专题8.1 条件概率（高效培优讲义）数学苏教版高二选择性必修第二册

该高中数学讲义以条件概率为核心，通过知识框架图系统梳理条件概率定义、性质、乘法公式及全概率公式、贝叶斯公式的内在逻辑，用韦恩图直观呈现条件概率公式推导过程，结合表格对比条件概率与独立性的关系，突出条件概率计算和全概率公式应用的重难点。 讲义亮点在于分层练习设计，如“即学即练”针对基础概念，“典例+变式”强化全概率公式在实际问题中的应用，通过“缩小样本空间法”培养逻辑推理素养，结合“感冒用药治愈概率”等实例发展数学运算能力。不同难度题目满足分层需求，助力教师精准教学，提升学生自主复习效率。

专题8.1 条件概率 教学目标 1．结合古典概型，了解条件概率的定义，能计算简单随机事件的条件概率． 2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式、全概率公式计算概率． 3.通过条件概率的计算以及将较复杂事件的概率转化为较简单事件的概率的过程，感受化整为零、转化化归思想，通过韦恩图理解条件概率的计算公式、全概率公式，发展直观想象素养． 4．通过条件概率公式的推导及运用、用互斥事件概率的加法公式和概率的乘法公式推导全概率公式以及运用全概率公式计算概率，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 条件概率定义的理解及计算；全概率公式的理解及运用． 2.难点 条件概率定义的理解及计算；全概率公式的理解及运用． 知识点01 条件概率 1．条件概率 设古典概型的样本空间为Ω，事件A所含样本点的集合为S1，事件B所含样本点的集合为S2，事件AB所含样本点的集合为S3(如图所示), 则有 P(A)＝＝， P(AB)＝. 因此，事件A发生的条件下事件B发生的概率是 ＝＝. (1)条件概率的定义： 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 注意：(1)公式仅限于P(A)＞0的情况，当P(A)＝0时，我们不定义条件概率； (2)在竖线“︱”之后的部分表示条件，须区分P(B|A)与P(A|B)，P(A|B)与 P(AB)． (P(B|A)表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，而P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，无附加条件．P(A|B)与P(B|A)不一定相等) (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 同样有，当P(B)＞0时，P(AB)＝P(A|B)P(B)． 意义：两事件乘积的概率等于其中某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率. 【即学即练】 1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】分别算出，，结合公式即可求解. 【解析】同时投掷两枚质地均匀的骰子，设两枚骰子投出的点数构成有序数对，则总共有种可能， 所以事件包含的样本点个数有个， 所以， 事件包含的基本事件有：， 所以， 所以. 故选：A. 2．（多选）已知甲、乙两枚互不影响的骰子均能等概率掷出自然数1—6，某一次随机抛出这两枚骰子，记事件甲、乙掷出的点数和为6；事件甲掷出的点数为奇数，则：（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】应用列举法求得、、，结合条件概率公式、概率的性质判断各项的正误. 【解析】 (甲,乙) 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 A：由表格知种情况，总共种情况，则，A正确； C：由表格种情况，种情况，则，C正确； B：由上，则，B错误； D：由，D正确. 故选：ACD 知识点02 全概率公式 1.全概率公式： 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中的重要公式，理解此公式应注意以下几点： (1) A1, A2, …， An是伴随事件B发生的事件组，且满足三个条件：①A1, A2, …， An两两互斥；②A1＋A2＋ … ＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0.尤其要注意第②条，必须满足第②条才能称为“全”(概率公式)． (2) 公式的直观解释：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(即前提条件)，事件B发生的概率，就是各种可能情形Ai发生的概率与已知在Ai发生的条件下事件B发生的概率的乘积之和． (3) 在实际问题中，有时很难直接求得事件B发生的概率，我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B(B＝BA1＋ BA2＋…＋ BAn, n＝3时的情形如图2所示)，从而借助全概率公式间接求出事件B发生的概率. 图2 2.全概率公式的意义： 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 【即学即练】 1．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，利用全概率公式即可求解. 【解析】设随机从这几盒药物里选择一盒，取到金花清感颗粒为事件，取到莲花清瘟胶囊为事件，取到感冒灵颗粒为事件，感冒被治愈为事件， 则，，， ，，， 所以感冒被治愈的概率为 ． 故选：D. 2．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 【答案】0.7 【分析】先由题意分别求出第一天入住无人酒店和第一天入住常规酒店后第二天还入住无人酒店的概率，再由全概率公式即可求解所求概率. 【解析】设第一天入住无人酒店为事件，第一天入住常规酒店为事件，第二天入住无人酒店为事件B， 则由题意可得， 所以由全概率公式可得该游客第二天入住无人酒店的概率为. 故答案为：0.7. 知识点03 贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 注：贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 【即学即练】 1．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据全概率公式找出，再由贝叶斯公式求解. 【解析】记取到“第1，2，3台车床加工的零件”分别为事件, “取到次品”为事件， 故, , 由全概率公式可得：, 由贝叶斯公式：, 故选:B. 2．5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球来自1号袋中的概率为为 . 【答案】 【分析】根据贝叶斯公式即可求解. 【解析】设“取到第号袋子”，， “取到白球”， 根据题意得， ，， 由贝叶斯公式得， ． 所以这个球来自1号袋中的概率为． 故答案为： 题型01 利用条件概率公式计算 【典例1】（1）已知随机事件、满足，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据条件概率公式，结合和事件概率公式进行求解即可. 【解析】因为， 所以有， 因此， 故选：A. （2）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据条件概率公式，即可求得答案. 【解析】由题意可得， 表示事件“两次取出的球均是红球”，则， 故， 故选：D. 计算条件概率的两种方法： (1) 公式法：①用字母A,B表示事件；②分别计算概率P(AB)和P(A)；③利用条件概率公式P(B|A)＝求概率． (2) 缩小样本空间法：①原来的样本空间Ω缩小为事件A；②原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB；③利用古典概型概率公式P(B|A)=求概率． 【变式1】已知事件和满足，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用概率的乘法公式求出的值，再利用条件概率公式可求得的值. 【解析】由概率的乘法公式可得， 由条件概率公式可得. 故选：B. 【变式2】已知随机事件、，，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用条件概率公式可得出的值，进而可求得的值，再由可求得结果. 【解析】因为，，，所以， 由条件概率公式可得， 因此. 故选：C. 【变式3】饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 【答案】 【分析】由条件概率的计算公式进行求解. 【解析】记事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到1个含有硬币的饺子”， 事件为“小江随机夹的3个饺子中吃到2个含有不同特殊馅的饺子”， 所以， 所以． 故答案为： 【变式4】某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可解； （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C，由古典概型概率公式求出，，然后由条件概率公式可得. 【解析】（1）从7名成员中挑选2名成员，共有种情况， 记“男生甲被选中”为事件A，所包含的基本事件数为种，故. 记“男生甲被选中”为事件A，“女生乙被选中”为事件B，则， 故. （2）记“挑选的2人一男一女”为事件C， 事件C所包含的基本事件数为种， 由（1），则，则， 故. 题型02 条件概率性质的应用 【典例1】（1）已知随机事件，，，，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用条件概率公式及已知可得、，再由全概率公式及对立事件概率关系求. 【解析】由且，故， 由，故， 由于，则， 故． 故选：B （2）在一个袋子中装有10个球，其中1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，从中依次摸出2个球，则在摸出的第一个球为红球的条件下，摸出的第二个球为黄球或黑球的概率为 ． 【答案】 【分析】设“摸出的第一个球为红球”为事件，“摸出的第二个球为黄球”为事件，“摸出的第二个球为黑球”为事件．解法一：利用条件概率及古典概型的概率公式计算可得； 解法二：先求出，，再由古典概型的概率公式计算可得. 【解析】解：设“摸出的第一个球为红球”为事件，“摸出的第二个球为黄球”为事件，“摸出的第二个球为黑球”为事件． 解法一：，，． ∴，． ∴． ∴所求的条件概率为． 解法二：∵，， ∴． ∴所求的条件概率为． 故答案为： 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件拆分成两个(或多个)互斥的较简单事件的和，分别求出这些简单事件的概率，再利用性质P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)即可求解． 【变式1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据概率的性质以及条件概率公式即可判断ABC；举例判断D. 【解析】对于A，由于，则，A正确； 对于B，由于，，而，不一定相等，故不一定成立，B错误； 对于C，当相互独立时，，而，则，C错误； 对于D，不妨举例抛掷一枚质地均匀的骰子，设A：向上点数为偶数，B：向上点数不小于4， 则，，则，D错误， 故选：A. 【变式2】（多选）已知，，则下列式子不成立的是（  ） A.； B.； C.； D.. 【答案】ACD 【分析】利用条件概率公式及概率性质辨析 【解析】A若则，故，故A错误； B因为所以所以B正确； C若或则故C错误； D若或则故D错误. 故选：ACD 【变式3】（多选）下列说法不正确的是（  ） A． B．是可能的 C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件概率公式及性质相关知识即可求解. 【解析】由条件概率公式及知,故A错误； 当事件包含事件时,有,此时，故B正确； 由于，，故C，D错误. 故选：ACD. 题型03 利用全概率公式求概率 【典例1】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 【答案】 【分析】应用全概率公式计算求解. 【解析】记事件为“第1球投进”，事件为“第2球投进”， ，，， 由全概率公式可得 . 故答案为：. 利用全概率公式的分析： (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【变式1】有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题意及全概率公式可得答案. 【解析】依题意，设事件为“零件为第i台车床加工”（1，2，3），事件B为“零件为次品”. 由全概率公式： . 故选：A. 【变式2】盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B，根据题意可得，结合全概率公式运算求解. 【解析】设第一次取到黑球为事件A，第二次取到黑球为事件B， 则， 所以. 故选：C. 【变式3】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为_________ 【答案】 【分析】先设出事件，依题分别求出和，和，利用全概率公式计算即可. 【解析】设事件为“丙从箱中抽取的2道题中至少有一道代数题”， 事件为“乙从箱中取出2道代数题”，则， 事件为“乙从箱中取出1道代数题和1道几何题”，则， 事件为“乙从箱中取出2道几何题”，则， 当发生时，箱中有5道代数题和3道几何题，则； 当发生时，箱中有4道代数题和4道几何题，则； 当发生时，箱中有3道代数题和5道几何题，则. 由全概率公式可得 . 故答案为： 【变式4】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【典例1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，使用贝叶斯公式得到答案. 【解析】设检验结果呈现阳性事件，此人患病为事件， ， ， 则. 故选：C 在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 【变式1】设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意结合贝叶斯公式求解即可. 【解析】设事件表示“取到第号袋子”(=1，2，3，4，5)，事件表示“取到白球”， 则由贝叶斯公式得， 故选：A 【变式2】有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（  ） A．0.2 B．0.05 C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，由全概率公式、条件概率公式和贝叶斯公式，结合已知条件，求解即可. 【解析】根据题意可得：； ； 由全概率公式可得： ； 故. 故选：D. 【变式3】为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为___________ 【答案】 【分析】利用全概率公式和贝叶斯公式即可求出结果. 【解析】由题知市民乘坐公共交通工具出行迟到的概率为， 市民开私家车出行迟到的概率为， 市民骑行或步行出行迟到的概率为， 则这名市民迟到的概率为， 故所求的概率为. 故答案为：. 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 【典例1】(1)（多选）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据条件概率的概率公式及全概率的概率公式计算可得. 【解析】依题意可得，，，， 所以，故A正确、B正确、C错误； ，故D正确. 故选：ABD (2)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 . 【答案】 【分析】利用全概率公式和条件概率公式求解. 【解析】记为事件“零件为第台车床加工”，事件“任取一个零件为次品”， 则，，，， 所以 ， 所以取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为： . 故答案为：. 【变式1】已知P（B）=0.3，，，则=（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知利用全概率公式得，即可求解. 【解析】由全概率公式可得： 可得，解得：. 则. 故选：A. 【变式2】志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据全概率公式及条件概率公式直接求解. 【解析】设事件表示“甲乘地铁”，事件表示“甲乘公交车”，事件表示“甲骑共享单车”，事件表示“甲按时到达文博会”， 则，，，，，， 则 ， ， 所以若某一天甲按时到达文博会， 则他骑共享单车的概率为． 故选：C. 【变式3】某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“选出的员工是行政人员”，“选出的员工是技术人员”，“选出的员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”，由全概率公式及条件概率公式分别求出和，即可求解． 【解析】设事件“选出的员工是行政人员”，“选出的员工是技术人员”，“选出的员工是研发人员”，“选出的员工具有博士学历”， 由题可知，，，，，，， 所以 ， ，， 所以， 故选：C． 【变式4】（多选）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据古典概型、条件概率概念、全概率公式分别计算即可判断各选项. 【解析】对于，表示“第一次摸到红球且第二次摸到红球”，因事件表示“第1次摸球，摸到红球”，易得， 事件表示“第2次摸球，摸到红球” ，因摸出的球不放回，此时箱子里还剩3个红球，2个白球， 所以在第1次摸到红球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得，故正确. 对于，第1次摸球，摸到白球的概率. 同理在第1次摸到白球的条件下，第2次摸到红球的概率是， 由概率的乘法公式可得， 由全概率公式可得，故错误. 对于，由A项分析，已得，故错误. 对于，由B项分析，已得，故正确. 故选：AD. 【变式5】（多选）对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【分析】根据条件概率的计算公式，可判断AB的真假，根据和事件概率计算公式，可判断C的真假，结合全概率公式和条件概率计算公式，可判断D的真假. 【解析】对A：因为，故A错误； 对B：由，故B正确； 对C：因为，故C正确； 对D：， 所以：. 所以.故D正确. 故选：BCD 【变式6】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的，利用全概率公式求解即可； （2）利用条件概率与独立事件的概率公式求解即可. 【解析】（1）用，，分别表示事件取到的这件产品是甲、乙、丙厂生产的， 以表示事件取到的产品为次品，则 ，，， ，，， 由全概率公式，得 . （2）若从这批产品中取出一件产品，发现是次品， 该件产品是乙厂生产的概率为 . 题型06 条件概率与其他章节的融合 【典例1】（1）（多选） ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则A与B独立 D. 【答案】ACD 【解析】A选项，由对立事件性质可知，A正确； B选项，若，，则，B错误； C选项，若，则， 故，A与B独立，C正确； D选项，，D正确. 故选：ACD （2）（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【解析】设表示经过第次传球后，球在甲手中， 设次传球后球在甲手中的概率为，， 则， 所以，， ， 所以，所以，又， 所以是以为首项，为公比的等比数列，所以， 所以， ，故C错误； . 故选：AD 【变式1】（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【解析】因为， 所以，故B正确； 又因为事件相互独立，所以， 所以，故A正确； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故C错误； 因为事件相互独立，所以相互独立， ，故D正确. 故选：ABD. 【变式2】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【答案】AD 【解析】根据题意，有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5， 则每次旋转中，指针指向数字为偶数的概率为，指向数字为奇数的概率为， 则，又由， 则，故A正确； 对于，变形可得，，则， 故数列是首项为，公比为的等比数列， 故，变形可得， 对于B，，，则，故B错误； 对于C，， 此时，而， 所以数列不是等比数列，故C错误； 对于D，， 由于，故是递减数列，故D正确. 故选：AD. 【变式3】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 【答案】 Pn＝－Pn－1+ 【分析】（1）根据两种不同情况下，求第二次出现红球的概率，再加总即为P2的值. （2）应用全概率公式写出Pn关于Pn－1的表达式即可. 【解析】（1）由题设，第二次出现红球的概率为两次都出现红球的概率、第一次为绿球第二次出现红球的概率之和， ∴. （2）由（1）易知：Pn＝Pn－1×＋(1－Pn－1)×＝－Pn－1. 故答案为：，Pn＝－Pn－1. 【变式4】为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【答案】(1)75； (2)； (3)105人 【分析】（1）利用频率分布直方图中的平均数计算方法计算即可； （2）先由题意求得抽到的高三学生人数，再利用古典概型与条件概率公式即可求得所求概率； （3）先求出标准差，再求得优秀成绩所在区间的频率，从而可估算得成绩优秀的人数. 【解析】（1）由频率分布直方图的平均数的计算公式，可得： ， 所以抽取的200名学生的平均成绩； （2）由于第五组总共要抽取7人，高三学生占， 所以抽到的高三学生应该有人， 设宣讲组2人有高三学生为事件A，高三甲同学不入选为事件B， ， 由条件概率计算公式得，， 宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率为； （3）依题意，由方差的计算公式，可得： ， 所以优秀的比赛成绩应该， 而比赛成绩在的频率为， 因为，故参赛的1500名学生成绩优秀的人数为105人． 【变式5】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 【答案】(1)，(2)证明见解析； (3)时，，当时，，统计含义见解析 【解析】（1）当时，赌徒已经输光了，因此. 当时，赌徒到了终止赌博的条件，不再赌了，因此输光的概率. （2）记M：赌徒有n元最后输光的事件，N：赌徒有n元上一场赢的事件, , 即， 所以， 所以是一个等差数列， 设，则， 累加得，故，得， （3），由得,即, 当时，， 当时，， 当时，，因此可知久赌无赢家， 即便是一个这样看似公平的游戏， 只要赌徒一直玩下去就会的概率输光． 1．下面几种概率是条件概率的是（  ） A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 【答案】B 【分析】根据条件概率的定义，结合各选项的描述判断是否条件概率即可. 【解析】由条件概率的定义：某一事件已发生的情况下，另一事件发生的概率. A：甲乙各投篮一次投中的概率，不是条件概率； B：甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率，是条件概率； C：抽2件产品恰好抽到一件次品，不是条件概率； D：一次上学途中遇到红灯的概率，不是条件概率.. 故选：B 2．为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策，假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由条件概率公式计算求解即可. 【解析】解：根据题意，设样本空间为，则(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)，(男男男)，共8个样本， 记事件为“这个家庭有女孩”，事件为“三个孩子均为女孩”， 由(女女女)，(女女男)，(女男女)，(男女女)，(女男男)，(男女男)，(男男女)， 所以，， 所以. 故选：A. 3．已知随机事件A，B，，则等于（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用条件概率的性质得，再利用条件概率公式求得，最后利用对立事件概率公式求解即可. 【解析】因为，所以， 所以，所以， 所以. 故选：C. 4．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由全概率公式计算可得． 【解析】设输入的问题表达清晰为事件A，回答被采纳为事件， 则，，，， 根据全概率公式，． 故选：B． 5．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”结合题意得到，，且和，结合贝叶斯概率公式，即可求解. 【解析】设事件“男子”，事件“女子”，事件“这个人色盲”， 由题意得，，且， 所以. 故选：C. 6．袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球， 分别求出利用条件概率公式即可求解. 【解析】记骰子掷出的点数为i，，事件B: 取出的球全是白球，则,， 所以 所以若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为：. 故选：C. 7．（多选）将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件 “三个点数都不相同”， “至少出现一个6点”，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【分析】根据古典概型概率公式及条件概率公式即得. 