6.4.3第2课时正弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第2课时 正弦定理 我们离月球究竟有多远? 1752年，法国19岁的拉朗德在柏林，他的老师29岁的拉卡伊在非洲南端好望角，两地差不多在同一经度圈上、纬度相差90°有余，他们同时观测，首次用三角视差法得以实现。他们的结果是月球与地球之间的平均距离大约为地球半径的60倍，这与现代测定的数值(384401千米)很接近。 拉卡伊 拉朗德 人教A版 必修 第二册 第六章《平面向量及其应用》 近测高塔远看山， 量天度海只等闲， 古有九章勾股法， 今看三角正余弦。 (1)已知两边及其夹角解三角形． (2)已知三边解三角形． 复习回顾 1.余弦定理: 2.余弦定理推论: 3.适合用余弦定理解三角形： 余弦定理及其推论分别给出了已知两边及一角或三边直接解三角形的公式。如果已知两角和一边，是否也有相应的直接解三角形的公式呢？ 1.直角三角形 A C a b c B 2.锐角三角形 3.钝角三角形 D A B C a b c ； 即： 同理，有 即： ； 即： 同理，有 即： 对于锐角三角形和钝角三角形，是否仍然成立？ D 余弦定理的向量证明 A B C ·= ·()=·+ · 即| | ||cos()0+ | | ||cos() ⇒ csinA=asinC ⇒ ⇒ B C ·= ·()= ·+ · 即|| ||cos()0+ | | ||cos() ⇒ csinA=asinC ⇒ ⇒ 正弦定理的向量证明 A , ， , , , 常用变形 正弦定理适用于任意三角形。 正弦定理 在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即： =2R(R为∆ABC外接圆半径) “边化角” “边的比=角的正弦比” “角化边” “内项积=外项积” 例7 在△ABC中，已知A=15°，B=45°， ，解这个三角形. 例题讲解 解: 牛刀小试 正弦定理及辨析 变式1  变式2  变式3  A B 例题讲解 例8 这是已知三角形两边及其一边的对角求解三角形的问题，可以利用正弦定理． 【分析】 【详解】 为什么角C有两个值？ 注意 一定要根据“大边对大角， 大角对大边”的法则判断解是否唯一 例题讲解 例8 若A为锐角时: 若A为直角或钝角时: 无解 一解（直角） 二解（一锐、一钝） 一解（锐角） 无解 一解（锐角） 三角形解的个数 A B C a b A B C a b A B C a b A B C b a=bsinA A B1 B2 C a a b A B C b a<bsinA 用正弦定理求出一个角的正弦值后再判断， 若正弦值大于1则是无解， 若是等于1则是一解， 若是小于1，则利用“大角对大边”来确定所求角的范围， 即可确定几解. 变式1： a=20, b=40, A=45°, 解三角形. 变式1： a=20, b=40, A=45°, 解三角形. 解：由正弦定理 得 三角形解的个数 其中的“csin α”改为“bsin α“ 19 变式2： a= b=4， A=60°, 则B= ? 根据大角对大边，判断解的情况！ 三角形解的个数 其中的“csin α”改为“bsin α“ 20 变式3： c=，b=50，B=30°, 则△ABC的形状是? 三角形解的个数 其中的“csin α”改为“bsin α“ 21 已知三角形中的三个元素解三角形： （1）已知两边及其夹角（SAS）； （2）已知三条边（SSS）； （3）已知两边及一边对角（SSA）； （4）已知两角和一边； 注：已知两边或三边的用余弦定理求解； 已知两角的用正弦定理求解. --- 用余弦定理求解 --- 用余弦定理求解 --- 用正、余弦定理都可解 --- 用正弦定理求解 三角形面积公式 探究2：三角形的面积公式 如图，的三边分别所对的内角为 过点作的垂线，垂足为， 则 同理， 三角形的面积公式 三角形面积等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的二分之一 ，其中，分别为 的内切圆半径及 的周长. P53 T10 (3)S△ABC= (4)S△ABC=2R2sin Asin Bsin C,其中R为△ABC的外接圆半径; R为△ABC的外接圆半径; 三角形中常用结论 sin (A+B)= , cos(A+B)= 在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B． sin A=sin B ⇔ ； sin2A=sin2B cos A=cos B ⇔ A=B； cos2A=cos2B . A=B A=B或A+B＝ sinC -cosC A=B “星辰虽远，步履不停，你埋首走过的每一里 书山路，终会在抬头时化作眼底的银河。” 新的数学方法和概念，常常比解决问题本身更重要! ——华罗庚 结束语 路虽远，行则将至；步履不停，终抵星河 致爱丽丝钢琴曲 (无损版) 千屿 千屿改编钢琴曲纯音乐合集, track 66, disc 0 136077.3 在 中，若 ， ， ，则 （    ） A．5 B． C． D．3 若 的三个内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， ， ， 则 （    ） A． B． C． D．6 在△ABC中,若a=2,cos A=,cos B=- ,则b=　　　　　.  $