16.1变量与函数（5知识点+9大题型+过关检测）2025-2026学年八年级数学下册同步培优讲义（华东师大版）

16.1变量与函数 （5知识点+9大题型+过关检测） 【题型1 常量与变量的识别】 3 【题型2 用表格表示变量间的关系】 4 【题型3 用关系式表示变量间的关系】 7 【题型4 用图象表示变量间的关系】 9 【题型5 函数的概念】 12 【题型6 函数的三种表示方法】 14 【题型7 函数解析式】 17 【题型8 求自变量取值范围】 19 【题型9 求自变量的值或函数值】 20 1. 理解常量与变量的定义，能准确区分实际问题和数学式子中的常量与变量，体会变化与对应的思想。 2. 掌握变量之间关系的三种表示方法：表格法、关系式法、图象法，能灵活进行三种表示方法的相互转化。 3. 深刻理解函数的概念，明确函数的核心是“两个变量、唯一对应”，能判断两个变量间是否构成函数关系。 03 知识•梳理 知识点1：常量与变量 1. 定义 · 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； · 常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。 关键提示：常量与变量是相对的，由具体的变化过程决定，同一个量在不同情境中可能是变量也可能是常量。 知识点2：函数的概念 1. 定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2. 函数的核心三要素 · 两个变量； · 自变量取值有范围； · 自变量与函数值之间是唯一对应关系（一个自变量只能对应一个函数值）。 知识点3：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 表格法 用表格列出自变量与函数的对应值 直观清晰，能直接读取对应值 取值有限，难以反映整体规律 关系式法（解析式法） 用数学式子表示函数关系 简洁准确，便于计算和推理 不够直观，无法直接看出变化趋势 图象法 用图象表示函数关系 形象直观，能清晰反映变化趋势 取值近似，难以精确计算 知识点4：自变量取值范围 1. 整式型：自变量取全体实数（如y=2x+1）； 2. 分式型：分母不为0 3. 二次根式型：被开方数≥0 4. 复合型：同时满足多个条件 5. 实际问题型：结合实际意义，保证取值合理（如长度、人数为正数）。 知识点5：函数值 对于自变量x在取值范围内取一个确定值a，函数y对应的唯一数值叫做函数值，记作y=f(a)，求解方法是将x=a代入函数解析式计算。 常见易错点 · 混淆常量与变量，忽略变化过程的相对性； · 判断函数关系时，忽略“唯一对应”的核心要求； · 求自变量取值范围时，漏看分母、根号的限制条件； · 实际问题中，未考虑自变量的实际意义； · 函数图象判断错误，不理解横纵坐标的含义。 本节核心总结：抓住“常量变量区分、函数唯一对应、三种表示方法、自变量范围、函数值计算”五大核心，所有题型均可迎刃而解，是后续函数学习的基础。 04 题型•汇总 【题型1 常量与变量的识别】 解题方法： 紧扣“数值是否变化”判断，变化的是变量，不变的是常量；结合具体变化过程分析，标注量的属性。 【典例1】．半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 跟随训练1-1．某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 跟随训练1-2．在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 跟随训练1-3．对于圆的周长公式，下列说法正确的是（   ） A．，r是变量，C，2是常量 B．r是变量，C，是常量 C．C是变量，，r是常量 D．C，r是变量，2，是常量 【题型2 用表格表示变量间的关系】 解题方法： 表格第一行/列一般为自变量，第二行/列为函数值；读取对应值、分析变化趋势（递增/递减/不变）、计算差值。 【典例2】．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 跟随训练2-1．完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 跟随训练2-2．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 跟随训练2-3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【题型3 用关系式表示变量间的关系】 解题方法： 根据题目中的等量关系（和差倍分、公式、实际规律），用含自变量的代数式表示函数，化简整理成规范形式。 【典例3】．京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-1．小华以每分钟个字的速度书写，分钟写了个字，则关于的关系式为（　　） A． B． C． D． 跟随训练3-2．汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 跟随训练3-3．如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【题型4 用图象表示变量间的关系】 解题方法： 明确横纵坐标代表的量，分析图象走势：上升（函数递增）、下降（函数递减）、水平（函数不变）；读取特殊点（起点、交点、拐点）的对应值。 【典例4】．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-1．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 跟随训练4-2．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 跟随训练4-3．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【题型5 函数的概念】 解题方法： 判断标准：① 两个变量；② 自变量每一个确定值，函数有唯一值对应。满足则是函数关系，不满足则不是。 【典例5】．下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-1．下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 跟随训练5-3．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型6 函数的三种表示方法】 解题方法： 掌握三种方法的转化：表格→关系式（找规律）、关系式→图象（描点法）、图象→表格（读取对应值）；区分三种方法的优缺点。 