【解析】由题可得，， ， ∴，， 故A错误，BCD正确. 故选：BCD. 8．（多选）若事件满足，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据题意，结合概率的计算公式，逐项判定，即可求解. 【解析】对于A中，由，可得，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以B错误； 对于C中，由，可得，所以C正确； 对于D中，由， 所以，所以D正确. 故选：ACD. 9.（多选）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（  ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】根据对立事件的概率公式判断A，根据条件概率公式判断B，根据全概率公式判断C，根据和事件的概率公式判断D. 【解析】因为，，， 所以，故A正确； ，故B正确； 因为， 所以，故C正确； ，故D错误. 故选：ABC 10．2025年5月31日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用条件概率公式，结合组合计数问题列式计算. 【解析】设事件A为“取出的两个粽子为同一种馅”，事件B为“取出的两个粽子都为腊肉馅”， 则，，因此， 所以小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为． 故答案为：. 11．某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为___________ 【答案】 【分析】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件，根据条件概率公式及全概率公式求解即可． 【解析】设第一周去AI兴趣小组为事件，第二周去AI兴趣小组为事件， 则，， 所以， ， . 故答案为： 12．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 【答案】 【解析】因为，故， 因为互斥，所以， 所以 ， 解得，所以 故答案为： 13．把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 【答案】(1)； (2)（i）；（ii） 【分析】（1）借助全概率公式计算即可得； （2）（i）借助贝叶斯公式计算即可得；（ii）借助条件概率公式及全概率公式计算即可得. 【解析】（1）设“随机选取一个盒子，选中甲盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中乙盒子”为事件、 “随机选取一个盒子，选中丙盒子”为事件、 “从选取的盒子中随机摸出一个球，该球为红球”为事件， 则 ； （2）（i）； （ii）设“将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，此球为红球”为事件， ， ， 分别记、、为、、， 则 . 14．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 【答案】(1)； (2)； (3) 【分析】（1）由男性居民与女性居民的人数比，可知样本中男性居民与女性居民的人数，计算其中观看这场苏超联赛的人数，用频率估计概率即可； （2）利用新定义，结合条件概率的公式计算即可； （3）利用全概率公式计算 ，代入求值即可. 【解析】（1）由题意，得样本中男性居民与女性居民的人数分别为300人，200人， 在300名男性居民中，有200人观看了这场苏超联赛， 在200名女性居民中，有100人观看了这场苏超联赛， 所以样本中，观看了这场苏超联赛的频率为. 用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人， 估计此人观看了这场苏超联赛的概率为. （2）因为， 所以. 因为， 所以. 所以. （3）由分层随机抽样知，抽取的5名居民中，男性居民有3人，女性居民有2人. 根据频率估计概率知，男性居民中观看了这场苏超联赛的概率为，没有观看这场苏超联赛的概率为. 设3名被抽取的男性居民中，恰好抽到人被访谈为事件，则（） 设被访谈的2名居民中观看了这场苏超联赛的男性居民恰好为人为事件， 则 ， 所以 ， ， . 所以. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题8.1 条件概率 教学目标 1．结合古典概型，了解条件概率的定义，能计算简单随机事件的条件概率． 2．结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系，会利用乘法公式、全概率公式计算概率． 3.通过条件概率的计算以及将较复杂事件的概率转化为较简单事件的概率的过程，感受化整为零、转化化归思想，通过韦恩图理解条件概率的计算公式、全概率公式，发展直观想象素养． 4．通过条件概率公式的推导及运用、用互斥事件概率的加法公式和概率的乘法公式推导全概率公式以及运用全概率公式计算概率，发展逻辑推理和数学运算素养． 教学重难点 1.重点 条件概率定义的理解及计算；全概率公式的理解及运用． 2.难点 条件概率定义的理解及计算；全概率公式的理解及运用． 知识点01 条件概率 1．条件概率 设古典概型的样本空间为Ω，事件A所含样本点的集合为S1，事件B所含样本点的集合为S2，事件AB所含样本点的集合为S3(如图所示), 则有 P(A)＝＝， P(AB)＝. 因此，事件A发生的条件下事件B发生的概率是 ＝＝. (1)条件概率的定义： 一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)>0，我们称P(B|A)=为事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率. 注意：(1)公式仅限于P(A)＞0的情况，当P(A)＝0时，我们不定义条件概率； (2)在竖线“︱”之后的部分表示条件，须区分P(B|A)与P(A|B)，P(A|B)与 P(AB)． (P(B|A)表示事件A发生的条件下事件B发生的概率，而P(A|B)表示事件B发生的条件下事件A发生的概率；P(AB)表示事件A和事件B同时发生的概率，无附加条件．P(A|B)与P(B|A)不一定相等) (2)性质 设P(A)>0，Ω为样本空间，则 ①P(B|A)∈[0,1]，P(Ω|A)=1； ②如果B和C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A)； ③设和B互为对立事件，则P()=1-P(B|A). 2．概率的乘法公式 由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)>0，则P(AB)=P(A)·P(B|A). 同样有，当P(B)＞0时，P(AB)＝P(A|B)P(B)． 意义：两事件乘积的概率等于其中某一事件的概率乘以另一事件在前一事件已发生的条件下的条件概率. 【即学即练】 1．同时投掷两枚质地均匀的骰子，设事件A为第一枚骰子投出的点数为奇数，事件B为两枚骰子点数之和为6，则（  ） A． B． C． D． 2．（多选）已知甲、乙两枚互不影响的骰子均能等概率掷出自然数1—6，某一次随机抛出这两枚骰子，记事件甲、乙掷出的点数和为6；事件甲掷出的点数为奇数，则：（  ） A． B． C． D． 知识点02 全概率公式 1.全概率公式： 一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，有P(B)=·P(B|Ai).我们称此公式为全概率公式. 全概率公式是概率论中的重要公式，理解此公式应注意以下几点： (1) A1, A2, …， An是伴随事件B发生的事件组，且满足三个条件：①A1, A2, …， An两两互斥；②A1＋A2＋ … ＋An＝Ω； ③P(Ai)＞0.尤其要注意第②条，必须满足第②条才能称为“全”(概率公式)． (2) 公式的直观解释：已知事件B的发生有各种可能的情形Ai(即前提条件)，事件B发生的概率，就是各种可能情形Ai发生的概率与已知在Ai发生的条件下事件B发生的概率的乘积之和． (3) 在实际问题中，有时很难直接求得事件B发生的概率，我们可以分析事件B发生的各种可能情形，化整为零地去分解事件B(B＝BA1＋ BA2＋…＋ BAn, n＝3时的情形如图2所示)，从而借助全概率公式间接求出事件B发生的概率. 图2 2.全概率公式的意义： 全概率公式的意义在于，当直接计算事件B发生的概率P(B)较为困难时，可以先找到样本空间Ω的一个划分Ω=，A1，A2，…，An两两互斥，将A1，A2，…，An看成是导致B发生的一组原因，这样事件B就被分解成了n个部分，分别计算P()，P()，…，P()，再利用全概率公式求解. 【即学即练】 1．最近感冒频发，某任同学家中常备三种感冒药，分别为金花清感颗粒盒、莲花清瘟胶囊盒、感冒灵颗粒盒．若这三类药物能治愈感冒的概率分别为，，，他感冒时，随机从这几盒药物里选择一盒服用，则感冒被治愈的概率为（  ） A． B． C． D． 2．无人酒店是利用人工智能与物联网技术为客人提供自助入住等服务的新型酒店，胜在科技感与新奇感.去某地旅游的游客有无人酒店和常规酒店两种选择.某游客去该地旅游，第一天随机选择一种酒店入住，如果第一天入住无人酒店，那么第二天还入住无人酒店的概率为0.8；如果第一天入住常规酒店，那么第二天入住无人酒店的概率为0.6，则该游客第二天入住无人酒店的概率为 . 知识点03 贝叶斯公式 1．贝叶斯公式 设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，=Ω，且P(Ai)>0，i=1，2, …，n，则对任意的事件，P(B)>0，有. 注：贝叶斯公式是在条件概率的基础上寻找事件发生的原因，在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 【即学即练】 1．有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为 ，第2，3台加工的次品率均为 ，加工出来的零件混放在一起. 已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的. 如果取到的零件是次品，则它是第3台车床加工的概率是（  ） A． B． C． D． 2．5个袋子中放有白球和黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球来自1号袋中的概率为为 . 题型01 利用条件概率公式计算 【典例1】（1）已知随机事件、满足，，，则（  ） A． B． C． D． （2）从装有3个白球、4个红球的箱子中无放回地随机取两次，每次取一个球，表示事件“两次取出的球颜色相同”，表示事件“两次取出的球中至少有1个是红球”，则（  ） A． B． C． D． 计算条件概率的两种方法： (1) 公式法：①用字母A,B表示事件；②分别计算概率P(AB)和P(A)；③利用条件概率公式P(B|A)＝求概率． (2) 缩小样本空间法：①原来的样本空间Ω缩小为事件A；②原来的事件B缩小为A与B同时发生的事件AB；③利用古典概型概率公式P(B|A)=求概率． 【变式1】已知事件和满足，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知随机事件、，，，，则（  ） A． B． C． D． 【变式3】饺子是我国古代传统食物，由东汉末年医学家张仲景发明，最初作为药用．在包饺子时，人们常常将红糖、花生、枣和硬币等包进馅里，红糖代表日子甜美，花生代表健康长寿，枣代表早生贵子，硬币代表财源不断．已知小江一家过年时，在一盘饺子（20个）中，含有红糖、花生的各2个，含枣、硬币的饺子各1个，则小江随机夹的3个饺子中，吃到1个含有硬币的饺子的前提下，吃到2个含有不同特殊馅的饺子的概率为 ． 【变式4】某校从学生文艺部7名成员（4男3女）中，挑选2人参加学校举办的文艺汇演活动. (1)在已知男生甲被选中的条件下，女生乙被选中的概率； (2)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下，求女生乙被选中的概率. 题型02 条件概率性质的应用 【典例1】（1）已知随机事件，，，，，则等于（  ） A． B． C． D． （2）在一个袋子中装有10个球，其中1个红球，2个黄球，3个黑球，4个白球，这些球除颜色外完全相同，从中依次摸出2个球，则在摸出的第一个球为红球的条件下，摸出的第二个球为黄球或黑球的概率为 ． 当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件拆分成两个(或多个)互斥的较简单事件的和，分别求出这些简单事件的概率，再利用性质P((B＋C)|A)＝P(B|A)＋P(C|A)即可求解． 【变式1】假设A，B是两个事件，且，，则下列结论一定正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）已知，，则下列式子不成立的是（  ） A.； B.； C.； D.. 【变式3】（多选）下列说法不正确的是（  ） A． B．是可能的 C． D． 题型03 利用全概率公式求概率 【典例1】为了提升全民身体素质，学校十分重视学生体育锻炼，某校篮球运动员进行投篮练习，如果他前一球投进则后一球投进的概率为；如果他前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为，则他第2球投进的概率为 . 利用全概率公式的分析： (1)按照确定的标准，将一个复合事件分解为若干个互斥事件Ai(i=1,2,…,n)； (2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)； (3)代入全概率公式计算. 【变式1】有3台车床加工同一型号的零件，第1、2、3台加工的次品率分别为3%、5%、9%，加工出来的零件混放在一起．已知第1、2、3台车床加工的零件数占比为，若从中任取一个零件，则这个零件是次品的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】盒中有5个红球，3个黑球，今随机地从中取出一个，观察其颜色后放回，并放入同色球2个，再从盒中任取一球，则第二次取出的是黑球的概率是（ ） A. B. C. D. 【变式3】某学校组织数学竞赛活动，准备了两组题目分别放在A，B两个箱子中．A箱中有4道代数题和2道几何题，B箱中有3道代数题和3道几何题．参赛选手先在两个箱子中任选一个箱子，然后从选中的箱子中依次抽取2道题（不放回）作答．若乙同学选择A箱，答题结束后工作人员失误将乙抽取的题目放回了B箱，接着丙同学选择从B箱抽取题目，则丙抽取的2道题中至少有一道代数题的概率为_________ 【变式4】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型04 利用贝叶斯公式求概率 【典例1】英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件A，B存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为95%，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有95%的可能呈现阳性；该试剂的误报率为0.5%，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有0.5%的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为（ ） A. B. C. D. 在运用贝叶斯公式时，一般已知和未知条件如下： (1)A的多种情况中到底哪种情况发生是未知的，但是每种情况发生的概率已知，即P(Ai)已知； (2)事件B是已经发生的确定事实，且A的每种情况发生的条件下B发生的概率已知，即P(B|Ai)已知； (3)P(B)未知，需要使用全概率公式计算得到； (4)求解的目标是用A的某种情况Ai的无条件概率求其在B发生的条件下的有条件概率P(Ai|B). 【变式1】设有5个袋子中放有白球，黑球，其中1号袋中白球占，另外2，3，4，5号4个袋子中白球都占，今从中随机取1个袋子，从所取的袋子中随机取1个球，结果是白球，则这个球是来自1号袋子中的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式2】有3台车床加工同一型号的零件，第台加工的次品率分别为，加工出来的零件混放在一起．已知第台车床加工的零件数的比为，现任取一个零件，记事件“零件为第i台车床加工” ，事件“零件为次品”，则（  ） A．0.2 B．0.05 C． D． 【变式3】为减少早高峰学生上学迟到现象的发生，某学校对所有学生上学的出行方式进行了调查，结果显示有的学生乘坐公共交通工具，有的学生乘坐私家车，有的学生选择骑行或步行.在乘坐公共交通工具出行的学生中有的人迟到，在乘坐私家车出行的学生中有的人迟到，在骑行或步行出行的学生中有的人迟到.以频率估计概率，从该校随机选择一名学生，若他迟到了，则这名学生是乘坐私家车出行的概率为___________ 题型05 条件概率与全概率公式的综合应用 【典例1】(1)（多选）甲箱中有个红球和个白球，乙箱中有个红球和个白球（两箱中的球除颜色外没有其他区别），先从甲箱中随机取出一球放入乙箱，分别用事件和表示从甲箱中取出的球是红球和白球；再从乙箱中随机取出两球，用事件表示从乙箱中取出的两球都是红球，则（  ） A． B． C． D． (2)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%；加工出来的零件混放在一起，且第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%， 45%.现从加工出来的零件中任取一个零件，取到的零件是次品，且是第3台车床加工的概率为 . 【变式1】已知P（B）=0.3，，，则=（  ） A． B． C． D． 【变式2】志愿者甲参加第届文博会的服务工作，甲从住所到文博会选择乘地铁、乘公交车、骑共享单车的概率分别为，，，且乘地铁、乘公交车、骑共享单车按时到达文博会的概率分别为，，．若某一天甲按时到达文博会，则他骑共享单车的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式3】某公司的员工中，有是行政人员，有是技术人员，有是研发人员，其中的行政人员具有博士学历，的技术人员具有博士学历，的研发人员具有博士学历，从具有博士学历的员工中任选一人，则选出的员工是技术人员的概率为（  ） A． B． C． D． 【变式4】（多选）箱子中有6个大小、材质都相问的小球，其中4个红球，2个白球，每次从箱子中随机地摸出一个球，摸出的球不放回.设事件表示“第1次摸球，摸到红球”，事件表示“第2次摸球，摸到红球”，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式5】（多选）对于随机事件A，B，若，，，则（ ） A. B. C. D. 【变式6】某仓库有一批电流表，其中60%，30%，10%依次由甲、乙、丙三家厂家生产，且甲、乙、丙厂的次品率分别是． (1)现在从这批电流表中任取一个，求取到次品的概率； (2)若从这批电流表中取出一个，发现是次品，求该电流表是乙厂家生产的概率． 题型06 条件概率与其他章节的融合 【典例1】（1）（多选） ，分别为随机事件A，B的对立事件，下列命题正确的是（ ） A. B. 若，，则 C. 若，则A与B独立 D. （2）（多选）甲､乙､丙､丁四人相互做传球训练，第一次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外3人中的任意1人，设第n次传球后，球在甲手中的概率为.则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 【变式1】（多选）已知.若事件相互独立，则（ ） A． B． C． D． 【变式2】（多选）有个等分为五个扇形的圆形幸运转盘，这五个扇形分别标有数字1，2，3，4，5，转动圆盘等其静止时，指针均指向扇形的内部，记录下对应的数字．持续这个过程，记前次所得的数字之和是偶数的概率为，则（ ） A． B． C．是等比数列 D．是递减数列 【变式3】某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球．已知按钮第一次按下后，出现红球与绿球的概率都是，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为，，若前一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为记第n(n∈N，n≥1)次按下按钮后出现红球的概率为Pn. （1）P2的值为 ； （2）若n∈N，n≥2，用Pn－1表示Pn的表达式为 ． 【变式4】为了庆祝党的二十大胜利召开，培养担当民族复兴的时代新人，某高中在全校三个年级开展了一次”不负时代，不负韶华，做好社会主义接班人”演讲比赛．共1500名学生参与比赛，现从各年级参赛学生中随机抽取200名学生，并按成绩分为五组：，得到如下频率分布直方图，且第五组中高三学生占． (1)求抽取的200名学生的平均成绩（同一组数据用该组区间的中点值代替）； (2)高三的甲同学成绩是92分，若在第五组中，按照各年级人数比例采用分层随机抽样的方法抽取7人，甲被抽到，再从中选取2人组成宣讲组，在校内进行义务宣讲，求宣讲组有高三学生的条件下甲没入选的概率； (3)若比赛成绩（为样本数据的标准差），则认为成绩优秀，试估计参赛的1500名学生成绩优秀的人数． 参考公式：，（是第组的频率），参考数据： 【变式5】马尔科夫链是概率统计中的一个重要模型，也是机器学习和人工智能的基石，在强化学习、自然语言处理、金融领域、天气预测等方面都有着极其广泛的应用．其数学定义为：假设我们的序列状态是…，，，，，…，那么时刻的状态的条件概率仅依赖前一状态，即． 现实生活中也存在着许多马尔科夫链，例如著名的赌徒模型． 假如一名赌徒进入赌场参与一个赌博游戏，每一局赌徒赌赢的概率为，且每局赌赢可以赢得1元，每一局赌徒赌输的概率为，且赌输就要输掉1元．赌徒会一直玩下去，直到遇到如下两种情况才会结束赌博游戏：一种是手中赌金为0元，即赌徒输光；一种是赌金达到预期的B元，赌徒停止赌博．记赌徒的本金为，赌博过程如下图的数轴所示． 当赌徒手中有n元（，）时，最终输光的概率为，请回答下列问题： (1)请直接写出与的数值． (2)证明是一个等差数列，并写出公差d． (3)当时，分别计算，时，的数值，并结合实际，解释当时，的统计含义． 1．下面几种概率是条件概率的是（  ） A．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，各投篮一次都投中的概率 B．甲､乙二人投篮命中率分别为0.6，0.7，在甲投中的条件下乙投篮一次命中的概率 C．有10件产品，其中3件次品，抽2件产品进行检验，恰好抽到一件次品的概率 D．小明上学路上要过四个路口，每个路口遇到红灯的概率都是，小明在一次上学途中遇到红灯的概率 2．为改善人口结构，我国自2021年5月31日起实施三胎政策，假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑恰有3个小孩的家庭，如果已经知道这个家庭有女孩，那么这3个小孩都是女孩的概率为（  ） A． B． C． D． 3．已知随机事件A，B，，则等于（  ） A． B． C． D． 4．某公司升级了智能客服系统，当输入的问题表达清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为，当输入的问题表达不清晰时，智能客服的回答被采纳的概率为．已知输入的问题表达不清晰的概率为．则智能客服的回答被采纳的概率为（  ） A． B． C． D． 5．已知在所有男子中有5%患有色盲症，在所有女子中有0.3%患有色盲症，随机抽一人发现患色盲症，其为男子的概率为（设男子和女子的人数相等）（  ） A． B． C． D． 6．袋中有4个黑球，3个白球.现掷一枚均匀的骰子，掷出几点就从袋中取出几个球.若已知取出的球全是白球，则掷出2点的概率为（ ） A. B. C. D. 7．（多选）将三颗质地均匀的骰子各掷一次，设事件 “三个点数都不相同”， “至少出现一个6点”，则下列结论正确的是（  ） A． B． C． D． 8．（多选）若事件满足，，，则下列说法正确的是（  ） A． B． C． D． 9.（多选）设是一个随机试验中的两个事件，若，，，则（  ） A． B． C． D． 10．2025年5月31日，是我国的传统节日“端午节”．这天，小明的妈妈煮了5个粽子，其中两个腊肉馅，三个豆沙馅．小明随机抽取出两个粽子，若已知小明取到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为腊肉馅的概率为 ． 11．某学校一名学生参加体育和AI两个兴趣小组，该同学每周只能选择其中一个兴趣小组学习，第一周选择体育兴趣小组的概率是，如果第一周选择AI兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为；如果第一周去体育兴趣小组，那么第二周去AI兴趣小组的概率为．已知该同学第二周去AI兴趣小组，则第一周去AI兴趣小组的概率为___________ 12．设是一个随机试验中的两个事件，且，则 . 13．把若干个红球和白球（除颜色外没有其他差异）放进甲、乙、丙三个空盒子中，且其中的红球占比依次为、、.现随机选取一个盒子，每个盒子被选取的概率均为，然后从选取的盒子中随机摸出一个球. (1)求摸出的球是红球的概率； (2)若摸出的球是红球，记该红球为“”. （i）求“”是从乙盒摸出的概率； （ii）将“”放回原盒，再从该盒中随机摸出一个球，求此球为红球的概率. 14．作为江苏省内最高规格的业余足球赛事，苏超联赛自2025年5月开赛以来，凭借“十三太保”城市对抗的独特赛制引发全民热议.为了解观看某场苏超联赛与性别是否有关系，某机构在全市随机抽取了500名居民，其中男性居民与女性居民的人数比为，在抽取的男性居民中，有的人观看了这场苏超联赛，在抽取的女性居民中，有100人没有观看这场苏超联赛. (1)用频率估计概率，样本估计总体，从全市居民中随机抽取1人，试估计此人观看了这场苏超联赛的概率； (2)现定义：，其中是随机事件，从这500人中任选1人，表示“居民观看了这场苏超联赛”，表示“居民是女性”，设观看这场苏超联赛与性别的相关程度的一项度量指标，请利用样本数据求出的值； (3)用频率估计概率，在样本中，按性别比例用分层随机抽样的方法抽取5名居民，若再从这5名居民中随机抽取2人进行访谈，设这2名被访谈的居民中恰有名是观看了这场苏超联赛的男性居民的概率为，求的值. 2 / 19 学科网（北京）股份有限公司 $