精品解析：陕西省西安市高新第一中学2025-2026学年下学期九年级阶段数学大作业练习

2025-2026学年度第二学期九年级阶段大作业练习 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 6. 直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A. B. C. D. 7. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 8. 抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 方程一定有两个不相等的实数根 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 10. 如图，用棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要棋子______枚． 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最后剩余1辆车无人乘坐；若每2人共乘一车，则最后剩余9个人无车可乘，请算出共有人______． 12. 如图，AB是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为_______． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点和点是反比例函数图象上的两点，以为边作等边，反比例函数恰好过点，则的值为___________． 14. 如图，在中，，，，点D在BC上，且，过点D作等腰，，当点M在AB上运动时，B、N两点间距离的最小值为__________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 解不等式组： 17. 化简： 18. 如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，已知，，，求的度数． 20. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上） （1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________； （2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率． 21. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 22. 近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： （1）求的函数解析式； （2）当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 23. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 24. 如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 25. 综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 26. 【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期九年级阶段大作业练习 数学学科 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的） 1. 的倒数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由互为倒数的两数之积为1，即可求解． 【详解】解：∵， ∴的倒数是. 故选C 2. 1.榫卯是古代中国建筑、家具及其他器械的主要结构方式，是我国工艺文化精神的传承，凸出部分叫榫，凹进部分叫卯．如图是某个部件“卯”的实物图，则它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查三视图，熟练掌握三视图的画法，是解题的关键．根据俯视图是从上向下观察到的图形，进行判断即可． 【详解】解：“卯”的视图是： 故选：A． 3. 如图，直线与相交于点，射线在内部，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角，角的和差，根据题目的已知条件并结合图形分析是解题的关键．根据题意可得，再根据对顶角相等可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由图可得， ∴， ， ， ． 故选：A． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查单项式除以单项式，根据单项式除以单项式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故选：B． 5. 如图，在中，，是边上的高，是的中点，连接，若，则图中含有内角为的三角形共有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】C 【解析】 【分析】先根据线段垂直平分线的性质和“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”可得 ，，从而可得是等边三角形，进而可得，，从而可得图中含有内角为的三角形的个数．本题主要考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和 性质，以及“直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半”． 熟练掌握以上知识，求出图中的的是解题的关键． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵，， ∴， ∵中，，是的中点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴图中含有内角为的三角形有、、、、共5个． 故选：C． 6. 直线绕坐标原点旋转后得到直线（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出直线与x轴交点为，与y轴交点为,再中心对称的性质得出这两个点关于原点的对称点为，，在利用待定系数法求出旋转以后的直线的表达式即可．本题主要考查了关于坐标原点对称的点的特征． 熟练掌握以上知识是解题的关键． 【详解】解：∴由，得时，；时，； ∴直线与x轴交点为，与y轴交点为, 这两个点关于原点的对称点为，， 设直线绕坐标原点旋转后得到直线为， 则， 解得， ∴直线绕坐标原点旋转后得到直线为． 故选：B 7. 如图，是的中位线，点在上，，连接并延长，与的延长线相交于点．若，则线段的长为（ ） A. 7 B. 8 C. 9 D. 10 【答案】D 【解析】 【分析】根据三角形中中位线定理证得，求出，进而证得，根据相似三角形的性质求出，即可求出结论．本题主要考查了三角形中位线定理，相似三角形的性质和判定，熟练掌握三角形中位线定理和相似三角形的判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：是的中位线， ，， ， ， ， ∴． 故选：D． 8. 抛物线与x轴的一个交点为，，下列说法正确的是（ ） A. 对称轴为直线 B. 当时，y随x的增大而增大 C. D. 方程一定有两个不相等的实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象和性质．根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴、y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线，选项A不符合题意； 当时，y随x的增大而减少，选项B不符合题意； ∵抛物线与x轴的一个交点为，，且，开口向上， ∴当时，， ∴， ∴，选项C符合题意； 不能确定抛物线与直线是否有交点， ∴方程不一定有两个不相等的实数根，选项D不符合题意， 故选：C． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 满足的整数a可以是_______（出一个符合题意的数即可）． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】正确估算出不等式左右两边无理数的大致范围，再找出符合条件的整数． 【详解】解：估算的范围，可得，因此，， 化简并估算，可得，因为，因此，即，． 因此不等式的范围为，该范围内的整数有，任取一个即可，例如． 10. 如图，用棋子摆出一组图形，按照这种方法摆下去，摆第n个图形需要棋子______枚． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律问题．根据给出的图形中棋子个数规律，总结得出一般规律即可． 【详解】解：时，有棋子（个）； 当时，有棋子（个）； 当时，有棋子（个）； 当时，有棋子（个）； …， 第n个图形用了个棋子， 故答案为：． 11. 《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，一车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，若每3人共乘一车，则最后剩余1辆车无人乘坐；若每2人共乘一车，则最后剩余9个人无车可乘，请算出共有人______． 【答案】33 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设共有x人，根据车的辆数不变，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解． 【详解】解：设共有x人， 依题意得：， 解得， 故答案为：． 12. 如图，AB是的直径，点C、D、E在上，，若，则的度数为_______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，利用圆内接四边形性质得到，结合圆周角定理得到，进而推出，最后根据，结合弧、弦、圆心角的关系即可解题． 【详解】解：连接， ， ， 是圆的直径， ， ， ， ， ， ． 13. 如图，在平面直角坐标系中，点和点是反比例函数图象上的两点，以为边作等边，反比例函数恰好过点，则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，反比例函数的图像与性质，等腰三角形的性质，解题的关键是正确作出辅助线．过点作轴于点，过点作轴于点，设，则，由是等边三角形，，推出，，证明，得到，求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点， 设，则， 是等边三角形，， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14. 如图，在中，，，，点D在BC上，且，过点D作等腰，，当点M在AB上运动时，B、N两点间距离的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，正确添加辅助线，熟练掌握知识点是解决本题的关键 由题意可得，过D作，且，连接交于，交于点G，证明，再证，点N在过点P且与垂直的直线上，即为B、N两点间距离的最小值（当N与重合时，B、N两点间距离最小），过D作于H，然后解直角三角形得到，，由题意知是等腰直角三角形，则，即可求得的长． 【详解】解：过D作，且，连接交于，交于点G，过D作于H ∵等腰，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，又∵， ∴， ∴ 点N在过点P且与垂直的直线上， 记与的交点为点， ∴， 当N与重合时，B、N两点间距离最小 ∵，， ∴ ∵，， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在和中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】2 【解析】 【分析】利用算术平方根、零指数幂、负整数指数幂、绝对值的运算法则分别计算各项，再合并计算结果即可． 【详解】解： ． 16. 解不等式组： 【答案】不等式组无解 【解析】 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②可得：， 故不等式组无解． 17. 化简： 【答案】 【解析】 【分析】利用分式的混合运算法则，先计算括号内的分式减法，再将除法化为乘法，结合因式分解和分式性质化简原式即可． 【详解】解： ． 18. 如图，在中，为的对角线，请用尺规作图法在的延长线上找一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图-作一个角等于已知角，相似三角形的判定，以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：以为边，作，交延长线于点，则点即为所求，如图： ∵，， ∴． 19. 如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，直角三角形的性质，对顶角相等，利用直角三角形两锐角互余是解题的关键．根据全等三角形的性质得到，进而证得，由对顶角相等得到，最后利用直角三角形的性质求出即可求解． 【详解】解：， ， 即， ， 在中，，， ， ． 20. 如图，为厚植学生的家国情怀，某校专门举办了“国之重器·强军梦”主题国防教育展．展厅里陈列着4件等比例缩小的立体模型，分别是A东风-17高超音速导弹、B巨浪-3潜射洲际导弹、C红旗-29反导系统、D歼-35隐身舰载战斗机，学校还制作成与模型一一对应的四张小卡片，参观活动设置惊喜福利：每位同学可以从A、B、C、D四张卡片中分2次随机抽取2张即赠送对应的2件小模型（除图案外每张卡片完全相同，背面朝上） （1）甲同学第一次就抽到模型A的概率是__________________； （2）若按照“先抽1张不放回，再抽第2张”的方式赠送2件模型，请用列表或画树状图的方法，求甲同学抽到的2件模型中包含A的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式进行计算即可； （2）根据题意，画出树状图，进行求解即可． 【小问1详解】 解：由题意，甲同学第一次就抽到模型A的概率是； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有12种等可能的结果，其中抽到的2件模型中包含A的有6种结果， ∴P（抽到的2件模型中包含A）． 21. 榆林人民大厦，以榆林代表性的古迹“镇北台和凌霄塔”为设计蓝本，配以天圆地方的设计理念．天天所在的兴趣小组准备测量该大厦的高度，如图，他在处放置了一面平面镜（大小忽略不计），然后沿方向移动，当他站在点处时恰好能在平面镜中看到大厦顶端的像，已知天天的眼睛距离地面的高度为米，米；小组成员在大厦另一侧点处安装一个米高的测角仪，测得大厦顶端的仰角为，已知米，，点B、Q、M、D在同一条水平线上，图中所有点均在同一平面内．请你帮助该小组求出该大厦的高度．（参考数据：，，） 【答案】米 【解析】 【分析】过点作于，先利用平面镜反射性质证三角形相似，得到与的等量关系，结合仰角的正切函数关系建立方程求解． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴， ∵平面镜反射，， ∴， ∴， ∵米，米， ∴，即， 设米，则米， ∵，，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∵米，米， ∴米，米． 在中，， ∵，， ∴， 解得， 经检验是原方程的解， 答：该大厦的高度为米． 22. 近海处有一艘渔船正向公海方向行驶，一艘快艇从海岸出发追赶渔船．图中、分别表示快艇、渔船相对于海岸的距离（海里）与快艇追赶的时间（分）之间的关系．根据图象解答下列问题： （1）求的函数解析式； （2）当渔船距离海岸12海里时进入公海，照此速度，快艇能否在渔船进入公海前追上它？请说明理由． 【答案】（1） （2）快艇能在渔船进入公海前追上它．理由见解析 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）设的函数解析式为，将点和代入得出，求解即可得出答案； （2）根据数据，可以计算快艇B的速度，然后计算出快艇B行驶12海里需要的时间，再将代入（1）中的函数解析式，求出相应的t的值，最后比较两个时间即可解答本题． 【小问1详解】 解：（1）设的函数解析式为， 将点和代入上式，得， 解得， 的函数解析式为； 【小问2详解】 快艇能在渔船进入公海前追上它． 理由：由图可得快艇的速度为（海里/分）， （分钟）， 将代入得：， 解得， ， 快艇能在渔船进入公海前追上它． 23. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组开展了对两种软件“模型”和“模型”进行使用满意度调查，并从中各随机抽取20份，对数据进行整理、描述和分析（分数用x表示，单位：分，满分100分，分为四个等级：：，：，：，：），下面给出了部分信息： 抽取的对“模型”的评分数据中等级的数据：89，89，88，87，86，86，84； 抽取的对“模型”的评分数据：100，99，98，98，97，97，97，95，89，88，87，87，86，86，85，84，78，72，69，68． 抽取的对“模型”、“模型”的评分统计表 品牌 平均数 中位数 众数 等级所占百分比 模型 88 98 模型 88 抽取的对“模型”评分的扇形统计图 根据以上信息，解答下列问题： （1）上述图表中________，________，________； （2）根据以上数据，你认为哪个软件更受用户的喜爱？请说明理由；（写出一条理由即可） （3）此次测验中，有300人对“模型”进行评分，260人对“模型”进行评分，估计此次测验中对“模型”、“模型”两种软件评分为等级的共有多少人？ 【答案】（1）15，89，97 （2）解：“模型”软件更受用户的喜爱， 理由如下： “模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高；（答案不唯一） （3）239人 【解析】 【分析】本题考查统计综合，涉及求中位数、众数、扇形某项百分比、由样本情况估计总体等知识，熟记统计相关知识及求解方法是解决问题的关键． （1）先计算“模型”的评分数据中等级占比，然后用1减去、、等级所占百分比即可得到等级所占百分比，从而求出；再由中位数及众数的定义与求法即可得到； （2）根据“模型”评分数据中A等级所占百分比比“模型”高即可得到答案； （3）由样本中两种软件评分为等级的占比估计测验中的总人数即可得到答案． 【小问1详解】 解：“模型”的评分数据中等级数据有7份， 占比为：，； “模型”的评分数据中等级数据份数为：， 等级数据按从大到小顺序排列为：89，89，88，87，86，86，84， 可知“模型”的评分数据中从大到小排序，第10，11位数据均为89， ； “模型”的评分数据中97出现了3次，出现的次数最多， ； 故答案为：15，89，97； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人） 答：估计此次测验中对“模型”、“模型”两种AI软件评分为等级的共有239人． 24. 如图，点，，在上，是直径，点是的内心，连接，并延长交于点，过点作交的延长线于点． （1）求证：是的切线； （2）若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）见解析； （2）． 【解析】 【分析】（）连接，由圆周角定理得，又点是的内心，即平分，所以，通过圆周角定理得， 然后通过平行线的性质可得，最后通过切线的判定方法即可求证； （）过作于点，则，证明四边形是正方形，所以，由，设，则，，，由勾股定理得，即，求得，所以，，再由即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴， ∵点是的内心， ∴平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：过作于点，则， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， 由，设，则，， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴， ∴（负值已舍去）， ∴，， ∴ ． 【点睛】本题考查了圆周角定理，勾股定理，扇形面积公式，三角形内心，切线的判定，正方形的判定与性质，解方程等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 25. 综合实践：投篮研究 活动背景：学校组织班级间篮球比赛，九年级（2）班小玫发现自己投篮命中率较低，特请本班数学兴趣小组同学拍摄自己投篮图片（图1），并测量相应的数据进行研究． 模型建立：如图2所示，以点O为坐标原点，水平方向为x轴，竖直方向为y轴建立平面直角坐标系，篮球运动轨迹可以看作是抛物线的一部分． 信息整理： 素材1：篮球（P）出手时离地面的高度为米，篮筐中心离地面的高度米，篮球出手位置与篮筐中心的水平距离米，篮球距地面的最大高度米，此时离篮球出手位置的水平距离米． 素材2：当篮球（P）恰好经过篮筐中心点A时，我们称此次进球为“空心球”；由于篮球的直径大约是篮筐直径的一半，因此当篮球到达篮筐中心的水平位置时，篮球的高度（n米）满足时，篮球即可命中篮筐；篮球运动轨迹由投篮方向和出手速度决定，小玫在投篮过程中始终保持投篮方向和出手速度不变． 解决问题：在初次投篮时，小玫在点O处起跳，数学兴趣小组同学测得相关数据为：米，米，米，米． （1）计算说明小玫初次投篮时能否命中篮筐； （2）该班数学兴趣小组同学对小玫的初次投篮数据进行研究后，让小玫同学在原来位置向前走了t米后再次投篮，发现此次正好投进一个“空心球”，求t的值（保留根号）． 【答案】（1）小玫初次投篮时不能命中篮筐 （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用、二次函数图象的平移，熟练掌握二次函数的应用是解题关键． （1）先设抛物线的解析式为，再将点代入求出抛物线的解析式，然后求出当时，的值，由此即可得； （2）先求出向前走了米后抛物线的表达式为，再将点代入计算，结合即可得的值． 【小问1详解】 解：由题意得：小玫初次投篮时抛物线的顶点坐标为， ∴设， ∵这个抛物线经过点， ∴， 解得， ∴， 当时，， 所以小玫初次投篮时不能命中篮筐． 【小问2详解】 解：向前走了米后抛物线的表达式为， ∵此次正好投进一个“空心球”，即此时抛物线经过点， ∴， 解得或， 当时，抛物线的顶点坐标为，此时，不符合题意，舍去， 答：的值为． 26. 【问题探究】 （1）如图①，在中，，，，将绕点逆时针旋转到的位置，点的对应点落在上，则的长为 ； （2）如图②，在矩形中，，，点是矩形的对称中心，点在边上，且，点是边上的动点，连接与，求的最大值； 【问题解决】 （3）有一块三角形草地，其示意图如图③所示，，，是一条小道（宽度不计），点是的中点，点在内，、两点之间的距离为，．市政府为丰富市民的业余生活，计划将部分草地改建，在、上分别找点、，在、处栽种梧桐树，，连接、，在上截取．根据规划，现要沿线段修建一段文化长廊（宽度不计），为容纳更多的市民在文化长廊内活动，要求文化长廊的长度尽可能的长，当文化长廊的长最大时，请求出此时点的位置（即的长）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由勾股定理求出，由旋转的性质求出的长，则可得出答案； （2）连接并延长交于点，当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长，过点作于点，则，，求出可得出答案； （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、，作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，，得出当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大，证明，得出，，求出的长可得出答案． 【详解】解：（1），，， ， 将绕点逆时针旋转到的位置， ， ， 故答案为：． （2）连接并延长交于点， 由图可得， 当点、、共线，即点在的位置时，的值最大，最大值为的长， 过点作于点，则，， 由点是矩形的对称中心， ，， ． ， ， 的最大值为． （3）连接，将绕点顺时针旋转到的位置，点、的对应点分别是点、， ，，． 点是的中点，， ， ， 作点关于的对称点，连接、，延长交于点，过点作于点，则，点在的延长线上，， ， 当、、三点共线，即点与点重合时，的值最大， ， ． ，， ， ，， ． ，， ， ， ， 即， ． ， 当文化长廊的长最大时，此时的长为． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $