2.5.3 利用向量数量积计算长度和角度 课件-2025-2026学年高一下学期数学北师大版必修第二册

学习目标 情境引入 探求新知 典例铺路 随堂演练 课堂小结 当堂检测 第二章 平面向量及其应用 互动设计 2.5.3 利用向量数量积计算长度和角度 互动设计课程 1 1. 掌握利用向量数量积求向量模（长度）的方法： 2. 掌握利用数量积求两向量夹角的方法： 3. 掌握求两点间距离、线段长度的向量方法 4. 能够运用向量法解决平面几何中的长度与角度问题 1. 体会”基底法”与”坐标法”两种向量解题策略 2. 培养将几何问题转化为向量问题的能力 3. 掌握”模的平方”技巧在求长度问题中的应用 情境一：测量问题 长度问题 如图，要测量河对岸两点A、B之间的距离。在岸边选取点C，测得 ，，。如何计算AB的长度？ A B C 思考：传统方法需要用三角函数知识。如果用向量，该如何表示？ 情境二：机器人定位 角度问题 机器人在平面坐标系中从原点出发，先沿向量 方向移动，再沿向量 方向移动。如何计算机器人最终位置到原点的距离？两次移动方向的夹角是多少？ 通过实际问题引出本节课核心——如何利用数量积这一工具计算长度和角度。 探究活动1：求长度的向量方法 长度问题 问题1：已知 ，， 与 的夹角为 ，求 和 。 学生尝试： 几何法： 构造平行四边形，用余弦定理 + - 向量法： 关键技巧：求模先求方——通过平方将模转化为数量积运算。 探究活动2：求夹角的向量方法 角度问题 问题2：在 中，已知 ，，，求 的大小。 学生讨论： 传统： 余弦定理 向量： 设 ，，则 向量解法： 需要求 ： 探究新知 核心方法体系 问题类型 解题策略 关键公式 求向量模 平方转化法 求和差模 展开平方 求夹角 定义法 求线段长 向量法/坐标法 探究新知 解题技巧总结 技巧一：遇模平方 ， 看到 、 等，立即想到平方转化为数量积 技巧二：基底表示 ， 几何问题中选择合适的基底向量，将所有向量用基底表示 技巧三：坐标优先 ，有坐标时用坐标法，无坐标时可建立坐标系或用基底法 探究新知 易错警示 错误类型 正确做法 直接展开 应先平方： 忽略夹角范围 向量夹角 ，几何角可能取其补角 混淆向量与数量 是数量，不是向量 典型例题 【题目】已知向量 ， 求的最大值和最小值。 【解析】 - ，故 的最大值为 2，最小值为 1。 典型例题 【题目】如图所示，已知 ，你能发现对角线 和 的长度与两条邻边 和 的长度之间的关系吗？ 第一步： 建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中的几何元素。将平面几何问题转化为向量问题： 如图所示，设则 第二步： 通过向量运算，研究几何元素之间的关系： 第三步： 上面两式相加，得 把运算结果“翻译”成几何关系： 即平行四边形两条对角线的平方和等于四条边的平方和。 典型例题 【题目】设n和m是两个单位向量，其夹角是60°，求向量a＝2m＋n与b＝2n－3m的夹角． 典型例题 【题目】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 典型例题 【题目】已知a，b都是非零向量，且a＋3b与7a－5b垂直，a－4b与7a－2b垂直，求a与b的夹角． 典型例题 【题目】已知e1与e2是两个互相垂直的单位向量，k为何值时，向量e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角？ 向量a，b夹角为锐角的等价条件是a·b>0且a与b不同向共线；a·b夹角为钝角的等价条件是a·b<0且a与b不反向共线 即时练【1】 已知 ，，求实数 的值 解析：。 。 即时练【2】 已知 ，，求向量 与 的夹角。 解析： 。 。 。 。 ，。 即时练【3】 已知向量 ，，且 ，求 。 解析：由 得 。 。 即时练【4】 即时练【5】 检测【1】 已知向量 ，，则 与 的夹角为 ( ) A. B. C. D. 解析：，，，，所以 。 检测【2】 已知 ，，则 ______。 解析：，所以模长为 。 检测【3】 已知点 ，，，判断 的形状。 解析： ，。 。 ，即 。 是以 为直角顶点的直角三角形。 检测【4】 已知 ，，。 (1) 判断 的形状； (2) 求 的大小； (3) 求BC边上的高AD的长度。 