第1讲 直线的相交（八大题型62题）-2025-2026学年浙教版七年级下册数学（浙教版2024）

第1讲 直线的相交 内容导航 题型1 邻补角和对顶角的辨别 1 题型2 利用邻补角的性质计算 3 题型3 利用对顶角的性质计算 5 题型4 邻补角与对顶角性质综合运用 7 题型5 垂线的画法 10 题型6 垂线段最短的应用 12 题型7 点到直线的距离 15 题型8 与垂直相关的计算 17 综合练习 20 中考真题再现 38 题型1 邻补角和对顶角的辨别 【典例】下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由对顶角的定义可知，选项A中的与是对顶角， 【变式练习1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了对顶角的概念，根据对顶角的概念判断即可，解题关键是要紧扣概念中的关键词语，如：两条直线相交，有一个公共顶点，反向延长线等． 【详解】解：根据对顶角的概念可知， A、C、D中与都不符合对顶角的特征， 而B图中的与只有一个公共顶点且两个角的两边互为反向延长线，属于对顶角． 故选：B． 【变式练习2】如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【答案】A 【分析】本题考查了邻补角的概念：只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，根据邻补角的概念解答是解决问题的关键． 【详解】解：根据邻补角的定义可知，的邻补角是和， 故选：A． 【变式练习3】如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角：__________________； （2）写出的邻补角：__________________； （3）写出的邻补角：__________________； （4）写出的对顶角：___________________． 【答案】 【分析】邻补角指的是有公共顶点且有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角；对顶角定义：有公共顶点且两条边都互为反向延长线的两个角称为对顶角，据此解答即可． 【详解】解：根据邻补角的定义得， （1）的邻补角：； （2）的邻补角：； （3）的邻补角：； （4）根据对顶角的定义得，的对顶角：， 故答案为：（1）；（2）；（3）；（4）． 题型2 利用邻补角的性质计算 【典例】如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查利用邻补角互补求角度，几何图形中角度计算问题． 根据邻补角互补，即可得的度数． 【详解】解：∵，， ∴ ． 故选：D． 【变式练习1】如图，点A，O，B在同一直线上，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查角平分线，角的和差，邻补角，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据角平分线，得到，即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴． 故选：B． 【变式练习2】如图，点O在直线上，．则______°______′______″． 【答案】 126 42 32 【分析】根据与为邻补角，之和为，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 【变式练习3】如图，O为直线上一点，平分，． (1)图中共有 对互补的角； (2)若，求的度数． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据和为的两个角互为补角，进行判断即可； （2）先根据角平分线定义求出，再根据邻补角求出的度数． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴与互补，与互补，与互补，与互补，与，共5对互补的角； （2）解：∵，平分， ∴， ∴． 题型3 利用对顶角的性质计算 【典例】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【答案】C 【分析】本题考查了对顶角的性质，根据对顶角相等即可求解，掌握对顶角的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴减小时，减小， 故选：C． 【变式练习1】如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 __________． 【答案】/76度 【分析】本题考查了角的度量及对顶角，对顶角的性质：对顶角相等．首先计算出的度数，再根据对顶角相等可得的度数． 【详解】解：如图， 由题意可知：， ∴， 故答案为：． 【变式练习2】如图，三条直线、、相交于点O，，，求的度数． 【答案】 【分析】根据平角的概念求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 【变式练习3】如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 【答案】148° 【分析】本题考查了角的和差，对顶角相等，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据对顶角相等得出，再根据角的和差求解即可． 【详解】解：∵，，， ∴ ∴． 题型4 邻补角与对顶角性质综合运用 【典例】已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 【答案】 【分析】本题主要考查了角的和差计算，对顶角的性质，解题的关键是熟练掌握对顶角相等． 根据对顶角的性质以及邻补角的性质得到，，再由角平分线得到，最后根据求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式练习1】如图，直线相交于点，若，则______． 【答案】65 【分析】本题考查了对顶角相等的性质，邻补角的定义，是基础题，解题的关键是熟记概念与性质并准确识图． 根据对顶角相等，互为邻补角的两个角的和等于180度，即可得解． 【详解】解：∵是对顶角，是邻补角， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为：65 【变式练习2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（）由角平分线的定义可得，再根据对顶角相等即可求解； （）设，则，根据，可列出关于的方程，解出的值，即可求出的大小，进而可求出的大小； 本题考查了角平分线的定义，对顶角的性质，邻补角的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴可设，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 【变式练习3】如图，直线、交于点，过点作射线平分，作． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，对顶角相等，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据对顶角相等，平角可得的度数，再结合角平分线的定义可得，利用补角和即可求得的度数． （2）根据题意可得，，结合角平分线的定义可得，再利用补角即可求得的度数． ∴， ∴． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 题型5 垂线的画法 【典例】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查作图-简单作图，垂线的定义等知识，解题的关键是理解垂线的定义．根据垂线的定义判断即可． 【详解】解：根据垂线的定义可知选项C中，直线经过点P，，符合题意． 故选：C． 【变式练习1】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了垂线段，垂线定义，掌握相关知识的应用是解题的关键． （）画出点到的垂线段； （）过点画的垂线即可． 【详解】（1）解：如图， ∴即为所求； （2）解：如图， ∴即为所求． 【变式练习2】按要求画一画： (1)画直线． (2)画射线． (3)过点画直线的垂线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查的是画直线，射线，垂线；掌握画图的方法是关键； （1）过两点画直线即可； （2）以为端点，过画射线即可； （3）过画直线的垂线即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：射线即为所求； （3）解：如图：即为所求； ． 【变式练习3】如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图基本作图，垂线等知识，解题的关键是理解垂线的定义，属于基础题． （1）根据垂线的定义画出图形即可； （2）根据垂线的定义画出图形即可． 【详解】（1）解：如图，直线即为所求； （2）解：如图，直线即为所求． 题型6 垂线段最短的应用 【典例】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线的性质．根据直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短求解即可． 【详解】解：若四位投壶者分别站在直线上的点，，，处往点处的壶内投箭矢，小明认为站在点处的投壶者更容易获胜，其中蕴含的数学道理是垂线段最短， 故选A． 【变式练习1】运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【答案】 【分析】本题考查了垂线段最短，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解．根据垂线段最短求解． 【详解】解：根据题意，得黎明的立定跳远成绩应该为米． 故答案为： 【变式练习2】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【答案】(1)图见详解 (2) (3)，垂线段最短 【分析】本题主要考查了基本作图以及垂线的画法、点到直线的距离、垂线段最短，正确借助网格得出是解题关键． （1）利用垂线的定义结合网格进而得出直线、； （2）利用点到直线的距离得出答案； （3）利用垂线段的性质进而得出答案； 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：由（1）得，， ∴的长度是点A到直线的距离， 故答案为：； （3）解：∵垂线段最短， ∴由图可得， 故答案为：；垂线段最短． 【变式练习3】小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了垂线段最短和两点之间线段最短的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据垂线段最短解答； （2）根据两点之间线段最短解答． 【详解】（1）解：如图①，线段即为所求．理由：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短． （2）解：如图②，线段即为所求．理由：两点之间线段最短． 题型7 点到直线的距离 【典例】如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离的概念确定出那条线段的长度即可． 【详解】解：点到直线的距离是点到直线垂线段的长度， ，且， 点到直线的距离是， 故选：B． 【变式练习1】下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，熟练掌握点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一概念是解题的关键． 根据点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度这一定义，逐一判断各选项中线段是否为点到直线的垂线段． 【详解】解：选项A中，不垂直于，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项B中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 选项C中，，垂足为，线段的长度表示点到直线的距离； 选项D中，垂直的是，不是，线段的长度不表示点到直线的距离； 故选：C． 【变式练习2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为______． 【答案】6米（答案不唯一） 【分析】本题考查了点到直线的距离，掌握点到直线，垂线段最短是解题的关键． 根据，点到直线，垂线段最短即可求解． 【详解】解：根据题意，， ∴点到的距离，即点到的垂线段长度要小于米， ∴点到的距离可能为米（答案不唯一）， 故答案为：米（答案不唯一） ． 【变式练习3】如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 【答案】不同意，过程见解析． 【分析】本题考查了点到直线的距离，根据点到直线的距离为点到直线垂线段的长度作图，即可求解． 【详解】解：不同意． 正确做法：延长，过点作，交的延长线于点， 则的长即为点到直线的距离． 题型8 与垂直相关的计算 【典例】已知，如图，，垂足为，平分，反向延长至点，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算； 根据角平分线定义求出，进而可得的度数，然后利用平角的定义计算即可． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式练习1】如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE． (1)若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______； (2)若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______． 【答案】 1.5/ 115°/度 【分析】（1）根据点到线的距离解答即可； （2）根据垂直的定义求出∠COE=90°，根据对顶角相等得到∠AOC=∠BOD＝25°，即可求出∠AOE． 【详解】解：（1）∵于点O， ∴点E到直线CD的距离是OE＝1.5， 故答案为：1.5； （2）∵于点O， ∴∠COE=90°， ∵∠AOC=∠BOD＝25°， ∴∠AOE=∠AOC+∠COE=25°+90°=115°， 故答案为：115°． 【点睛】此题考查了点到直线的距离定义，垂直的性质，对顶角相等，熟练掌握各知识点并综合应用是解题的关键． 【变式练习2】如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的运算和角平分线： （1）因为，， 所以，求得； （2），结合，即可求得答案． 【详解】（1）解：因为， 所以． 因为，， 所以，即． 所以． （2）解：因为， 所以． 因为平分， 所以． 所以． 【变式练习3】直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上，理由见解析 【分析】本题主要考查了垂线的定义，几何图形中角度的计算，对顶角的性质，角平分线的定义，利用数形结合的思想求解是解题的关键． （1）由垂线的定义可得，则可求出的度数，再由角平分线的定义可得的度数，据此根据对顶角相等可得答案； （2）求出的度数，再证明即可得到结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：点在直线上，理由如下： 由（1）可得， ∵， ∴， ∴F、O、G三点共线， ∴点在直线上． 综合练习 一、单选题 1．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据邻补角的定义，判断两个角是否满足三个条件：①有一条公共边；②另一边互为反向延长线；③两角之和为． 【详解】解：A、与没有公共边，不满足邻补角的条件，不符合题意； B、与的另一边不互为反向延长线，不满足邻补角的条件，不符合题意； C、与有一条公共边，另一边互为反向延长线，且两角之和为，符合邻补角的定义，符合题意； D、与 的另一边不互为反向延长线，且角度和不是，不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了邻补角的定义，解题关键是抓住邻补角的两个核心特征：“相邻”（有公共边）和“互补”（和为 ，且另一边互为反向延长线）． 2．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查对顶角的定义． 根据对顶角的定义（如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角），对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．与没有公共顶点，且不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； B．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意； C．与有公共顶点，且满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与是对顶角，符合题意； D．与有公共顶点，但不满足一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，故与不是对顶角，不符合题意． 故选：C． 3．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是对顶角的性质，邻补角的性质，先求解，再进一步的利用邻补角的性质求解即可. 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：A 4．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了角的和差，对顶角相等， 先求出，再根据对顶角相等得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：D． 5．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了作图复杂作图，垂线，注意垂线和垂线段的区别是解题关键． 根据垂线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、所作直线过点，但不与垂直，作图错误，不符合题意； B、所作直线与垂直，但不经过点，作图错误，不符合题意； C、所作直线过点，且与垂直，但作的是垂线，不是垂线段，作图错误，不符合题意； D、所作直线是过点，且与垂直的垂线段，作图正确，符合题意． 故选：D． 6．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 【答案】D 【分析】本题考查了垂线段的性质，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段最短．利用垂线段最短求解即可． 【详解】解：测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是垂线段最短． 故选：D． 7．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 【答案】B 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，掌握知识点是解题的关键． 根据 “从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离”进行判断，即可解答． 【详解】解：A、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； B、线段的长是点C到直线的距离，故此选项符合题意； C、线段的长是点A到直线的距离，故此选项不符合题意； D、线段的长是点C到直线的距离，故此选项不符合题意； 故选：B． 8．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先求出和，再结合角的和差求解即可． 【详解】解： 平分，， ， ， ， ， ． 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 【答案】D 【分析】本题考查了垂线的定义，余角的定义，对顶角相等的性质，熟记概念，准确识图求出各角的度数是解题的关键． 由已知条件和观察图形，再利用垂直和角平分线的性质即可求出角的度数，再根据选项即可作出判断． 【详解】解：， ， 又， ， 平分， ， 和是对顶角， ， ， A选项说法正确， ， ， B选项说法正确， ， C选项说法正确， ， 的补角为， ∴D选项说法不正确， 故选：D． 10．如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据同角的余角相等可得，再根据余角以及角平分线的意义即可判断①；根据角平分线的定义，无法证明为的角平分线，即可判断②；根据角平分线的定义，可得，由对顶角相等得出，利用同角的余角相等可得，即可判断③；根据平角的定义以及，即可判断④． 【详解】 解：①， ， ∴， ， ， 当时，， ∴， ∵平分， ∴， 故①正确； ②不能证明， 无法证明为的角平分线，故②错误； ③平分， ． 直线，交于点， ． ， ， 与相等的角有三个，故③正确； ④， ， ，故④正确； 所以正确的结论有①③④． 故选：C． 11．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 【答案】D 【分析】本题考查了点到直线的距离，即直线外一点到这条直线的垂线段的长度，注意距离都是非负数．根据点到直线的距离，即可求解． 【详解】解：如图： 符合条件的直线共有4条； 故选：D． 12．阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 【答案】B 【分析】本题考查了用垂线段性质的说理过程．熟练掌握垂线段性质，是解答此题的关键．过点A作，交于点，则有，即，再逐一判断． 【详解】解：如图，过点A作，交于点，则有，即， A、过点作的垂线，不正确； B、过点作的垂线，正确； C、过点作的垂线，不正确； D、过点作的垂线，不正确． 故选：B． 二、填空题 13．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是__________，的对顶角是__________． 【答案】 ， 【分析】本题考查邻补角和对顶角，根据邻补角和对顶角的定义，进行求解即可． 【详解】解：由题意，与相交所成的四个角中，的邻补角是，；的对顶角是； 故答案为：，； 14．如图，直线相交于点，则的对顶角是_________，的邻补角是_________；若，则_________，_________． 【答案】 / 或 /度 /度 【分析】本题主要考查了对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质，熟知对顶角的定义和性质，邻补角的定义和性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，的对顶角是，的邻补角是或； ∵， ∴，； 故答案为：；或；；． 15．如图，直线，，相交于点O．如果，，那么直线和的夹角是______度，和的夹角是______度． 【答案】 【分析】本题考查了几何图形的角度运算，对顶角相等，利用邻补角互补求角度，正确掌握相关性质内容是解题的关键．结合，得，再结合对顶角相等，得，则，即可作答． 【详解】解：∵直线，相交于点O，， ∴， 即直线和的夹角是度， ∵，， ∴， 则， ∴和的夹角是度 故答案为：，． 16．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是___． 【答案】垂线段最短 【分析】本题考查了垂线段最短，理解相关含义是解题关键． 【详解】解：测量的依据是垂线段最短， 故答案为：垂线段最短． 17．如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是________cm． 【答案】5 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义根据点到直线的距离是直线外的点到这条直线的垂线段的长度，可得答案． 【详解】解：∵，， ∴P到l的距离是垂线段的长度， 故答案为：5． 18．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 【答案】①③④⑤ 【分析】本题考查了对顶角性质、角平分线定义、垂线定义、余角和补角的知识，解题关键是熟练掌握相关概念和性质，准确分析角之间的关系．利用对顶角相等、角平分线的定义、垂线定义以及余角、补角的概念，对每个结论逐一进行分析判断即可． 【详解】解：①∵， ∴，故①正确，符合题意； ②∵， ∴的补角不是，故②错误，不符合题意； ③∵， ∴，故③正确，符合题意； ④∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确，符合题意； ⑤∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，故⑤正确； 综上，正确的有①③④⑤． 故答案为：①③④⑤． 三、解答题 19．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了作垂线，理解垂线的定义是解题关键．分别过图①，图②，图③的点P作的垂线即可． 【详解】解：过点P分别画出的垂线如下： 20．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查了对顶角的性质，邻补角的定义以及补角的定义等知识，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据邻补角及对顶角的定义求解即可； （2）根据邻补角的定义和对顶角的性质求解即可． 【详解】（1）解：的邻补角是和，对顶角是； （2）解：与互为对顶角， ． 与互为邻补角， ． 21．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 【答案】；；；；；补角的定义； 【分析】本题主要考查平角的定义，补角的定义，以及角的和差关系．熟悉以上知识点是解题的关键． 首先根据平角的定义得出的度数，再根据补角的定义得出的度数，最后通过角的和差关系得到的度数． 【详解】解：∵点在直线上， （平角的定义）， ， ， ， 与互补， ， （补角的定义）， ， ． 22．请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了对顶角的性质，角平分线的定义，垂直的定义，角的和差，解题的关键是掌握以上性质和定义． 根据对顶角相等得出，根据角平分线的定义得出，根据垂直得出直角，最后利用角的和差进行求解即可． 【详解】解：直线，交于点（已知） （对顶角相等） 又平分（已知） （角平分线定义） （已知） （垂直定义） ． 23．如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． (1)当时，求的度数； (2)若与互补，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）当时，根据补角的定义，求的度数，根据平分，求得，再利用余角计算的度数； （2）根据已知得与互补，与互补，所以，由，得到，所以，再根据邻补角的性质即可求得的度数． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ， ． （2）解：∵与互补， ∴， ∵， ， ， ， ． 24．如图，直线相交于点O，过点O作两条射线，且、． (1)若平分，求的度数； (2)若，求和的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据垂直的定义结合角平分线的定义即可求解； （2）先求得，利用等角的余角相等求得，再利用邻补角的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 25．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1) (2)是，理由见解析 (3)定值， 【分析】（1）根据对顶角可知,然后根据比例关系即可求解； （2）结合（1）的结论，求出，然后再求即可判断； （3）设未知数，列方程，根据等量关系即可求解． 本题考查了角度的和差倍分关系，角平分线的定义，关键是掌握对顶角相等，角平分线的意义，用代数式表示角的和差倍分关系是解题关键． 【详解】（1）解：,, , ∵， ; 故答案为：． （2）解：由（1）知当，， , ∵平分， , , 是的平分线． （3）解：设，则， ∵， , , , , ． 故答案为：定值， 中考真题再现 1．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 【答案】A 【分析】本题考查垂线段最短，根据垂线段最短，进行判断即可． 【详解】解：测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是垂线段最短． 故选：A 2．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了量角器，对顶角，正确读出量角器度数是解题关键．由量角器可知，，再利用对顶角相等求解即可． 【详解】解：由量角器可知，， ， 即所量内角的度数为， 故选：C． 3．如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查对顶角的定义，几何中角度的计算，由对顶角相等得到，即可解答． 【详解】解：， ． 故选：B． 4．如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂线、对顶角的性质，关键是掌握垂线、对顶角的性质． 已知，可得的度数，因为对顶角，即得的度数． 【详解】解：∵， ， ， 故选：A． 5．已知与为对顶角，，则______°． 【答案】35 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1讲 直线的相交 内容导航 题型1 邻补角和对顶角的辨别 1 题型2 利用邻补角的性质计算 2 题型3 利用对顶角的性质计算 3 题型4 邻补角与对顶角性质综合运用 4 题型5 垂线的画法 5 题型6 垂线段最短的应用 6 题型7 点到直线的距离 7 题型8 与垂直相关的计算 8 综合练习 9 中考真题再现 16 题型1 邻补角和对顶角的辨别 【典例】下列各选项中，∠1与∠2属于对顶角的是（　　） A． B． C． D． 【变式练习1】下列图形中，和是对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，直线，，相交于点O．则的邻补角是（    ） A．和 B．和 C．和 D． 【变式练习3】如图所示，直线和相交于点是一条射线． （1）写出的邻补角：__________________； （2）写出的邻补角：__________________； （3）写出的邻补角：__________________； （4）写出的对顶角：___________________． 题型2 利用邻补角的性质计算 【典例】如图，直线、交于点E，，如果，的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，点A，O，B在同一直线上，平分，，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，点O在直线上，．则______°______′______″． 【变式练习3】如图，O为直线上一点，平分，． (1)图中共有 对互补的角； (2)若，求的度数． 题型3 利用对顶角的性质计算 【典例】如图是一把剪刀示意图，当剪刀口减少时，的值（    ） A．减少 B．不变 C．减少 D．增加 【变式练习1】如图，直线a、b相交于点O，将量角器的中心与点O重合，发现表示的点在直线a上，表示的点在直线b上，则 __________． 【变式练习2】如图，三条直线、、相交于点O，，，求的度数． 【变式练习3】如图，直线相交于点O，把分成两部分．若，且，求的度数． 题型4 邻补角与对顶角性质综合运用 【典例】已知：如图所示，直线，相交于点，，平分，则的度数为________． 【变式练习1】如图，直线相交于点，若，则______． 【变式练习2】如图，直线相交于点，平分． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 【变式练习3】如图，直线、交于点，过点作射线平分，作． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数． 题型5 垂线的画法 【典例】下列选项利用三角板过点画直线的垂线，方法正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】如图，已知钝角三角形，． (1)画出点到的垂线段； (2)过点画的垂线． 【变式练习2】按要求画一画： (1)画直线． (2)画射线． (3)过点画直线的垂线． 【变式练习3】如图，已知点在的边上，按下列语句画图． (1)过点画边的垂线，交边于点； (2)过点画边的垂线，垂足为点． 题型6 垂线段最短的应用 【典例】投壶是我国古代宴会时礼节性的游戏．如图，游戏时宾客依次将箭矢投入一个特制的壶中，投中多者为胜．若四位投壶者分别站在直线l上的点A，B，C，D处往点P处的壶内投箭矢，小明认为站在点C处的投壶者最近会更容易获胜，其中蕴含的数学道理是（   ） A．垂线段最短 B．线段可以度量 C．两点确定一条直线 D．两点之间，线段最短 【变式练习1】运动会上，甲、乙两名同学测黎明的立定跳远成绩，如图测得数据分别为米，米，米，则黎明的立定跳远成绩应该为___米． 【变式练习2】如图，所有小正方形的边长都为1，A、B、C都在格点上． (1)过点A画直线的垂线，并注明垂足为G；过点A画直线的垂线，交于点H（不写画法，保留画图痕迹）； (2)线段 的长度是点A到直线的距离； (3)线段、的大小关系为 （填“”“”或“”），理由：____________． 【变式练习3】小华站在长方形操场的左侧处． (1)若要到操场的右侧，怎样走最近？在图①中画出所走路线，并说明理由； (2)若要到操场对面的处，怎样走最近？在图②中画出所走路线，并说明理由． 题型7 点到直线的距离 【典例】如图，点是直线外一点，点在直线上，且直线，，则点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【变式练习1】下列图形中，线段的长度表示点到直线的距离的是（   ） A． B． C． D． 【变式练习2】如图，沿笔直小路的一侧栽植两棵小树，小明在处测得米，米，则点到的距离可能为______． 【变式练习3】如图所示，说明如何量出点到直线的距离，三名同学有不同的做法． 甲同学：只要量出线段的长度即可； 乙同学：过点无法向直线作垂线，所以无法量出点到直线的距离； 丙同学：过点作直线的垂线，垂线和直线不相交，所以不能量出点到直线的距离． 请你判断对错，若你不同意他们的做法，请你写出正确的做法． 题型8 与垂直相关的计算 【典例】已知，如图，，垂足为，平分，反向延长至点，求的度数． 【变式练习1】如图，直线AB，CD相交于点O，于点O，连接CE． (1)若OC＝2，OE＝1.5，CE＝2.5，则点E到直线CD的距离是______； (2)若∠BOD＝25°，则∠AOE＝______． 【变式练习2】如图，直线，相交于，，且． (1)求的度数； (2)如果平分，求的度数． 【变式练习3】直线，相交于点，平分，，垂足为，若． (1)求的度数． (2)在的内部做射线，使，判断点是否在直线上，并说明理由． 综合练习 一、单选题 1．下列图形中，与互为邻补角的是（   ） A． B． C． D． 2．下面的四个图形中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 3．如图，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，直线 相交于点O，， 则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．过点向线段所在直线作垂线段，作图正确的是（   ） A． B． C． D． 6．数学源于生活，又服务于生活，我们要会用数学的眼光观察现实世界，会用数学的思维思考现实世界，会用数学的语言表达现实世界．如图是陈优同学在体育课上跳远后留下的脚印，测量线段的长度即为他的跳远成绩，这样测量的依据是（   ） A．同位角相等，两直线平行 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．垂线段最短 7．如图，点P是直线a外的一点，点A、B、C在直线a上，且，垂足为点B，，则下列正确的语句是（　　） A．线段的长是点P到直线a的距离 B．线段的长是点C到直线的距离 C．线段的长是点A到直线的距离 D．线段的长是点C到直线的距离 8．如图，点在直线上，，若平分，则（   ） A． B． C． D． 9．如图，直线，相交于点，，平分，，则下列结论中不正确的是（　　） A．比大 B． C．与互为余角 D．的补角为 10．如图，直线，交于点，，，平分．给出下列结论，其中正确的结论是（    ） ①当时，；        ②平分； ③与相等的角有3个；④． A．①②④ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 11．如图，在同一平面内，线段的长为6，点到直线的距离分别为2和3，则符合条件的直线共有（    ） A．1条 B．2条 C．3条 D．4条 12．阅读下列“”的说理过程： 如图1，在和中，，．接下来说明和完全重合． 如图2，由可知，如果使点与点重合，并且使射线与重合，那么射线与重合．再由，可知点与点重合，接下来说明点与点重合． 设点在直角边（不包括端点），连接，则，是钝角．若过点且垂直于的直线与线段交于点，则有．设点在线段的延长线上，连接，同理可得，因此，在射线上，与点的连线长度等于的点只有一个．再由点在射线上，，即可证明点与点重合．这样，的三个顶点与的三个顶点分别重合，与能够完全重合． 为能够同理说明，需要作的垂线是（    ） A．过点作的垂线 B．过点作的垂线 C．过点作的垂线 D．过点作的垂线 二、填空题 13．如图所示，与相交所成的四个角中，的邻补角是__________，的对顶角是__________． 14．如图，直线相交于点，则的对顶角是_________，的邻补角是_________；若，则_________，_________． 15．如图，直线，，相交于点O．如果，，那么直线和的夹角是______度，和的夹角是______度． 16．如图，这是李明同学在体育课上跳远后留下的脚印，的长度就是李明同学的成绩，其中的数学依据是___． 17．如图，点，，在直线上，，，，，则点到直线的距离是________cm． 18．如图：已知直线、直线相交于点，，则下列结论：①；②的补角是；③若，则；④若平分，则；⑤若，则．其中正确结论有___________． 三、解答题 19．如图，过点P分别画出的垂线（保留画图痕迹，不写画法）． 20．如下图，直线相交于点O．    (1)请写出图中的邻补角及对顶角； (2)若，求和的度数． 21．如图，点在直线上，，射线在射线的左侧，，与互补，求的度数． 解：∵点在直线上， （平角的定义）， ______， ， ∴______， ∵与互补， ______＋______， （__________）， ， ． 22．请根据条件进行推理，并在下列解答中填空． 如图，直线，交于点，平分，于点，，求的度数． 解：直线，交于点（已知） （    ） 又平分（已知） _____（    ） （已知） （    ） 23．如图，点是直线上一点，以为顶点作，平分． (1)当时，求的度数； (2)若与互补，求的度数． 24．如图，直线相交于点O，过点O作两条射线，且、． (1)若平分，求的度数； (2)若，求和的度数． 25．如图，直线， 相交于点O，为内部一条射线，且． (1)若，求的度数． (2)若，平分，则 是的平分线吗？请说明理由． (3)若，则是否为定值？若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 中考真题再现 1．在跳远比赛中，某同学从点C处起跳后，在沙池留下的脚印如图所示，测量线段的长度作为他此次跳远成绩（最近着地点到起跳线的最短距离），依据的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点确定一条直线 C．两点之间，线段最短 D．两直线平行，内错角相等 2．如图所示，有一个六边形零件，利用图中的量角器可以量出该零件内角的度数，则所量内角的度数为（   ） A． B． C． D． 3．如图，直线相交于点O．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 4．如图，直线交于点O，于O，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 5．已知与为对顶角，，则______°． 学科网（北京）股份有限公司 $