专题9.4 平面直角坐标系（高频易错题讲练）-2025-2026学年人教版数学七年级下册专项培优讲义

2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册专项培优【易错题型讲练】 专题9.4 平面直角坐标系（高频易错题题型训练） 【人教版数学七年级下册新教材】 题型讲练 1 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1 题型二 求点到坐标轴的距离 3 题型三 判断点所在的象限 5 题型四 已知点所在的象限求参数 7 题型五 坐标系中描点 8 题型六 坐标与图形综合 10 题型七 实际问题中用坐标表示位置 12 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 14 题型九 根据方位描述确定物体的位置 16 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 19 题型十一 由平移方式确定点的坐标 23 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 27 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 30 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 33 题型十五 坐标系中的平移 36 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 40 题型十七 中点坐标 41 题型十八 点坐标规律探索 44 拓展培优检测 46 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点的坐标为，已知的两个平方根分别是与． (1)求点的坐标； (2)点沿轴的方向向右平移多少个单位长度后到两坐标轴的距离相等？ 【答案】(1)点的坐标为． (2)1个． 【思路引导】此题考查坐标与图形变化，关键是根据平方根的概念得出的坐标解答． （1）根据平方根的概念得出的方程，进而解答即可； （2）根据平移的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，得， 解得， ， 点的坐标为． （2）解：设点沿轴的方向向右平移个单位长度， 则平移后的点坐标为． 根据题意，平移后的点到两坐标轴的距离相等，可得， ， ， 解得． 故点沿轴的方向向右平移个单位长度后到两坐标轴的距离相等． 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出三角形向上平移2个单位长度，向左平移2个单位长度后所得的三角形； (2)求点，，的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，，． (3)． 【思路引导】（1）根据平移的性质找到对应点，顺次连接即可求解； （2）根据坐标系写出点的坐标即可求解； （3）根据平移的性质，根据平行四边形的面积公式即可求解． 【规范解答】（1）解：三角形如答图所示． （2）解：根据坐标系可得，，，． （3）解：如答图所示，向上平移2个单位长度扫过的面积为， 接着向左平移2个单位长度扫过的面积为， 所以平移过程中扫过的面积为． 【考点剖析】本题考查了平移作图，坐标与图形，熟练掌握平移的性质，数形结合是解题的关键． 题型二 求点到坐标轴的距离 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）根据x轴上点的坐标特点求出a的值即可； （2）根据点P到两坐标轴的距离相等列出关于a的方程，求出a的值即可． 本题主要考查了点的坐标，熟知坐标轴上点的坐标特点是解题的关键． 【规范解答】（1）解：由题意，得． 解得． 当时，． 所以，点P的坐标为． （2）解：当时， 解得． 则． 此时，点P的坐标为． 当时， 解得． 则，． 此时，点P的坐标为． 所以，点P的坐标为或． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【思路引导】（1）由点在轴上，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （2）由过点，的直线，与轴平行，可得，解得，则，进而可得点的坐标； （3）由点到两坐标轴的距离相等，可得，解方程即可． 【规范解答】（1）解：点在轴上， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （2）解：过点，的直线与轴平行， ，解得， ， ， 点A的坐标为． （3）解：点到两坐标轴的距离相等， ． 当时，解得， ； 当时，解得， ， 点的坐标为或． 【考点剖析】本题考查了坐标轴上点坐标的特征，平行于坐标轴的点坐标的特征，点坐标到坐标轴的距离，解一元一次方程等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型三 判断点所在的象限 5．（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 【答案】(1)点的坐标为． (2)2024 【思路引导】（1）根据与轴平行的直线上的点横坐标相等求解即可； （2）根据在第二象限或第四象限的点的坐标特征和点到轴、轴的距离相等列出方程，解出的值，再代入所求式子计算即可． 【规范解答】（1）点的坐标为，直线轴， ， 解得， 点的坐标为． （2）点在第二或第四象限的角平分线上， ， 解得， ． 【考点剖析】本题主要考查坐标与图形性质，解决本题的关键是熟练掌握各象限点的坐标规律． 6．（24-25八年级下·河北唐山·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时， ①求点的坐标； ②点到轴的距离为______； (3)已知点的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点所在的象限． 【答案】(1)点的坐标为 (2)①，② (3)点在第四象限 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标，掌握相关知识并熟练使用是解题的关键． （1）因为点在轴上，所以纵坐标为，解得值并代入横坐标的代数式中即可得到答案； （2）①因为点在过点且与轴平行的直线上，所以、两点的横坐标相同，令点横坐标为，解得的值并代入纵坐标的代数式中即可；②根据点到轴的距离为的纵坐标的绝对值可得答案； （3）根据题意列出方程，即可得到答案． 