形AMCN是平行四边形， ∵MO＝NO， ∴MN＝2MO， ∵AC＝2MO， ∴MN＝AC， ∴四边形AMCN是矩形． 4.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD交于点O． （1）若DE⊥AC于点E，BF⊥AC于点F，求证：AE＝CF； （2）若DO＝AC，求证：四边形ABCD为矩形． 【答案】证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD＝CB，AD∥BC， ∴∠DAE＝∠BCF， ∵DE⊥AC，BF⊥AC， ∴∠DEA＝∠BFC＝90°， 在△DEA与△BFC中， ， ∴△DEA≌△BFC（AAS）， ∴AE＝CF； （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，OB＝OD， ∴OA＝BD， ∴OA＝OC＝OB＝OD， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形． 题型十：矩形的判定与性质综合 1.如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E，BD＝BE． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若∠ABD＝60°，AC＝4，求矩形ABCD的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， 又∵BE∥AC， ∴四边形ABEC是平行四边形， ∴AC＝BE， 又∵BD＝BE， ∴AC＝BD， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴， ∵∠ABD＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB＝BO＝2， ∴， ∴． 2.如图，在▱ABCD中，连接BD，E为边AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F，连接BD，AF，已知∠BDF＝90°． （1）求证：四边形ABDF是矩形； （2）若AD＝5，DF＝3，求四边形ABCF的面积． 【答案】（1）见解析；（2）18． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD， ∴∠ABE＝∠DFE， ∵AE＝DE，∠AEB＝∠DEF， ∴△AEB≌△DEF（AAS）， ∴AB＝DF， ∵AB∥DF， ∴四边形ABDF是平行四边形， ∵∠BDF＝90°， ∴平行四边形ABDF是矩形． （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，四边形ABDF是矩形， ∴CD＝AB＝DF＝3，BF＝AD＝5， ∴CF＝CD+DF＝6，AB∥CF， ∵∠BDF＝90°， ∴BD＝＝＝4，BD⊥CF， ∴S梯形ABCF＝（AB+CF）•BD＝×（3+6）×4＝18， 即四边形ABCF的面积为18． 3.如图，在平行四边形ABCD中，E为线段CD的中点，连接AC，AE，延长AE，BC交于点F，连接DF，∠ACF＝90°． （1）求证：四边形ACFD是矩形； （2）若CD＝13，CF＝5，求四边形ABCE的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）45． 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠ADE＝∠FCE，∠DAE＝∠CFE， ∵E为线段CD的中点， ∴DE＝CE， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴AE＝FE， ∴四边形ACFD是平行四边形， ∵∠ACF＝90°， ∴四边形ACFD是矩形； （2）解：∵四边形ACFD是矩形， ∴∠CFD＝90°，AC＝DF， ∵CD＝13，CF＝5， ∴DF＝＝＝12， ∵△ADE≌△FCE， ∵△CEF的面积＝△ACF的面积＝5×12＝15， 平行四边形ABCD的面积＝BC•AC＝5×12＝60， ∴四边形ABCE的面积＝平行四边形ABCD的面积﹣△CEF的面积＝60﹣15＝45． 4.如图，在▱ABCD中，点E在BC的延长线上，且CE＝BC，AE＝AB，AE、DC相交于点O，连接DE． （1）求证：四边形ACED是矩形； （2）若∠AOD＝120°，AC＝4，求对角线CD的长． 【答案】见试题解答内容 【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝DC， ∵CE＝BC， ∴AD＝CE，AD∥CE， ∴四边形ACED是平行四边形， ∵AB＝DC，AE＝AB， ∴AE＝DC， ∴四边形ACED是矩形； （2）∵四边形ACED是矩形， ∴OA＝AE，OC＝CD，AE＝CD， ∴OA＝OC， ∵∠AOC＝180°﹣∠AOD＝180°﹣120°＝60°， ∴△AOC是等边三角形， ∴OC＝AC＝4， ∴CD＝8． 题型十一：直角三角形斜边的中线 1.直角三角形的两条直角边分别为5和12，那么这个三角形的斜边上的中线长为（　　） A．6 B．6.5 C．10 D．13 【答案】B． 2.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AD是BC边上的中线，且AD＝4，则BC＝（　　） A．6 B．8 C．9 D．10 【答案】B 3.如图，在Rt△ABC中、点D是AB的中点，连接CD．若CD＝2，则AB的长是（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 4.如图，在Rt△ABC中，点D是AB的中点，若∠B＝25°，则∠ADC的度数为（　　） A．50° B．48° C．55° D．25° 【答案】A 5.如图，△ABC中∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，线段DE的两个端点D、E分别在边AC、BC上滑动，且DE＝6，若点M、N分别是AB、DE的中点，则MN的最小值为（　　） A．2 B．3 C．3.5 D．4 【答案】A 6.如图，BD是△ABC的角平分线，点E在边AB上，且DE∥BC，AE＝BE． （1）若BE＝5，求DE的长； （2）求证：AB＝BC． 【答案】（1）解：∵BD是△ABC的角平分线， ∴∠ABD＝∠CBD， ∵DE∥BC， ∴∠BDE＝∠DBC， ∴∠EBD＝∠EDB， ∴DE＝BE＝5； （2）证明：由（1）知，BE＝DE， ∵AE＝BE， ∴∠A＝∠ADE， ∵∠EBD＝∠EDB，∠A+∠ABD+∠ADE+∠BDE＝180°， ∴∠ADE+∠BDE＝×180°＝90°， ∴∠ADB＝90°， ∴BD⊥AC， 在△ABD与△CBD中， ， ∴△ABD≌△CBD（SAS）， ∴AB＝BC． 学科网（北京）股份有限公司 $