解： ，， ，， 检验： 是直角三角形，且 法一（面积法）： 又 法二（投影法）： 是 在垂直于 方向上的分量，或用点到直线距离公式。 检测【5】 最值问题 已知 ， 是单位向量，且 。若向量 满足 ，求 的最大值。 解： 设 ，（建立坐标系） 则 ，设 由 得 即 的终点在以 为圆心、半径为1的圆上。 表示圆上的点到原点的距离。 圆心到原点距离为 ， 1 2 3 4 小结 利用数量积计算长度和角度 │ ├── 求长度（模） │ ├── 公式：|a| = √(a·a) │ ├── 技巧：遇模平方 │ └── 应用：距离、线段长 │ └── 求角度 ├── 公式：cosθ = ├── 关键：求数量积 └── 应用：夹角、垂直、平行判断 1 2 3 4 小结 方法 适用场景 优点 缺点 基底法 几何图形，有明确关系 几何直观，无需建系 需选择合适基底 坐标法 有坐标或易建系 计算直接，不易出错 可能计算量大 定义法 已知模和夹角 直接套用 信息要求高 1 2 3 4 小结 遇模平方： 是桥梁 基底思想：将所有向量用一组基底表示 方程思想：设未知数，利用垂直、平行条件列方程 数形结合：几何意义辅助代数计算 　【解析】∵|n|＝|m|＝1且m与n夹角是60°， ∴m·n＝|m||n|cos 60°＝1×1×eq \f(1,2)＝eq \f(1,2). |a|＝|2m＋n|＝eq \r(2m＋n2)＝eq \r(4×1＋1＋4m·n)＝eq \r(4×1＋1＋4×\f(1,2))＝eq \r(7)， |b|＝|2n－3m|＝eq \r(2n－3m2)＝eq \r(4×1＋9×1－12m·n)＝eq \r(4×1＋9×1－12×\f(1,2))＝eq \r(7)， a·b＝(2m＋n)·(2n－3m)＝m·n－6m2＋2n2＝eq \f(1,2)－6×1＋2×1＝－eq \f(7,2). 设a与b的夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－\f(7,2),\r(7)×\r(7))＝－eq \f(1,2). 又θ∈[0，π]，∴θ＝eq \f(2π,3)，故a与b的夹角为eq \f(2π,3). 【解析】　由已知(a＋3b)·(7a－5b)＝0，即7a2＋16a·b－15b2＝0，① (a－4b)·(7a－2b)＝0，即7a2－30a·b＋8b2＝0，② 两式相减得2a·b＝b2，∴a·b＝eq \f(1,2)b2. 代入①②中任一式得a2＝b2.设a，b夹角为θ，则cos θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(\f(1,2)b2,|b|2)＝eq \f(1,2). ∵0°≤θ≤180°，∴θ＝60°. 【解析】　a＋kb与a－kb互相垂直的条件是(a＋kb)·(a－kb)＝0，即a2－k2b2＝0. ∵|a|＝3，|b|＝4，∴9－16k2＝0，∴k＝±eq \f(3,4). 当k＝±eq \f(3,4)时，a＋kb与a－kb互相垂直． 【解析】　∵e1＋ke2与ke1＋e2的夹角为锐角， ∴(e1＋ke2)·(ke1＋e2)＝keeq \o\al(2,1)＋keeq \o\al(2,2)＋(k2＋1)e1·e2＝2k>0，∴k>0， 但当k＝1时，e1＋ke2＝ke1＋e2，它们的夹角为0，不符合题意，舍去． 综上，k的取值范围为k>0且k≠1. 已知|a|＝2，|b|＝1，a与b之间的夹角为60°，那么向量a－4b的模为 (　　) A．2 B．2eq \r(3) C．6 D．12 解析　∵|a－4b|2＝a2－8a·b＋16b2 ＝22－8×2×1×cos 60°＋16×12＝12， ∴|a－4b|＝2eq \r(3). 已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为eq \f(π,3)，则实数λ＝________. 解析　由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，即49c2＝9a2＋λ2b2＋6λa·b，而a，b，c为单位向量，则a2＝b2＝c2＝1，则49＝9＋λ2＋6λcoseq \f(π,3)，即λ2＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5. $