【典例6】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 跟随训练6-1．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 跟随训练6-2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 跟随训练6-3．某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型7 函数解析式】 解题方法： 根据题意找等量关系，设自变量和函数，列出关系式并化简；实际问题需标注自变量取值范围。 【典例7】．一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-1．如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 跟随训练7-2．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 跟随训练7-3．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【题型8 求自变量取值范围】 解题方法： 按“整式→全体实数；分式→分母≠0；根式→被开方数≥0；实际问题→符合意义”规则，联立求解。 【典例8】．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 跟随训练8-1．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 跟随训练8-2．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 跟随训练8-3．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型9 求自变量的值或函数值】 解题方法： 求函数值：将自变量值代入解析式，计算结果； 求自变量值：将函数值代入解析式，解方程。 【典例9】．变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 跟随训练9-1．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 跟随训练9-2．已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 跟随训练9-3．已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 05 过关•检测 1．下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 2．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 3．某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 4．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 5．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 6．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 7．在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（，，···，）记为x，加密后的数字y满足“”；若，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“”，则加密后的字母是（    ） A． B． C． D． 8．国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 9．函数，当时，的取值范围是___________． 10．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 11．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 12．如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为______．（无需写出自变量的取值范围） 13．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 14．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 15．材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 16．6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 16.1变量与函数 （5知识点+9大题型+过关检测） 【题型1 常量与变量的识别】 3 【题型2 用表格表示变量间的关系】 4 【题型3 用关系式表示变量间的关系】 7 【题型4 用图象表示变量间的关系】 9 【题型5 函数的概念】 12 【题型6 函数的三种表示方法】 14 【题型7 函数解析式】 17 【题型8 求自变量取值范围】 19 【题型9 求自变量的值或函数值】 20 1. 理解常量与变量的定义，能准确区分实际问题和数学式子中的常量与变量，体会变化与对应的思想。 2. 掌握变量之间关系的三种表示方法：表格法、关系式法、图象法，能灵活进行三种表示方法的相互转化。 3. 深刻理解函数的概念，明确函数的核心是“两个变量、唯一对应”，能判断两个变量间是否构成函数关系。 03 知识•梳理 知识点1：常量与变量 1. 定义 · 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量叫做变量； · 常量：在一个变化过程中，数值保持不变的量叫做常量。 关键提示：常量与变量是相对的，由具体的变化过程决定，同一个量在不同情境中可能是变量也可能是常量。 知识点2：函数的概念 1. 定义 在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么就说x是自变量，y是x的函数。 2. 函数的核心三要素 · 两个变量； · 自变量取值有范围； · 自变量与函数值之间是唯一对应关系（一个自变量只能对应一个函数值）。 知识点3：函数的三种表示方法 表示方法 定义 优点 缺点 表格法 用表格列出自变量与函数的对应值 直观清晰，能直接读取对应值 取值有限，难以反映整体规律 关系式法（解析式法） 用数学式子表示函数关系 简洁准确，便于计算和推理 不够直观，无法直接看出变化趋势 图象法 用图象表示函数关系 形象直观，能清晰反映变化趋势 取值近似，难以精确计算 知识点4：自变量取值范围 1. 整式型：自变量取全体实数（如y=2x+1）； 2. 分式型：分母不为0 3. 二次根式型：被开方数≥0 4. 复合型：同时满足多个条件 5. 实际问题型：结合实际意义，保证取值合理（如长度、人数为正数）。 知识点5：函数值 对于自变量x在取值范围内取一个确定值a，函数y对应的唯一数值叫做函数值，记作y=f(a)，求解方法是将x=a代入函数解析式计算。 常见易错点 · 混淆常量与变量，忽略变化过程的相对性； · 判断函数关系时，忽略“唯一对应”的核心要求； · 求自变量取值范围时，漏看分母、根号的限制条件； · 实际问题中，未考虑自变量的实际意义； · 函数图象判断错误，不理解横纵坐标的含义。 本节核心总结：抓住“常量变量区分、函数唯一对应、三种表示方法、自变量范围、函数值计算”五大核心，所有题型均可迎刃而解，是后续函数学习的基础。 04 题型•汇总 【题型1 常量与变量的识别】 解题方法： 紧扣“数值是否变化”判断，变化的是变量，不变的是常量；结合具体变化过程分析，标注量的属性。 【典例1】．半径为的球的体积公式为，其中的变量和常量分别是（    ） A．变量是，，；常量是 B．变量是，；常量是， C．变量是，；常量是 D．变量是；常量是 【答案】B 【分析】本题主要考查了变量与常量的定义，明确在变化过程中，可变的量为变量，固定不变的量为常量，结合球的体积公式即可． 【详解】解：在球的体积公式中，和是固定不变的数值，的数值随的变化而变化，可取不同的数值， ∴变量是、，常量是、． 跟随训练1-1．某地手机通话费为元，小明存入50元手机话费，记此后他的手机通话时间为，话费余额为元．则此问题中的常量和变量是（    ） A．常量50；变量． B．常量，50；变量． C．常量，50；变量． D．常量，50；变量，． 【答案】D 【分析】本题考查了常量和变量，理解定义是解题的关键； 根据常量和变量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量．本题中，通话费率和初始话费为常量，通话时间和余额为变量即可解答． 【详解】解：手机通话费为元/分钟，小明存入的50元话费，这两个数值在问题中固定不变，所以，，50是常量． 通话时间和话费余额会随着通话的进行而变化．具体来说，是自变量，是因变量，满足关系式． 所以，和均为变量． 故选：D． 跟随训练1-2．在圆的面积计算公式中，对于变量和常量的说法正确的是（   ） A．2是常量，S、、R是变量 B．2，是常量，S、R是变量 C．2，S，是常量，R是变量 D．2，，R是常量，S是变量 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义，根据变量是改变的量，常量是不变的量即可求解． 【详解】解：在圆的面积计算公式中， 变量是S、R，常量是2，是， 故选：B． 跟随训练1-3．对于圆的周长公式，下列说法正确的是（   ） A．，r是变量，C，2是常量 B．r是变量，C，是常量 C．C是变量，，r是常量 D．C，r是变量，2，是常量 【答案】D 【分析】本题主要考查了常量，变量的定义，理解常量，变量的定义是解题的关键． 根据变量和常量的定义，常量是固定不变的量，变量是会发生变化的量． 在圆的周长公式中，周长随半径的变化而变化，而和是固定值． 【详解】圆的周长公式为，其中表示周长，表示半径． 当半径变化时，周长也随之变化，因此和是变量． 公式中的和是固定不变的常数，属于常量． 故选：D． 【题型2 用表格表示变量间的关系】 解题方法： 表格第一行/列一般为自变量，第二行/列为函数值；读取对应值、分析变化趋势（递增/递减/不变）、计算差值。 【典例2】．为了提高学生劳动能力，学校举行了“躬身劳动，悦享春光”活动．初一某班栽种红薯幼苗，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数的变化关系如表所示： 1 2 3 4 5 … /棵 4 8 … 观察表中数据可知，该班有8人栽种幼苗时，栽种幼苗总数量为_____棵． 【答案】 【分析】本题考查函数的表示方法，写出正确的函数表达式是解题的关键．由表格数据可知，栽种的幼苗总数量（棵）与参与活动人数满足正比例关系，写出函数关系式，再代入即可． 【详解】解： 由表可知， 当时，， 故答案为． 跟随训练2-1．完成下表：测得一根弹簧的长度与所挂物体质量的关系如下表所示（重物不超过时，去掉重物后，弹簧能恢复原状）． 物体质量 0 1 2 3 … a（a不超过20） 弹簧长度 6 … _____ 【答案】 【分析】本题考查根据表格数据估计因变量的值，熟练掌握知识点是解题的关键．弹簧长度与所挂物体质量呈线性关系，初始长度为，每增加质量，长度增加，据此即可解答． 【详解】解：由表格数据可知，当物体质量时，弹簧长度； 当时， ； 当时， ； 当时， ； 因此，弹簧长度与质量的关系为， 当时，． 故答案为：． 跟随训练2-2．某汽车生产厂对其生产的A型汽车进行油耗实验，实验中汽车为匀速行驶，在行驶过程中，油箱的剩余油量（升）与行驶时间（小时）之间的关系如下表： 小时 0 1 2 3 升 100 92 84 76 由表格中与的关系可知，当汽车行驶5小时时，油箱的剩余油量为____升． 【答案】 【分析】本题考查了用表格表示函数关系．由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为，进而令，代入解析式，即可求解． 【详解】解：由表格数据可知，油箱剩余油量与行驶时间成线性关系，每小时耗油升，初始油量为升，因此关系式为， 当时，. 故答案为：． 跟随训练2-3．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度y（）与所挂的物体的质量x（）（）有下面的关系： x 0 1 2 3 4 5 y 10 11 12 下列说法不正确的是（    ） A．y是x的函数，且x是自变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．物体质量每增加，弹簧长度y增加 D．所挂物体质量为时，弹簧长度为 【答案】B 【分析】本题考查了根据表格判断变量之间的关系． 通过表格数据，分析弹簧长度与物体重量的关系，发现y随x均匀变化，每增加，y增加，且时，进而逐一判断即可． 【详解】解：x与y都是变量，且x是自变量，y是因变量， ∴A正确，不符合题意； 当时，， ∴弹簧不挂重物时的长度为， ∴B不正确，符合题意； 物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴C正确，不符合题意； ∵弹簧不挂重物时的长度为，物体质量每增加，弹簧长度y增加， ∴y与x之间的函数关系式为， 当时，， ∴所挂物体质量为时，弹簧长度为， ∴D正确，不符合题意． 故选：B． 【题型3 用关系式表示变量间的关系】 解题方法： 根据题目中的等量关系（和差倍分、公式、实际规律），用含自变量的代数式表示函数，化简整理成规范形式。 【典例3】．京沪高速铁路全长为，用式子表示在此铁路上运营的列车的平均速度v（单位：）与全程运行时间t（单位：h）的关系，结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查路程、速度、时间三者的基本数量关系，解题的关键是掌握三者之间的关系． 利用“路程=速度×时间”的公式，代入已知路程即可推导速度与时间的关系式． 【详解】解：，即， 故选：B． 跟随训练3-1．小华以每分钟个字的速度书写，分钟写了个字，则关于的关系式为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查用关系式表示变量间的关系． 根据“速度×时间=总字数”的关系，即可得关于的关系式． 【详解】解：∵ 书写速度是每分钟个字，时间是分钟，总字数为300个字， ∴关于的关系式为， 故选：A． 跟随训练3-2．汨罗是“中国循环经济试点城市”，某再生资源企业处理废铝，进价为每吨万元，售价为每吨万元，每天可处理20吨．若每吨降价万元，每天可多处理5吨，设每吨降价万元，每天获利万元，则与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据题意列关系式． 根据利润计算公式，每天获利y等于每吨利润乘以每天处理吨数．每吨降价x万元后，每吨利润为万元，每天处理吨数为吨，因此y与x的关系式为． 【详解】解：∵每吨降价x万元， ∴售价为万元， ∵进价为万元， ∴每吨利润为万元， ∵每吨降价万元，每天可多处理5吨， ∴每吨降价x万元，每天可多处理吨， ∴每天处理吨数为吨， ∴． 故选：D． 跟随训练3-3．如图，在长方形中，，，是边上一动点，，垂足为，，，与的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了用关系式表示变量之间的关系， 根据，再代入数值可得答案． 【详解】解：连接， 由题意可知， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 故选：D． 【题型4 用图象表示变量间的关系】 解题方法： 明确横纵坐标代表的量，分析图象走势：上升（函数递增）、下降（函数递减）、水平（函数不变）；读取特殊点（起点、交点、拐点）的对应值。 【典例4】．某容器的截面如图所示，出水阀门在点A处．如果这个注满水的容器以固定的流量把水全部放出，下面哪个图象能大致表示水的深度与放水时间之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象； 根据容器上宽下窄，可知水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低． 【详解】解：因为容器上宽下窄， 所以水的深度随着时间的增大，先缓慢降低，随后快速降低， 只有A选项符合题意． 跟随训练4-1．如图，火车匀速通过隧道（隧道长大于火车长）时，火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系用图象描述大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了用图象表示变量间的关系，解题的关键是理解题意，数形结合．根据开始进入时y逐渐变大，完全进入后保持不变，开始出来时y逐渐变小，进行判断即可． 【详解】解：根据题意可知火车进入隧道的时间x与火车在隧道内的长度y之间的关系具体可描述为：当火车开始进入时y逐渐变大，当火车完全进入隧道，由于隧道长大于火车长，此时y最大，并且保持不变，当火车开始出来时y逐渐变小．另外是匀速运动，y随x的均匀变化而均匀变化，故图象呈直线型，排除选项C． 故选：B． 跟随训练4-2．如图，有一只蚂蚁从点O 出发，沿着半圆的边线爬了一圈，又回到了点O．下面可以描述蚂蚁与点O距离变化关系的是图（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了函数图象，解题的关键是分析路程随着时间的变化而变化的趋势，学会数形结合的方法，才能解决实际的问题． 一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小．据此判断． 【详解】解：一只蚂蚁从O点出发，沿着半圆的边缘匀速爬行，在开始时经过从O至圆上这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而增加；到半圆这一段路程，根据圆的特征可知，蚂蚁到O点的距离不变，从圆上回到O点这一段，蚂蚁到O点的距离随运动时间的增加而减小． 则描述蚂蚁与点O距离变化关系的是： ． 故选：D． 跟随训练4-3．某人骑车沿直线行进，先前进了，休息了一段时间，又原路返回，再前进，则此人离起点的距离与时间的关系示意图可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了函数的图象，弄清量的变化与函数图象的关系是解题的关键． 应根据时间的不断变化，来反映离出发点的远近，特别是“休息了一段时间后又按原路返回，再前进”，再运用图象反映出来即可． 【详解】解：因为他休息了一段时间，那么在这段时间内，时间在增长，路程没有变化，应排除A； 又按原路返回，说明随着时间的增长，他离出发点近了点，排除D； C选项虽然离出发点近了，但，不符合题意． 故选：B． 【题型5 函数的概念】 解题方法： 判断标准：① 两个变量；② 自变量每一个确定值，函数有唯一值对应。满足则是函数关系，不满足则不是。 【典例5】．下列关系式中y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义，判断每个选项中对于x的每一个确定值，y是否有唯一确定的值与之对应，若存在一个x对应多个y，则y不是x的函数，本题考查了函数的定义． 【详解】解：∵函数的定义为：在一个变化过程中，对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应 对于选项A，当x取正数时，例如，由可得或，即一个x值对应两个不同的y值 ∴y不是x的函数 对于选项B、C、D，任意给定一个x的值，都有唯一确定的y值与之对应，符合函数定义 综上，答案选A， 故选：A． 跟随训练5-1．下列图象中，不是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的定义，在函数的定义中，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应是解题的关键． 根据函数的定义逐个判断即可． 【详解】解：选项A、B、D，对于每一个x，都有唯一的y值与其对应，故选项A、B、D中y是x的函数，选项C，对于一个x有两个y与之对应，故y不是x的函数． 故选：C． 跟随训练5-2．下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的定义，当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，则表示是的函数，解决本题的关键是根据函数的定义进行判断． 【详解】解：A选项，当确定一个数值时，可以有个值与对应，不能表示是的函数，故A选项符合题意； B选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故B选项不符合题意； C选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故C选项不符合题意； D选项：当确定一个数值时，可以有唯一一个值与对应，能表示是的函数，故D选项不符合题意． 故选A． 跟随训练5-3．有以下关于x，y的等式：①；②；③；④，其中y是x的函数的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查函数的定义，判断每个等式是否满足函数的定义，即对于每一个x值，只能有一个y值与之对应． 【详解】解：∵ ① 可化为，对于每一个x值，y有唯一确定值， ∴ ①y是x的函数； ∵ ②，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ②y不是x的函数； ∵ ③，例如当时，或，一个x对应两个y， ∴ ③y不是x的函数； ∵ ④可化为（），对于每一个非零x值，y有唯一确定值， ∴ ④y是x的函数； ∴ ①和④是函数，共2个， 故选：B． 【题型6 函数的三种表示方法】 解题方法： 掌握三种方法的转化：表格→关系式（找规律）、关系式→图象（描点法）、图象→表格（读取对应值）；区分三种方法的优缺点。 【典例6】．弹簧挂上物体后会伸长，测得一弹簧的长度与所挂物体的质量之间的关系如下表所示： 所挂物体的质量 0 1 2 3 4 5 弹簧的长度 10 10.5 11 11.5 12 12.5 下列说法不正确的是（   ） A．与都是变量，且是自变量，是因变量 B．弹簧不挂重物时的长度为 C．在弹性限度内，所挂物体的质量每增加，弹簧的长度增加 D．在弹性限度内，当所挂物体的质量为时，弹簧的长度为 【答案】D 【分析】本题考查常量与变量，用表格表示变量之间的关系，理解和发现表格中数据的变化规律是解决问题的关键． 由表格中的数据，结合变量的相关概念，可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，由此可对A作出判断； 弹簧不挂重物时的长度，就是x为0是y的长度，结合表格中的数据即可判断B项； 从表中y的变化情况可得物体质量每增加1千克，弹簧增加的长度，再计算出物体质量为时，弹簧的长度，即可对C和D选项作出判断． 【详解】解：A、由表格可知x与y都是变量且x是自变量，y是因变量，故A选项正确； B、弹簧不挂重物时长度为，故B选项正确； C、由表格可知物体质量增加时，弹簧长度增加，故C选项正确 D、所挂物体质量为时，弹簧长度为，故D选项不正确． 故选：D． 跟随训练6-1．某校在定制“中考红色战袍”时，小明了解到尺码与衣长的对应关系如表： 尺码 … S M L … 衣长/cm … 67 69 71 73 75 … 若小明需要定制，则他的衣长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，根据题意，当尺码增加1，则衣长增加，据此即可求解，解题时要熟练掌握并能读懂题意列出式子是关键． 【详解】由题意，根据表格数据可得，当尺码增加1，则衣长增加， ∴当变化到时，增加了3个尺码， ∴， ∴他的衣长是， 故选：A． 跟随训练6-2．在某一阶段，某商品的销售量与销售价之间存在如下表关系：设该商品的销售价为x元，销售量为y件，估计：当时，y的值为（   ） 销售价/元 90 100 110 120 130 140 销售量/件 90 80 70 60 50 40 A．85 B．75 C．65 D．55 【答案】C 【分析】本题主要考查了函数的表示方法，该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，据此求解即可． 【详解】解：由图表可以看出该商品的销售价每增加10元，销售量就减少10件，即该商品的销售价每增加1元，销售量就减少1件， 由110到115售价增加5元，则销售量减少5件， ∴当时，． 故选：C． 跟随训练6-3．某书定价8元，如果一次购买10本以上，超过10本部分打八折，那么付款金额y与购书数量x之间的函数关系如何，同学们对此展开了讨论： （1）小明说：y与x之间的函数关系为； （2）小刚说：y与x之间的函数关系为； （3）小聪说：y与x之间的函数关系在时，；在时，； （4）小斌说：我认为用下面的列表法也能表示它们之间的关系； 购买量/本 1 2 3 4 … 9 10 11 12 … 付款金额/元 8 16 24 32 … 72 80 86.4 92.8 … （5）小志补充说：如图所示的图象也能表示它们之间的关系． 其中，表示函数关系正确的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查函数的表示方式以及用函数关系式表示两个量之间的关系，根据题意可知关系应该分为两部分，购买10本及10本以下、购买10本以上2部分分析求解． 【详解】解：∵定价8元，一次购买10本以上，超过10本部分打八折， ∴y与x之间的函数关系在时，；在时，； ∴（1）（2）说法错误，（3）说法正确； 由（4）中表格可以得到，购买10本及10本以下单价为8元，购买10本以上，超过部分打八折， ∴表达两个量之间的关系， （5）中的函数图象是一个分段函数，可以表达这两个量之间的关系， 综上，表示函数关系正确的个数有（3）（4）（5），共3个， 故选：C． 【题型7 函数解析式】 解题方法： 根据题意找等量关系，设自变量和函数，列出关系式并化简；实际问题需标注自变量取值范围。 【典例7】．一只机器狗以的平均速度在路面上行走，则它所走的路程与所用的时间之间的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了根据实际问题列函数解析式的能力，关键是能根据实际问题间数量关系准确列式． 根据路程＝速度×时间，列出关系式即可． 【详解】解：∵路程＝速度×时间， ． 故选：D． 跟随训练7-1．如图，一农户要建一个长方形牛舍．牛舍的一边利用围墙，另外三边用米长的建筑材料围成．为方便进出，在边上留一扇米宽的门．若设的长为米，的长为米，则与之间的函数关系式是 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查列函数关系式，根据几何关系可得，从而得到答案． 【详解】解：根据题意得， ∴，即， 故选：C． 跟随训练7-2．“人间四月芳菲尽，山寺桃花始盛开”，证明温度随着海拔的升高而降低，已知某地面温度为，且每升高1千米温度下降，则距离地面高千米处的温度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查列函数关系式．某地面温度为，且每升高1千米温度下降，据此列出温度与高度的关系． 【详解】解：∵某地面温度为，且每升高1千米温度下降， ∴距离地面h千米处的温度t为． 故选：C． 跟随训练7-3．油箱中有油，油从管道中匀速流出，1小时流完．油箱中剩余的油量与油流出的时间之间的函数解析式和自变量取值范围正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求函数解析式，理解题意是解答的关键． 先求出油量减少的速度为，再根据初始油量，列出函数解析式，再根据流完需1小时即可得t取值范围． 【详解】解：∵ 油匀速流出， ∴ 流出的油量， ∴ 剩余油量． ∵ 流完需， ∴ t的取值范围为． 故选：A． 【题型8 求自变量取值范围】 解题方法： 按“整式→全体实数；分式→分母≠0；根式→被开方数≥0；实际问题→符合意义”规则，联立求解。 【典例8】．函数的自变量x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分式有意义的条件，即分母不能为0． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， ∴． 跟随训练8-1．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，核心依据是分式的分母不能为0的性质，根据分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：∵分式的分母不能为0， ∴， ∴， ∴函数的自变量的取值范围为． 故选：A． 跟随训练8-2．函数中，自变量的取值范围选取正确的是（　　） A．取全体实数 B．取的实数 C．取的实数 D．取的实数 【答案】A 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围． 无论x取何值，函数解析式均有意义，即取全体实数． 【详解】解：∵无论x取何值，函数解析式均有意义， ∴取全体实数． 故选：A． 跟随训练8-3．函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量的取值范围．根据分母不为零列出不等式求解即可． 【详解】解：由得， 故选：A． 【题型9 求自变量的值或函数值】 解题方法： 求函数值：将自变量值代入解析式，计算结果； 求自变量值：将函数值代入解析式，解方程。 【典例9】．变量与的关系式为，当时，的值为（   ） A．6 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查已知自变量的值求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键．将 代入关系式直接计算即可． 【详解】解：当时， ． 故选：A． 跟随训练9-1．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其表达式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数关系式，熟练运用性质是解题的关键； 自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A、将代入函数得，，即函数值减少2，符合题意； B、将代入函数得，，即函数值增加2，不符合题意； C、将代入函数得，，即函数值减少1，不符合题意； D、将代入函数得，，即函数值的变化量为，不符合题意； 故选：A． 跟随训练9-2．已知某函数的自变量与函数的几组对应值如下表： … 0 3 5 … … 5 9 5 … 则可以表示以上变化过程的函数解析式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查函数表示法，通过代入给定的x值计算y值，验证哪个函数解析式匹配所有对应值. 【详解】解：A、当时，，故此函数解析式不符合题意； B、当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； 当时，，符合； C、当时，故此函数解析式不符合题意； D、当时，，故此函数解析式不符合题意． 故选：B． 跟随训练9-3．已知函数，当时，的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求函数值．把代入函数解析式，即可求解． 【详解】解：当时，． 故选：C 05 过关•检测 1．下列关系式中，y不是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据函数的定义判断，若对于的每一个确定值，都有唯一确定的值与之对应，则是的函数，否则不是，据此分析即可． 【详解】解：A选项：，符合函数的定义，故不符合题意； B选项：，符合函数的定义，故不符合题意； C选项：，符合函数的定义，故不符合题意； D选项：，当时，对于一个确定的的值，都有两个值与之对应，故y不是x的函数，故符合题意． 故选：D． 2．下列曲线中，表示y是x的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义解答即可，在一个变化过程中，给出一个x的值，y有唯一的值与之相对应，此时y叫做x的函数． 【详解】解：由B，C，D中的曲线可知，存在当x取一个值时，对应的y有不唯一的值，所以不符合题意，而A中满足对于x的每一个取值，y都有确定的值与之对应，所以A符合题意． 3．某款汽车紧急刹车后滑行的距离s（单位：）大致满足，其中v（单位：）表示刹车前汽车的速度，这个关系式中的自变量和因变量分别是（    ） A．300；s B．s；300 C．s；v D．v；s 【答案】D 【分析】自变量是主动变化的量，因变量是随自变量变化而变化的量，据此判断即可． 【详解】解：∵在关系式中，刹车前汽车的速度是主动变化的量，滑行距离随的变化而变化， ∴自变量是，因变量是． 4．在圆的周长公式中，下列关于变量、常量的说法正确的是（  ） A．、、均是变量，2是常量 B．和是变量，2和是常量 C．是变量，2，和是常量 D．是变量，是常量 【答案】B 【分析】本题考查常量与变量的定义，关键是明确在变化过程中，常量是数值固定不变的量，变量是数值可以发生变化的量．在圆的周长公式中，2是固定系数，是圆周率，二者数值固定不变，属于常量；半径可取不同值，对应的周长会随之改变，故和是变量，据此可判断正确选项． 【详解】解：根据常量与变量的定义，在中，2和是固定不变的量，为常量；随的变化而变化，因此和是变量． 故选：B． 5．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D．且 【答案】C 【分析】本题考查分式自变量的取值范围及分式有意义的条件，根据分式有意义的条件（分母不为）列不等式求解即可． 【详解】解：∵分式有意义的条件是分母不为， ∴， 解得：， ∴自变量的取值范围是． 故选：C． 6．已知变量之间的关系式为，当时，的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了已知自变量的值求函数值，将代入求解即可． 【详解】解：将代入关系式得，， 所以y的值为3， 故选：B． 7．在《神奇的加密术》中，一种加密规则如下：将英文字母对应的数字（，，···，）记为x，加密后的数字y满足“”；若，则将y减去27得到新结果．若结果为0，则对应字母Z；否则，将所得结果（y或新结果）对应为英文字母．图为英文字母和数字的对应表： 字母 A B C D E F G H I J K L M 数字 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 字母 N O P Q R S T U V W X Y Z 数字 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 示例：原字母“D”（），加密得，对应字母“I”．现有字母“”，则加密后的字母是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了求函数值，分别计算字母“L”和“R”加密后的结果，再组合即可． 【详解】解：∵字母“L”对应数字， ∴，对应字母“Y”； ∵字母“R”对应数字， ∴， ∴，对应字母“J”； ∴加密后为“”． 故选：A． 8．国庆节期间，小明跟爸爸妈妈一起自驾去外地旅游，出发前将油箱加满油．如表记录了轿车行驶的路程与油箱剩余油量之间的部分数据： 轿车行驶的路程 0 150 300 450 600 … 油箱剩余油量 60 48 36 24 12 … 下列说法中①该车的油箱容量为；②该车每行驶耗油；③当轿车行驶的路程为时，油箱中剩余油量；④油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为其中正确的有（ ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，找到变量的变化规律是解题的关键． ①根据时对应的y值判断即可； ②根据变量的变化规律判断即可； ③根据“油箱剩余油量=加满油后油箱内的油量-消耗的油量”计算即可； ④根据变量的变化规律写出y与x之间的关系式即可． 【详解】解：当时，， 该车的油箱容量为， ①正确，符合题意； 由表格可知，轿车行驶的路程增加，油箱剩余油量减小，即该车每行驶耗油为：， ②正确，符合题意； 由②知，每耗油， 耗油，则油箱中剩余油量为：， ③不正确，不符合题意； 该车每行驶耗油为，油箱容量为， 油箱剩余油量与行驶的路程之间的关系式为， ④正确，符合题意； 故选：C． 9．函数，当时，的取值范围是___________． 【答案】 或 【分析】本题考查了求自变量的取值范围，根据题意得到关于的不等式组是解题的关键． 根据题意得，变形可得到，再根据分子分母同号或分子为零，且分母不为零列不等式组求解即可． 【详解】解：由得：， 移项得， 通分得，即 ， 或， 或． 故答案为：或． 10．已知函数，则当函数值为8时，自变量的值为_____． 【答案】5或 【分析】本题考查了求自变量的值，将代入分段函数的两个分支，分别求解的值，并验证是否满足对应的定义域条件，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：当时，函数为，代入可得， 解得：； 当时，函数为，代入可得， 解得：（不符合题意，舍去）或； 综上所述，自变量的值为5或， 故答案为：5或． 11．根据如图所示的程序计算的值．已知当输入的值是4和7时，输出的值相等，则等于____________． 【答案】 【分析】此题考查了函数值，用关系式表示变量间的关系，弄清程序中的关系式是解本题的关键． 把与代入程序中计算，根据值相等即可求出的值． 【详解】解：当时，， 当时，， 由题意得：， 解得：， 故答案为：． 12．如图，第1个图形中有4个三角形，第2个图形中有8个三角形，第3个图形中有12个三角形……第个图形中有个三角形，且是的函数，则与之间的函数关系式为______．（无需写出自变量的取值范围） 【答案】 【分析】本题考查的是列函数关系式及图形的变化规律，根据图形的排列、归纳图形的变化规律是解答本题的关键．由图形可知第1个图案有个三角形，第2个图案有个三角形，第3个图案有个三角形．．．以此类推即可解答． 【详解】解：由图形可知： 第1个图形中有个三角形， 第2个图形中有个三角形， 第3个图形中有个三角形， ．．．， 第n个图案有个三角形， ∴． 故答案为：． 13．今年，果农小林家的刺梨喜获丰收．在销售过程中，刺梨的销售额y（元）与销量x（千克）满足如下关系： 销量x/千克 1 2 3 4 5 6 7 8 销售额y/元 3 6 9 12 15 18 21 24 (1)上表这个关系中，自变量是_______； (2)刺梨的销售额y与销量x之间的函数解析式为_______； (3)当刺梨的销量为50千克时，销售额是_______元． 【答案】(1)销量x (2) (3)150 【分析】本题重点把握函数的表示的方法---解析法： （1）（2）根据表格即可求解；（3）把代入函数解析式求解即可． 【详解】（1）解：上表这个关系中，自变量是销量x； （2）解：由表格可得； （3）解：当刺梨的销量为50千克时，销售额是（元）． 14．物流公司在一条东西向的轨道上有两个货仓，货仓B在A东面处．1号智能无人运输车从货仓A向东出发，先匀速行驶，然后在停下来分拣货物，后继续以原速行驶；2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶，两车均在行驶15min后到达各自的终点．设运动时间为（单位：min），记录仪记录1号车，2号车与货仓A的距离的部分数据如下： 运动时间 0 1 3 5 8 9 10 12 15 1号车与货仓A的距离（单位：） 0 10 30 80 80 100 2号车与货仓A的距离（单位：） 10 18 50 74 82 90 130 请根据以上信息和数据，解决下列问题： (1)表中___________，2号车的速度为___________； (2)求2号车与A货仓的距离为时的值． 【答案】(1)50，8； (2) 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，用表格表示变量之间的关系． （1）根据表格数据求解即可． （2）根据题意列出关于t的一元一次方程，求解即可得出答案． 【详解】（1）解：根据表格数据可知，当时，1号车与货仓A的距离， 当时，1号车与货仓A的距离， 则1号智能无人运输车在之前的速度为， 则当时，1号车与货仓A的距离． 即． ∵2号智能无人运输车从货仓B向东出发，全程匀速行驶， ∴2号车的速度为：， 故答案为：50，8； （2）解：由题意，得， 解得． 2号车与A货仓的距离为时的值为． 15．材料：我国墨脱水电站选址于世界水能最富集的雅鲁藏布江大峡谷段，年发电量约亿，相当于三个三峡水电站，是我国又一个超级工程． 探究学习：小亮通过查阅资料知道以下信息：墨脱水电站的某小型引水坝内的水体可视为长方体，其底面积为．某一次注水前的水位高度为，注水时的水位高度y（单位：m）与时间x（单位：h）有下面的关系： 时间 0 1 2 3 … 水位高度 8 13 18 23 … (1)根据表中数据呈现的规律解决问题：当注水时间达到时，引水坝内的水位高度是_____________； (2)在这个问题中，_____________是变量，_____________是常量； (3)请用含x的代数式表示y； (4)已知引水坝内的水可以发电约，若引水坝内所有水的发电量记为W，请用含有x的代数式表示W，并求出当时的发电量． 【答案】(1) (2)注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时 (3) (4)； 【分析】本题考查变量与常量的概念，写函数关系式，求函数值，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据表格数据发现水位每小时增加5米，进行求解即可； （2）根据变量与常量的定义进行判断； （3）由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：每小时增加5米，且初始高度为8米， 据此可写出y与x的关系式； （4） 先根据底面积和水位高度求出水的体积，再根据单位体积发电量得到总发电量W关于x的表达式，最后代入求值． 【详解】（1）解： 由表格数据可知，每经过1小时，水位高度增加5米， 注水时间达到时，水位高度米． 故答案为：； （2）解：在这个问题中，注水时的水位高度y米与时间x小时是变化的量，因此它们是变量； 引水坝的底面积，水位每小时增加的速度5米/小时，初始水位为8米，是固定不变的量，因此是常量． 故答案为：注水时的水位高度y米与时间x小时；小型引水坝的底面积，注水前的水位高度8米，水位每小时增加的速度5米/小时； （3）解： 由表格数据可知，水位高度米随时间小时的变化规律为：水位高度每小时增加5米，且初始高度为8米， ∴； （4）解：引水坝内水的体积， 已知每立方米水可发电约， 则总发电量， 当时，， 答：，当时发电量为． 16．6月4日7时许，嫦娥六号将五星红旗在月球背面成功展开．该国旗是科研人员通过一年多时间攻关，利用玄武岩熔融拉丝技术制作而成的，具有更强的耐腐蚀性，耐高温，耐低温等优异性能．现科研人员将一块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，数据记录如下表所示： 圆柱的底面积 … 1.0 0.8 0.6 0.4 0.2 0.1 … 圆柱的高 … 24 30 40 60 120 240 … (1)在这个变化过程中，自变量是_____，因变量是_____； (2)当圆柱的底面积为时，圆柱的高是_____； (3)根据上表反映的规律写出锻造过程中圆柱的高与底面积之间的关系式，并标注自变量取值范围：_____； (4)科研人员将这块粉碎熔融的圆柱体玄武岩材料进行锻造拉丝，拉丝后的圆柱体底面直径是头发丝直径的三分之一，然后把它纺成线，织成布，从而制作成五星红旗．已知头发丝的直径是，请你计算说明这块圆柱体玄武岩材料能纺线多少cm?（结果保留π） 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查函数的概念与实际应用，求函数的表示式，以及根据表达式求函数值，正确的求出函数的表示式是解题的关键． （1）根据当圆柱的底面积由大到小变化时，圆柱的高也随之发生了变化，可得自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高； （2）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出答案； （3）根据表格数据可知，与的乘积始终为，即可求出圆柱的高与底面积之间的关系式为：； （4）先求出圆柱体底面半径，再根据体积不变计算即可． 【详解】（1）解：由题意得，在这个变化过程中，自变量是圆柱的底面积，因变量是圆柱的高． 故答案为：， ． （2）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以当圆柱的底面积为时，圆柱的高是． 故答案为：． （3）解：根据表格数据可知，与的乘积始终为， 所以圆柱的高与底面积之间的关系式为：． 故答案为：． （4）解：由题意得，拉丝后的圆柱体底面半径， 体积， ． 答：这块圆柱体玄武岩材料能纺线． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $