第3讲 平行线和平行线的判定（十大题型72题）-2025-2026学年浙教版七年级下册数学

第3讲 平行线和平行线的判定 内容导航 题型1 判断平面内两直线的位置关系 1 题型2 判断棱柱体中平行的棱 2 题型3 尺规画平行线 2 题型4 平行线的基本事实及其推论 3 题型5 利用角的数量关系判定两直线平行 4 题型6 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 5 题型7 平行线判定的开放性问题 6 题型8 补全推理过程 7 题型9 平行线判定的实际应用 9 题型10 平行线判定的综合运用 10 综合练习 11 中考真题再现 18 题型1 判断平面内两直线的位置关系 【典例】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【变式练习1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【变式练习2】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习3】在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和_________两种位置关系． 题型2 判断棱柱体中平行的棱 【典例】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习1】五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【变式练习2】观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系：_________________________________；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们________（填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在_________内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【变式练习3】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 题型3 尺规画平行线 【典例】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【变式练习1】如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【变式练习2】如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【变式练习3】如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 题型4 平行线的基本事实及其推论 【典例】如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【变式练习1】下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若 则 【变式练习2】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【变式练习3】按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 题型5 利用角的数量关系判定两直线平行 【典例】如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【变式练习2】如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【变式练习3】如图，“因为，所以”，其推导的依据是______． 题型6 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 【典例】“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【变式练习1】学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是_________．    【变式练习2】有这样一个结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行。如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．    已知：如图，， __________________． 求证：__________________． 【变式练习3】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 题型7 平行线判定的开放性问题 【典例】如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，射线与直线相交于点O，请你添加一个条件：______，使． 【变式练习2】如图，请写出一个能判定的条件：___________． 【变式练习3】如图所示，请添加一个合适的条件：________，使（填一个即可）． 题型8 补全推理过程 【典例】请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【变式练习1】如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【变式练习2】（1）按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：已知线段a和线段b，且，作一条线段，使等于． （2）如图，点A在射线上，点C在射线上，，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（① ）， ∴，（② ）， ∵（已知）， ∴（③ ）， ∴（④ ）． 【变式练习3】如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 题型9 平行线判定的实际应用 【典例】世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【变式练习1】如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据__________． 【变式练习2】在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【变式练习3】如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？ 题型10 平行线判定的综合运用 【典例】如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【变式练习1】如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【变式练习2】如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【变式练习3】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 综合练习 一、单选题 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 2．一个长方体，其长、宽、高均不相等．在这个长方体中，与长平行的棱有(        ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 3．如图所示，下列条件中，不能判定直线的是（   ）． A． B． C． D． 4．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 5．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 6．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 7．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 8．下列图形中，直线与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 9．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（    ） 已知：如图1，直线及直线外一点P．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点A，连接． ②作的平分线． ③以点P为圆心长为半径画弧，交射线于点E． ④作直线． 直线就是所求作的直线． A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 10．图1是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具能保证图2中的灯管互相平行，依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 11．如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（           ）    A． B． C． D． 12．如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 二、填空题 13．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 14．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．若____________（添加一个条件即可），则能得到． 15．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 16．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是____________（填序号）． 17．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 18．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 19．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 20．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号） 三、解答题 21．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 22．填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 23．如图，已知，直线与有什么位置关系？说明理由． 24．如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 25．如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 26．如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 27．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 28．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 中考真题再现 1．如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 2．如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 3．将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______． 4．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲 平行线和平行线的判定 内容导航 题型1 判断平面内两直线的位置关系 1 题型2 判断棱柱体中平行的棱 2 题型3 尺规画平行线 4 题型4 平行线的基本事实及其推论 6 题型5 利用角的数量关系判定两直线平行 9 题型6 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 11 题型7 平行线判定的开放性问题 13 题型8 补全推理过程 15 题型9 平行线判定的实际应用 19 题型10 平行线判定的综合运用 21 综合练习 24 中考真题再现 45 题型1 判断平面内两直线的位置关系 【典例】在同一平面内，不重合的两直线的位置关系必是（    ） A．相交 B．平行 C．相交或平行 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系的基本概念． 【详解】解：∵在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系只有相交和平行两种． ∴两直线的位置关系必是相交或平行， 故选：C． 【变式练习1】将一张长方形纸片按如图所示方式对折两次，第二次对折产生的折痕与第一次对折产生的折痕之间的位置关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．平行或垂直 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题主要考查了平面上直线的位置关系，掌握相关知识是解决问题的关键．根据两直线的位置关系解答即可． 【详解】解：观察图形可知，将一张长方形纸片对折两次，产生的折痕与折痕之间的位置关系是平行． 故选：A． 【变式练习2】下列图形中，不平行于的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线和相交线．根据平行线和相交线的概念判断即可． 【详解】解：因为选项A、C是长方形，B是平移图形，D中与相交， ∴不平行于的是选项D， 故选：D． 【变式练习3】在同一平面内，不重合的两条直线只有相交和_________两种位置关系． 【答案】平行 【分析】根据两直线的位置关系解答即可. 【详解】解：在同一平面内，不重合的两条直线的位置关系是平行和相交， 故答案为：平行. 题型2 判断棱柱体中平行的棱 【典例】如图，在正方体中，下列各棱与棱平行的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的定义，结合正方体的特征直接判断即可． 【详解】解：由图可知，与棱平行的棱有，，， 故选D． 【点睛】本题考查平行线的判断，解题的关键是掌握平行线的定义和正方体的特征． 【变式练习1】五棱柱中，与其中一条侧棱平行的侧棱有（   ）条 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查五棱柱的知识，熟记五棱柱的特征，是解决此类问题的关键； 五棱柱有五条侧棱，所有侧棱互相平行，因此对于任意一条侧棱，其余四条都与它平行． 【详解】∵ 五棱柱的侧棱均互相平行， ∴ 任取一条侧棱，与之平行的侧棱有4条（不包括自身）． 故选：B． 【变式练习2】观察如图所示的长方体，回答下列问题： （1）用符号表示下列两条棱的位置关系：_________________________________；（填“”或“”） （2）与所在的直线是两条不相交的直线，它们________（填“是”或“不是”）平行线．由此可知，只有在_________内，两条不相交的直线才能叫作平行线． 【答案】 不是 同一平面 【分析】本题考查平行线及垂线定义，熟练掌握定义及长方体的性质是解题关键． （1）由平行线及垂线定义可得答案． （2）由平行线定义可得答案． 【详解】解：（1）∵该图是长方体， ∴， 故答案为：；；；． （2）∵与所在的直线是两条不相交的直线，与不在同一平面内， ∴它们不是平行线， ∴只有在同一平面内，两条不相交的直线才能叫做平行线． 故答案为：不是；同一平面． 【变式练习3】（1）补全下面的图形，使之成为长方体的直观图，并标出顶点的字母； （2）图中与棱平行的棱有　 　； （3）图中棱和面的位置关系是 　 ． 【答案】（1）见解析；（2）、、；（3）平行 【分析】（1）根据长方体的立体结构画出即可． （2）根据平行线的定义，找出符合条件的线即可． （3）因为线与面没有交点，所以平行． 【详解】解：（1）如图即为补全的图形； （2）图中与棱AB平行的棱有CD、EF、GH； 故答案为：CD、EF、GH； （3）图中棱CG和面ABFE的位置关系是：平行． 故答案为：平行． 题型3 尺规画平行线 【典例】如图，已知直线和直线外一点，我们可以用直尺和三角尺，过点画已知直线的平行线．下面的操作步骤：①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点；②用直尺紧靠三角尺的另一边；③沿三角尺的边作出直线；④用三角尺的一边紧贴住直线；正确的操作顺序是：______．（填序号）    【答案】④②①③ 【分析】本题考查的是画平行线，根据“用直尺和三角板过直线外一点画已知直线的平行线的操作步骤”即可作答； 【详解】解：正确的步骤是： ④用三角尺的一边贴住直线a； ②用直尺紧靠三角尺的另一边； ①沿直尺上移三角尺使三角尺一边经过点P； ③沿三角尺的边作出直线b； 故答案为：④②①③； 【变式练习1】如图，在三角形中，P是边上一点．过点P分别画，的平行线． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的画法．利用三角尺，从边平移直到直线过P点，做出平行线，同理做出的平行线． 【详解】解：如图所示，，，直线即为所求． 【变式练习2】如图，直线与直线相较于点． (1)过点画，交于点； (2)过点画，垂足为，连接，比较线段与的长度，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析，，理由为：垂线段最短 【分析】本题考查了作图画平行线、画垂线、垂线段最短、平行线的性质 （1）过点画，交于点即可； （2）过点画，垂足为F；根据垂线段最短即可判断与的大小． 【详解】（1）解：如图，，交于点E； （2）解：如图， 与的大小为：． 理由为：垂线段最短． 【变式练习3】如图，点在 的边上．按下列要求画出相应的图形． ①过点画直线 ②过点分别画 垂足分别为点、， 交于点； 【答案】见解析 【分析】本题考查了画平行线，画垂线，根据要求画出图形即可． 【详解】解：如图所示 题型4 平行线的基本事实及其推论 【典例】如果，，那么，这个推理的依据是（   ） A．等量代换 B．同位角相等，两直线平行 C．垂直于同一直线的两条直线平行 D．平行于同一直线的两条直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定公理，明确各选项对应的知识点是解题关键． 【详解】解：∵已知，， ∴根据“平行于同一直线的两条直线平行”这一公理，可推出， ∴这个推理的依据是：平行于同一直线的两条直线平行， 故选：D． 【变式练习1】下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．若 则 【答案】D 【分析】本题考查线段的基本性质、平行公理及推论、垂线的基本性质，需逐一分析选项判断正误． 【详解】解：∵两点之间，线段最短，∴A选项错误． ∵过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，B选项未限定“直线外”，∴B选项错误． ∵同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，C选项未限定“同一平面内”，∴C选项错误． ∵平行公理推论：平行于同一条直线的两条直线互相平行，∴若，则，D选项正确． 故选：D． 【变式练习2】如图是一个可折叠衣架，是地平线，当，时，就可以确定点、、在同一直线上，这样判定的依据是____________． 【答案】过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【分析】本题考查了平行公理，根据平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行进行判断即可，掌握经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行是解题关键． 【详解】解：∵， ∴点、、在同一直线上（过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行） 故答案为：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． 【变式练习3】按要求完成下列问题，其中画图不写作法． (1)画出从点到水渠边的最短距离，并说明依据：__________________． (2)过点画出的平行线，这样的平行线有几条，为什么？ (3)请你举出一个生活中应用以上（1）中“依据”的实际例子． 【答案】(1)图见解析；垂线段最短 (2)这样的平行线有1条，理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行 (3)体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短 【分析】本题考查画垂线与平行线，垂线段最短，平行公理，掌握垂线段最短和平行公理是解题的关键．注意理解“有”、“且只有”的意义． （1）作于D即可； （2）根据平行公理：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，求解即可； （3）体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 【详解】（1）解：如图，线段的长度即为所求， 依据是：垂线段最短． （2）解：如图，直线即为所求， 过点画出的平行线，这样的平行线只有1条， 理由：过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行． （3）解：体育课上测量跳远成绩的依据也是利用垂线段最短． 题型5 利用角的数量关系判定两直线平行 【典例】如图，直线，被直线所截，下列条件中不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟练掌握“同位角相等、内错角相等或者同旁内角互补，则两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A、、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B、、是内错角，根据内错角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C、、是同位角，两个同位角的和为，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D、、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； 故选：C． 【变式练习1】我们曾利用手中的直尺和三角板，过直线外一点画出与已知直线平行的直线，你可能还见过木工师傅用角尺画出平行线的方法；两者的原理一样，依据是（   ） A．两直线平行，同位角相等 B．同位角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．内错角相等 ，两直线平行 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握同位角相等，两直线平行是解题关键． 根据同位角相等，两直线平行即可得． 【详解】解：如图， 由作法知，，， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选B． 【变式练习2】如图，下列推理中正确的是________．（请填写序号） ①，； ②，； ③，； ④，． 【答案】①②④ 【详解】根据同位角相等、内错角相等、同旁内角互补来判断两直线是否平行． 解：①：∵，这是内错角相等，∴，推理正确； ②：∵，这是同位角相等，∴，推理正确； ③：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理错误； ④：∵，这两个角不是同旁内角，无法判定，推理正确． 综上，正确的推理是①②④． 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了知识点平行线的判定，解题关键是准确识别同位角、内错角、同旁内角，再结合判定定理进行判断． 【变式练习3】如图，“因为，所以”，其推导的依据是______． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理即可求解，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解：因为与是内错角，且，所以，其推导的依据是内错角相等，两直线平行， 故答案为：内错角相等，两直线平行． 题型6 利用平行线判定方法的推论判定两直线平行 【典例】“如果，那么，”这一推理的依据是（    ） A．垂直定义 B．平行于同一条直线的两条直线互相平行 C．等量代换 D．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据“同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”求解即可． 【详解】解：∵，， ∴（同一平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， 故选：D． 【变式练习1】学习了平行线后，王玲同学想出了过直线外一点P画直线a的平行线的新方法．他先按照图2动手实验，得到过点P的折线b，此时点A恰好落在直线a上；再按照图3动手实验，得到过点Ｐ的折线c，此时点B恰好落在折线b上．王玲同学发现：此时得到的过点P的折线c恰好与直线a平行，他的根据是_________．    【答案】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行 【分析】在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行．据此即可解答． 【详解】解：由图2可知：,由图3可知：, ∴（在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行）． 故答案为：在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟练掌握在同一平面内，如果两条直线同时垂直于同一条直线，那么这两条直线平行是解答本题的关键． 【变式练习2】有这样一个结论：在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行、如下给出了不完整的“已知”和“求证”，请补充完整，并写出证明过程（注明理由）．    已知：如图，， __________________． 求证：__________________． 【答案】，，证明见解析 【分析】根据垂直的定义，平行线的判定进行求解作答即可． 【详解】解：由题意知， 已知，如图，，， 求证：． 证明如下：如图，    ∵，（已知） ∴，（垂直的定义） ∴.（同位角相等，两直线平行） 【点睛】本题考查了垂直，平行线的判定，解题的关键在于对知识的数量掌握与灵活运用． 【变式练习3】如图，，，垂足分别是，，． (1)判断与的位置关系；（不需要证明） (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）根据垂直于同一直线的两条直线互相平行，即可得出结论； （2）根据可得，则，即可求证． 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）证明：，， （等式的性质）， 即 ， （同位角相等，两直线平行）． 题型7 平行线判定的开放性问题 【典例】如图所示，要得到，则需要添加的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，明确内错角的定义是解题的关键． 根据内错角相等两直线平行，确定是的内错角即可． 【详解】由图可知，是的内错角， 若，则． 故答案为：C． 【变式练习1】如图，射线与直线相交于点O，请你添加一个条件：______，使． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理的应用，解题的关键是根据同位角、内错角、同旁内角的关系添加合适的条件使两直线平行． 明确与被截线所形成的同位角、内错角、同旁内角；根据平行线的判定定理，同位角相等、内错角相等或同旁内角互补时两直线平行；结合已知角的位置关系添加对应的条件． 【详解】解：要使，需根据平行线的判定定理添加条件． 与 是同位角，若，则同位角相等，两直线平行； 与是内错角，若，则内错角相等，两直线平行； 与 是同旁内角，若，则同旁内角互补，两直线平行． 故答案为：（或或，答案不唯一）． 【变式练习2】如图，请写出一个能判定的条件：___________． 【答案】或或，不唯一 【分析】本题考查了平行线的判定，内错角相等两直线平行，同位角相等两直线平行，同旁内角互补两直线平行，理解相关知识是解答关键． 根据平行线的判定定理来求解． 【详解】解：根据图上标有角度的地方可知 ，内错角相等两直线平行， ，同位角相等两直线平行， ，同旁内角互补两直线平行． 故答案为：或或，不唯一． 【变式练习3】如图所示，请添加一个合适的条件：________，使（填一个即可）． 【答案】或或（任填一个即可） 【分析】此题主要考查了平行线的判定，正确掌握平行线的判定方法是解题关键． 直接利用平行线的判定方法分别判断得出答案． 【详解】解：当时，； 当时，； 当时，． 故答案为：或或（任填一个即可）． 题型8 补全推理过程 【典例】请填空，完成下面的证明． 如图，平分平分．求证：． 证明：，（已知） ___________，（邻补角互补） ___________（___________）． 平分平分， ______________________（___________） （___________）． （___________）． 【答案】；；同角的补角相等；；；角平分线的定义；等量代换；内错角相等，两直线平行 【分析】观察证明部分可知，本题的证明思路为通过先证明，再利用角平分线的定义，通过等量代换得到，最后通过内错角相等，两直线平行证明结论，根据证明思路补全过程即可． 【详解】证明：（已知）， （邻补角互补）， （同角的补角相等）． 平分平分， ，（角平分线的定义）． （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 【变式练习1】如图，已知，吗？阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式） 解：∵（      ） ∴（      ） 同理可得（      ） ∴（      ） 又∵（       ） ∴（      ） 即（      ）（      ） ∴（      ）（      ）（             ） 【答案】见解析 【分析】本题考查的是垂直的定义，平行线的判定，根据题干信息逐一完善推理过程与推理依据即可． 【详解】解：∵（ 已知）， ∴（垂直的定义）， 同理可得（垂直的定义）， ∴（等量代换）， 又∵（ 已知）， ∴（等式的性质）， 即， ∴（）（ ）（同位角相等，两直线平行）． 【变式练习2】（1）按下列要求作图（不写作法，但要保留作图痕迹）：已知线段a和线段b，且，作一条线段，使等于． （2）如图，点A在射线上，点C在射线上，，．求证：．请将下面的证明过程补充完整． 证明：∵（已知），（① ）， ∴，（② ）， ∵（已知）， ∴（③ ）， ∴（④ ）． 【答案】（1）见解析；（2）；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行 【分析】本题主要考查了作线段、线段的和差、补角的性质、平行线的判定等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）如图：作射线，以A点为圆心，以a为半径画弧交射线于点B，以点B为圆心，以a为半径画弧交射线于点C； 再以A点为圆心，以b为半径画弧交射线于点D，线段即为所求； （2）根据补角的性质、等量代换、平行线的判定逐步分析即可解答． 【详解】解：（1）如图：线段即为所求； （2）证明：∵（已知），（邻补角的性质） ∴，（同角的补角相等） ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：邻补角的性质；；同角的补角相等；；等量代换；同位角相等、两直线平行． 【变式练习3】如图，，，，以下是小明同学说明的推理过程及理由．请你在横线上补充完整其推理过程或理由． 解：因为，（已知）， 所以（____________）， 所以， 所以∥____________（__________________________________）． 因为（已知）， 所以∥____________（__________________________________）， 所以（__________________________________）． 【答案】垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行． 【分析】根据平行线的判定推出，即可推出． 【详解】解：因为，（已知）， 所以（__垂直定义__）， 所以， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）． 因为（已知）， 所以∥（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（平行于同一条直线的两条直线平行）． 故答案为：垂直定义；；同旁内角互补，两直线平行；；同旁内角互补，两直线平行；平行于同一条直线的两条直线平行 题型9 平行线判定的实际应用 【典例】世界上最早记载潜望镜原理的古书，是公元前二世纪中国的《淮南万毕术》．书中记载了这样的一段话：“取大镜高悬，置水盘于其下，则见四邻矣”．现代潜艇潜望镜是在20世纪初发明的．如图是潜望镜工作原理的示意图，那么它所应用的数学原理是（　　） A．内错角相等，两直线平行 B．同旁内角互补，两直线平行 C．对顶角相等 D．两点确定一条直线 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定．熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行，进行判断即可． 【详解】解：由题意知，所应用的数学原理是内错角相等，两直线平行； 故选：A． 【变式练习1】如图，一个弯形管道的拐角，，这时说管道，是根据__________． 【答案】同旁内角互补，两直线平行 【分析】本题考查了阅读题目信息，观察图形，试着得到的位置关系； 分析可得是同旁内角，回想平行线的判定定理； 根据同旁内角互补，两直线平行即可得到答案. 【详解】解：∵， ∴ ∴（同旁内角互补，两直线平行） 故答案为：同旁内角互补，两直线平行. 【变式练习2】在铺设铁轨时，两条直轨必须平行．如图所示，已知是直角，那么再度量图中哪个角（图中已标出的），就可以判断两条直轨是否平行？说出你的理由． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定，解答本题的关键是熟练掌握平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行． 根据图形可知：和互为同旁内角，和互为内错角，和互为同位角，然后结合平行线的判定定理即可解答． 【详解】解：①通过度量的度数，若满足， 根据同旁内角互补，两直线平行，就可以验证这个结论； ②通过度量的度数，若满足， 根据同位角相等，两直线平行，就可以验证这个结论； ③通过度量的度数，若满足， 根据内错角相等，两直线平行，就可以验证这个结论． 【变式练习3】如图，木工常用角尺画平行线，你能说出其中的道理吗？ 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理（同位角相等时两直线平行），熟练掌握这些判定定理，并能结合实际操作中角的特征进行分析是解题的关键．要说明木工用角尺画平行线的道理，需观察角尺与所画直线形成的角的关系，利用平行线的判定定理来分析． 【详解】解：木工用角尺画平行线时，角尺的直角边与木板的边可形成同位角． 角尺的角是固定的直角，在画平行线过程中，所形成的同位角都等于 根据“同位角相等，两直线平行” 利用角尺能画出平行线。 题型10 平行线判定的综合运用 【典例】如图，D，E分别在和上，平分，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】由角平分线的定义得出，再由同位角相等，两直线平行，即可得证． 【详解】证明：平分， ． ， ． ， ． ∴． 【变式练习1】如图，已知直线与直线，分别相交于点E，F，于点F，若，，直线与平行吗？请说明理由． 【答案】直线与平行，理由见详解 【分析】此题考查了垂直的定义，平行线的判定，平角的定义，解题的关键是掌握以上知识点． 由垂直的定义得到，由平角的定义求出，由对顶角的性质得到，因此，推出． 【详解】解：直线与平行，理由如下： ∵于点F， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式练习2】如图，直线和被直线所截． (1)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (2)如图，平分，平分，则当与满足 时，； (3)如图，平分，平分，则当与满足什么条件时，？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线定义的应用，注意：平行线的判定是：①同位角相等，两直线平行；②内错角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行． （1）根据角平分线定义得出，，时，求出，根据平行线的判定推出即可． （2）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． （3）根据角平分线定义得出，，求出，根据平行线的判定推出即可． 【详解】（1）解：当时，．理由如下： 平分，平分 ． ， ， ． （2）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． （3）解：当时，．理由如下： 平分，平分， ． ， ， ． 【变式练习3】如图，点在上，点在上，连接，过点作交于点，过点作平分交于点，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)证明见解析； (2)． 【分析】（）根据垂直的定义得到，推出，根据平行线的判定定理即可得到结论； （）根据三角形的内角和列方程得到，根据角平分线的定义得到，于是得到结论； 本题考查了同角的余角相等，垂直的定义，平行线的判定和性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 综合练习 一、单选题 1．在同一平面内，两条不同的直线的位置关系是（     ） A．平行 B．相交 C．平行或相交 D．平行或重合 【答案】C 【分析】本题考查同一平面内两条直线的位置关系，根据初中数学教材中的相关概念判断即可． 【详解】解：∵在同一平面内，两条不重合的直线的位置关系为平行或相交，重合的直线视为同一条直线，不属于两条不同直线的位置关系． ∴两条直线的位置关系是平行或相交， 故选：C． 2．一个长方体，其长、宽、高均不相等．在这个长方体中，与长平行的棱有(        ) A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查立体图形中棱的平行关系．长方体有12条棱，分为三组，每组4条棱互相平行，分别与长、宽、高方向一致． 【详解】解：根据长方体的特征，它有三组互相平行的棱，每组都有4条棱，这4条棱的长度相等． 因此，与长平行的棱（含自身）一共有4条． 故选：D． 3．如图所示，下列条件中，不能判定直线的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行线的判定定理，熟悉平行线的判定定理，是解题的关键．根据同位角、内错角、同旁内角的关系逐一分析各选项． 【详解】解：选项中，当时，不能判定，符合题意； 选项中，当时，，不符合题意； 选项中，当时，，不符合题意； 选项中，当时，，不符合题意. 故选：． 4．下列说法正确的是（   ） A．两点之间，直线最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 C．相等的角是对顶角 D．两点确定一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了平行公理、对顶角及直线公理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：A：两点之间，线段最短，故该选项不合题意； B：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不合题意； C：对顶角相等，但相等的角不一定是对顶角，故该选项不合题意； D：两点确定一条直线，故该选项符合题意． 故选：D． 5．小明利用三角尺和直角尺画直线的平行线，如图所示，由此可得到的基本事实是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角互补，两直线平行 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】本题考查了画平行线，根据平行线的判定可得答案． 【详解】解：由图可知，，与为同位角， ∴， ∴由此可得到的基本事实是同位角相等，两直线平行． 故选：A． 6．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C、若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D、若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 7．若，则下列图形一定能得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、不能推出，不符合题意； B、不能推出，不符合题意； C、∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； D、不能推出，不符合题意； 故选：C． 8．下列图形中，直线与直线平行的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据平行线的判定方法，逐项分析即可得出答案． 【详解】解：A、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线不平行，不符合题意； B、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线平行，符合题意； C、如图， 则，， ∴， ∴直线与直线不平行，不符合题意； D、如图， 则，， ∵， ∴直线与直线不平行，不符合题意； 故选：B． 9．下面是小明设计的“过直线外一点作这条直线平行线”的尺规作图过程：上述的方法是通过判定得到的，其中判定的依据是（    ） 已知：如图1，直线及直线外一点P．求作：直线，使得． 作法：如图2， ①在直线上取一点A，连接． ②作的平分线． ③以点P为圆心长为半径画弧，交射线于点E． ④作直线． 直线就是所求作的直线． A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，同位角相等 C．内错角相等，两直线平行 D．两直线平行，内错角相等 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的判定定理，解题的关键是准确识别角的位置关系并运用判定定理．先分析和的位置关系，再结合平行线判定定理判断． 【详解】解析：∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故选：C． 10．图1是艺术灯安装师傅安装灯管时使用的工具，利用这个工具能保证图2中的灯管互相平行，依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．同旁内角相等，两直线平行 D．同旁内角互补，两直线平行 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行，即可得出结果． 【详解】解：∵工具的两个同旁内角均为， ∴两个角的和为180度， ∴利用同旁内角互补，两直线平行，可得两直线平行， ∴能判定灯管互相平行的依据是同旁内角互补，两直线平行． 故选：D． 11．如图，是直线上一点，平分，，，添加一个条件，仍不能判定，添加的条件可能是（           ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项进行判断即可． 【详解】解：、平分，， ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 平分 ，故不符合题意； 、， 不能判断，故符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解答本题的关键． 12．如图，，平分，，以下结论：①；②；③；④；其中正确结论是（    ） A．②③④ B．①②④ C．①③④ D．①② 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴， ∴， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误； ∵， ∴ ， ∴，即，故④正确； 综上所述，正确的选项①②④， 故选：B． 二、填空题 13．如图，，，则点，，_________（填“在”或“不在”）同一条直线上．理由：__________________． 【答案】 在 过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行 【分析】本题考查平行线的性质，平行公理等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行，由此即可判断． 【详解】解：∵点是直线外一点，，，且经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行， ∴点在一条直线上． 故答案为：在，经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行． 14．如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小明在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．若____________（添加一个条件即可），则能得到． 【答案】（答案不唯一） 【详解】解：若，则； 若，则； 若，则； 若，则． 15．如图，一条街道的两个拐角和相等，则街道与平行．理由是__________________． 【答案】内错角相等，两直线平行 【分析】根据和是内错角可直接得出结论． 【详解】解：， 和是内错角， ． 故答案为：内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查的是平行线的判定，解决本题的关键掌握内错角相等，两直线平行． 16．如图，有以下条件：①；②；③；④；⑤．其中能判定的是____________（填序号）． 【答案】③⑤ 【分析】此题考查了平行线的判定定理，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理判断求解即可． 【详解】解：， ，故①不符合题意； ， ，故②不符合题意； ， ，故③符合题意； ， ，故④不符合题意； ，， ， ，故⑤符合题意． 综上所述，能判定的是③⑤． 故答案为：③⑤． 17．如图，点，，分别在，，上，若，则________________；若，则________________． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，掌握识别同旁内角并利用其互补关系判定平行的方法是解题的关键． 利用同旁内角互补，两直线平行的判定定理，通过已知的角度和为，确定哪两条直线被哪条截线所截，从而判定平行关系． 【详解】解：若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 若：与是直线被直线所截的同旁内角，根据同旁内角互补，两直线平行，可得：． 故答案为：、、、． 18．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是_____________________． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 19．平面上有2025条直线，若，，，，，，…，那么和的位置关系是________． 【答案】平行 【分析】本题考查了平行线的判定．根据题意推导出一般性规律是解题的关键．根据在同一平面内，平行于同一条直线的两直线平行，垂直于同一条直线的两直线平行等，进行判定位置关系，然后推导出一般性规律：4条直线的位置关系为一个循环，然后求解即可． 【详解】解：∵若，，，，，，…， ∴，，……， ∴可推导一般性规律，4条直线的位置关系为一个循环， ∵， ∴， 故答案为：平行． 20．如图，将一副三角板按如图所示放置，，，，且，则下列结论中：①；②若平分，则有；③将三角形绕点旋转，使得点落在线段上，则此时；④若，则．其中结论正确的选项有______．（写出所有正确结论的序号） 【答案】②③④ 【分析】①根据同角的余角相等得∠1=∠3，但不一定得45°；②都是根据角平分线的定义、内错角相等，两条直线平行，可得结论；③根据对顶角相等和三角形的外角等于不相邻的两个内角得和，可得结论；④根据三角形内角和定理及同角的余角相等，可得结论． 【详解】解：①如图， ∵∠CAB=∠DAE=90°， 即∠1+∠2=∠3+∠2+90°， ∴∠1=∠3≠45°， 故①不正确； ②∵AD平分∠CAB， ∴∠1=∠2=45°， ∵∠1=∠3， ∴∠3=45°， 又∵∠C=∠B=45°， ∴∠3=∠B， ∴BC∥AE， 故②正确； ③将三角形ADE绕点A旋转，使得点D落在线段AC上， 则∠4=∠ADE-∠ACB=60°-45°=15°， 故③正确； ④∵∠3=2∠2，∠1=∠3， ∴∠1=2∠2，∠1+∠2=90°， ∴3∠2=90°， ∴∠2=30°， ∴∠3=60°， 又∠E=30°， 设DE与AB交于点F，则∠AFE=90°， ∵∠B=45°， ∴∠4=45°， ∴∠C=∠4， 故④正确， 故答案为：②③④． 【点睛】本题主要考查了同角的余角相等、角平分线定义、平行线的判定的运用，解题关键是熟练掌握同角的余角相等及平行线的判定． 三、解答题 21．（1）如图①，过点P画直线的垂线，垂足是点E；过点P画直线的垂线与直线交于点F，若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中______的长度． （2）如图②，过点C画与交于点E；过点C画，与的延长线交于点F． 【答案】（1）画图见解析；，（2）画图见解析； 【分析】本题考查学生利用工具画图的能力及对垂线，平行线的理解． （1）如图，利用三角尺画，，则，即为所求，再利用点到直线的距离的含义可得点P到直线的距离； （2）如图，利用三角尺画交于，过点C画，与的延长线交于点F．则，即为所求； 【详解】解：如图， ，即为所求； ； 若需测量点P到直线的距离，那么应该测量图中线段的长度． （2）如图， ，即为所求； ； 22．填空(理由或数学式) 如图，已知，，，，则与平行吗？ 与平行吗？ 解：，已知， 等量代换，        ． 又       ， ， 等式的性质． 同理可得 ． 等量代换， (       ) 【答案】；同位角相等，两直线平行；已知；；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了垂直的定义，平行线的判定，根据题意得出，根据同位角相等，两直线平行即可证明；再证明，同理证明． 【详解】解：，已知， 等量代换， ． 又， ， 等式的性质． 同理可得． 等量代换， (同位角相等，两直线平行) ． 23．如图，已知，直线与有什么位置关系？说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了对顶角的性质，平行线的判定等知识，根据对顶角的性质并结合已知可得出，然后根据“同旁内角互补，两直线平行”即可得出结论． 【详解】解： 理由：∵，， ∴， ∴． 24．如图，点在射线上，平分，． (1)画，垂足为； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，作垂线，熟练掌握平行线的判定是解题的关键． （1）过点作的垂线，垂足为，则即为所求； （2）根据角平分线的定义以及平行线的判定即可证明． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）证明：∵平分， ∴ ∵， ∴， ∴． 25．如图，分别平分和，，那么与有什么关系？试说明理由． 【答案】平行，理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义及平行线的判定定理，解题的关键在于利用角平分线将给定角度转化为所需角度，进而通过证明同旁内角互补，最终依据平行线判定定理得出与平行的结论．运用角平分线的定义，结合图形可知，又已知，可得同旁内角和互补，从而证得． 【详解】解：与平行，理由如下： 平分平分， （角平分线定义）， ， ， （同旁内角互补，两直线平行）． 26．如图，在四边形中，射线交于点，连接，． (1)若，求的度数； (2)若，判断直线和的位置关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂直的定义、平行线的判定、直角三角形的性质．解决本题的关键是根据垂直找角之间的关系，再利用角之间的关系找边之间的关系． （1）根据垂直的定义可得：，根据平角是可得：，从而可求； （2）根据直角三角形的两个锐角互余可知，根据同角的余角相等可得：，根据同位角相等，两直线平行，可证结论成立． 【详解】（1）解：， ， ，， ． （2）解：， 理由如下， ， ， ， 又， ， ． 27．如图，直线与被直线所截，分别交于点P、O，且分别平分和，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）设，则，根据，求出，得到，由即可解答． 【详解】（1）证明：，分别平分和， ，， ， ， ， ， ， ； （2）解：设，则， ， ， 解得， ， ． 28．如图，直线交于点O，分别平分和，且． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定、对顶角的性质、同角的余角相等、角平分线的定义等知识点，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）先利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义可得，然后利用同角的余角相等可得，再利用平行线的判定即可得到结论； （2）利用（1）的结论可得，然后利用平角定义可得，然后利用对顶角相等可得，再利用角平分线的定义可得，从而利用平角定义即可解答． 【详解】（1）证明：分别平分和， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 中考真题再现 1．如图，将两块相同的直角三角尺按图示摆放，则与平行．这一判断过程体现的数学依据是（   ） A．垂线段最短 B．内错角相等，两直线平行 C．两点确定一条直线 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定，熟练掌握内错角相等，两直线平行是解题的关键．根据内错角相等，两直线平行直接得到答案． 【详解】解：由题意得， 根据内错角相等，两直线平行可得． 故选：B． 2．如图，是的外角，射线在的内部，添加一个条件_______，使得．（写出一种情况即可） 【答案】或或（答案不唯一，填一个即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行解答即可． 【详解】解：∵， ∴（同位角相等，两直线平行）； ∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）； ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：或或（答案不唯一，填一个即可）． 3．将一副三角板如图摆放，则______∥______，理由是______． 【答案】 内错角相等，两直线平行 【分析】根据三角板的角度可知，根据内错角相等，两直线平行判断即可． 【详解】解：一副三角板如图摆放， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）， 故答案为：；；内错角相等，两直线平行． 【点睛】本题考查了平行线的判定，熟知平行线的判定定理是解本题的关键． 4．如图，在的方格中，每个小正方形边长均为1个单位长度．的顶点、点和点都在格点上．仅用无刻度直尺作图，保留作图痕迹，不写作法． (1)过点作的垂线段； (2)过点作的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了网格中利用无刻度直尺作平行线和垂线的作图方法，解题的关键是借助格点间的位置关系构造垂直或平行的线段． （1）可证，则，因，，，即． （2）可证，则，又，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接，即为所求作的垂线段． 如图，则，因， ∴， ∴，即． （2）如图，即为所求作的平行线． 如图，，则，又， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $