16.1 变量与函数&16.2 函数的图象（高效学习日日优）-【名师学案】2025-2026学年八年级下册数学分层进阶学习法（华东师大版·新教材）

第16 16 名师讲坛 01要点领悟 (1)“常量”是已知数，是指在 整个变化过程中保持不变的量， 不能认为式中出现的字母就是变 量，比如π (2)判断函数关系的方法： ①看是不是一个变化过程：②在 这个变化过程中是不是有两 个变量；③看其中一个变量每取 一个确定的值，另一个变量是否 有唯一确定的值与它对应. (3)在确定实际问题的关系 式时，一定不能忽视自变量 的取值范围，既要使函数关系式 有意义，还必须使实际问题 有意义· 02方法技巧 确定函数的关系式的步骤： (1)找：认真审题，根据题意找出 两个量之间的相等关系； (2)写：根据相等关系写出含有两 个变量的等式： (3)变：将等式变形为用含自变量 的式子表示函数的形式： (4)定：确定自变量的取值范围. 章 函数及其图象 1 变量与函数 堂清练习 1.甲以每小时10km的速度行驶时，他所走过的路程 s(km)与时间t(h)之间可用公式s=10t来表示，则 下列说法正确的是 () A.数10和s,t都是变量 B.s是常量，数10和t是变量 C.数10是常量，s和t是变量 D.t是常量，数10和s是变量 2.下列关系式中，y不是x的函数的是 A.y=3x+1 B.y=2 C.y=-2x D.y=x 3.在函数y一3中，自变址工的取值范围是 4.函数y=√x一2中，自变量x的取值范围是 5.已知函数y=-3x-4,当x=-9时，y的值是 6.综合实践小组探究香燃烧时剩余长度y(cm)与燃烧 时间x(min)的关系.下面的表格是他们实验过程中 的相关数据，请利用表格中的信息解答下列问题： 燃烧时间x/min 0 5 10 15 剩余长度y/cm 20 16 12 8 (1)根据表中信息可知，自变量是燃烧时间，因变量 是 (2)当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是多少？ 7 16.2函数的图象 16.2.1 平面直角坐标系 堂清练习 名师讲坛 1.下列选项中，平面直角坐标系的画法正确的是( 01要点领悟 (1)平面内的点的坐标是有 序实数对，“先横后纵”，横、纵坐 A B D 标不能颠倒，如当a≠b时，点 2.(1)在平面直角坐标系中，点P(6,一1)所在的象限 A(a,b)与点B(b,a)不表示同一 是 点，即平面直角坐标系中的点和 A.第一象限 B.第二象限 有序实数对是一一对应的 C.第三象限 D.第四象限 (2)在平面直角坐标系中，下列各点位于第二象限的 第二象限 第一象限 (-,+)0 （+,+) 是 第三象限 第四象限 A.(2,-3) B.(-3,-2) (-,-) （+,-) C.(-2,3) D.(3,2) (2)设P(x,y),则点P关于 3.在平面直角坐标系中，点P(2,一3)关于x轴对称的 x 轴、y轴、原点对称的点的坐标 点P'的坐标是 () 分别为(x,一y),( 一x A.(-2,-3)B.(-2,3)C.(2,-3) D.(2,3) y),(-x,-y). 4.点P(一1,5)位于第 象限，到x轴的距离为 02易错警示 ,到y轴的距离为 易错点因考虑问题不全面致错 5.如图，点B,C的坐标分别为B(一1，一2)和C(1, 【例】点P(a-2,2a+8)到x轴，y 一1)，请你在图中建立一个适当的平面直角坐标系， 轴的距离相等，则点P的坐标是 并写出点A,D,E,F,G的坐标. (C) A.(-4,4) B.(-12,-12) C.(-4,4)或(-12，-12) D.(4,4)或(-12，-12) 【点拨】由题意可知点P的纵坐标 的绝对值等于横坐标的绝对值， 构建一元一次方程解答. 8 16. 名师讲坛 01要点领悟 (1)用描点法作函数图象的 一般步骤：列表，描点，连线 (2)从图象中获取信息的方 法：这是研究函数性质的一种重 要方法，从函数图象中分析变量 间的数量关系时，首先要明确坐 标轴所表示的含义，读懂图象上 的关键点的意义，分析图象上升、 下降的实际意义，然后利用相关 的等量关系进行转换，得出相关 的结论。 