重庆市名校联盟2026届高三下学期第一次联考数学试卷

数学试卷（高2026届)参考答案 1A:2B;3B:4C;5D:6D;7D:8A:9ABC;10ABD:11ABD:12、381:13、29:14、1+V3: 15.【答案】(072分(2分布列见解析，马 【详解】(1)由题意10×(0.005+0.010×2+0.020+0.025+a=1,解得a=0.030, 成绩在[90,100]的频率为0.1，在[80,90)的频率为0.25，在[70,80)的频率为0.3， 因为0.1+0.25=0.35,0.1+0.25+0.3=0.65， 所以选报物理方向的最低分x在[70,80)内，则(80-x)×0.03+0.25+0.1=0.6, 解得x≈72，所以估计报物理方向的学生本次成绩不低于72分.…5分 (2)由题可知，成绩在区间[80,90)的频数为100×0.025×10=25， 成绩在区间[90,100的频数为100×0.010×10=10， 利用分层抽样，从中抽取7份，成绩在[80,90)的频数为25× 7 25+105, 成绩在[90,10]的频数为10×7 -=2, 25+10 再从这7份答卷中随机抽取3份，X的所有可能取值为0,1,2， 号-号号x-=手--9； P(X=0)=cg:C_102 C35-7, 故X的分布列为： X 0 1 2 P 2-7 47 1 7 所以X的数学期望为：E(K)=0x号×号2×写号 …13分 7 7 16.【答案】(1)Sn=2㎡2，证明见解析 @t-分a 【详解】1)nS-(a+1)S,=2+n)→S-S=2, n+l n 所以数列骨}是以子-号2为首项，2为公差的等差数列。 11 所以=2+20m-）=2n→S.=2n；… …7分 11 1 1(11 2）6,=2S.-4m2-1m-1)m+1022n-l2n+1) 五=+6+6++a-引引据引+ …15分 17.【答案】(1)证明见解析； (2)2V5 【小问1详解】 在=棱柱AC-4C中，4=88=2，AD=4B=BC=14D=5. 显然AD2+AP=5=AD2,则AA⊥AD,又B,B~BC,BB/1AA, 于是AA⊥BC,又AD∩BC=B,AD,BCC平面ABC, 因此AA⊥平面ABC,又CDC平面ABC,即有CD⊥AA, 在正△ABC中，D为AB中点，则CD⊥AB, 又AB∩AA,=A,AB,AAC平面ABB,A, 所以CD1平面ABBA.…7分 【小问2详解】 取BC中点为O,BC中点为Q,则OA⊥BC,OQ⊥BC, 由(1)知，AA⊥平面ABC,且OAc平面ABC,则OA⊥A4,又BB/1AA, 有OA⊥BB,BBBC=B,BB,BCC平面BCC,B, 于是OA⊥平面BCCB,OA,OB,OQ两两垂直.， 以O为坐标原点，OB,OO,OA的方向为x轴、y轴、z轴的正方向，建立空间直角坐标系， 则00a0L0Q402q-10m月8L20- 而=05.4-2cg-220C=-0-5亚=01- 设平面ACD的法向量为n=(x,y,z),则 万.c⑦=3x+ 一X十 z=0 2 ,令x=1 CA=x+2y+3=0 n =(1,1,-3),cos<AP.n>= 0+1+325 V5.25 所以直线AP与平面ACD所成角的正弦值为25 …15分 5 答安11D3N5(2)y=-x+Y2或y=-6. (3)存在定点Q(0,4) 5 5 (1)C(0,-2),(-1,0),右焦点F(1,0), TC+TF=TC]-TF+2V5s CF3 +215=35, 当且仅当T、E、C共线（介于T、C之间）时取到…4分 6 (2)由1平行于OE时，可设直线1：y=-。x+b, 143=256-100 与椭圆联立后得到56x2-606x+256-100=0,X+5-150,x 56 由4=0可知，k-G+,)广-4=k-d= 结合韦达定理k-=工+x-414 15b -4×25b2-100_5 56 解得6=±⑤，所以直线方程为y=-。x+5或y=-仁x 6.V35 ………10分 5 5 5 (3)当直线1斜率存在时，设方程为y=kc+1,与厂：4x2+5y2=20联立得： (4+52)）x2+10x-15=0，设A(x,）,B(2,2), -10k -15 由韦达定理得+名F4+5次，西=4+5次 当直线1平行于x轴时，PA=PB,因此QA=QB,此时Q在y轴上，设Q(0,m) 当直线1斜率不存在时，不妨设A(0,2),B(0,-2) 则有2APB=m-23=PAQB=m+2, 解得m=4或m=1(舍).下面证明点Q(0,4)符合条件. OA PA 设直线1：y=kx+l,要证OBPB 即PO是∠AQB的角平分线，只要证明k40+ke=0 而k0+k0=当-4+当-4_-3到+x,-3）)_2-36+3) XX2 XX2 而韦达定理可得2k2-3(x+x2)=0,因而得证， 综上，存在定点Q(0,4),…7分 19.【答案】(1)单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间(2)(i)证明见解析：(i) 4e )当a=2时，f(x)=(x2-2x+1nx, 则r=2-nx-旷-6-2nx+1- 令=241-则小-子>0.激)在0+树上途 又h(个)=2lnl+1-1=0,则x∈(0,1)时，h(x)<0,又x-1<0,故f(x)>0, 当xe(1,+∞)时，h(x)>0,又x-1>0,故f(x)>0, 故f'（(x)≥0恒成立，故f(x)在(0，+∞)上单调递增， 即函数f(x)的单调递增区间为(0，+∞)，无单调递减区间： …………4分 【小问2详解】 (i)当lnx=0时，x=1, 根据题意，零点x1,x2分别在区间(0,1)和(1，+o)内，不等于1， 因此x1,x2是方程x2-ax+1=0的两个根， 故x+x2=a,5=l,则=a-,元' 1 且有x-x+1=0,则ax1=x2+1, f(x)=(2x-a)nx+x-@+I 则了k)=(2-a)nx+-+x-ahx ---=- =(-a+x)Inx=(2x-a)In=f), 故函数f(x)在两点(：，0)，(3，0)处的切线平行： …10分 (i)由(i)知f'(x)=(2x-a)lnx, 故y=f(x)在点(：，0)处的切线为y=(2x-a)nx(x-x),0<x<1, 令x=0,则y=(2x-a)lnx(-x)=(ax-2x)nx, 又am=x+l,故y=(1-)hx, 故s=-)n小又5且0<1c, 所以 火e-n-n ea小.期m0-h,又w0-0,n 当0<1<时m(0>0,当。<1<1时m()<0, 所以m0在（日上摩调港增，在[上单调造减则m0≤m日记 所以 S一的最大值为 …17分 2 e重庆市名校联盟高三下联考 数学试卷（高2026届) 本试卷共4页，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1.作答前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号填写在试卷的规定位置上。 2.作答时，务必将答案写在答题卡上，写在试卷及草稿纸上无效。 3.考试结束后，须将答题卡、试卷、草稿纸一并交回（本堂考试只将答题卡交回）。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项 中，只有一项是符合题目要求的。 1.已知i为虚数单位，z=(3+4)(2-i),则z=( A.55 B、5 C.5 D.10 2.“<2”是“a>1”成立的( )条件 2 A.充分不必要B.必要不充分 C.充要 D.既不充分也不必要 3.2025年11月，搭载“祖冲之三号”同款芯片的超导量子计算机“天衍-287”完成搭 建，该量子计算系统具备“量子计算优越性”能力.下表记录了8个团队在特定年度的 研发资金投入x(单位：亿元)与芯片性能提升评估指数y,且x=6 研发资金投入x/亿元 2 X2 10 性能提升评估指数y 2% y2 y3 12 已知y与x具有较强的线性关系，通过最小二乘估计得到的经验回归方程为 =1.2x+0.4.如果去掉样本点(2,2)，(10,12)后，得到的新样本的经验回归方程为 少=1.25x+a,则a=( A.0.1 B.0.3 C.0.5 D.0.7 4.已知平面向量ā，6满足ā=(V5,,6=(43,-1),则向量6在ā方向上的投影响量为( 445_11 A 49,49 . -c5 3,16 5.函数f(x)=2+ x1-3x 0<x<。 的最小值为( A.16 B.25 C.36 D.49 6.已知函数f(x)=2+2+2,若关于m的不等式f(m-1)f(2m+1)<0成立，则实数m 的取值范围是( A.（-o,-2U(0,+∞) B.(o-2u+ c.(-2u*w） D.（o,2u子+w [山二第1页·预祝考试顺利 7.已知双曲线2：术-y a京方=1(0>0，b>0),圆0：2+y2=2+与x轴交于A,B两点，M,N 是圆O与双曲线在x轴上方的两个交点，点A,M在y轴的同侧，且AM交BN于点G, 且M为线段AG的中点，则双曲线的离心率为() A.5 B.V5+1 C.√5 D.√3+1 8.若方程n=的三个根x,x2,(七<2<x)成等比数列，则公比为( A.V2+1 B.5+1 C.6+1 D.3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中， 有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错 的得0分。 9.如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中，M,N分别为棱CD,CC的中 点，则下列结论正确的是( A.AM⊥ND B.点B到直线AM的距离为4 3 C.直线4M与直线BN所成角的余弦值为25 D.直线A,M与直线BN是异面直线 10.已知函数()=4smmx+写引-2(m>0),则下列结论正确的是( A若f倒在0 上恰有三个零点，则m∈[15,23) B.若f在0引 上恰有三个零点x1,x2,x3,则f(x+x2+x3)=-4 Q若)在[后引单调，则m引 D.若f(x)向左平移乃后的图像与fx)图像关于x=元对称，则m=6k+1,k∈N 12 11.已知点A(-1,0), 动点P(x)满足P8 PA =2,动点P(x,y)的轨迹为曲线C, H为直线：x+y+1=0上一动点，则下列说法正确的是( A.若点D(2,1),则2|PD|+|PA|的最小值为V13 B.过H作C的两条切线，切点分别为M,N,则直线MN过定点 司 C.若点F(m,n)是C上一点，则2m+n的最大值为2+√6 D.若点F(m,n)是C上一点，则 4(m+n+1 的最大值为2+2√3 √m2+n2+2m+1 [山 :页·预祝考试顺利 12.已知Sn是等比数列{an}的前n项和，a1+a,+a=3,a,+a+a6=6,则S2!= .-+在 的展开式中常数项为一 14. 在△ABC中，P为边AB上一点，CP=1,∠ACP=30°，∠BCP=45°，∠CPB=0. 当△ABC面积最小时，tan0= 四、解答题：本题共5小题，共77分 15.(13分)某地区从高一年级的物理测试中随机抽取了100名学生的物理成绩，整理得到 如图所示的频率分布直方图. 频率/组距 (1)该地区某学校建议此次物理测试成绩在本地区前 0.025 60%的学生选科报物理方向，试估计报物理方向的 0.020 学生本次成绩不低于多少分？（结果保留整数） 0.010 (2)从成绩位于区间[80,90)和[90,100]的答卷中，采用 0.005- 分层抽样随机抽取7份，再从这7份中随机抽取3 0405060708090100分数 份，设成绩在90,100]的答卷份数为随机变量X,求X的分布列及数学期望， 16.(15分)已知数列{a}的前n项和为Sn,若nS1-(n+1)Sn=2(+刊，且a=2. (1)证明： 为等差数列，并求Sn: (2)若b.= 1 25-1, 数列亿，}的前项和工，求证：工<分 17.(15分)如图，在三棱柱ABC-ABC1中，△ABC为等边三角形，四边形BCC,B, 是边长为2的正方形，D为AB中点，且AD=V5. (1)求证：CD⊥平面ABB1A: (2)已知P为线段B,C中点，求直线AP与平面A,CD所成角的正弦值， B [山城 18.17分)已知椭圆r,士+y 54 1,T的下顶点为C,左焦点为F,动直线1与椭圆 T交于A、B两点， (1)若T是椭圆下上的个动点，求TC+TF的最大值： O为坐标原点，若四边形OABE为平行四边形，求直线l的方程： (3)若直线1经过定点P(0,1),坐标平面上是否存在定点2（不同于点P),使得 2APB=P·OB恒成立？若存在，求点的坐标：若不存在，请说明理由. 外 19.(17分)已知函数f(x)=(x2-ax+1血x(aeR). (1)若a=2,求函数f(x)的单调区间； (2)若函数f(x)在区间(0,1)和(1，+∞)上各恰有一个零点，分别记为x和x2, (1)证明：函数f(x)在两点(x,0),（2,0)处的切线平行； (i)记曲线y=∫)在点(，0)处的切线与两坐标轴围成的三角形面积为5，求，S X2-X 的最大值 ]