6.4.3第1课时余弦定理课件-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第六章 平面向量及其应用 § 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 一般地，三角形的三个角A,B,C和它们的对边a,b,c叫做三角形的元素。 已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形。 情景引入： 问题1：初中数学学习中，判定三角形全等的方法有哪些？ 初中判定三角形全等的方法有：SSS SAS ASA AAS HL. 问题2：为什么这些方法可以判断全等呢？ 因为这些方法能够唯一确定三角形的形状和大小。 知三求三， 必有一边 情景引入： 这是一处池塘，甲同学想测量AB之间的距离，可是中间隔着池塘不方便直接测量，你有什么办法吗？ · A · B · C 5m 8m 120° 乙同学想了一个办法，如图 ？ 三角形中任何一边的平方，等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍.即 利用余弦定理，可以由三角形的两边及其夹角直接求出第三边. 余弦定理： 概念生成 解： =49 牛刀小试 余弦定理解三角形 ⸫BC=a=7km 8km 3km 60∘ 你能用其他方法 证明余弦定理吗？ () c b a 坐标法 () 以点A为坐标原点，AB边所在直线为x轴，其垂线为y轴，建系如图 梅文鼎（1633-1721），字定九，号勿庵，汉族，宣州（今安徽省宣城市宣州区）人。清初天文学家、数学家，为清代“历算第一名家”和“开山之祖”，被世界科技史界誉为与英国牛顿和日本关孝和齐名的“三大世界科学巨擘”。 其著作《平三角举要》曾言：“西法用三角，犹古法之用勾股也。 但三角有钝角，而勾股无之，论者遂谓勾股之数有所穷，殊不知：锐角须分为两勾股，钝角形须补成勾股...... 然则勾股虽不能备三角之形，而能兼三角之理，三角不能出勾股之外，而能尽勾股之用，一而二，二而一者也。” c b a 你能用其他方法 证明余弦定理吗？ 几何法 D D 余弦定理指出了三角形的三条边与其中的一个角之间的关系，应用余弦定理，我们可以解决已知三角形的三边确定三角形的角的问题，怎么确定呢？ 已知三条边求任意角 （SSS） 已知两边及其夹角求第三边 （SAS） 余弦定理 余弦定理推论： 余弦定理及其推论把用“SAS”和“SSS”判定三角形全等的方法从数量化的角度进行了刻画. 勾股定理指出了直角三角形中三边之间的关系,余弦定理则指出了三角形的三条边与其中的一个角的关系.你能说说这两个定量之间的关系吗？ 勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广. 余弦定理： 勾股定理： 例5 在△ABC 中，已知b=60 cm，c=34 cm，A=41°，解这个三角形 (角度精确到1°，边长精确到1 cm). 解： 例题讲解 例6 在△ABC中，a=7，b=8，锐角C满足 求B (精确到1°). 解： 例题讲解 小试牛刀 练习1： 练习2： A C 12 如图示，在△ABC中，当角C为直角时，有c2=a2+b2，当角C为锐角时，这三者的关系是什么？钝角呢？ A a B C b c A c b A b c 由此可以猜想：余弦定理可以判断三角形的类型. 推论： 当C为锐角时，c2 a2+b2 当C为钝角时，c2 a2+b2 当C为直角时，c2 a2+b2 > < = 在△ABC中，a=7，b=5，c=3，判断△ABC的形状为( ) A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 不确定 C 学以致用 2. 在 中，内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ， 则 ( ) A.一定是锐角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是钝角三角形 D.是锐角或直角三角形 C 练习 － － － － － － － － － － － － － － 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 1. (1) 在△ABC中，已知b=12.9 cm，c=15.4 cm，A=42.3°，解这个三角形. (角度精确到0.1°，边长精确到0.1 cm)； (2)在△ABC中，已知a=5，b=2， 求c. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 2. 在△ABC中，已知 解这个三角形. 练习 － － － － － － － － － － － － － － 3. 在△ABC中，已知b=5，c=2，锐角A满足 求C (精确到1°). 这节课你的收获是什么 请填一填. 余弦定理 文字表述 三角形中任何一边的平方，等于 减去这两边与它们的 的两倍. 公式表达 a2＝ ，cosA＝ ， b2＝ ，cosB＝ ， c2＝ . cosC＝ ， 应用 判断三角形的形状： c2＝a2＋b2⇔C为 ；c2>a2＋b2⇔C为 ； c2<a2＋b2⇔C为 ． 解三角形：（1）已知三条边，求 ； （2）已知两边及其夹角，求_____________________. 其他两边的平方的和 夹角的余弦的积 b c a 直角 钝角 锐角 三角 课堂小结 第三边和其他两个角 △ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 已知 ， ， ，则 （    ） A． B． C．3 D． 在 中，已知 ， ， ，则 （    ）. A． B． C． D． $