6.5频数分布表和频数分布直方图 讲义2025-2026学年苏科版数学八年级下册

本讲义聚焦数据的收集、整理与描述，核心知识点为频数分布表和频数分布直方图，涵盖极差、组距、组数、频数等概念，梳理从计算极差、确定组距组数、编制频数分布表到绘制直方图的完整数据处理流程，搭建系统的学习支架。 该资料通过“课前预习-课堂探究-例题检测-知识清单-强化训练”闭环设计，结合学生身高、家庭收入等实例，培养数据意识与应用意识。课中助力教师引导学生经历数据处理全过程，课后通过分层练习帮助学生巩固知识、查漏补缺，提升数据分析核心素养。

2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第六章数据的收集、整理与描述第五节频数分布表和频数分布直方图》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解极差、组距、组数、分点、频数、频数分布表、频数分布直方图的概念，掌握频数分布表的编制步骤。 2.能规范绘制频数分布直方图，区分直方图与条形统计图的差异。 3.会从频数分布表和直方图中提取信息，分析数据分布特征，培养数据分析核心素养。 4.能运用频数分布知识解决实际统计问题，体会统计在生活中的应用。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.频数分布表的编制流程：算极差 → 定组距组数 → 定分点 → 列频数 → 填表格。 2.频数分布直方图的绘制方法，明确横轴为数据分组、纵轴为频数，长方形无间隙、宽度相等。 3.从频数分布表与直方图中读取数据、计算频数/频率、判断数据集中趋势。 （二）难点 1.合理确定组距与组数：数据个数n ≤ 100时，分5-12组；组数=极差 ÷ 组距（结果向上取整）。 2.科学设定分点：第一组起点略小于最小值，保证数据不重不漏、边界清晰。 3.理解频数分布直方图的统计意义，结合图表分析数据分布规律，解决实际问题。 4.处理边界值（如 “≤”“ ＜ ” ），避免重复计数或遗漏数据。 ) 三．课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一组数据中______与______的差叫做极差，它反映数据的______范围。 2.把数据按范围分成若干组，分成的组的个数称为______，每组两个端点的差称为______。 3.频数是指某个对象或数据组______；所有组的频数之和等于______。 4.绘制频数分布直方图的步骤：①计算______；②确定______与______；③决定______；④列______；⑤画______。 5.频数分布直方图中，小长方形的______表示频数，各长方形之间______（填“有”或“无”）间隙。 【答案】1.最大值；最小值；波动 2. 组数；组距 3. 出现的次数；数据总数（样本容量） 4. 极差；组距；组数；分点；频数分布表；频数分布直方图 5. 高度；无 四．课堂探秘 探究一：极差与分组 1、极差的定义与意义 （1）极差（Range）是描述一组数据离散程度的最基本指标。它等于一组数据中最大值减去最小值。 （2）公式：极差 = 最大值 − 最小值 （3）作用：快速反映数据的分布跨度。了解数据变化范围的大小。适用于初步数据分析，是计算分组区间的基础。 2、数据分组的概念与目的 （1）数据分组（Grouping）是将原始数据按照一定规则分成若干区间，以便更好地观察数据的分布特征。 （2）常见用途：制作频率分布表、频率分布图。简化大量原始数据，便于整体分析。为统计计算（如平均数、方差）提供基础。 3、常见分组方法 （1）等距分组：每组区间长度相同。适用于数据分布较均匀的情况。组距 = 极差 ÷ 组数 （2）不等距分组：组距可根据数据实际分布调整。适用于数据不均匀或有特殊分布形态的场景。 （3）边界分组（含上下限）：每组有明确的下限和上限。数据落在哪个区间就归入哪一组。 4、分组步骤简述 （1）计算极差。 （2）根据数据量与分析需求确定组数（一般 5–15 组）。 （3）求组距 = 极差 ÷ 组数，并适当取整。 （4）设定第一组起点，通常从最小值或更整齐的数值开始。 （5）按组距划分所有区间。 （6）统计每组数据数量，形成频率分布。 5、极差与分组的关系 （1）极差是分组的基础依据，决定整体区间范围。 （2）组数与组距的选择会影响分组的精细程度。 （3）分组合理与否会直接影响后续统计分析的准确性。 例如：已知一组数据：152，155，158，160，162，165，168，170，172，175，求极差并合理分组。 探究二：频数分布表的编制 1、频数分布表的概念 频数分布表，是将一组杂乱无章的数据，按照大小范围进行分组，统计每组数据出现的个数（频数），整理成的表格。它能清楚反映数据的分布情况。 2、常用栏目 （1）组别（分组区间） （2）划记（“正”字计数） （3）频数（每组数据个数） （4）频率（频数÷总数） 3、制作步骤 （1）找出数据中的最大值、最小值，计算极差。 （2）确定组数和组距。 （3）确定每组的区间，做到不重不漏。 （4）用“正”字划记，统计每组频数。 （5）计算频率，填写完整表格。 4、作用：让数据更整齐、直观。看出数据集中在哪个范围。是画频数分布直方图的基础。 例如：频数分布表 数据：28，32，35，36，38，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，52，54，56，58（共20个） 探究三：频数分布直方图的绘制与解读 1.概述：频数分布直方图是一种统计图表，用来直观表示一组数据在各个区间内的分布情况。 2.结构特点： （1）横轴：表示数据分组（区间）。 （2）纵轴：表示频数。 （3）以每组区间为宽、对应频数为高，画无间隙长方形。长方形之间没有空隙，体现数据连续。长方形越高，说明该区间内的数据越多。 3. 作用 （1）直观看出数据集中在哪一段。 （2）看出数据的分布形状（对称、偏左、偏右等）。 （3）便于比较不同区间数据的多少。 例如：为了解某地区八年级男学生的身高情况，随机抽取了60 名八年级男生，测得他们的身高(单位：cm)分别是： 156 162 163 172 160 141 152 173 180 174 157 174 145 160 153 165 156 167 161 172 178 156 166 155 140 157 167 156 168 150 164 163 155 162 160 168 147 161 157 162 165 160 166 164 154 161 158 164 151 169 169 162 158 163 159 164 162 148 170 161 (1)将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图。 (2)如果身高在155 ～ 170 cm(含155 cm，不含170 cm)的男学生为正常，试求身高正常的男学生所占的百分比. 特别提醒：绘制频数分布直方图要按步骤进行操作，其关键是列频数分布表.频数分布表和频数分布直方图都表示数据落在各小组的个数，绘制频数分布直方图是为了把表中的结果直观地表示出来，它们是频数分布的“数”与“形”的两种不同形式，互相补充. 探究四：直方图与条形统计图的区别 1.用途不同 （1）条形图：比较不同类别的数量大小。 （2）直方图：展示连续数据的分布情况（如身高、成绩、时间）。 2.横轴含义不同 （1）条形图：横轴是分类（如班级、品牌）。 （2）直方图：横轴是连续区间（如0-10分、10-20分）。 3.条形之间关系不同 （1）条形图：有空隙，条与条分开。 （2）直方图：无空隙，条与条紧密相连。 4.宽窄意义不同 （1）条形图：宽度无意义，只是好看。 （2）直方图：宽度有意义，代表组距。 一句话记牢：比类别用条形图，有空隙；看分布用直方图，无空隙。 五．经典例题 例1．将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，每组频数如表所示： 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数 12 11 12 13 13 12 10 那么第⑤组的频数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 例2.某次数学测验，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图直方图，根据图示信息描述正确的是（　　） A．抽样的学生共60人 B．60.5～70.5这一分数段的频数为12 C．估计这次测试的及格率（60分为及格）在92%左右 D．估计优秀率（80分以上为优秀）在32%左右 例3.八年级（1）班共有50名学生，体重最重为72千克，体重最轻为35千克，取组距为10，为统计该班学生的体重情况，可以将该班学生分为（     ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 例4．小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了20户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了如下频数分布表． 人均收入 频数 5 9 4 2 从表中可以得出，这里组距、组数分别是（     ） A．51，4 B．49，4 C．1000，4 D．1000，5 例5．某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（    ） A．频数分布直方图中组距是 B．本次抽样样本容量是 C．这次测试优秀率为 D．这一分数段的频数为 例6．2026年2月28日，某校九年级学生进行了中考体育测试，该校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，并将测试成绩整理后作出如图的直方图．甲同学计算出前两组的总数和为18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15，若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是 ． 例7．八年级（3）班共有学生50人，如图是该班一次信息技术模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为50分，成绩均为整数），若不低于30分为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ． 例8．某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下： 根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是 例9．某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 实验班 85 88.5 b 对比班 81.8 a 74 三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全频数分布直方图； ②填空：a＝ ，b＝ ； （2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）； （3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数． 例10．为了节约能源，某城市开展了节约水电活动，已知该城市共有10000户家庭，活动前，某调查小组随机抽取了部分家庭每月的水电费的开支(单位：元),结果如右图所示频数直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)；活动后，再次调查这些家庭每月的水电费的开支，结果如表所示： (1)求所抽取的样本的容量； (2)如以每月水电费开支在225元以下(不含)为达到节约标准，请问通过本次活动，该城市大约增加了多少户家庭达到节约标准? (3)活动后，这些样本家庭每月水电费开支的总额能否低于6000元? (4)请选择一个适当的统计量分析活动前后的相关数据，并评价节约水电活动的效果. 六．课堂检测 （一）选择题 1.一组数据最大值98，最小值40，组距取10，组数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 2.下列有关频数分布表和频数分布直方图的理解，正确的是(    ) A.频数分布表能清楚地反映事物的变化情况            B. 频数分布直方图能清楚地反映事物的变化情况 C.频数分布直方图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比          D.二者均不能清楚地反映变化情况和在总体中所占的百分比，但能反映出每个项目的具体数目 3.某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成直方图，图中从左至右前四组的百分比分别是4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，下列结论错误的是（  ） A.80分以上的学生有14名 B.该班有50名同学参赛 C.成绩在70～80分的人数最多 D.第五组的百分比为16% 4.某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽查了 20 名同学在校午餐所需的时间，获得如 下数据（单位：分）：10，12，15，10，16，18，19，18，20，34，22，25，20，18，18，20，15，16，21，16.若将这些数据分为 5组，则组距是（   ） A. 4 分  B. 5 分 C. 6 分 D. 7 分 5.为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25次（含25次）以上的人数共有（  ） A.10人 B.12人 C.17人 D.都不对 6.学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（   ） A. 0.1   B. 0.15   C. 0.25   D. 0.3 7.为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了80个测量点的噪声声级(单位：分贝)，并进行整理后分成五组，绘制出频数分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是0.15，0.25，0.3，0.2，且噪声声级高于69.5分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有(   ) A. 5个 B. 8个 C. 12个 D. 15个 8.某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中 数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断： ①成绩在49.5分～59.5分段的人数与89.5分～100分段的人数相等； ②成绩在79.5～89.5分段的人数占30%； ③成绩在79.5分以上的学生有20人； ④本次考试成绩的中位数落在69.5～79.5分段内． 其中正确的判断有（   ） A. 4个 B. 3个 C. 2个  D. 1个 9．“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A．小张一共抽样调查了74人 B．样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”的不足30次的人数多于40次次的人数 10.小明统计了同学们5月份平均每天观看北京市“空中课堂”的时间，并绘制了统计图，如图所示下面有四个推断 ①此次调查中，小明一共调查了100名学生；②此次调查中，平均每天观看时间不足30分钟的人数占总人数的10%；③此次调查中，平均每天观看时间超过60分钟的人数超过调查总人数的一半；④此次调查中，平均每天观看时间不足60分钟的人数少于平均每天观看时间在60-90分钟的人数。所有合理推断的序号是（  ） A.①②  B.①④   C.③④  D.②③④ （二）填空题 11.频数分布表中，5组频数分别为5，8，12，9，6，数据总数为________. 12.直方图中某组频数12，样本容量60，该组频率为___________. 13.数据分组15.5-20.5，组距为_________. 14．我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是 ． 15．若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有 个(直接填写答案)． 16．在对某班50名同学的身高进行统计时，发现最高的为175 cm，最矮的为150 cm.若以3 cm为组距分组，则应分为 组． 17．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于分钟而小于分钟，其余类似），这个时间段内顾客等待时间低于分钟的有 人． 18．如图，一项统计数据的频数分布直方图中，如果直方图关于第三组的小长方形呈轴对称图形（坐标轴忽略不计），那么，落在110～130这一组中的频数是 19.某校701班数学期终考试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示，满分100分，学生成绩取整数，则成绩在90.5-95.5这一分数段的频率是________。 20.江涛同学统计了他家10月份的长途电话明细清单，按通话时间画出直方图如图，则他家这个月打了长途电话的次数一共是________． （三）解答题 21．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数直方图如下图所示，已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12.请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问：这两组哪一组获奖率较高？ 22.为了得到一种零件的加工精度，从中抽出40个进行检测，其尺寸数据如下(单位：cm)： 161　165　164　166　160　158　163 162　168　159　147　170　167　151 164　159　152　159　149　172　162 157　162　169　156　164　163　157 163　165　173　159　157　169　165 154　153　163　168　169 将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图，图中所反映出这种零件的加工精度在哪个范围内的最多？ 23．为了让地震受灾的儿童得到救助，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动，对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计表和统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5． 请结合以上信息解答下列问题． 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 a B 100≤x＜200 10 C 200≤x＜300 D 300≤x＜400 E x≥400 （1）a=　 　，本次调查样本的容量是　 　； （2）补全“捐款户数分组统计表和捐款户数统计图1”； （3）若该社区共有1000户住户参与捐款，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是　 　户． 24.为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图和统计表（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 a B 50≤x＜100 10 C 100≤x＜150 　 D 150≤x＜200 E x≥200 （1）a=　 　，本次调查样本的容量是　 　； （2）补全“捐款户数分组统计图1和捐款户数分组统计表”； （3）若该社区有2000户住户，请根据以上信息，估计全社区捐款不少于150元的户数． 25．九（1）班40名学生共分为4个学习小组，数学课代表制作了1～3组学生的期中考试数学成绩频数分布表和频数分布直方图如下．余下的第4小组10名学生成绩尚未统计，这10名学生成绩如下：60，65，72，75，75，75，86，86，96，99． 1～3组频数分布表 等级 分数段 频数（人数） D 60≤x＜70 2 C 70≤x＜80 10 B 80≤x＜90 14 A 90≤x＜100 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）求第4小组10名学生成绩的众数； （2）请你仿照数学课代表制作全班1～4组频数分布表和频数分布直方图； 1～4组频数分布表 等级 分数段 频数（人数） D 60≤x＜70 　 　 C 70≤x＜80 　 　 B 80≤x＜90 　 　 A 90≤x＜100 　 　 （3）全校九年级共有600名学生参加期中考试，估计该校数学成绩为A等级的学生有多少人？ 七．知识清单 1.一组数据中______与______的差叫做极差，它反映数据的波动范围。 2.对数据分组时，每组两个端点之间的距离叫做______，分成的组的个数叫做______。 3.数据个数不超过100时，通常分成______组。 4.统计时，每个小组内数据出现的______叫做该组的频数。 5.频数与______的比值叫做该组的频率，所有小组的频率之和等于______。 6.频数分布表一般包含______、______、______三列。 7.绘制频数分布直方图的第一步是计算数据的______。 8.频数分布直方图中，横轴表示______，纵轴表示______。 9.频数分布直方图中，各小长方形是______（填“连续”或“不连续”）的，无空隙。 10.等距分组时，频数分布直方图中小长方形的高与该组的______成正比。 11.频数分布直方图中小长方形的面积等于该组的______。 12.所有小组的频数之和等于______。 13.确定分组分点时，为避免数据落在边界上，常将起点取比最小值略______（填“大”或“小”）的数。 14.频数分布直方图能直观显示数据的______情况。 15.条形统计图与频数分布直方图的区别：条形图条形之间______，直方图条形之间______。 八．强化训练 （一）选择题 1.样本容量80，分6组，第1~4组频数为10，12，18，16，第5组频率0.15，第6组频数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 2.数据：23，25，27，29，31，25，27，29，25，组距2，第一组起点22.5，频数最多的组是（ ） A. 22.5-24.5 B. 24.5-26.5 C. 26.5-28.5 D. 28.5-30.5 3．某校为了解学生课业负担的情况，随机抽取了名七年级学生，调查学生每天完成课外作业所需的平均时间，并绘制了如图所示的频数分布直方图，根据图中信息，完成课外作业所需时间在小时的频数是（　　） A． B． C． D． 4．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3 5．如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．84人 D．94人 6．超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日8：00～8：30经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图．若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（　　） A．20辆 B．30辆 C．50辆 D．80辆 7．小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了20户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了如下频数分布表． 人均收入 频数 5 9 4 2 从表中可以得出，这里组距、组数分别是（　　） A．51，4 B．49，4 C．1000，4 D．1000，5 8．如图是某班全体学生参加体能测试成绩的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如成绩为45分统计在45≤x＜50小组，而不在40≤x＜45小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（　　） A．该班学生人数为45人 B．分数在45≤x＜50小组的学生人数占全班人数的20% C．小组40≤x＜45的组中值为42.5 D．该班学生体能测试成绩的中位数落在50≤x＜55这一组 9．某校抽取九年级两个班共80名同学进行体育模拟测试，将测试成绩绘制成如下统计图（满分60分，成绩为整数），若成绩超过45分为合格，则该两个班体育模拟测试成绩合格率为（　　） A．72% B．75% C．80% D．85% 10．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.下列说法错误的是（　　） 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A．抽取100件的合格频数是90 B．抽取200件的合格频率是0.95 C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D．出售2000件毛衫，次品大约有100件 （二）填空题 11.某校50名学生身高，极差32cm，组距4cm，组数为__________. 12.频数分布表中，某组频率0.25，频数15，样本容量为________. 13.绘制频数分布直方图时，若组距5，第一组起点19.5，第二组分组为______。 14．一组数据的最大值是132，最小值是89，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________. 15．给出下面一组数据：19，20，25，31，28，27，26，21，20，22，24，23，25，29，27，28，27，30，18，20．若组距为2，则这组数据的组数为_______. 16．将我校八年级班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为：：：：，人数最多的一组有人，则该班共有　 　人 17．对某班最近一次数学测试成绩 得分取整数 进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，根据直方图提供的信息，在这次测试中，成绩为A等 分以上，不含80分 的百分率为　 　 精确到 18.抽取某校学生一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如图，已知该校有学生1500人，则可以估计出该校身高位于160 cm和165 cm之间的学生大约有________人. 19．小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间，并绘制了直方图．①小文同学一共统计了60人；②每天微信阅读不足20分钟的人数有12人；③每天微信阅读30﹣40分钟的人数最多；④每天微信阅读0﹣10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是______. 20．如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频数分布直方图，已知从左到右5个小组的频数之比是1：3：5：6：5，第五组的频数是25，若合格成绩为20，那么本次测试合格率是_______. （三）解答题 21．某学校20名数学教师的年龄（单位：岁）情况如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，46，42，55，40，38，50，26，54，26，44，52． （1）填写的频率分布表： 分组 频数 频率 19.5～29.5 29.5～39.5 39.5～49.5 49.5～59.5 合计 （2）在下方画出数据的频数分布直方图． 22．小强统计了他家3月份打电话的次数及通话时间，这些数据均不超过20分钟，并列出了频数分布表： 通话时长（x分钟） 0＜x≤4 4＜x≤8 8＜x≤12 12＜x≤16 16＜x≤20 频数（通话次数） 28 14 6 16 10 （1）小强家3月份一共打了多少次电话？ （2）求通话时间不超过12分钟的频数和频率？ 23．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题： 成绩分组 频数 71≤x＜76 2 76≤x＜81 8 81≤x＜86 12 86≤x＜91 10 91≤x＜96 6 96≤x＜101 2 （1）本次活动抽取的学生人数是　 　，频数分布表的组距是　 　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？ 24．为了加强对青少年防溺水安全教育，某学校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防沕水安全知识比赛．从全校随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，比赛成绩用表示，共分为五个等级：；；；；．并将结果绘制成如下两幅不完整的䎅形统计图和频数分布直方图． （1）补全频数分布直方图． （2）竞赛成绩90分及以上的同学会被评为“学习标兵”，请估计全校1800人中获此殊荣的人数． 25．某县举行“我爱我的祖国”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表． 征文比赛成绩频数分布直方图 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 60≤m＜70 38 0.38 70≤m＜80 a 0.32 80≤m＜90 b c 90≤m≤100 10 0.1 合计 1 请根据以上信息，解决下列问题： (1)a= ，b= ，c=________； (2)补全征文比赛成绩频数分布直方图； (3)若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，则本次征文比赛获一等奖的百分比是多少？ ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年苏科版八年级数学下 《第六章数据的收集、整理与描述第五节频数分布表和频数分布直方图》讲义 ( 一． 学习 目标 1.理解极差、组距、组数、分点、频数、频数分布表、频数分布直方图的概念，掌握频数分布表的编制步骤。 2.能规范绘制频数分布直方图，区分直方图与条形统计图的差异。 3.会从频数分布表和直方图中提取信息，分析数据分布特征，培养数据分析核心素养。 4.能运用频数分布知识解决实际统计问题，体会统计在生活中的应用。 ) ( 二．重点难点 （一）重点 1.频数分布表的编制流程：算极差 → 定组距组数 → 定分点 → 列频数 → 填表格。 2.频数分布直方图的绘制方法，明确横轴为数据分组、纵轴为频数，长方形无间隙、宽度相等。 3.从频数分布表与直方图中读取数据、计算频数/频率、判断数据集中趋势。 （二）难点 1.合理确定组距与组数：数据个数n ≤ 100时，分5-12组；组数=极差 ÷ 组距（结果向上取整）。 2.科学设定分点：第一组起点略小于最小值，保证数据不重不漏、边界清晰。 3.理解频数分布直方图的统计意义，结合图表分析数据分布规律，解决实际问题。 4.处理边界值（如 “≤”“ ＜ ” ），避免重复计数或遗漏数据。 ) 三．课前预习 阅读教材，完成下列问题: 1.一组数据中______与______的差叫做极差，它反映数据的______范围。 2.把数据按范围分成若干组，分成的组的个数称为______，每组两个端点的差称为______。 3.频数是指某个对象或数据组______；所有组的频数之和等于______。 4.绘制频数分布直方图的步骤：①计算______；②确定______与______；③决定______；④列______；⑤画______。 5.频数分布直方图中，小长方形的______表示频数，各长方形之间______（填“有”或“无”）间隙。 【答案】1.最大值；最小值；波动 2. 组数；组距 3. 出现的次数；数据总数（样本容量） 4. 极差；组距；组数；分点；频数分布表；频数分布直方图 5. 高度；无 四．课堂探秘 探究一：极差与分组 1、极差的定义与意义 （1）极差（Range）是描述一组数据离散程度的最基本指标。它等于一组数据中最大值减去最小值。 （2）公式：极差 = 最大值 − 最小值 （3）作用：快速反映数据的分布跨度。了解数据变化范围的大小。适用于初步数据分析，是计算分组区间的基础。 2、数据分组的概念与目的 （1）数据分组（Grouping）是将原始数据按照一定规则分成若干区间，以便更好地观察数据的分布特征。 （2）常见用途：制作频率分布表、频率分布图。简化大量原始数据，便于整体分析。为统计计算（如平均数、方差）提供基础。 3、常见分组方法 （1）等距分组：每组区间长度相同。适用于数据分布较均匀的情况。组距 = 极差 ÷ 组数 （2）不等距分组：组距可根据数据实际分布调整。适用于数据不均匀或有特殊分布形态的场景。 （3）边界分组（含上下限）：每组有明确的下限和上限。数据落在哪个区间就归入哪一组。 4、分组步骤简述 （1）计算极差。 （2）根据数据量与分析需求确定组数（一般 5–15 组）。 （3）求组距 = 极差 ÷ 组数，并适当取整。 （4）设定第一组起点，通常从最小值或更整齐的数值开始。 （5）按组距划分所有区间。 （6）统计每组数据数量，形成频率分布。 5、极差与分组的关系 （1）极差是分组的基础依据，决定整体区间范围。 （2）组数与组距的选择会影响分组的精细程度。 （3）分组合理与否会直接影响后续统计分析的准确性。 例如：已知一组数据：152，155，158，160，162，165，168，170，172，175，求极差并合理分组。 【解析】：极差=最大值-最小值=175-152=23； 组距取5，组数=23÷5≈5（向上取整）， 分组：151.5-156.5，156.5-161.5，161.5-166.5，166.5-171.5，171.5-176.5。 探究二：频数分布表的编制 1、频数分布表的概念 频数分布表，是将一组杂乱无章的数据，按照大小范围进行分组，统计每组数据出现的个数（频数），整理成的表格。它能清楚反映数据的分布情况。 2、常用栏目 （1）组别（分组区间） （2）划记（“正”字计数） （3）频数（每组数据个数） （4）频率（频数÷总数） 3、制作步骤 （1）找出数据中的最大值、最小值，计算极差。 （2）确定组数和组距。 （3）确定每组的区间，做到不重不漏。 （4）用“正”字划记，统计每组频数。 （5）计算频率，填写完整表格。 4、作用：让数据更整齐、直观。看出数据集中在哪个范围。是画频数分布直方图的基础。 例如：频数分布表 数据：28，32，35，36，38，40，41，42，43，44，45，46，47，48，49，50，52，54，56，58（共20个） 【解析】最大值：58；最小值：28；极差：58 − 28 = 30 取组距 5，分 6 组：25～30，30～35，35～40，40～45，45～50，50～55，55～60 组别 划记 频数 频率 25～30 一 1 0.05 30～35 一 1 0.05 35～40 正 4 0.2 40～45 正一 6 0.3 45～50 正 5 0.25 50～55 二 2 0.1 55～60 一 1 0.05 合计 20 1 探究三：频数分布直方图的绘制与解读 1.概述：频数分布直方图是一种统计图表，用来直观表示一组数据在各个区间内的分布情况。 2.结构特点： （1）横轴：表示数据分组（区间）。 （2）纵轴：表示频数。 （3）以每组区间为宽、对应频数为高，画无间隙长方形。长方形之间没有空隙，体现数据连续。长方形越高，说明该区间内的数据越多。 3. 作用 （1）直观看出数据集中在哪一段。 （2）看出数据的分布形状（对称、偏左、偏右等）。 （3）便于比较不同区间数据的多少。 例如：为了解某地区八年级男学生的身高情况，随机抽取了60 名八年级男生，测得他们的身高(单位：cm)分别是： 156 162 163 172 160 141 152 173 180 174 157 174 145 160 153 165 156 167 161 172 178 156 166 155 140 157 167 156 168 150 164 163 155 162 160 168 147 161 157 162 165 160 166 164 154 161 158 164 151 169 169 162 158 163 159 164 162 148 170 161 (1)将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图。 解：计算这组数据的最大值与最小值的差为180-140=40. 确定组数与组距，将数据按组距为5 分组，可分为40÷5=8(组)，即每个小组的范围分别是140 ≤ x＜ 145，145 ≤ x＜ 150，150 ≤ x＜ 155，155 ≤ x＜ 160，160 ≤ x＜ 165，165 ≤ x＜ 170，170 ≤ x＜ 175，175 ≤ x ≤ 180. 列频数分布表如下： 画频数分布直方图如图所示： (2)如果身高在155 ～ 170 cm(含155 cm，不含170 cm)的男学生为正常，试求身高正常的男学生所占的百分比. 解：由图可知，身高在正常范围内的男学生有12+20+10=42(名)，其所占的百分比是×100%=70%. 特别提醒：绘制频数分布直方图要按步骤进行操作，其关键是列频数分布表.频数分布表和频数分布直方图都表示数据落在各小组的个数，绘制频数分布直方图是为了把表中的结果直观地表示出来，它们是频数分布的“数”与“形”的两种不同形式，互相补充. 探究四：直方图与条形统计图的区别 1.用途不同 （1）条形图：比较不同类别的数量大小。 （2）直方图：展示连续数据的分布情况（如身高、成绩、时间）。 2.横轴含义不同 （1）条形图：横轴是分类（如班级、品牌）。 （2）直方图：横轴是连续区间（如0-10分、10-20分）。 3.条形之间关系不同 （1）条形图：有空隙，条与条分开。 （2）直方图：无空隙，条与条紧密相连。 4.宽窄意义不同 （1）条形图：宽度无意义，只是好看。 （2）直方图：宽度有意义，代表组距。 一句话记牢：比类别用条形图，有空隙；看分布用直方图，无空隙。 五．经典例题 例1．将样本容量为100的样本编制成组号①～⑧的八个组，每组频数如表所示： 组号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ 频数 12 11 12 13 13 12 10 那么第⑤组的频数是（　　） A．14 B．15 C．16 D．17 【答案】D 【解析】根据用样本容量分别减去其它7组的频数得到第⑤组的频数可得:第⑤组的频数为100-12-11-12-13-13-12-10=17.故选D． 例2.某次数学测验，抽取部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图直方图，根据图示信息描述正确的是（　　） A．抽样的学生共60人 B．60.5～70.5这一分数段的频数为12 C．估计这次测试的及格率（60分为及格）在92%左右 D．估计优秀率（80分以上为优秀）在32%左右 【答案】C 【解析】A、抽样的学生共有：4＋10＋18＋12＋6＝50人，故本选项错误，不符合题意；B、60.5～70.5这一分数段的频数为10，故本选项错误，不符合题意．C、这次测试的及格率是：×100%＝92%，故本选项正确，符合题意；D、优秀率（80分以上）是：×100%＝36%，故本选项错误，不符合题意；故选：C． 例3.八年级（1）班共有50名学生，体重最重为72千克，体重最轻为35千克，取组距为10，为统计该班学生的体重情况，可以将该班学生分为（     ） A．3组 B．4组 C．5组 D．6组 【答案】B 【解析】根据题意, 体重最重为72千克，体重最轻为35千克组距为10 可以将该班学生分为4组,故选：B． 例4．小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了20户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了如下频数分布表． 人均收入 频数 5 9 4 2 从表中可以得出，这里组距、组数分别是（     ） A．51，4 B．49，4 C．1000，4 D．1000，5 【答案】A 【解析】从频数分布表可得组距为，组数为4组．故选：A． 例5．某次体能测试，学校抽取了部分同学的成绩（得分为整数），整理制成如图所示的频数分布直方图，根据图示信息描述不正确的是（    ） A．频数分布直方图中组距是 B．本次抽样样本容量是 C．这次测试优秀率为 D．这一分数段的频数为 【答案】C 【解析】由题意知，频数分布直方图中组距是，A正确，故不符合要求；本次抽样样本容量是，B正确，故不符合要求；这次测试优秀率为，C错误，故符合要求；这一分数段的频数为，D正确，故不符合要求；故选：C． 例6．2026年2月28日，某校九年级学生进行了中考体育测试，该校抽取了部分学生的一分钟跳绳测试成绩，并将测试成绩整理后作出如图的直方图．甲同学计算出前两组的总数和为18，乙同学计算出第一组的人数是抽取总人数的4%，丙同学计算出从左至右第二、三、四组的频数比为4∶17∶15，若跳绳次数不少于130次为优秀，则这次测试成绩的优秀率是 ． 【答案】24% 【解析】：∵前两组的频数和是18，第一组的人数是抽取总人数的4%，∴抽取的总人数=（18-12）÷4%=150（人），∵第二、三、四组的频数比为：4：17：15，第二小组的频数为12，∴第三、四组的频数分别为：51、45，∴第五、六小组的频数和为：150-（6+12+51+54）=36（人），∴这次测试成绩的优秀率为：；故答案为：24%． 例7．八年级（3）班共有学生50人，如图是该班一次信息技术模拟测试成绩的频数分布直方图（满分为50分，成绩均为整数），若不低于30分为合格，则该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是 ． 【答案】70% 【解析】：该班此次成绩达到合格的同学占全班人数的百分比是×100%=70%． 故答案是：70%． 例8．某中学九年级甲、乙两个班参加了一次数学考试，考试人数每班都为40人，每个班的考试成绩分为A、B、C、D、E五个等级，绘制的统计图如下： 根据以上统计图提供的信息，则D等级这一组人数较多的班是 【答案】甲班 【解析】：由频数分布直方图知甲班成绩为D等级的人数为13人，由扇形统计图知乙班成绩为D等级的人数为40×30%=12，∴D等级较多的人数是甲班，故答案为甲班. 例9．某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 实验班 85 88.5 b 对比班 81.8 a 74 三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全频数分布直方图； ②填空：a＝ ，b＝ ； （2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）； （3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数． 解：（1）①实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数：（人， 补全频数分布直方图如图： ； ②，，故答案为：79.5，89； （2）实验班的数学成绩更好，理由：①实验班样本数据的平均数大于对比班样本数据的平均数，②实验班样本数据的中位数和众数大于对比班样本数据的中位数和众数； （3）对比班20名学生本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人，估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人， 答：估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数有930人． 例10．为了节约能源，某城市开展了节约水电活动，已知该城市共有10000户家庭，活动前，某调查小组随机抽取了部分家庭每月的水电费的开支(单位：元),结果如右图所示频数直方图(每一组含前一个边界值,不含后一个边界值)；活动后，再次调查这些家庭每月的水电费的开支，结果如表所示： (1)求所抽取的样本的容量； (2)如以每月水电费开支在225元以下(不含)为达到节约标准，请问通过本次活动，该城市大约增加了多少户家庭达到节约标准? (3)活动后，这些样本家庭每月水电费开支的总额能否低于6000元? (4)请选择一个适当的统计量分析活动前后的相关数据，并评价节约水电活动的效果. 解：（1）所抽取的样本的容量为6+12+11+7+3+1=40；（2）活动前达到节约标准的家庭数为10000×=7250（户），活动后达到节约标准的家庭数为10000×=8500（户），85007250=1250（户），∴该城市大约增加了1250户家庭达到节约标准；（3）这40户家庭每月水电费开支总额为：7×100+13×150+14×200+4×250+2×300=7050（元）， ∴活动后，这些样本家庭每月水电费开支的总额不低于6000元．（4）根据题意可知，开支在225以下的户数上可以看出节约水电活动的效果还不错． 六．课堂检测 （一）选择题 1.一组数据最大值98，最小值40，组距取10，组数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】：B 【解析】：极差=98-40=58，组数=58÷10=5.8→向上取整为6。 2. 下列有关频数分布表和频数分布直方图的理解，正确的是(    ) A.频数分布表能清楚地反映事物的变化情况            B. 频数分布直方图能清楚地反映事物的变化情况 C.频数分布直方图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比          D.二者均不能清楚地反映变化情况和在总体中所占的百分比，但能反映出每个项目的具体数目 【答案】D 【解析】A、频数分布表能清楚的反映落在每个小组内的数据情况，不能清楚的反映事物的变化情况，故此选项不符合题意；B、频数分布图能清楚的反映落在每个小组内的数据多少，折线图能反映事物的变化情况，故此选项不符合题意；C、扇形图能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比，直方图不能，故此选项不符合题意；D、二者均不能清楚地反映变化情况和在总体中所占的百分比，但能反映出每个项目的具体数目，故此选项不符合题意． 故答案为：D． 3.某班将安全知识竞赛成绩整理后绘制成直方图，图中从左至右前四组的百分比分别是4%、12%、40%、28%，第五组的频数是8，下列结论错误的是（  ） A.80分以上的学生有14名 B.该班有50名同学参赛 C.成绩在70～80分的人数最多 D.第五组的百分比为16% 【答案】 A 【解析】本班参赛的学生有：8÷（1﹣4%﹣12%﹣40%﹣28%）＝50（人），故B选项正确； 80分以上的学生有：50×28%+8＝22（名），故A选项错误；成绩在70～80分的人数最多，故C选项正确；第五组的百分比为：8÷50×100%＝16%，故D选项正确.故答案为：A. 4.某校为了了解学生在校午餐所需的时间，抽查了 20 名同学在校午餐所需的时间，获得如 下数据（单位：分）：10，12，15，10，16，18，19，18，20，34，22，25，20，18，18，20，15，16，21，16.若将这些数据分为 5组，则组距是（   ） A. 4 分  B. 5 分 C. 6 分 D. 7 分 【答案】 B 【解析】根据题意得：（34－10）÷5=4.8. 即组距为5分.故答案为：B. 5.为了了解本校八年级学生的体能情况，随机抽查了其中30名学生，测试了1分钟仰卧起坐的次数，并绘制成如图所示的频数分布直方图，则仰卧起坐次数在25次（含25次）以上的人数共有（  ） A.10人 B.12人 C.17人 D.都不对 【答案】 C 【解析】从频数分布直方图可知，1分钟仰卧起坐的次数在25～30次的有12人，在30～35次的有5人， 因此仰卧起坐次数在25次（含25次）以上的人数共有12+5=17（人），故答案为：C． 6.学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（   ） A. 0.1   B. 0.15   C. 0.25   D. 0.3 【答案】 D 【解析】∵根据频率分布直方图知道绘画兴趣小组的频数为12，∴参加绘画兴趣小组的频率是12÷40=0.3． 7.为了了解噪声污染的情况，某市环保局抽样调查了80个测量点的噪声声级(单位：分贝)，并进行整理后分成五组，绘制出频数分布直方图，如图所示．已知从左至右前四组的频率分别是0.15，0.25，0.3，0.2，且噪声声级高于69.5分贝就会影响工作和生活，那么影响到工作和生活而需对附近区域进行治理的测量点有(   ) A. 5个 B. 8个 C. 12个 D. 15个 【答案】 B 【解析】∵从左至右前四组的频率分别是0.15，0.25，0.3，0.2， ∴ 噪声声级在69.5 ～74.5的频率为：1-0.15-0.25-0.3-0.2=0.1， ∵ 噪声声级高于69.5分贝就会影响工作和生活， ∴80×0.1=8 故答案为;B 8.某班50名学生期末考试数学成绩（单位：分）的频率分布直方图如图所示，其中 数据不在分点上，对图中提供的信息作出如下的判断： ①成绩在49.5分～59.5分段的人数与89.5分～100分段的人数相等； ②成绩在79.5～89.5分段的人数占30%； ③成绩在79.5分以上的学生有20人； ④本次考试成绩的中位数落在69.5～79.5分段内． 其中正确的判断有（   ） A. 4个 B. 3个 C. 2个  D. 1个 【答案】 A 【解析】①从频率分布直方图上看成绩在49.5分～59.5分段的人数与89.5分～100分段的人数相等，故选项正确；②从频率分布直方图上看出：成绩在79.5～89.5分段的人数30%，故选项正确；③成绩在79.5分以上的学生有50×（30%+10%）=20人，故选项正确；④将该组数据按从小到大（或按从大到小）的顺序排列，本次考试成绩的中位数落在69.5～79.5分段内，故选项正确．故选A． 9．“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小张对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，并绘制成了如图所示的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），则下列说法错误的是（ ） A．小张一共抽样调查了74人 B．样本中当月使用“共享单车”30次次的人数最多 C．样本中当月使用“共享单车”不足20次的有12人 D．样本中当月使用“共享单车”的不足30次的人数多于40次次的人数 【答案】 D 【解析】A、小张一共抽样调查了人，故A选项不符合题意，B、样本中当月使用“共享单车”次的人数最多，有20人，故B选项不符合题意，C、样本中当月使用“共享单车”不足20次的人数有12人，故C选项不符合题意，D、样本中当月使用“共享单车”次的人数为28人，当月使用“共享单车”不足30次的人数有26人，所以样本中当月使用次数不足30次的人数少于次的人数，故D选项符合题意，故选：D． 10.小明统计了同学们5月份平均每天观看北京市“空中课堂”的时间，并绘制了统计图，如图所示下面有四个推断 ①此次调查中，小明一共调查了100名学生；②此次调查中，平均每天观看时间不足30分钟的人数占总人数的10%；③此次调查中，平均每天观看时间超过60分钟的人数超过调查总人数的一半；④此次调查中，平均每天观看时间不足60分钟的人数少于平均每天观看时间在60-90分钟的人数。所有合理推断的序号是（  ） A.①②  B.①④   C.③④  D.②③④ 【答案】 C 【解析】①此次调查中，小明一共调查了10+30+60+20=120名学生，此推断不符合题意； ②此次调查中，平均每天观看时间不足30分钟的人数占总人数的×100%≈8.33%，此推断不符合题意；③此次调查中，平均每天观看时间超过60分钟的人数有60+20=80（人），超过调查总人数的一半，此推断符合题意；④此次调查中，平均每天观看时间不足60分钟的人数为10+30=40（人），平均每天观看时间在60-90分钟的人数为60人，此推断符合题意；所以合理推断的序号是③④，故答案为：C （二）填空题 11.频数分布表中，5组频数分别为5，8，12，9，6，数据总数为________. 【答案】：40 【解析】：频数之和=5+8+12+9+6=40。 12.直方图中某组频数12，样本容量60，该组频率为___________. 【答案】：0.2 【解析】：频率=频数÷总数=12÷60=0.2。 13.数据分组15.5-20.5，组距为_________. 【答案】：5 【解析】：组距=20.5-15.5=5。 14．我市今年中考数学学科开考时间是6月22日15时，数串“201506221500”中“0”出现的频数是 ． 【答案】：4 【解析】：数串“201506221500”中“0”出现的频数是4．故答案为4． 15．若将得分转化为等级，规定：得分低于59.5分评为“D”，59.5～69.5分评为“C”，69.5～89.5分评为“B”，89.5～100.5分评为“A”．那么这200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生约有 个(直接填写答案)． 【答案】：64 【解析】：50人中得分低于59.5分有16人，所以200名参加初赛的学生中，参赛成绩评为“D”的学生= 16．在对某班50名同学的身高进行统计时，发现最高的为175 cm，最矮的为150 cm.若以3 cm为组距分组，则应分为 组． 【答案】：9 【解析】：在样本数据中最大值为175，最小值为150,它们的差是175－150＝25，∵组距为3，25÷3＝8，∴可以分成9组，故答案为9. 17．超市为了制定某个时间段收银台开放方案，统计了这个时间段本超市顾客在收银台排队付款的等待时间，并绘制成频数分布直方图（图中等待时间分钟表示大于或等于分钟而小于分钟，其余类似），这个时间段内顾客等待时间低于分钟的有 人． 【答案】：60 【解析】：根据频数分布直方图得到前3组的等待时间不少于3分钟，而它们的频数分别为10，35，15，所以这个时间段内顾客等待时间低于3分钟的人数为(人).故答案为60. 18．如图，一项统计数据的频数分布直方图中，如果直方图关于第三组的小长方形呈轴对称图形（坐标轴忽略不计），那么，落在110～130这一组中的频数是 【答案】：300 【解析】：如果直方图关于第三组的小长方形呈轴对称图形，则110～130这一组与第二组频数应相等，故其频数为300． 19.某校701班数学期终考试全班所有学生成绩的频数分布直方图如图所示，满分100分，学生成绩取整数，则成绩在90.5-95.5这一分数段的频率是________。 【答案】 0.4 【解析】701班的学生人数为1+4+10+20+15=50，∴ 成绩在90.5~95.5这一分数段的频率为20÷50=0.4 故答案为：0.4 20.江涛同学统计了他家10月份的长途电话明细清单，按通话时间画出直方图如图，则他家这个月打了长途电话的次数一共是________． 【答案】 102次 【解析】这个月打了长途电话的次数＝30+23+13+15+21＝102（次）， 故答案为102次． （三）解答题 21．在学校开展的综合实践活动中，某班进行了小制作评比，作品上交时间为5月1日至30日，评委会把同学们上交作品的件数按5天一组分组统计，绘制了频数直方图如下图所示，已知从左至右各长方形的高的比为2∶3∶4∶6∶4∶1，第三组的频数为12.请解答下列问题： (1)本次活动共有多少件作品参加评比？ (2)哪组上交的作品数量最多？有多少件？ (3)经过评比，第四组和第六组分别有10件，2件作品获奖，问：这两组哪一组获奖率较高？ 解：(1)12÷＝60(件)． (2)第四组上交的作品数量最多，有12×＝18(件)． (3)第四组的获奖率为＝，第六组的获奖率为2÷（12×0.25）＝＝.∵<，∴第六组获奖率较高． 22.为了得到一种零件的加工精度，从中抽出40个进行检测，其尺寸数据如下(单位：cm)： 161　165　164　166　160　158　163 162　168　159　147　170　167　151 164　159　152　159　149　172　162 157　162　169　156　164　163　157 163　165　173　159　157　169　165 154　153　163　168　169 将数据适当分组，并绘制相应的频数分布直方图，图中所反映出这种零件的加工精度在哪个范围内的最多？ 解：本题答案不唯一．(1)计算最大值与最小值的差：在样本数据中，最大值是173 cm，最小值是147 cm，它们的差是173－147＝26(cm)． (2)决定组距与组数：设组距为4 cm，则＝＝6.5，所以应分7组． (3)确定分点：把起点数147减去0.5，即147－0.5＝146.5.这样依次分为：146.5～150.5，150.5～154.5，…，166.5～170.5，170.5～174.5. (4)列频数分布表： (5)画频数分布直方图，如图 分组 频数 146.5～150.5 2 150.5～154.5 4 154.5～158.5 5 158.5～162.5 9 162.5～166.5 11 166.5～170.5 7 170.5～174.5 2 从图中可以看出这种零件的加工精度在162.5～166.5 cm范围内的零件最多． 23．为了让地震受灾的儿童得到救助，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动，对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计表和统计图（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5． 请结合以上信息解答下列问题． 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 a B 100≤x＜200 10 C 200≤x＜300 D 300≤x＜400 E x≥400 （1）a=　 　，本次调查样本的容量是　 　； （2）补全“捐款户数分组统计表和捐款户数统计图1”； （3）若该社区共有1000户住户参与捐款，请根据以上信息估计，全社区捐款不少于300元的户数是　 　户． 解：（1）B组捐款户数是10，则A组捐款户数为10×1/5=2，样本容量为（2+10）÷（1﹣8%﹣40%﹣28%）=50. 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 a B 100≤x＜200 10 C 200≤x＜300 20 D 300≤x＜400 14 E x≥400 4 （2）统计表C、D、E 组的户数分别为20，14，4． （3）估计全社区捐款不少于300元的户数是1000×（28%+8%）=360（户）. 24.为了让更多的失学儿童重返校园，某社区组织“献爱心手拉手”捐款活动．对社区部分捐款户数进行调查和分组统计后，将数据整理成如图所示的统计图和统计表（图中信息不完整）．已知A、B两组捐款户数的比为1：5．请结合以上信息解答下列问题．捐款户数分组统计表 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 a B 50≤x＜100 10 C 100≤x＜150 　 D 150≤x＜200 E x≥200 （1）a=　 　，本次调查样本的容量是　 　； （2）补全“捐款户数分组统计图1和捐款户数分组统计表”； （3）若该社区有2000户住户，请根据以上信息，估计全社区捐款不少于150元的户数． 解：（1）A组的频数是（10÷5）×1=2，调查样本的容量是（10+2）÷（1﹣40%﹣28%﹣8%）=50. （2）统计表C、D、E 组的户数分别为20，14，4． 组别 捐款额（x）元 户数 A 1≤x＜50 2 B 50≤x＜100 10 C 100≤x＜150 20 D 150≤x＜200 14 E x≥200 4 （3）估计全社区捐款不少于150元的户数为2000×（28%+8%）=720户． 25．九（1）班40名学生共分为4个学习小组，数学课代表制作了1～3组学生的期中考试数学成绩频数分布表和频数分布直方图如下．余下的第4小组10名学生成绩尚未统计，这10名学生成绩如下：60，65，72，75，75，75，86，86，96，99． 1～3组频数分布表 等级 分数段 频数（人数） D 60≤x＜70 2 C 70≤x＜80 10 B 80≤x＜90 14 A 90≤x＜100 4 根据以上信息，解答下列问题： （1）求第4小组10名学生成绩的众数； （2）请你仿照数学课代表制作全班1～4组频数分布表和频数分布直方图； 1～4组频数分布表 等级 分数段 频数（人数） D 60≤x＜70 　 　 C 70≤x＜80 　 　 B 80≤x＜90 　 　 A 90≤x＜100 　 　 （3）全校九年级共有600名学生参加期中考试，估计该校数学成绩为A等级的学生有多少人？ 解：（1）第4小组10名学生成绩的众数为75； 等级 分数段 频数（人数） D 60≤x＜70 4 C 70≤x＜80 14 B 80≤x＜90 16 A 90≤x＜100 6 （2）1～4组频数分布表 （3）该校数学成绩为A等级的学生有600×＝90（人）． 七．知识清单 1.一组数据中______与______的差叫做极差，它反映数据的波动范围。 2.对数据分组时，每组两个端点之间的距离叫做______，分成的组的个数叫做______。 3.数据个数不超过100时，通常分成______组。 4.统计时，每个小组内数据出现的______叫做该组的频数。 5.频数与______的比值叫做该组的频率，所有小组的频率之和等于______。 6.频数分布表一般包含______、______、______三列。 7.绘制频数分布直方图的第一步是计算数据的______。 8.频数分布直方图中，横轴表示______，纵轴表示______。 9.频数分布直方图中，各小长方形是______（填“连续”或“不连续”）的，无空隙。 10.等距分组时，频数分布直方图中小长方形的高与该组的______成正比。 11.频数分布直方图中小长方形的面积等于该组的______。 12.所有小组的频数之和等于______。 13.确定分组分点时，为避免数据落在边界上，常将起点取比最小值略______（填“大”或“小”）的数。 14.频数分布直方图能直观显示数据的______情况。 15.条形统计图与频数分布直方图的区别：条形图条形之间______，直方图条形之间______。 【答案】1.最大值，最小值 2.组距，组数 3.5～12 4.次数 5.样本容量，1 6.分组，频数，频率 7.极差 8.分组数据（组距/数据范围），频数 9.连续 10.频数 11.频数 12.样本容量（数据总数） 13.小 14.分布 15.有间隔，无间隔（连续） 八．强化训练 （一）选择题 1.样本容量80，分6组，第1~4组频数为10，12，18，16，第5组频率0.15，第6组频数为（ ） A. 10 B. 12 C. 14 D. 16 【答案】：C 【解析】：第5组频数=80×0.15=12；第6组频数=80-(10+12+18+16+12)=14。 2.数据：23，25，27，29，31，25，27，29，25，组距2，第一组起点22.5，频数最多的组是（ ） A. 22.5-24.5 B. 24.5-26.5 C. 26.5-28.5 D. 28.5-30.5 【答案】：B 【解析】：分组频数：22.5-24.5（1），24.5-26.5（3），26.5-28.5（2），28.5-30.5（2），30.5-32.5（1），选B。 3．某校为了解学生课业负担的情况，随机抽取了名七年级学生，调查学生每天完成课外作业所需的平均时间，并绘制了如图所示的频数分布直方图，根据图中信息，完成课外作业所需时间在小时的频数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】据频数分布直方图，课外作业所需时间在1.5-2小时的频数为10小时.答案为：C. 4．学校为了解七年级学生参加课外兴趣小组活动情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了如图所示的频数分布直方图，则参加绘画兴趣小组的频率是（　　） A．0.1 B．0.15 C．0.25 D．0.3 【答案】D 【解析】∵根据频率分布直方图知道绘画兴趣小组的频数为12，∴参加绘画兴趣小组的频率是12÷40=0.3． 5．如图是某调查小组调查了100位旅客购票等候时间制作的频数直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中购票等候时间小于3分钟的人数是（　　） A．29人 B．55人 C．84人 D．94人 【答案】B 【解析】由直方图提供的信息可得： 购票等候时间小于3分钟的人数是17+38=55（人）. 故答案为：B. 6．超速行驶是交通事故频发的主要原因之一，交警部门统计某日8：00～8：30经过高速公路某测速点的汽车的速度（速度取整数），得到如下频数分布直方图和折线图．若该路段汽车限速，则该时段经过此测速点超速行驶的汽车有（　　） A．20辆 B．30辆 C．50辆 D．80辆 【答案】C 【解析】根据所给出的折线统计图可得：超过限速120km/h的有：30+20=50（辆）．故答案为：C． 7．小明在一次社会实践活动中负责了解他所居住的小区居民的家庭月人均收入情况，他从中随机调查了20户居民家庭的“家庭月人均收入情况”（收入取整数，单位：元），并绘制了如下频数分布表． 人均收入 频数 5 9 4 2 从表中可以得出，这里组距、组数分别是（　　） A．51，4 B．49，4 C．1000，4 D．1000，5 【答案】C 【解析】4000-3000=1000，这里组距、组数分别是1000，4.故答案为：C. 8．如图是某班全体学生参加体能测试成绩的频数分布直方图（统计中采用“上限不在内”的原则，如成绩为45分统计在45≤x＜50小组，而不在40≤x＜45小组），根据图形提供的信息，下列说法中错误的是（　　） A．该班学生人数为45人 B．分数在45≤x＜50小组的学生人数占全班人数的20% C．小组40≤x＜45的组中值为42.5 D．该班学生体能测试成绩的中位数落在50≤x＜55这一组 【答案】D 【解析】该班学生人数：3+12+9+15+6＝45（人），A、该班学生人数为45人，是正确的，因此选项A不符合题意；B、分数在45≤x＜50小组的学生有9人，占全班的 ＝20%，因此选项B不符合题意；C、小组40≤x＜45的组中值为 ＝42.5，因此选项C不符合题意；D、将全班45人的成绩从小到大排列，处在中间位置的一个数，也就是第23位的数，落在45≤x＜50这一组，因此选项D符合题意；故答案为：D. 9．某校抽取九年级两个班共80名同学进行体育模拟测试，将测试成绩绘制成如下统计图（满分60分，成绩为整数），若成绩超过45分为合格，则该两个班体育模拟测试成绩合格率为（　　） A．72% B．75% C．80% D．85% 【答案】B 【解析】成绩超过45分的有（名），∴该两个班体育模拟测试成绩合格率为，故答案为：B． 10．随机抽检一批毛衫的合格情况，得到如下的频数表.下列说法错误的是（　　） 抽取件数（件） 100 150 200 500 800 1000 合格频数 a 141 190 475 764 950 合格频率 0.90 0.94 b 0.95 0.955 0.95 A．抽取100件的合格频数是90 B．抽取200件的合格频率是0.95 C．任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90 D．出售2000件毛衫，次品大约有100件 【答案】C 【解析】A、抽取100件的合格频数是90，∵，∴抽取100件的合格频数是90正确；B、抽取200件的合格频率是0.95，∵，∴抽取200件的合格频率是0.95正确；C、任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90，∵当抽取件数很大时，频率在0.95附近摆动，∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.95，∴任抽一件毛衫是合格品的概率为0.90错误；D、出售2000件毛衫，次品大约有100件，∵（件），∴出售2000件毛衫，次品大约有100件正确.故答案为：C. （二）填空题 11.某校50名学生身高，极差32cm，组距4cm，组数为__________. 【答案】：9 【解析】：32÷4=8→向上取整为9。 12.频数分布表中，某组频率0.25，频数15，样本容量为________. 【答案】：60 【解析】：样本容量=频数÷频率=15÷0.25=60。 13.绘制频数分布直方图时，若组距5，第一组起点19.5，第二组分组为______。 【答案】：24.5-29.5 【解析】：19.5+5=24.5，第二组24.5-29.5。 14．一组数据的最大值是132，最小值是89，将这组数据进行分组时，取组距为5，则组数是_________. 【答案】9 【解析】∵数据的最大值是132，最小值是89，∴极差为132-89=43，又∵组距为5，∴43÷5=8.6，∴组数为9， 15．给出下面一组数据：19，20，25，31，28，27，26，21，20，22，24，23，25，29，27，28，27，30，18，20．若组距为2，则这组数据的组数为_______. 【答案】7 【解析】∵（31-18）÷2=6.5，∴ 这组数据的组数为7组； 16．将我校八年级班分成五个组，各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为：：：：，人数最多的一组有人，则该班共有　 　人 【答案】45 【解析】∵各组人数在频数分布直方图中的小长方形高的比依次为1：2：5：3：4， 人数最多的一组所占的比值：，人数最多的一组有15人， ∴总人数为：（人），故填：45. 17．对某班最近一次数学测试成绩 得分取整数 进行统计分析，将所有成绩由低到高分成五组，并绘制成如图所示的频数分布直方图，根据直方图提供的信息，在这次测试中，成绩为A等 分以上，不含80分 的百分率为　 　 精确到 【答案】37 【解析】由图可知：共有 人，成绩为80分以上的有17人， 故成绩为A等的百分率为 .故答案为：37. 18.抽取某校学生一个容量为150的样本，测得学生身高后，得到身高频数分布直方图如图，已知该校有学生1500人，则可以估计出该校身高位于160 cm和165 cm之间的学生大约有________人. 【答案】 300 【解析】由题意可知：150名样本中160～165的人数为30人，则其频率为 ， 则1500名学生中身高位于160cm至165cm之间大约有1500× =300人．故答案为300． 19．小文同学统计了他所在小区居民每天微信阅读的时间，并绘制了直方图．①小文同学一共统计了60人；②每天微信阅读不足20分钟的人数有12人；③每天微信阅读30﹣40分钟的人数最多；④每天微信阅读0﹣10分钟的人数最少．根据图中信息，上述说法中正确的是______. 【答案】②③④ 【解析】 ①小文同学一共统计了60人。4+8+14+20+16+12=74人，故说法不正确 ②每天微信阅读不足20分钟的人数有12人。0-10分钟4人，10-20分8人，共12人，说法正确 ③每天微信阅读30﹣40分钟的人数最多。30-40分钟20人，，说法正确 ④每天微信阅读0﹣10分钟的人数最少 。0-10分钟4人，， 20．如图是某校九年级部分男生做俯卧撑的成绩（次数）进行整理后，分成五组，画出的频数分布直方图，已知从左到右5个小组的频数之比是1：3：5：6：5，第五组的频数是25，若合格成绩为20，那么本次测试合格率是_______. 【答案】80% 【解析】根据题意，已知从左到右5个小组的频数之比是1：3：5：6：5，第五组的频数是25，∴从左到右的另外四个组的频数分别为：5，15，25，30；∴样本容量为：5+15+25+30+25 =100；又∵合格成绩为20，∴本次测试的合格率是 ； （三）解答题 21．某学校20名数学教师的年龄（单位：岁）情况如下：29，42，58，37，53，52，49，24，37，46，42，55，40，38，50，26，54，26，44，52． （1）填写的频率分布表： 分组 频数 频率 19.5～29.5 29.5～39.5 39.5～49.5 49.5～59.5 合计 （2）在下方画出数据的频数分布直方图． 解：（1）频率分布表： 分组 频数 频率 19.5～29.5 4 0.2 29.5～39.5 3 0.15 39.5～49.5 6 0.3 49.5～59.5 7 0.35 合计 20 1.00 2）画出数据的频数分布直方图如下： ． 22．小强统计了他家3月份打电话的次数及通话时间，这些数据均不超过20分钟，并列出了频数分布表： 通话时长（x分钟） 0＜x≤4 4＜x≤8 8＜x≤12 12＜x≤16 16＜x≤20 频数（通话次数） 28 14 6 16 10 （1）小强家3月份一共打了多少次电话？ （2）求通话时间不超过12分钟的频数和频率？ 解：（1）小强家3月份的通话次数为：28+14+6+16+10=74； （2）不超过12分钟的频数为：28+14+6=48；频率为：=． 23．为了普及安全知识，增强安全意识，某中学组织七年级学生参加安全教育知识竞赛活动，从中随机抽取了部分学生成绩（得分取整数），并绘制了频数分布表和频数分布直方图（不完整），请结合图表信息回答下列问题： 成绩分组 频数 71≤x＜76 2 76≤x＜81 8 81≤x＜86 12 86≤x＜91 10 91≤x＜96 6 96≤x＜101 2 （1）本次活动抽取的学生人数是　 　，频数分布表的组距是　 　； （2）补全频数分布直方图； （3）已知七年级有320名学生参加安全教育知识竞赛活动，请估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是多少？ 解：（1）本次活动抽取的学生人数是：2+8+12+10+6+2=40， 频率分布表的组距是76-71=5， 故答案为：40，5. （2）由频数分布表可知， 91≤x＜96这一组的频数是6， 补全的频数分布直方图如图所示； （3）（人）， 答：估计成绩在86≤x＜96范围内的学生人数是128人． 24．为了加强对青少年防溺水安全教育，某学校开展了“远离溺水，珍爱生命”的防沕水安全知识比赛．从全校随机抽取了50名学生的竞赛成绩进行整理、描述和分析，比赛成绩用表示，共分为五个等级：；；；；．并将结果绘制成如下两幅不完整的䎅形统计图和频数分布直方图． （1）补全频数分布直方图． （2）竞赛成绩90分及以上的同学会被评为“学习标兵”，请估计全校1800人中获此殊荣的人数． 解：（1）B级别的人数为（人）， 补全频数分布直方图如下： ； （2）（人）． 答：估计全校1800人中获此殊荣的人数为288人． 25．某县举行“我爱我的祖国”征文比赛，已知每篇参赛征文成绩记m分（60≤m≤100），组委会随机抽取了部分参赛征文，统计了他们的成绩，并绘制了如下不完整的两幅统计图表． 征文比赛成绩频数分布直方图 征文比赛成绩频数分布表 分数段 频数 频率 60≤m＜70 38 0.38 70≤m＜80 a 0.32 80≤m＜90 b c 90≤m≤100 10 0.1 合计 1 请根据以上信息，解决下列问题： (1)a= ，b= ，c=________； (2)补全征文比赛成绩频数分布直方图； (3)若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖，则本次征文比赛获一等奖的百分比是多少？ 解：（1）∵样本容量为10÷0.1＝100，∴a＝100×0.32＝32，b=100−(38+32+10)=20， c=1−(0.38+0.32+0.1)=0.2；故答案为：32，20，0.2； （2）10÷0.1=100，100×0.32=32，100×0.2=20，补全征文比赛成绩频数分布直方图： （3）若80分以上（含80分）的征文将被评为一等奖， 则本次征文比赛一等奖的百分比为：． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $