第02讲 平行线的判定 平行线的性质 图形的平移（寒假预习讲义）七年级数学新教材浙教版

第02讲 平行线的判定 平行线的性质 图形的平移 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 平行线的判定 1. 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠1=∠2（同位角），则a∥b。 2. 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠2=∠3（内错角），则a∥b。 3. 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（和为180°），那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠2+∠4=180°（同旁内角），则a∥b。 4. 平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 · 几何语言：若a∥c，b∥c，则a∥b。 5. 垂直于同一条直线的两条直线平行（补充） 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。 知识点2 ：平行线的性质 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 · 几何语言：若a∥b，则∠1=∠2（同位角）。 2. 两直线平行，内错角相等 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 · 几何语言：若a∥b，则∠2=∠3（内错角）。 3. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 · 几何语言：若a∥b，则∠2+∠4=180°（同旁内角）。 4. 平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等。 知识点3： 图形的平移 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2. 平移的性质 · 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等； · 平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等； · 平移后，对应角相等。 3. 平移的要素 · 方向：图形平移的方向（如沿x轴正方向、北偏东30°等）； · 距离：图形平移的长度（对应点之间的距离）。 4. 平移作图步骤 · 确定原图形的关键点（如顶点、端点等）； · 按平移方向和距离，画出各关键点的对应点； · 顺次连接对应点，得到平移后的图形. 【题型1 平行线的判定一（同位角）】 例1．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 例2．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 变式1．如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 变式2．如图，点、分别在、的延长线上，不添加其他角与线的前提下，写出一个条件 ，使得．（写一个即可） 变式3．如图，在中，，，．求证： ． 【题型2 在同一平面内，垂直与同一条直线的两条直线平行】 例1．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 例2．若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 变式1．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 变式2．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 变式3．在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 【题型3 平行线的判定二（内错角）】 例1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 例2．如图，能使的条件是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，添加一个条件： ，使得． 变式2．如图，点在线段的延长线上，要判定，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 变式3．完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【题型4 平行线的判定三（同旁内角）】 例1．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 例2．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 变式2．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有 ．（写出所有正确条件的序号） 变式3．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【题型5 平行线的性质一（同位角）】 例1．如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 例2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 变式1．如图，直线被直线所截，，则 ． 变式2．如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 变式3．如图，，，求证：． 【题型6 平行线的性质二（内错角）】 例1．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 例2．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 变式1．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为 度． 变式2．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 变式3．如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 【题型7 平行线的性质三（同旁内角）】 例1．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 例2．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 变式1．如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 变式2．如图，已知，则 ． 变式3．完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【题型8 图形的平移】 例1．下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 例2．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 变式1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 变式2．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 变式3．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【题型9 平移的性质与作图】 例1．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 例2．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 变式1．如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 变式2．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 变式3．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【题型10 平行线的性质与判定综合】 例1．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 例2．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的倍少，那么这两个角是（   ） A．、 B．都是 C．、或、 D．以上都不对 变式1．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有 （填序号）． 变式2．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 变式3．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 2．如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 3．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 6．在下列四幅图中，那几幅图是可以经过平移变换得来的 ． ①            ②              ③                  ④ 7．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 8．如图，在中，，平分交于点E，若，则的度数为 ． 9．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是 （填序号） 10．如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是 ． 11．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； (2)图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 12．如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 13．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 14．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 15．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第02讲 平行线的判定 平行线的性质 图形的平移 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ： 平行线的判定 1. 同位角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠1=∠2（同位角），则a∥b。 2. 内错角相等，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠2=∠3（内错角），则a∥b。 3. 同旁内角互补，两直线平行 两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补（和为180°），那么这两条直线平行。 · 几何语言：若∠2+∠4=180°（同旁内角），则a∥b。 4. 平行于同一条直线的两条直线平行（平行线的传递性） 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。 · 几何语言：若a∥c，b∥c，则a∥b。 5. 垂直于同一条直线的两条直线平行（补充） 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行。 · 几何语言：若a⊥c，b⊥c，则a∥b。 知识点2 ：平行线的性质 1. 两直线平行，同位角相等 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等。 · 几何语言：若a∥b，则∠1=∠2（同位角）。 2. 两直线平行，内错角相等 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等。 · 几何语言：若a∥b，则∠2=∠3（内错角）。 3. 两直线平行，同旁内角互补 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（和为180°）。 · 几何语言：若a∥b，则∠2+∠4=180°（同旁内角）。 4. 平行线间的距离 两条平行线中，一条直线上任意一点到另一条直线的距离，叫做这两条平行线之间的距离。平行线间的距离处处相等。 知识点3： 图形的平移 1. 平移的定义 在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做平移。平移不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2. 平移的性质 · 平移后，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等； · 平移后，对应线段平行（或在同一直线上）且相等； · 平移后，对应角相等。 3. 平移的要素 · 方向：图形平移的方向（如沿x轴正方向、北偏东30°等）； · 距离：图形平移的长度（对应点之间的距离）。 4. 平移作图步骤 · 确定原图形的关键点（如顶点、端点等）； · 按平移方向和距离，画出各关键点的对应点； · 顺次连接对应点，得到平移后的图形. 【题型1 平行线的判定一（同位角）】 例1．如图，将木条a，b与木条c钉在一起，，．若木条a按箭头方向旋转的度数为α时，木条，则α的值可以为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，解题的关键是熟练掌握平行线的判定方法．根据平行线的判定方法：同位角相等，两直线平行，进行解答即可． 【详解】解：如图， 当时，， ∴要使，木条a旋转的度数． 故选：D． 例2．如图，直线AC，DC，BE相交于点C，直线AB，BE相交于点B．下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同位角相等、内错角相等、同旁内角互补时，对应的两直线平行是解题的关键． 本题逐个分析每个选项，结合平行线的判定定理，判断条件是否能推出． 【详解】解：A、，无法判定，不符合题意； B、，无法判定，不符合题意； C、，无法判定，不符合题意； D、∵， ∴， ∴，符合题意． 故选：D． 变式1．如图所示，在中，点分别是上的点，连接，请添加一个条件 ，使得．（只写一个） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的三个判定定理添加即可． 【详解】解：添加， 由同位角相等两直线平行，即可得； 故答案为：（答案不唯一）． 变式2．如图，点、分别在、的延长线上，不添加其他角与线的前提下，写出一个条件 ，使得．（写一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题考查了平行线的判定，熟记平行线的判定定理是解题的关键． 根据平行线的判定定理求解即可． 【详解】解：添加，理由如下： ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．如图，在中，，，．求证： ． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定. 根据垂直的定义得到， 根据得到，由可知，即，根据同位角相等两直线平行作答即可. 【详解】证明：∵ ∴ ∵ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 【题型2 在同一平面内，垂直与同一条直线的两条直线平行】 例1．已知，，是同一平面内的三条直线，下列说法正确的是（ ） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【分析】本题考查平行线的判定和性质，根据平行线的判定和性质及垂直的性质，逐项进行分析，用排除法即可找到答案．熟练掌握平行线的判定和性质定理是解题的关键． 【详解】解：A．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； B．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； C．若，，则，原说法错误，故此选项不符合题意； D．若，，则，原说法正确，故此选项符合题意． 故选：D． 例2．若，，则与的关系是（   ） A．平行 B．垂直 C．相交 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平面内的两直线的位置关系，只有当直线a、b、c位于同一平面内时，垂直于同一条直线的两条直线平行关系成立，即可得到答案． 【详解】解：当直线a、b、c在同一平面内时，，，则． 当直线a、b、c不在同一平面内时，，，与的关系不一定平行． 故选：D． 变式1．如图，分别将一副三角板的一条直角边与直尺边重合，则另两条直角边和满足．理由是 ． 【答案】同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定；两直线垂直于同一直线，可根据同位角相等两直线平行或同旁内角互补两直线平行，进行判断． 【详解】解：∵ ∴ ∴ 故答案为：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行． 变式2．已知a，b，c在同一平面内的三条直线，若，，则a c． 【答案】/平行 【分析】本题考查了平行线的判定，熟知在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 故答案为：． 变式3．在如图所示的方格纸中不用量角器，用三角尺或直尺． (1)经过点P画的垂线； (2)过点A，画的垂线： (3)过点C，画的平行线： (4)请直接写出，的位置关系． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4) 【分析】本题考查画平行线和垂线，平行线的判定，熟练掌握方格纸的特点，是解题的关键． （1）根据格点特点，取格点Q，连接,则，根据三角形内角和定理可知； （2）根据格点特点，取格点，连接，则，根据三角形内角和可知； （3）将点B向右平移12个小格向下平移2格到点C，把点A向右平移12个小格，向下平移2格到袋内N，连接，根据平移可得； （4）根据垂直于同一条直线的两直线平行，即可得出结论． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求； （3）解：如图，即为所求； （4）解：∵，， ∴． 【题型3 平行线的判定二（内错角）】 例1．如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定方法逐项判定，即可求解． 【详解】解：因为，所以（内错角相等，两直线平行．），故D符合题意； A、B、C选项都无法判断． 故选：D． 例2．如图，能使的条件是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定， 根据平行线的判定逐项分析即可解答． 【详解】解：A、，能判断，故符合题意； B、，能判断，不能判断，故不符合题意； C、，能判断，不能判断，故不符合题意； D、，不能判断，故不符合题意． 故选：A． 变式1．如图，添加一个条件： ，使得． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了平行线的判定定理，正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键． 根据平行线的判定定理，即可直接写出条件． 【详解】解：添加的条件是：．理由如下： ∵， ∴（内错角相等，两直线平行）． 故答案是：（答案不唯一）． 变式2．如图，点在线段的延长线上，要判定，只需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定方法解答即可． 【详解】解：添加，由内错角相等，两直线平行可得， 或添加，利用同位角相等，两直线平行得出， 添加，利用同旁内角互补，两直线平行得出； 故答案为：（答案不唯一）． 变式3．完成下面的证明． 如图，，，分别平分和，求证． 证明：， （___________________）． ，分别平分和， __________（___________________）． 又， __________（___________________）． （__________________________）． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定是解题关键．先根据垂直定义可得，再利用角平分线的定义可得，，然后利用等量代换可得，从而利用平行线的判定，即可解答． 【详解】证明：， （垂直的定义）． 分别平分和， ∴，（角平分线的定义）． 又， （等量代换）． ∴（内错角相等，两直线平行）． 【题型4 平行线的判定三（同旁内角）】 例1．如图，下列能判定的条件有（    ） ①；②；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查平行线的判定，掌握同旁内角互补、内错角相等、同位角相等时，对应的两直线平行是解题的关键． 逐个分析每个条件，结合平行线的判定规则，判断能否推出． 【详解】解：①，（同旁内角互补，两直线平行），符合题意； ②，（内错角相等，两直线平行），无法判定，不符合题意； ③，（内错角相等，两直线平行），符合题意； ④，（同位角相等，两直线平行），符合题意． 综上所述，能判定的条件有3个， 故选：C． 例2．如图，点在的延长线上，对于给出的四个条件： ①；②；③；④． 其中能判断的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的判定．同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，据此进行判断即可． 【详解】解：①∵， ∴； ②∵，， ∴， ∴； ③∵， ∴； ④∵， ∴， ∴能判断的条件有①④，共2个 故选：B． 变式1．如图，直线、被直线所截，交点分别为点F、D，添加一个条件，使得，你添加的是 ．（添加一个即可） 【答案】（答案不唯一，正确即可） 【分析】本题考查平行线的判定，掌握平行线的判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定方法即可求解． 【详解】解：添加的条件，根据“同旁内角互补，两直线平行”可得． 故答案为：（答案不唯一） 变式2．如图，下列条件：①；②；③；④；⑤；其中能判断直线的有 ．（写出所有正确条件的序号） 【答案】②④/④② 【分析】本题主要考查平行线的判定，掌握判定方法是解题的关键． 根据平行线的判定定理对各小题进行逐一判断即可． 【详解】①若，无法判断； ②若，则； ③若，无法判断； ④若则； ⑤若，无法判断； 故答案为：②④ 变式3．如图，已知，，点D，F是垂足，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 由，，可得，从而有，可判定． 【详解】证明：∵，， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 【题型5 平行线的性质一（同位角）】 例1．如图，已知，，则图中与相等的角（不含）的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，利用两直线平行同位角相等和内错角相等找出与相等的角，再计算个数即可，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，，，，， ∴， ∴与相等的角（不含）有，，，，，共个， 故选：． 例2．如图，已知直线，直线．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，两直线平行同位角相等，垂线的定义理解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 先利用平行线的性质得出，，从而可得，再结合垂直的意义求得． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A 变式1．如图，直线被直线所截，，则 ． 【答案】110 【分析】本题考查了邻补角的性质，平行线的性质：两直线平行，同位角相等，熟记性质是解题的关键．先通过平行线性质得到，再通过邻补角性质求出即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴ 故答案为： ． 变式2．如图，在三角形ABC中，，DF交AB于点D，交BC于点F．若，则DE与AH的位置关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，掌握两直线平行，内错角相等及同位角相等，两直线平行是解题的关键． 先利用的平行线性质，得到与这组同位角相等；再结合，用这两个等角分别减去和，得到与相等；最后根据同位角相等的判定规则，确定与的位置关系． 【详解】解： 故答案为：． 变式3．如图，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，掌握内错角/同位角相等则两直线平行，两直线平行则内错角/同位角相等是解题的关键． 先利用同角的补角相等推出，得到；再结合，通过平行线性质和等量代换，得到，从而得到；最后利用平行线的性质，证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 【题型6 平行线的性质二（内错角）】 例1．如图，已知点在上，，，，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的知识点是两直线平行内错角相等，解题关键是熟练掌握平行线的性质． 根据两直线平行内错角相等推得即可得解． 【详解】解：， ， ， ． 故选：． 例2．如图，，AD平分，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行线的性质、角平分线的定义，关键是相关性质和定义的熟练掌握． 由两直线平行，内错角相等可得到，再根据角平分线的定义即可得到的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 故选：B． 变式1．如图，，点E在上，平分．若，则的大小为 度． 【答案】35 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线定义，关键是由平行线的性质推出，由角平分线定义得到即可求解. 【详解】解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴ ， 故答案为：35． 变式2．如图，是路政工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行．若，，则的度数为 ． 【答案】55° 【分析】本题考查平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解题的关键． 过点作，故可得出，再由平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，过点作， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 变式3．如图，在三角形ABC中，CD平分，过点D作交CB于点E，过点E作交AB于点F．试说明：EF平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，熟记平行线的性质定理是解题的关键． 由，根据两直线平行，内错角相等可得，由，根据两直线平行，内错角相等可得，根据两直线平行，同位角相等可得；再根据等量代换得到；最后结合角平分线的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴． ∵， ∴，， ∴． ∵平分， ∴， ∴，即平分． 【题型7 平行线的性质三（同旁内角）】 例1．如图，直线被直线所截，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，根据两直线平行，同旁内角互补可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 故选：C． 例2．如图，平行于主光轴的光线和经过凸透镜折射后，折射光线，交于主光轴上一点，若，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解决本题的关键． 根据平行线的性质，即“两直线平行，同旁内角互补”，由此可求解与的度数，再根据由此可求解． 【详解】解：∵，且， ∴， ∵，且， ∴， ∴ ∵， ∴的度数是． 故选：A ． 变式1．如图，直线．点A在直线上，点B、点C在直线上，交直线于点E，平分交于点D，交直线于点F．给出下列结论：①；②；③；④若，则平分．其中正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了平行线的性质和判定、角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定逐项判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，正确； ②∵， ∴， 但不一定平分， ∴推不出， 即不一定正确； ③∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即，正确； ④∵， ∴， ， 又∵， ∴， ∴平分，正确 故正确的有①③④． 故答案为：①③④ ． 变式2．如图，已知，则 ． 【答案】/540度 【分析】本题主要考查平行线的性质，即两直线平行，同旁内角互补，熟练掌握平行线的性质．可过点，分别作，进而利用同旁内角互补得出结论． 【详解】解：如图，过点，分别作， ∵， ∴， 则，，， ∴ ． 故答案为：． 变式3．完成下面的证明． 如图，已知，，，求证：． 证明：∵，（ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴ （ ）， ∴（ ）． 【答案】已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补 【分析】根据平行线的判定和性质，等量代换思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，等量代换，熟练掌握判定和性质是解题的关键． 【详解】证明：∵，（已知）， ∴（垂直于同一直线的两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． 故答案为：已知；；垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行，同位角相等；； 等量代换；，，内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补． 【题型8 图形的平移】 例1．下列生活现象中是平移的是（   ） A．钟摆的运动 B．汽车雨刷的运动 C．过安检时传送带上行李箱的运动 D．骑自行车时前后轮的转动 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的定义， 平移是物体沿直线移动且方向不变的运动． 【详解】解：∵A钟摆运动是旋转，B汽车雨刷运动是旋转，D车轮转动是旋转，均不是平移；C传送带上行李箱运动是沿直线移动且方向不变，∴是平移. 故选：C． 例2．下列车标，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平移的定义：将一个图形沿某一直线方向移动，得到的新图形与原图形的形状、大小和方向完全相同．根据平移的定义判断即可． 【详解】解：A．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； B．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； C．可由圆环沿水平直线方向移动得到，符合题意； D．不能沿某一直线方向移动得到，不符合题意； 故选：C． 变式1．下面生活中的物体的运动情况可以看成平移的是 ． （1）摆动的钟摆；（2）在笔直的公路上行驶的汽车；（3）随风摆动的旗帜；（4）投篮时运动的篮球；（5）汽车玻璃上雨刷的运动；（6）从楼顶自由落下的球（球不旋转）． 【答案】（2）（6） 【分析】本题主要考查了图形的平移，平移是指在同一平面内，将一个图形整体按照某个直线方向移动一定的距离，这样的图形运动叫做图形的平移运动，简称平移．平移不改变图形的形状和大小，据此求解即可． 【详解】解：由平移的定义可得只有（2）（6）是平移，（1）（3）（4）（5）都不是平移， 故答案为：（2）（6）． 变式2．在一块长，宽的草坪上修筑宽的小路（如图），则草地的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，生活中的平移现象，利用矩形的面积公式得出是解题关键． 根据平移，可把路移到右边和上面，再根据矩形的面积公式，可得答案． 【详解】解：把路移到右边和上面， 路的宽度是， 草地可以看成长是，宽是， 故草地的面积是． 故答案为：． 变式3．如图，在正方形网格中，小正方形的顶点称为“格点”，每个小正方形的边长均为1，三角形和三角形的三个顶点均在“格点”处． (1)如图1，三角形可以看成三角形向右平移__________格，再向__________平移3格得到的； (2)如图2，连接和． ①则线段和的位置关系是__________，数量关系是__________； ②若，，求的度数． 【答案】(1)5；上 (2)①平行；相等；② 【分析】本题考查平移的性质，平行线的性质．熟练掌握平移的定义与性质是解题的关键． （1）结合图象以及平移的性质可得答案． （2）①由平移可知，和平行且相等． ②由平行线的性质可得，则，再根据可得答案． 【详解】（1）解：由图可知，三角形可以看成三角形向右平移5格，再向上平移3格得到的． 故答案为：5；上． （2）解：①由题意知，线段和的位置关系是平行，数量关系是相等． 故答案为：平行；相等． ②， ， ， ， ． 【题型9 平移的性质与作图】 例1．如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查平移的性质，经过平移，对应点所连的线段平行（或在同一直线上）且相等，对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等．本题关键要找到平移的对应点．任何一对对应点所连线段的长度都等于平移的距离．观察图象，发现平移前后，、对应，、对应，根据平移的性质，得平移的距离，进而可得答案． 【详解】解：由题意平移的距离为， 故选：B． 例2．如图，是一块长方形场地，米，米，，两个入口处的小路的宽都为1米，两小路汇合处的路宽为2米，其余部分种植草坪，则草坪面积为（　　）平方米 A．40 B．160 C．38 D．158 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象．将三块图形平移组合成一个完整的长方形是解决问题的关键． 从图中可以看出剩余部分的草坪正好可以拼成一个长方形，然后根据题意求出长和宽，最后求出面积即可． 【详解】解：由图片可看出，剩余部分的草坪经过平移，正好可以拼成一个长方形，且 这个长方形的长为（米）， 这个长方形的宽为（米）， 所以草坪面积（平方米）， 故选：B 变式1．如图，在中，，将沿射线平移后得到，若，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移的性质． 根据平移的性质得到，，进而计算即可． 【详解】解：∵在中，，将沿射线平移后得到， ∴，， ∵， ∴． 故答案为：． 变式2．某小区准备开发一块长方形空地．如图，将这块空地种上草坪，中间修一条弯曲的小路．小路的左边线向右平移就是它的右边线． ①若长方形的长为，宽为，则这条小路的面积为 ； ②若原长方形的长为，宽为，草坪面积为 ，当，时，草坪面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平移性质的应用，列代数式，代数式求值，理解题意，草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，是解题的关键． ①草坪拼合后的长方形长减小，宽不变，计算面积即可； ②同①计算面积，再将，代入代数式计算即可． 【详解】①解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积， ②解：∵小路的左边线向右平移就是它的右边线， ∴草坪拼合后的长方形长减小，宽不变， ∴草坪的面积； 当，时，． 故答案为：，，． 变式3．如图，在方格纸中，有两条线段，．利用方格纸完成以下操作： (1)将线段向右平移得到线段，点、点的对应点分别是点、点； (2)过点作的平行线； (3)过点作的垂线，与交于点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查平移作图、平行线的判定与性质，垂线的定义，熟练掌握平移的性质、平行线的判定与性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可． （2）结合平行线的判定与性质画图即可． （3）利用网格结合垂线的定义画图即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求． （2）如图，直线即为所求． （3）如图，直线即为所求． 【题型10 平行线的性质与判定综合】 例1．如图，在中，过点作，点是内一点，连接，过点作，交于点，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据内错角相等可得，同旁内角互补可得，再根据角的和差可得． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 例2．如果两个角的两边分别平行，而其中一个角比另一个角的倍少，那么这两个角是（   ） A．、 B．都是 C．、或、 D．以上都不对 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．分两种情况：①如图1，根据平行线的性质可得，，则可得，再根据代入计算即可得；②如图2，根据平行线的性质可得，，则可得，再根据代入计算即可得． 【详解】解：①如图1，， ∴，， ∴， 又∵比的倍少， ∴， ∴， 解得， ∴； ②如图2，， ∴，， ∴， 又∵比的倍少， ∴， ∴， 解得， ∴； 综上，这两个角是、或、， 故选：D． 变式1．将一块三角板（，）按如图方式放置， 使，两点分别落在直线，上． 对于给出的四个条件：，；；；；．能判断直线的有 （填序号）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质逐一判断即可，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴，故符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵，， ∴不一定等于， ∴和不一定平行，故不符合题意； 如图，过点作， ∴， ∵，， ∴不能得出，从而不能得出， ∴和不一定平行，故不符合题意； ∵， ∴， ∴，故符合题意； 故答案为：． 变式2．如图，，为上一点，，过点作于点，且平分，，则下列结论：①；②；③FD平分；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了根据平行线的性质求角的度数，垂线定义理解，角平分线定义，三角形内角和定理应用，根据直接得出，判断①正确；根据，，得出；；根据，得到，得出，求出，即可判断②④正确；根据已知条件，无法推出的度数，即可判断③错误． 【详解】解：∵， ∴，故①正确； ∵，， ∴； ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 根据已知条件，无法推出的度数， ∴无法推出平分，故③错误； 综上，正确的有①②④． 故答案为：①②④． 变式3．如图：已知，，． (1)求证：； (2)若平分，于，，求的度数． 【答案】(1)证明过程见解析； (2)的度数为． 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义． （1）由得，进而得；结合，得，即可证得结论； （2）由得，由平分，可得，由，可得；由且，可得，可得，即可得的度数． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴由得． ∵于点F，， ∴，即， ∴， ∴． ∴的度数为． 1．在学习“用直尺和三角板画平行线”的时候，课本给出如图的画法．这种画平行线方法的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．内错角相等，两直线平行 C．两直线平行，内错角相等 D．两直线平行，同位角相等 【答案】A 【分析】此题主要考查了基本作图与平行线的判定，正确理解题目的含义是解决本题的关键． 由已知可知，从而得出同位角相等，两直线平行． 【详解】解：如图， ∵， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故选：A． 2．如图，直线c与直线a，b都相交，．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，根据两直线平行，内错角相等，得，即可作答． 【详解】解：∵，， ∴， 故选：B 3．下列“比”字的四种书法字体中，可以看作是由一个“基本图形”平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平移的概念与性质，根据平移的概念即可判断． 【详解】解：选项B中的“比”字形状一样，因此可以看作是由一个“基本图形”平移得到； 故选：B． 4．如图，下列说法中：①若，则；②若，则；③若，则；④若，则．其中正确的有：（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的判定，解题关键是掌握平行线的判定条件：①内错角相等，两直线平行；②同位角相等，两直线平行；③同旁内角互补，两直线平行．根据平行线的判定条件逐一判断即可得到答案． 【详解】解：①，不能判断，故①错误； ②，可以判断，不能判断，故②错误； ③，可以判断，不能判断，故③错误； ④，可以判断，故④正确； 综上，正确的有1个． 故选：A． 5．如图，水面与底面平行，光线从空气射入水里时发生了折射，折射光线射到水底处，点在的延长线上，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行线的性质，解决本题的关键是掌握平行线的性质． 由平行线的性质求出的度数，由平角定义即可求出的度数． 【详解】解：， ， ， ， ，， ， 故选：C． 6．在下列四幅图中，那几幅图是可以经过平移变换得来的 ． ①            ②              ③                  ④ 【答案】①②④ 【分析】根据平移的概念：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移，可直接得到答案． 【详解】根据平移的定义可得①②④是由平移得到的，③无法平移得到．故答案为：①②④． 7．如图，请添加一个符合要求的条件，使得，这个条件可以是 ．（写出一种情况即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行线的判定定理，熟练掌握“内错角相等（或同位角相等、同旁内角互补），两直线平行”是解题的关键． 根据平行线的判定定理（同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等），添加能判定的角的关系． 【详解】解：添加条件：， ∵ ， ∴ （内错角相等，两直线平行）， 故答案为：（答案不唯一）． 8．如图，在中，，平分交于点E，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质，由角平分线的定义可得的度数，再由平行线的性质即可得到答案． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 9．如图，点E在AC的延长线上．给出下列条件：①；②；③；④．能判定的条件是 （填序号） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，根据平行线的判定定理逐一判断即可，掌握平行线的判定定理是解题的关键． 【详解】解： ∵， ∴，不符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； ∵， ∴，符合题意； 综上可知，能判断的有． 故答案为：． 10．如图，，点F为上一点，，过点F作于点G，若平分，且．则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确的结论是 ． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了平行线的性质、垂直的定义，熟练掌握平行线的性质是解题关键． 先根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的性质可得，代入计算即可判断①；根据平行线的性质可得，由此即可判断②；根据平行线的性质可得，，但题干未知的大小，由此即可判断③和④． 【详解】解：，， ， ， ， ， ， ， 解得：，则结论①正确； ， ， ， 则结论②正确； ，， ， ，， 但不一定等于，也不一定等于，所以平分，平分都不一定正确，则结论③和④都错误； 综上，正确的是①②， 故答案为：①②． 11．如图，在每个小正方形边长为1的方格纸中，的顶点都在方格纸格点上．将向左平移2格，再向上平移4格． (1)请用无刻度的直尺在图中画出平移后的； (2)图中能使的格点P的个数是 ．(点P异于点A)． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查作图-平移变换，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移变换的性质分别作出的对应点，依次连接即可； （2）利用等高模型作出点即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，点P异于点A，则满足条件的点的个数为， 故答案为：． 12．如图，，，，，填空： 已知 __________ （     ） 已知 ____________ 已知 ___________ 已知 ___________． 【答案】见解析 【分析】根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同位角相等，两直线平行由可判断；根据内错角相等，两直线平行由可判断；根据同旁内角互补，两直线平行由可判断 ． 本题考查了平行线的判定：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线平行． 【详解】解：已知， 内错角相等，两直线平行， 已知， 同位角相等，两直线平行， 已知 ， 已知 ． 故答案为，，内错角相等，两直线平行；，；，；，． 13．探究题：已知：． (1)如图1，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (2)如图2，点E在与之间，问与有什么关系？请说明理由． (3)如图3，点E在与之间，问与又有什么关系？直接写出结论． (4)如图4，与之间有何关系？直接写出结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 (4)，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的性质以及角的计算，根据平行线的性质得出相等或互补的量是解题的关键． （1）根据平行线的性质即可解决问题； （2）根据平行线的性质即可解决问题； （3）根据平行线的性质即可解决问题； （4）根据平行线的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 过点E作， ∵， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：，理由如下： 如图所示， ∵， ∴．， ∵， ∴； （4），理由如下： 过点F作， 由（1）知，， ∴， ∴． 14．小明对一副直角三角板在平行线间的位置进行研究，已知． (1)如图1，小明将含角的直角三角板中的点A落在直线PQ上，若，则的度数为______； (2)如图2，小明将含角的直角三角板中的点D，F分别落在直线，上，若平分，则是否平分？请说明理由； (3)小明将三角板与三角板按如图3所示方式摆放，点C与点F重合，且，若三角板绕着C点顺时针方向旋转，直至三角板上的A点由当前位置旋转到落在线段上时停止，在旋转的过程中，当三角板的边与三角板的某条边平行时，请直接写出满足条件的的度数． 【答案】(1) (2)平分．理由见解析 (3)的度数为或或或． 【分析】本题考查了三角板中角度计算问题、平行线的性质、角平分线的定义、三角形内角和定理，准确找到各个角度是解题的关键． （1）根据两直线平行，同位角相等即可得到结果； （2）先根据角平分线的性质得到，再根据两直线平行，内错角相等，可得到，即可求得得，即可得结论； （3）分四种情况讨论，分别画出图形，根据平行的性质求解可求得结果； 【详解】（1）解：∵，， ∴， 故答案为：； （2）解：平分，理由如下： 平分，， ， ， ， ， ， ， 即平分． （3）解：根据题意，分四种情况： ①如图1，当时， ； ②如图2，当时， ； ③如图3，当时， ； ④如图4，当时， ． 综上所述，当三角板的边与三角板的某条边平行时，的度数为或或或． 15．如图，已知直线，，分别是，上的点，点在直线，内部，且，． (1)求的度数． (2)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．当时，试探究与的位置关系，并说明理由． (3)如图，射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，交直线于点，设运动时间为秒（）．射线绕点同时以每秒的速度顺时针旋转得到射线．当时，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)，见解析 (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，解决本题的关键是根据平行线的性质找角之间的关系． (1)过点作，根据平行线的性质可知求出结果； (2)根据旋转的速度和时间可知，根据平行线的性质可得，根据同位角相等，两直线平行可知； (3)当时，要分射线绕点旋转小于和大于两种情况求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ，， ； （2）， 理由如下， 射线绕点以每秒的速度逆时针旋转，， ， ， ， ， ， 又， ， ； （3）如图所示，当射线绕点旋转小于时， ，，，， ，， ， ， 又， ， ， 解得：， 如图所示，当射线绕点旋转大于时， ，，，， ，， ，， ∴， 又， ， ， 解得：， 综上所述，的值为或． 44 / 44 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $