6.4.3 第1课时 余弦定理-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第二册教用课件（人教A版）

6.4.3　余弦定理、正弦定理 1 1.借助向量的运算，探索三角形边长与角度的关系（逻辑推理）. 2.掌握余弦定理、正弦定理及其推论，会利用它们求解三角形中的边角问题（数学运算）. 3.能用余弦定理、正弦定理解决简单的实际问题（数学建模）. 课标要求 　　千岛湖位于我国浙江省淳安县境内，因湖内有星罗棋布的一千多个岛屿而得名，现有三个岛屿A，B，C，岛屿A与B之间的距离因A，B之间有另一个小岛而无法直接测量，但可测得AC，BC的距离分别为6 km和4 km，且AC，BC的夹角为120°.那么岛屿A，B间的距离如何计算呢？本节课我们就来学习一下！ 情景导入 第一课时　余弦定理 4 知识点一　余弦定理的推导 01 知识点二　已知两边及一角解三角形 02 提能点　判断三角形的形状 04 目录 课时作业 05 知识点三　已知三边解三角形 03 5 知识点一 余弦定理的推导 01 PART 目 录 问题1　（1）在△ABC中，三个角A，B，C所对的边分别是a，b，c， 怎样用a，b和C表示c？ 提示：如图，设 ＝a， ＝b， ＝c， 那么c＝a－b，① 我们的研究目标是用｜a｜，｜b｜和C表示｜c｜， 联想到数量积的性质c·c＝｜c｜2， 可以考虑用向量c（即a－b）与其自身作数量积运算. 由①得｜c｜2＝c·c＝（a－b）·（a－b） ＝a·a＋b·b－2a·b ＝a2＋b2－2｜a｜｜b｜ cos C. 所以c2＝a2＋b2－2ab cos C. 数学·必修第二册 目 录 （2）在问题（1）的探究成果中，若C＝90°，公式会变成什么？你认为 勾股定理和余弦定理有什么关系？ 提示：a2＋b2＝c2，即勾股定理；勾股定理是余弦定理的一个特例. （3）类比问题（1）的推理过程，请分别写出用b，c和A表示a以及用 a，c和B表示b的相应的表达式. 提示：类比问题（1）的推理过程，同理可得a2＝b2＋c2－2bc cos A，b2＝ c2＋a2－2ca cos B. 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 余弦定理 文字 表述 三角形中任何一边的平方，等于其他两边 ⁠减去这两边 与它们夹角的余弦的 ⁠ 公式 表达 a2＝ ，b2＝ ，c2＝ ⁠ ⁠ 　　提醒：（1）适用范围：任意三角形；（2）结构特征：“平方”“夹 角”“余弦”. 平方的和　 积的两倍　 b2＋c2－2bc cos A　 c2＋a2－2ca cos B　 a2 ＋b2－2ab cos C　 数学·必修第二册 目 录 知识点二 已知两边及一角解三角形 02 PART 目 录 【例1】　（1）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已 知b＝3，c＝2 ，A＝30°，则a＝ 　 　； 解析： 由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bc cos A＝32＋（2 ）2－ 2×3×2 cos 30°＝3，所以a＝ . 　 数学·必修第二册 目 录 （2）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝ ，c＝ 2， cos A＝ ，则b＝ ⁠. 解析： 由余弦定理得5＝22＋b2－2×2b cos A，因为 cos A＝ ，所以 3b2－8b－3＝0，所以b＝3（b＝－ 舍去）. 3　 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 已知两边及一角解三角形的两种情况 （1）若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用 余弦定理和三角形内角和定理求其他角； （2）若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元 二次方程求解. 数学·必修第二册 目 录 训练1　（1）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝ 3 ，c＝2，A＋C＝ ，则b＝（　A　） A. B. 6 C. 7 D. 8 解析： 因为A＋C＝ ，所以B＝π－（A＋C）＝ ，因为a＝ 3 ，c＝2，所以由余弦定理得b＝ ＝ ＝ . A 数学·必修第二册 目 录 （2）已知△ABC中，AB＝ ，BC＝1，A＝30°，则AC＝ ⁠. 解析： 在△ABC中，令角A，B，C的对边分别为a，b，c，则AB ＝c＝ ，BC＝a＝1， cos A＝ ，所以由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得1＝b2＋3－3b，解得b＝1或b＝2，则AC＝1或AC＝2. 1或2　 数学·必修第二册 目 录 知识点三 已知三边解三角形 03 PART 目 录 问题2　在△ABC中，已知三边分别是a，b，c，如何求角A，B，C呢？ 提示：根据余弦定理的变形得 cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ . 数学·必修第二册 目 录 【知识梳理】 1. 余弦定理的推论 在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，则 cos A＝ ， cos B＝ ， cos C＝ . 2. 解三角形 一般地，三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形 的 .已知三角形的几个元素求 的过程叫做解三角形. 元素　 其他元素　 数学·必修第二册 目 录 【例2】　（链接教材P43例5、P44例6）（1）在△ABC中，内角A，B， C的对边分别是a，b，c.若a＝2，b＝3，c＝ ，则C＝（　C　） A. B. C. D. 解析： 因为a＝2，b＝3，c＝ ，所以 cos C＝ ＝ ＝ .因为C∈（0，π），所以C＝ .故选C. C 数学·必修第二册 目 录 （2）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a∶b∶c＝ 4∶5∶6，则其最大内角的余弦值为（　A　） A. B. C. D. 解析： 根据题意，设a＝4k，b＝5k，c＝6k，k＞0，且最大角为 C，所以 cos C＝ ＝ ＝ .故选A. A 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 已知三边求解三角形的方法 （1）已知三角形的三边求角时，可利用余弦定理求解； （2）若已知三角形三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化 为已知三边求解.在已知三边求三个角时，一般先求小角后求大角. 数学·必修第二册 目 录 训练2　（1）已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a ＝3，b＝ ，c＝7，则A＋C的值为（　C　） A. B. C. D. 解析： 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ ，又0＜B＜π，所以B＝ ，所以A＋C＝ .故选C. C 数学·必修第二册 目 录 （2）在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，若a2－b2＝c2－ bc，则A＝（　C　） A. 135° B. 60°或120° C. 45° D. 135°或45° 解析： a2－b2＝c2－ bc，由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ，故A＝45°.故选C. C 数学·必修第二册 目 录 （3）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ 3 ，b＝3，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理得b2＝c2＋a2－2ca cos B，即c2－9c＋18＝0， 解得c＝3或c＝6.当c＝3时， cos A＝ ＝－ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝120°，故C＝180°－120°－30°＝30°； 当c＝6时， cos A＝ ＝ ， 因为0°＜A＜180°，所以A＝60°，故C＝180°－60°－30°＝90°. 综上所述，A＝60°，C＝90°，c＝6或A＝120°，C＝30°，c＝3. 数学·必修第二册 目 录 04 PART 提能点 判断三角形的形状 目 录 问题3　在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若角A为直 角，则a，b，c有什么大小关系？若角A为锐角呢？若角A为钝角呢？ 提示：A为直角⇔a2＝b2＋c2； A为锐角⇔b2＋c2＞a2（前提是b，c是两个较小边）； A为钝角⇔b2＋c2＜a2. 数学·必修第二册 目 录 【例3】　在△ABC中，若 cos A－ cos B＋ ＝0，则△ABC的形状是 （　　） A. 等腰三角形 B. 直角三角形 C. 等腰直角三角形 D. 等腰三角形或直角三角形 D 数学·必修第二册 目 录 解析：　由 cos A－ cos B＋ ＝0，得a－c cos B＝b－c cos A，由余弦 定理的推论得a－c· ＝b－c· ，化简得 ＝ .当a2＋b2－c2＝0，即a2＋b2＝c2时，△ABC为直角三角形；当 a2＋b2－c2≠0时，a＝b，则△ABC为等腰三角形.故△ABC为等腰三角形 或直角三角形，故选D. 数学·必修第二册 目 录 【规律方法】 判断三角形形状的两条思考路线 （1）先化边为角，再进行三角恒等变换，求出三角之间的数量关系； （2）先化角为边，再进行代数恒等变换，求出三边之间的数量关系. 数学·必修第二册 目 录 训练3　在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ 60°，a2＝bc，则△ABC一定是（　　） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 等边三角形 解析：　在△ABC中，因为A＝60°，a2＝bc，所以由余弦定理可得， a2＝b2＋c2－2bc cos A＝b2＋c2－bc，所以bc＝b2＋c2－bc，即（b－ c）2＝0，所以b＝c，结合A＝60°可得△ABC一定是等边三角形. √ 数学·必修第二册 目 录 1. 在△ABC中，AC＝2AB＝4， cos A＝ ，则BC＝（　　） A. 2 B. 3 C. D. 4 解析：　由已知及余弦定理可得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC· cos A＝4 ＋16－2×2×4× ＝18.故BC＝3 . √ 数学·必修第二册 目 录 2. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝ ，b＝ 1，c＝2，则A＝（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 75° 解析：　由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A为 △ABC的内角，所以A＝60°. √ 数学·必修第二册 目 录 3. △ABC内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若c＝b cos A，则△ABC 一定是（　　） A. 等腰三角形 B. 等边三角形 C. 直角三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　由余弦定理有c＝b· ，整理得b2＝a2＋c2，故△ABC 一定是直角三角形.故选C. √ 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，已知b＝ ，c＝ ，B＝30°，解这个三角形. 解：由余弦定理b2＝a2＋c2－2ac cos B， 得（ ）2＝a2＋（ ）2－2a× × cos 30°， 即a2－3 a＋10＝0，解得a＝ 或a＝2 . 当a＝ 时，A＝30°，C＝120°； 当a＝2 时，a2＝20＝b2＋c2，所以该三角形为直角三角形，且A＝ 90°，C＝60°. 数学·必修第二册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）余弦定理及推论； （2）利用余弦定理解三角形； （3）应用余弦定理判断三角形的形状. 2.应体会 在解三角形的过程中，余弦定理及推论可以做到“知三求一”，体现了转化与化归、方程的思想方法. 3.避易错 三角形的隐含条件，如内角和为180°，两边之和大于第三边. 数学·必修第二册 目 录 课时作业 05 PART 目 录 1. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c， cos A＝ ，b ＝3，c＝5，则a＝（　　） A. 3 B. 4 C. D. 2 解析：　由余弦定理，得a＝ ＝ .故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第二册 目 录 2. 若在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对的边，6a＝4b＝ 3c，则 cos B＝（　　） A. B. C. D. 解析：　由6a＝4b＝3c，得c＝2a，b＝ a，∴ cos B＝ ＝ ＝ . √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 3. 在△ABC中， cos B＝ （a，b，c分别为角A，B，C的对边），则 △ABC的形状为（　　） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 解析：　 cos B＝ ，由余弦定理得 ＝ ，整理得b2＋a2＝c2， 即C为直角，则△ABC为直角三角形. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 4. 在△ABC中，已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，若A＝ ， ＝ ，则 ＝（　　） A. B. 2 C. D. 解析：　因为 ＝ ，所以a＝ b，由余弦定理得（ b）2＝b2＋c2 －2cb cos ，所以c＝2b（负值舍去），即 ＝2.故选B. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 5. 〔多选〕设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝2， c＝2 ， cos A＝ ，且b＜c，则（　　） A. b＝2 B. b＝4 C. B＝60° D. B＝30° 解析： 　由a2＝b2＋c2－2bc cos A，得4＝b2＋12－6b⇒b2－6b＋8＝ 0⇒（b－2）（b－4）＝0，由b＜c，得b＝2，又a＝2， cos A＝ ，所 以B＝A＝30°.故选A、D. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 6. 〔多选〕在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b2＋ c2－a2＝ bc，且b＝ a，则下列关系可能成立的是（　　） A. a＝c B. b＝c C. 2a＝c D. a2＋b2＝c2 解析： 　由余弦定理的推论，得 cos A＝ ＝ ＝ ，又 0°＜A＜180°，得A＝30°，联立 解得c＝2a或 c＝a.当c＝2a时， cos B＝ ＝ ＝ ，则B＝60°，此 时△ABC为直角三角形，所以A、C、D可能成立. √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 7. 在△ABC中，A＝60°，AC＝2，BC＝ ，则AB＝ ⁠. 解析：在△ABC中，因为A＝60°，AC＝2，BC＝ ，设AB＝x，由余 弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC cos A，化简得x2－2x＋1＝0，所 以x＝1，即AB＝1. 1　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 8. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满 足b2＝ac，且c＝2a，则 cos B＝ ⁠. 解析：因为b2＝ac，且c＝2a，得b2＝2a2，由余弦定理的推论得 cos B＝ ＝ ＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 9. 在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C所对的边，且a，b是方程 x2－5x＋2＝0的两个根，C＝60°，则c＝ ⁠. 解析：由题意得，a＋b＝5，ab＝2.由余弦定理，得c2＝a2＋b2－2ab cos C＝a2＋b2－ab＝（a＋b）2－3ab＝52－3×2＝19，所以c＝ . 　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 10. 设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 sin C＝ ，a＝2 ，b＝2，求c. 解：因为 sin C＝ ，且0＜C＜π，所以C＝ 或C＝ . 当C＝ 时， cos C＝ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝4，所以c＝2. 当C＝ 时， cos C＝－ ，此时c2＝a2＋b2－2ab cos C＝28，所以c＝ 2 . 综上所述，c的值为2或2 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 11. 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若（a2＋c2－ b2）tan B＝ac，则角B的大小为（　　） A. B. 解析：　因为（a2＋c2－b2）tan B＝ac，所以 ＝ ＝ cos B，即 cos B·（2 sin B－1）＝0，因为 cos B≠0，所以 sin B＝ ，又因为 B∈（0，π），所以B＝ 或B＝ .故选C. C. 或 D. 或 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 12. 兴化千岛菜花风景区素有“全国最美油菜花海”之称，以千岛样式形 成的垛田景观享誉全国，与享誉世界的普罗旺斯薰衣草园、荷兰郁金香花 海、京都樱花并称，跻身全球四大花海之列.若将每个小岛近似看成正方 形，在2×3正方形方格中，A，B，C三位游客所在位置如图所示，则 ∠ABC的值为（　　） A. B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 解析：　如图，连接AC，不妨设小正方形方格边长为1，则｜AB｜＝ ，｜BC｜＝ ，｜AC｜＝ ， 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠ABC＝ ＝ ，又0＜∠ABC＜π，所以∠ABC＝ .故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 13. 已知△ABC的三条边长分别为a，b，c，且（a＋b）∶（b＋c）∶ （a＋c）＝12∶13∶15，则此三角形的最大角与最小角之和为（　　） A. B. 解析：　不妨设a＋b＝12k，则b＋c＝13k，a＋c＝15k，k＞0，解 得a＝7k，b＝5k，c＝8k，所以此三角形的最大角与最小角分别为角C 和角B. 由余弦定理的推论可得 cos A＝ ＝ ＝ ，又A∈（0， π），所以A＝ ，所以C＋B＝π－A＝ .故选B. C. D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 14. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知 cos A＝ ，a＝4，6b＝5c，求b的值. 解：由6b＝5c，∴b＝ . 由余弦定理a2＝b2＋c2－2bc cos A，得16＝ c2＋c2－2× ×c× ， ∴c2＝36，∴c＝6（负值舍去）， ∴b＝ ×6＝5. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 15. 在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若 ＝－3. （1）求A； 解：因为 ＝－3，所以a2－（b＋c）2＝－3bc， 即a2－b2－c2－2bc＝－3bc，所以a2＝b2＋c2－bc， 由余弦定理的推论得 cos A＝ ＝ .因为0＜A＜π，所以A＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 （2）若b＋c＝2a，证明：△ABC为等边三角形. 解： 证明：由（1）得a2＝b2＋c2－bc. 将2a＝b＋c代入上式，得 ＝b2＋c2－bc，整理得（b－c）2＝ 0，所以b＝c. 又因为A＝ ，所以△ABC为等边三角形. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第二册 目 录 $