02典例导学 【例】吴老师家、公园、学校依次在 同一条直线上，家到公园、公园到 学校的距离分别是400m,600m. 他从家出发匀速步行8min到公 园后，停留4min,然后匀速步行 6min到学校，设吴老师离公园的 距离为y(单位：m),所用时间为 x(单位：min),则下列表示y与x 之间函数关系的图象中，正确 的是 (C) y y 1000 600 400--不 400B 081218x O81218x A B y y 1000 600--------7 600F- 400 081218x 081218x C D 2.2函数的图象 堂清练习 1.函数y=3x十1的图象一定经过 ( A.(3,5) B.(-2,3)C.(2,7) D.(4,10) 2.天天盛了大半盆清水，把一个西瓜放入水中清洗，溢 出一些水，洗干净后再把西瓜捞出.下面能正确反映 出盆中水深的变化情况的图是 () 水深 水深 水深 +水深 时间O 时间O时间O 时间 A B O D 3.A(-3,8) (填“在”或“不在”)函数y=一2x 一6的图象上，若点B(a,a十1)在这个函数的图象 上，则a= 4.小明从家跑步到学校，接着 W米) 800 马上原路步行回家.如图是 小明离家的路程y(米)与时 5分) 间t(分)的函数图象，则小明 回家的速度是每分钟步行 米 5.如图是某地某一天的气温随时间的变化而变化的图 象，请根据图象回答： (1)这一天 时气温最低，最低气温是 ℃； 时气温最高，最高气温是 ℃. 温度（℃） 10 6 可八2/4681012141618202224时间（时 (2)这一天的最大温差是 ℃ (3)请你描述一下这一天气温随时间的变化情况： 9方形2.解：(1)②BE=DG②60°(2)由条件可知四边形ABCD和 AEFG均为正方形，∴.∠EAG=90°，AE=AG,∠AEG=∠AGE=45°.由条 件可知AH=EH=GH=2EG,.EG=2AH.:DE+EG=DG =BE.同(1)可证△BAE≌△DAG(SAS)..BE=DG,∠AEB= ∠AGE=45°...BE=DE+2AH.∠BEG=∠AEB+∠AEG= 90°...∠BED=90°： (3)补图如图：AH,DE,BE之间的关为：DE=BE+2AH,∠BED=90° 第三部分高效学习日目优 第15章分式 15.1分式及其基本性质 15.1.1分式 1.B2.C3.A4.(1)2(2)=-55.②⑤⑥⑧①③④⑦ 6.①)解：≠-2.(2)解：x≠ 15.1.2分式的基本性质 1.D2.B3.A4.6xy5.(1)解：原式=y 3x1 (2)解：原式= (a-1)2 a-1 3 3bc a-b2a(a-b) (a+1)(a-1)a+1' 6.(1)解：2db2abc'abc2ac 2 2(x+1) 1. (2)解：z-xx(x十1)(x-1)'2-1x(x十1)(xD 15.2分式的运算 15.2.1分式的乘除 1.D2.B3.C4.A5.a26.(1)解：.a十b一3=0，，.a十b=3∴.原式 -4a480=aD=4=是.(2)解：原式=at)a3》。 (a+b)2 (a+b)2a+b3· (a-2)2 aa·。g。二当a-1时原武马 1 21-2=-1. 15.2.2分式的加减 1.A2.A3.C4.A5.x6.(1)解：原式-3y 2 (2)解：原式=a十b. (3)解：原式-4 a+1 15.3可化为一元一次方程的分式方程 1.D2.D3.D4.一15.26.解：设小李平均每小时掰玉米x筐，则小 张平均每小时掰玉米(x十2)筐.根据题意，得36。=30，解得r=10,经检 x+2 x 验，x=10是所列方程的解，且符合题意.答：小李平均每小时掰玉米10筐. 15.4零指数幂与负整数指数幂 15.4.1~15.4.2零指数幂与负整数指数幂和科学记数法 1A2C3C4A5-561)解：原式=1++9+3=13 (2)解：原式=石 第16章函数及其图象 16.1变量与函数 1.C2.D3.x≠34.x≥25.一16.解：(1)剩余长度(2)根据表格 时间每增加1min,长度减少0.8cm,'.当时间为20分钟时，香剩余的长度 为20一0.8×20=4(cm).答：当燃烧时间为20分钟时，香剩余的长度是4 cm. 16.2函数的图象 16.2.1平面直角坐标系 1.B2.DC3.D4.二51 ↑y 5.解：B(-1,一2)和C(1,一1)，∴.建立平面直角坐 标系，如图.∴.A(一3，一1)，D(一3,2)，E(4,1),F(1, D 3),G(-1,3). 27 16.2.2函数的图象 、7 1.C2.D3.不在-34.805.解：(1)2-21210(2)12(3) 0时到2时和12时到24时的气温不断下降；2时到12时的气温不断升高. 16.3一次函数 16.3.1一次函数 1.A2.B3.-24.y=10+0.3xx为自然数5.y=10000+150x 6.解：(1)y=105-10t;(2)当y=0时，即105-10t=0时t=10.5,所以该盘 蚊香可使用10.5h. 16.3.2一次函数的图象 1.D2.B3.D4.3<m<45.(9,0)(0,-3)6.解：(1)一次函数 y=(6+3m)x十n一4的图象过原点，∴.6+3m≠0，且n一4=0，解得，m≠ 2,n=4;(2),由题意得6+3m>0,且n-4>0,解得m>-2,n>4. 16.3.3一次函数的性质 1.B2.C3.B4.x25.解：(1)m<-2;(2)m4且m≠-2；(3)-2 m4. 16.3.4求一次函数的表达式 1.A2.C3.24.y=2x-35.解：(1)把A(1,6),B(-3,-2)代入y 红十6，得到位论-分一2.解得么至所以直线AB的表达式为y=2x十 4:(2)直线AB与y轴的交点坐标为(0,4)，所以△AOB的面积=号X4×3 +2×4×1=8. 16.4反比例函数 16.4.1反比例函数 1.B2.D3.C4-号5.-36,300 是7.解：(1)由题意，得y= k k 把x=2y=一1代人，得-1=21解得k=一1心y与x之间的函 数关系式为y=己2)当x=一2时y=-1=1 16.4.2反比例函数的图象和性质 1.A2.C3.a<c<b4.二、四2（答案不唯一）5.解：(1)图象的另一 支在第四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大.(2)a<3(3)> 16.5实践与探索 第1课时一次函数与一次方程（组）、不等式 1.C2.C3.(3,0)4.x=-15.解：(1)：点(2，b)在直线y=x十1上， 2+1=6.解得6=3.（2)子(32>2 第2课时一次函数、反比例函数的应用 1.B2.83.解：1)小王从乙地返回到甲地所用的时间为4h,(2)由图象 可知小王出发6h后在返回途中，设DE所在直线的表达式为y=kx十b(k ≠0)，由图象可得+日80，解得合4260：DE所在直线的表达式为 y=-60x十420.当x=6时，y=-60×6十420=60(km),∴.小王出发6h后 距甲地60km. 第17章平行四边形 17.1平行四边形的性质 第1课时平行四边形边、角的性质 1.A2.D3.64°116°60°120°4.证明：：四边形ABCD是平行四 边形，.AD=BC,AD∥BC.∠DAF=∠BCE.又BE⊥AC,DF⊥AC, ∠AFD=∠CEB=90°..△AFD≌△CEB(AAS)..∴.BE=DF. 第2课时平行四边形边、角的性质的运用 1.B2.C3.C4.305.证明：，四边形ABCD是平行四边形.AD∥ BC,AD=BC.∴.∠ADF=∠CBE.BF=DE,∴.BF+BD=DE+BD.即 (AD=BC. DF=BE.在△ADF和△CBE中，∠ADF=∠CBE, DF=BE, ∴.△ADF≌△CBE(SAS).∴.∠AFD=∠CEB..∴.AF∥CE. 28