【规范解答】（1）解： 点在轴上， ， 解得， ， 点的坐标为； （2）解：① 点在过点且与轴平行的直线上， 点的横坐标为， ， 解得， ， 点的坐标为； ②∵点的坐标为， ∴点到轴的距离为. （3）解：∵点的横坐标比纵坐标大4， ∴， 解得， ,， 点的坐标为， 点在第四象限． 题型四 已知点所在的象限求参数 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 【答案】（1）， （2）点的坐标为． 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标特征，掌握平行于轴的点纵坐标相等，第三象限点的坐标符号为，点到轴的距离为纵坐标的绝对值是解题的关键． （1）平行于轴的直线上的点纵坐标相等，且两点不重合，因此横坐标不能相等； （2）第三象限点的横纵坐标均为负，点到轴的距离为纵坐标的绝对值，据此列方程求参数． 【规范解答】解：（1）轴， ． 点不重合， ． （2）点在第三象限，且到轴的距离为2， ，解得， 当时，，满足点横坐标为负的条件 ， 点的坐标为． 8．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】（1）根据点P在x轴上，得到，解答即可； （2）根据点P到x轴和y轴的距离相等，得到，解绝对值方程，解答即可． 本题考查了点到坐标轴的距离，在x轴上的点的坐标特点，熟知相关知识是解题的关键． 【规范解答】（1） 解：由题意得，， ∴， ∴， ∴P； （2）解：由题意得，， ∴或 解得或， 当时，，， 故此时； 当时，， 此时， 综上所述，点P的坐标为或． 题型五 坐标系中描点 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 【答案】C 【思路引导】本题考查了坐标与图形性质：利用点的坐标计算相应线段的长和图形面积，是解题的关键． 先在坐标系描出点，然后根据长方形的性质画出长方形，求出相邻两边，再求出面积． 【规范解答】解：如图，设， 在坐标系中描出各点，画出长方形， ∴． ∴， 故选：C． 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)或． 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系，利用网格求三角形面积，掌握知识点的应用是解题的关键． （）在平面直角坐标系中描点，，，然后连接即可； （）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积； （）利用三角形面积公式得，然后解方程求出，从而得到点坐标． 【规范解答】（1）解：画出三角形如图所示； （2）解：； （3）解：依题意得， ∵， ∴， ∴或． 题型六 坐标与图形综合 11.在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【思路引导】本题考查了坐标与图形综合，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，，结合题意可得，，，，，再由计算即可得解； （2）设，根据三角形的面积等于四边形面积的一半，，得出，求解即可． 【规范解答】（1）解：如图，分别过，两点作轴的垂线，垂足分别为，． ∵点，，，， ∴，，，，， ∴ ． （2）解：设， ∵三角形的面积等于四边形面积的一半，， ∴， 解得：或， ∴或． 12．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)12 (3)存在．点P的坐标为或． 【思路引导】本题考查坐标与图形，利用数形结合的思想进行求解，是解题的关键： （1）利用非负性进行求解即可； （2）利用梯形的面积公式进行求解即可； （3）根据三角形的面积公式列出方程进行求解即可． 【规范解答】（1）解：∵， ， ． （2）解：由（1）得， ∴轴， ∴四边形为直角梯形，且， ∴四边形的面积． （3）解：存在．∵三角形的面积， ， ， ∴点P的坐标为或． 题型七 实际问题中用坐标表示位置 13．（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标特征，涉及点的位置确定、象限角平分线条件、象限判断及点到坐标轴的距离等概念，需逐一分析各说法的正确性． 【规范解答】解：① 距点A处20米的所有点构成一个以A为圆心，20米为半径的圆，仅距离不能确定具体位置，故 ①正确； ② 若，则，点A的坐标为，满足，在第二、四象限角平分线上，不一定在第一、三象限角平分线上，故②错误； ③ 点A在第一象限，则且，即且，点中，，所以点B在第二象限，故③正确； ④ 点A在第四象限，则且，点A到x轴的距离为，而，但与不一定相等，故④错误． 综上，正确说法有①和③，一共2个． 故选：C． 14．七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 【答案】(1)见解析 (2)赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； (3)牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园在中心广场东南方向，相距米 【思路引导】本题考查了实际问题中用坐标表示位置，解题的关键是： （1）根据题意确定出原点和单位长度，建立起直角坐标系； （2）根据它们在图中的坐标置，写出图中的位即可； （3）根据图中的位置，写出它们在图中的坐标即可． 【规范解答】（1）解：根据题意，他们是以中心广场为原点，100米为单位长度，建立直角坐标系，如图： （2）解：根据（1）中的平面直角坐标系，可知： 赵凯在游乐园，李静在望春亭，王明在湖心亭； （3）解：根据题意，得牡丹园的坐标为，西门的坐标，游乐园相对中心广场的位置为游乐园在中心广场东南方向，相距米． 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 15．（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 【答案】(1)南偏东（或东偏南）；600 (2)见解析 (3)75 【思路引导】此题主要考查用方向角和距离确定物体的位置； （1）根据方向角和距离解答即可； （2）根据方向角和距离确定物体的位置，画图即可． （3）用乐乐从家经过超市步行去学校的距离除以20，计算即可． 【规范解答】（1）解：乐乐家在超市的南偏东（或东偏南）； 距离600米； 故答案为：南偏东（或东偏南）；600． （2）解：邮局的位置如图，    （3）解：乐乐从家经过超市步行去学校的距离为， ∴（米/分）， 则乐乐步行的平均速度是75米/分． 故答案为：． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵，），古槐树6棵．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)请在图中画出对应的平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的位置的坐标； (3)已知在的北偏西米处，试用方位角和距离描述相对于的位置． 【答案】(1)见详解 (2)，，，，，； (3)在的南偏东，5.4米处． 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）先根据点坐标确定坐标原点，建立平面直角坐标系即可； （2）写出6棵古槐树的坐标即可； （3）据方位角的概念，可得答案． 【规范解答】（1）解：画出平面直角坐标系如图所示∶ （2）解：根据平面直角坐标系可知： 6棵古槐树的坐标分别为∶，，，，，； （3）解：∵在的北偏西，5.4米处， ∴在的南偏东，5.4米处． 题型九 根据方位描述确定物体的位置 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 【答案】(1)见解析， (2)见解析 (3)点E在点C的正南方向，距离点处 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，根据已知点的坐标确定出原点的位置是解题的关键． （1）根据A和B的坐标建立适当的平面直角坐标系，根据直角坐标系即可得出点的坐标； （2）根据D的坐标为，E点的坐标为，F点的坐标为，在坐标系中标注的位置； （3）根据坐标系位置和单位长度即可得到结论． 【规范解答】（1）解：如图所示， ， 景点C的坐标为： （2）点D，E ，F的位置如图所示 （3）． 点E在点C的正南方向，距离点处 18．（23-24七年级上·江苏南京·月考）如图，杭州亚运会数字火炬手 和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 【答案】(1) ，；，0；； (2)10； (3)见解析． 【思路引导】本题考查了坐标确定位置，读懂题目信息，理解标记的两个数的实际意义是解题的关键． （1）根据标记的第一个数字表示左、右方向，第二个数字表示上、下方向依次写出即可； （2）根据运动路线列式计算即可得解； （3）在图中依次表示出各位置，然后确定出点的位置即可． 【规范解答】（1）解：根据题中的新定义得：，，； （2）解：若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为． （3）解：如图所示，点为火炬手汪顺的位置． 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 19．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不会发生变化，理由见解析 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系、平移的性质、一元一次方程的应用、图形的面积公式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）根据完全平方式和绝对值的非负性得到，即可求解； （2）根据平移的性质可得，再利用梯形的面积公式求出，推出点在线段上，再利用列出方程，求出的值即可； （3）分①点在点左侧；②点在点的右侧两种情况讨论，再利用图形的面积公式即可解答． 【规范解答】（1）解：， ， 解得：； （2）解：由（1）可知：，， 由平移的性质可得， ， 点在线段上， 由题意知，， ， 由题得：， 解得：， 当时，四边形的面积等于； （3）解：不会发生变化，理由如下： ①当点在点左侧时，易知点在线段上． 如图所示： 则 ； ②当点在点的右侧时，如图所示，连接． 则 ； ∴由①②可得，在运动过程中三角形与三角形的面积之差不会发生变化． 20．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】 （1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 【答案】（1）①；②；（2）①，；②存在，点的坐标为或 【思路引导】（1）①由题意知轴，可得的长度； ②由轴可得，继而得到，可得的长度； （2）①根据平移的性质及点的坐标可知线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段，即可得、的值； ②分别表示出三角形的面积为，三角形的面积为，可得，求解即可． 【规范解答】解：（1）①∵点、点， ∴轴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； ②∵点、，且轴， ∴， ∴， ∴， 即的长度为， 故答案为：； （2）①∵平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），，，，， 又∵点的横坐标加得到点的横坐标，点的纵坐标减得到点的纵坐标， ∴线段向右平移个单位再向下平移个单位得到线段（点、点的对应点分别是点、点）， ∴，； ②∵，，，点， ∴轴， ∴三角形的面积为：， 三角形的面积为：， ∵三角形的面积等于三角形面积的倍， ∴， 解得：或， ∴点的坐标为或时，三角形的面积等于三角形面积的倍． 【考点剖析】本题考查坐标与图形，两点间距离，点坐标平移的规律，三角形的面积等知识点，正确理解两点间的距离的意义是解题的关键． 题型十一 由平移方式确定点的坐标 21．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 【答案】(1)，； (2)或 (3)或或． 【思路引导】本题考查坐标与图形变化平移，求点的坐标，角的和差． （1）利用平移变换的性质求解； （2）先求出的值，进而分情况讨论即可； （3）分三种情形：①如图1中，当点在直线的左侧时，②如图2中，当点在直线的左侧或直线上且在直线的右侧时，③如图3中，当点在直线的右侧时，分别求解即可． 【规范解答】（1）解：将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度， 可得：，； （2）解：∵点A，B，的坐标分别为，， ∴， 设， ∵， 如图，当M在B左侧时， ， 解得：， 即； 如图，当M在B右侧时， ， 解得：， 即； （3）解：①如图1中，当点在直线的左侧或上时，， ∴； ②如图2中，当点在直线的右侧且在直线的右侧时，， ∴； ③如图3中，当点在直线的右侧时，， ∴； 综上所述，与的关系为：或或． 22．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情景】 在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． 【深入理解】 （2）若点是“横和点”，且三角形的面积为，求的值； 【能力提升】 （3）若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 【答案】（）点是“横和点”，见解析；（），（）点是“横和点”，见解析． 【思路引导】本题考查了图形与坐标，新定义问题三角形的面积公式，平移的性质，理解新定义是解题的关键． （）根据新定义“横和点”可得出答案； （）由点是“横和点”，则，即，又点是“横和点”，所以，即，因为三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同，则三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形，所以，即，然后代入得，整理得，再求出的值即可； （）由点落在轴上，则，根据平移可得，即，所以，又点的坐标是，则点的坐标为，即，通过，再通过新定义“横和点”即可可得出答案． 【规范解答】解：（）点是“横和点”，理由如下： ∵， ∴点是“横和点”； （）∵点是“横和点”， ∴，即， 又∵点是“横和点”， ∴，即， ∵将三角形平移得到三角形，点与点的纵坐标相同，点与点的横坐标相同， ∴三角形向右平移个单位长度，向上平移或向下平移个单位长度得到三角形， ∴，即， ∵三角形的面积为， ∴， ∴， ∴， 解得（负值舍去）； （）点是“横和点”，理由如下： ∵点落在轴上， ∴， ∵将三角形平移得到三角形， ∴，即， ∴， ∵点的坐标是， ∴点的坐标为，即， ∵， ∴点是“横和点”． 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 23．（2025八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 【答案】(1)， (2)将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到 【思路引导】本题主要考查了点的坐标的平移、写出直角坐标系中的坐标点、确定图形平移的方式等知识点，熟练掌握点的坐标的平移规律是解题的关键． （1）根据点A，在平面直角坐标系中的位置确定其坐标即可； （2）根据和位置的确定平移方式即可解答． 【规范解答】（1）解：如图：由平面直角坐标系坐标可得：，． （2）解：观察图形中和的位置，可知将向右平移2个单位，再向下平移1个单位得到． 24．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【思路引导】本题考查坐标与图形，平移的性质，三角形面积． （1）由得到平移方式，即可解答； （2）连接，由（1）知，则轴，得到，进而求出，根据三角形面积公式即可求解； （3）根据题意得到向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到，求出，进而得到，；根据的面积比的面积大4，建立方程求解即可． 【规范解答】（1）解：把沿射线向右下平移得到，即点的对应点为点， ∵， ∴先向右平移3个单位长度，再先向下平移2个单位长度后得到， ∵， ∴，即； （2）解：连接， 由（1）知， 则轴， ∴， ∴， ∴； （3）解：能，， ∵把沿射线向右下平移得到， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴， ∵， ∴， 由平移的性质得， ∴， ∴，； 当的面积比的面积大4时， 则，即， 解得：， ∴向右平移个单位长度，则向下平移个单位长度后得到， ∴． 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 25．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 【答案】(1)，， (2)1 (3)见解析 (4) (5)7 【思路引导】本题考查了利用平移变换作图，三角形的面积，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解答本题的关键． （1）根据平面直角坐标系直接写出点的坐标即可； （2）根据“点到轴的距离为纵坐标的绝对值”求解即可； （3）根据网格结构找出点、、的位置，然后顺次连接即可； （4）根据向右平移横坐标加，向下平移纵坐标减解答； （5）利用所在的矩形的面积减去四周三个直角三角形的面积，列式计算即可得解． 【规范解答】（1）解：由图知，，， 故答案为：，， （2）解： 到轴的距离为 故答案为： （3）解：如图，即为所求； （4）解：根据题意，点P的坐标为； 故答案为：； （5）解：的面积， ， ， ． 26．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 【答案】(1)作图见解析， (2)①，；②将三角形先向右平移5个单位长度，再向上平移3个单位长度得到三角形（答案不唯一） 【思路引导】本题考查坐标与图形，坐标与平移．解题的关键是熟练掌握平移规律． （1）根据点、、的坐标进行描点，然后连线即可得出三角形，利用割补法求出三角形的面积即可； （2）①根据点的坐标和平移后点的坐标是得出平移方式，然后求出点和点的坐标即可； ②根据点平移得出点，得出将三角形平移到三角形的方法即可． 【规范解答】（1）解：如图，三角形为所求作的三角形． ． （2）①∵点平移后点的坐标是， ∴点向右平移5个单位，向上平移3个单位到． ∴点、分别向右平移5个单位，向上平移3个单位到、． ∴点的坐标是，点的坐标是． ②∵点向右平移5个单位，向上平移3个单位到， ∴将三角形先向右平移5个单位，再向上平移3个单位到三角形． 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 27．（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 【答案】(1)见详解， (2) (3)7 【思路引导】本题考查了作图−平移，点的平移，网格三角形的面积，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）利用点平移的坐标规律写出点，，的坐标，然后描点即可； （2）把点向左平移5个单位长度，再向下平移1个单位长度得到点P，从而确定P点坐标； （3）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算三角形的面积． 【规范解答】（1）解：如图，为所作， ∵， ∴将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度后， ∴； （2）解：由题意得点向左平移5个单位，向下平移1个单位得到点P， ∴点； （3）解：． 28．如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 【答案】（1）8.5；（2）见解析；（3），平行且相等 【思路引导】（1）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积得到△ABC的面积； （2）利用点P和P1的特征确定平移的方向与距离，再利用此平移规律作图即可； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M，从而得到M点的坐标，然后根据平移的性质判断线段MM1，PP1之间的关系． 【规范解答】解：（1）△ABC的面积＝； （2）如图，△A1B1C1为所作； （3）把点M1先向左平移5个单位，再向上平移3个单位得到M点的坐标为(0,6)， 由平移的性质知，MM1与PP1平行且相等． 故答案为：8.5，(0,6)；平行且相等． 【考点剖析】本题考查作图-平移变换，平移的性质，解题的关键是掌握由点的坐标确定平移的方向与平移距离． 题型十五 坐标系中的平移 29．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值； (3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 【答案】(1)， (2) (3)不变，它的值为3 【思路引导】本题考查了点坐标的平移变换、坐标与图形，较难的是题（3），正确分两种情况讨论是解题关键． （1）根据平移的性质可得，，，求出的值，由此即可得； （2）先求出直角梯形的面积为，则可得点在点的上方，再根据求出，然后根据求解即可得； （3）分两种情况：①当点在上时，则，连接，根据即可得；②当点在延长线上时，则，连接，根据即可得． 【规范解答】（1）解：∵点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为， ∴，， ∴，， ∴， ∴，． （2）解：由平移的性质得：， ∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴直角梯形的面积为， ∵四边形的面积等于， ∴如图，点在点的上方， ∴， ∴， ∴， 由题意得：， 又∵， ∴． （3）解：①如图1，当点在上时，则， 连接， ∴ ； ②如图2，当点在延长线上时，则， 连接， ∴ ； 综上，的值不变，它的值为3． 30．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 【答案】（1）①4；②或(；（2）；（3） 【思路引导】本题考查坐标与图形，点坐标的特征，平移的性质等知识点，熟练掌握坐标与图形的性质是解题的关键． （1）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （2）根据平行于轴上的直线的点的坐标特征以及平行于轴上两点间的距离公式求解即可； （3）由平移的性质得到，由题意得，根据轴，得到点的纵坐标相等，即，求解即可． 【规范解答】解：①∵点，点的横坐标为2，轴， ∴的长为， 故答案为：4； ②∵轴，点， ∴设， ∵， ∴， ∴或， ∴点的坐标为或， 故答案为：或； （2）∵正方形的边长为4， ∴， ∵的坐标是轴， ∴，， ∴， ∴， ∴顶点A的坐标为； ∵正方形， ∴， ∵轴， ∴顶点B的坐标为，即； 故答案为：，； （3）∵点A的坐标为，将线段向上平移6个单位长度，得到线段， ∴， 由题意得， ∵轴， ∴点的纵坐标相等， ∴， ∴． 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 31．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】本题考查点的坐标变化规律，能根据所给点的坐标求出四边形的周长是解题的关键． 根据所给点的坐标，可求出四边形的周长，再根据细线的长度即可解决问题． 【规范解答】解：，，，， ，，，， 绕四边形一周的细线的长度为，， 细线的另一端在绕四边形第圈时的第个单位长度的位置， 即点的位置，坐标为． 故选：B． 32．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 【答案】(1)， (2) 【思路引导】本题主要考查了坐标与图形变化，平移的性质，一元一次方程的应用，解题的关键是掌握平移变换的性质． （1）利用平移的性质求解即可； （2）设秒后轴，根据轴，得到点与点的纵坐标相同，据此构建方程求解即可． 【规范解答】（1）解：，． ∵线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，，， ∴，． （2）解：设秒后轴， ∵轴， ∴点与点的纵坐标相同， 则有， 解得， 时，轴． 题型十七 中点坐标 33．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【思路引导】本题考查三角形的面积、绝对值和算术平方根的非负性质、坐标与图形性质，掌握绝对值和算术平方根的非负性质、三角形面积计算公式、中点坐标公式是解题的关键． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性质计算即可求得点A和点B的坐标； （2）根据三角形面积公式求出，再分别计算当点C在点B的左边、右边时对应的坐标即可； （3）根据三角形面积公式求出三角形的面积为24，三角形的面积正好是三角形的面积的一半，从而证明点D是的中点，再由中点坐标公式求出点D的坐标即可． 【规范解答】（1）解：， ，， ，， 点A的坐标为，点B的坐标为 故答案为：，； （2）解：， ，即， ， 则，， 点C的坐标为或 （3）解：，， ， ， ， 点D是的中点， ，， 点D的坐标为 34．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 【答案】(1)见详解 (2)；； (3) 【思路引导】（1）根据平移的方向及距离即可作图； （2）观察图像即可得解． （3）设线段的中点坐标为，根据，求出，即可得线段的中点坐标． 【规范解答】（1）解：如图，线段和即为所求； （2）解：观察图像可得： 的中点坐标为， 的中点坐标为， 的中点坐标为． （3）解：若点和，设线段的中点坐标为， 设，， 则， 解得， ， 解得， ∴线段的中点坐标为． 【考点剖析】本题考查了平面直角坐标系中的平移作图和求线段中点坐标，熟练掌握平移的口诀：上加下减，左加右减是解题的关键． 题型十八 点坐标规律探索 35．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了直角坐标系中的点的特征，坐标系中点的规律，由，…，得下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商，由，所以的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为506，然后通过第二象限特点即可求解． 【规范解答】解：∵，…， ∴下标为4的倍数的点在第四象限的角平分线上，被4除余1的点在第三象限的角平分线上，被4除余2的点在第二象限的角平分线上，被4除余3的点在第一象限的角平分线上，横坐标和纵坐标的绝对值都为下标除以4的商， ∵， ∴的坐标在第二象限的角平分线上，横坐标为，纵坐标为507， ∴的坐标为， 故答案为：． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】本题考查了平面直角坐标系中点的坐标规律探究，解题关键是仔细观察点的坐标变化及运动轨迹，发现以4个点为一组的规律，包括每组点坐标的变化特征以及每组最后一个点坐标的规律．根据各个点的位置关系，可得，点，而，据此得出答案即可． 【规范解答】解：∵，，，，，，，，，，，……， 由此发现： ，，，，…… ∴点，点 ∵， ∴点． 故答案为：． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【思路引导】本题考查坐标确定位置，理解有序数对的两个数表示的实际意义是解题的关键． 根据题意和图形，可以写出各点的坐标，然后即可判断哪个选项符合题意． 【规范解答】解：由图可得， 目标的坐标为，故选项A错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项B错误，不符合题意； 目标的坐标为，故选项C正确，符合题意； 目标的坐标为，故选项D错误，不符合题意； 故选：C． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，若“马”的坐标为，“车”的坐标为，则“炮”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【思路引导】直接利用已知点坐标建立平面直角坐标系，进而得出答案．此题主要考查了坐标确定位置，正确得出原点位置是解题关键． 【规范解答】解：∵“马”的坐标为，“车”的坐标为， ∴建立直角坐标系，如图所示： ∴“炮”的坐标为． 故选：B． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 【答案】C 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标相关性质，涵盖象限内点的坐标符号规律、点到坐标轴的距离与坐标的对应关系、坐标轴上点的坐标特征、平行于坐标轴的直线上点的坐标特征． 【规范解答】解：∵点的横坐标为负，纵坐标为正， ∴该点在第二象限，故A错误； ∵点在第一象限，到轴的距离为4，到轴的距离为3， ∴点的坐标为，故B错误； ∵点位于坐标轴上， ∴或， ∴，故C正确； ∵点与的纵坐标相同、横坐标不同， ∴直线轴，故D错误； 故选：C． 4．（2026八年级下·河北·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】本题考查了点坐标规律探索，坐标系中的动点问题（不含函数），写出直角坐标系中点的坐标等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 先求出这个粒子运动到，，，，所用时间，则归纳类推出这个粒子运动到所用时间，再观察运动规律可得在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动，然后根据，，可得第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，由此即可得． 【规范解答】解：由题意得：这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 这个粒子运动到所用时间为秒， 归纳类推得：这个粒子运动到所用时间为秒（其中为正整数）， 观察运动规律可知，在点中，奇数点处向下运动，偶数点处向左运动， ∵，，，且44为偶数， ∴第1980秒时，这个粒子所处位置为，再向左运动44秒即为第2024秒，此时这个粒子所处位置为，即， 故选：A． 5．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】结合图象，可以发现图象上点的规律是：纵坐标的变化是按照的顺序，每个点为一组循环变化，横坐标的变化是每增加一个点，横坐标增加．利用规律求解即可． 【规范解答】解：根据题意及题图可知，第1次运动到点， 第2次运动到点， 第3次运动到点， 第4次运动到点， 第5次运动到点， 第6次运动到点， 第7次运动到点， 第8次运动到点， 易知点的运动每4次位置循环1次，每循环1次向右移动4个单位， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点， 第次运动到点． ， 点的坐标是． 故选：A. 【考点剖析】本题考查了点坐标的规律探究，解题的关键是正确找出规律． 6．（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查图形的平移，掌握图形的平移与点的坐标变化规律，是解题的关键． 先通过点，点确定平移方式，再由平移方式确定点的对应点的坐标． 【规范解答】解：∵点，点，平移线段，使点落在点处， ∴可得，向左平移4个单位，向上平移1个单位， ∴点向左平移4个单位，向上平移1个单位得到， 故答案为：． 7．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 【答案】 【思路引导】此题考查了坐标规律问题，根据友好点的定义，依次求出点、、、的坐标，发现每4个点坐标循环一次，由于2024是4的倍数，点的坐标与点的坐标相同． 【规范解答】解：当点的坐标为时， 根据友好点的定义得，点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即； 点的坐标为，即，与点坐标相同， 因此，点的坐标每4个点循环一次， 因为， 所以点的坐标与点的坐标相同，为． 故答案为：． 8．（25-26八年级上·河南周口·期末）若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了点到坐标轴的距离，一个点到x轴的距离为该点纵坐标的绝对值，到y轴的距离为该点的横坐标的绝对值，据此结合题意建立方程求解即可． 【规范解答】解：∵点到x轴的距离是到y轴距离的2倍， ∴， ∴或， 解方程可知此方程无解， 解方程得， 故答案为：． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到处，第2次移动到处，第3次移动到处，，第次移动到处，则的面积是________． 【答案】 【思路引导】本题考查了图形类的规律探索，由题意得，每四次运动为一个循环，每个循环向右移动2个单位长度，求出22除以4的商和余数，再结合三角形面积计算公式求解即可． 【规范解答】解：由题意得，每四次运动为一个循环，每个循环向右移动2个单位长度， ∵， ∴的位置相当于向右移动个单位长度， 如图所示， ， 故答案为：5 ． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 【答案】 【思路引导】本题主要考查了点的坐标变化规律，解题关键是找到点随滚动次数的变化规律．列举几次滚动后的点坐标，找到滚动次数与点坐标之间的规律，进而求出第2025次滚动后顶点的坐标． 【规范解答】解：第1次滚动点的坐标为， 第2次滚动点的坐标为， 第3次滚动点的坐标为， 第4次滚动点的坐标为， 滚动5次后，； 滚动6次后，； 滚动7次后，； 滚动8次后，； ∴每滚动4次一个循环， ， ， ， 即， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【思路引导】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，平移的性质，正确掌握相关特征是解题的关键． （1）根据第二象限中点的符号特点，列出不等式，解得a的取值范围，再根据横、纵坐标都是整数，即可求解； （2）根据平移的性质，易得平移后点的坐标为，再根据横纵坐标相等，列出方程，求出a的值即可求解． 【规范解答】（1）解：点位于第二象限， ，， ， 横、纵坐标都是整数， ， ，， 的坐标为； （2）将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位得到新的坐标为 横纵坐标相等， ，解得， 点． 12（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 【答案】描点见解析；（1）图见解析；（2） 【思路引导】本题考查了坐标与图形； （1）根据坐标系描点、连线，即可求解． （2）根据点的坐标求出梯形的上底，下底，高后求面积． 【规范解答】解：（1）如图所示： （2）． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 【答案】(1)1 (2)或 【思路引导】本题考查点到坐标轴的距离，坐标与图形，正确理解新定义是解题的关键． （1）先求出点到轴，轴距离，再根据新定义求解； （2）根据新定义得到，再解方程即可． 【规范解答】（1）解：点到轴，轴距离分别为， ∵， ∴“短距”为； （2）解：∵点是“等距点”， ∴， ∴或， 解得或． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示为笑笑绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为． (1)请你在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮”的坐标． (2)笑笑从景点“飞禽”先向左走2个单位，再向上走3个单位，便到了景点“大象”的位置，请写出景点“大象”的坐标． 【答案】(1)见解析； (2) 【思路引导】本题主要考查运用直角坐标系确定位置的问题，平移的性质，解题的关键是根据“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为建立出合适的平面直角坐标系． （1）根据“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为即可建立出合适的平面直角坐标系； （2）根据平移的性质解答即可． 【规范解答】（1）解：建立平面直角坐标系如图所示， 景点“非洲狮”的坐标为； （2）解：根据题意得：景点“飞禽”的坐标为 ∵从景点“飞禽”先向左走2个单位，再向上走3个单位，便到了景点“大象”的位置，∴景点“大象”的坐标为，即． 15．（25-26八年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形的顶点、坐标分别是． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．则点在内的对应点坐标的坐标是___________． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3) 【思路引导】本题考查坐标与平移，熟练掌握平移的性质是解题的关键： （1）根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出坐标系即可； （2）根据对应点的坐标，确定平移规则，画图即可； （3）根据平移规则确定对应点的坐标即可． 【规范解答】（1）解：由题意，画图如下； （2）解：∵点的对应点为， ∴平移规则为先向右平移5个单位，再向下平移2个单位； 画图如下： （3）解：由（2）可知：的坐标为． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版（新教材）数学七年级下册专项培优【易错题型讲练】 专题9.4 平面直角坐标系（高频易错题题型训练） 【人教版数学七年级下册新教材】 题型讲练 1 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1 题型二 求点到坐标轴的距离 2 题型三 判断点所在的象限 3 题型四 已知点所在的象限求参数 4 题型五 坐标系中描点 4 题型六 坐标与图形综合 5 题型七 实际问题中用坐标表示位置 6 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 7 题型九 根据方位描述确定物体的位置 8 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 10 题型十一 由平移方式确定点的坐标 11 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 13 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 14 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 16 题型十五 坐标系中的平移 17 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 19 题型十七 中点坐标 20 题型十八 点坐标规律探索 21 拓展培优检测 22 题型一 写出直角坐标系中点的坐标 1．（25-26七年级下·全国·单元测试）在平面直角坐标系中，点的坐标为，已知的两个平方根分别是与． (1)求点的坐标； (2)点沿轴的方向向右平移多少个单位长度后到两坐标轴的距离相等？ 2．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，已知点，． (1)画出三角形向上平移2个单位长度，向左平移2个单位长度后所得的三角形； (2)求点，，的坐标； (3)求平移过程中扫过的面积． 题型二 求点到坐标轴的距离 3．（25-26七年级上·山东烟台·期末）在平面直角坐标系中，已知点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求点P的坐标； (2)若点P到两坐标轴的距离相等，求点P的坐标． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）已知点是平面直角坐标系内一点． (1)若点A在y轴上，求出点A的坐标； (2)若经过点，的直线与x轴平行，求出点A的坐标； (3)若点A到两坐标轴的距离相等，请直接写出点A的坐标． 题型三 判断点所在的象限 5．（25-26七年级下·全国·期中）已知点的坐标为，解答下列各题． (1)若点的坐标为，直线轴，求出点的坐标； (2)若点在第二或第四象限的角平分线上，求的值． 6．（24-25八年级下·河北唐山·月考）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)当点在轴上时，求点的坐标； (2)若点在过点且与轴平行的直线上时， ①求点的坐标； ②点到轴的距离为______； (3)已知点的横坐标比纵坐标大4，请通过计算判断点所在的象限． 题型四 已知点所在的象限求参数 7．（25-26七年级下·全国·单元测试）（1）已知两点，，若轴，求的值，并确定的取值范围； （2）在平面直角坐标系中，点的坐标为．若点在第三象限，且到轴的距离为2，求点的坐标． 8．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）在平面直角坐标系中，点P的坐标为． (1)若点P在x轴上，求出点P的坐标； (2)若点P到x轴和y轴的距离相等，求出点P的坐标． 题型五 坐标系中描点 9．（24-25七年级下·河北秦皇岛·期中）在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，则这个长方形的面积是（   ） A．24 B．25 C．30 D．28 10．（24-25七年级下·福建福州·期中）已知，在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，． (1)画出三角形； (2)求三角形的面积； (3)如果存在点，使得三角形和三角形的面积相等，求的值． 题型六 坐标与图形综合 11.在如图所示的平面直角坐标系中，点，，，． (1)求四边形的面积； (2)在轴上找一点，使三角形的面积等于四边形面积的一半，求点的坐标． 12．（23-24七年级下·广西南宁·期中）如图在直角坐标系中，已知，，三点，若，，满足关系式： (1)求的值； (2)求四边形的面积； (3)是否存在点，使的面积为四边形的面积的两倍？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 题型七 实际问题中用坐标表示位置 13．（25-26七年级上·山东济宁·月考）在平面直角坐标系中，若点A的坐标为，则下列说法中正确的有（    ）个 ①一只风筝飞到距点A处20米处，该条件不能确定位置 ②若，则点A一定在第一、三象限的角平分线上 ③若点A在第一象限，则点一定在第二象限 ④若点A在第四象限，那么点A到x轴的距离是 A．4 B．3 C．2 D．1 14．七年级（3）班的同学组织到兴华公园游玩，李静、王明、赵凯三位同学和其他同学走散了，同学们已到中心广场，他们三个在不同的景点对着景区示意图在电话中向在中心广场的同学们说他们的位置，赵凯说他的坐标是，李静说她的坐标是，王明说他的坐标是．（图中小正方形的边长代表100米，每个小正方形的对角线约长141米，牡丹园在中心广场的东北方向） (1)三位同学是如何在景区示意图上建立坐标系的？在图上画出来； (2)写出这三位同学所在位置的景点名称； (3)分别写出牡丹园、西门的坐标以及游乐园相对中心广场的位置． 题型八 用方向角和距离确定物体的位置 15．（25-26六年级上·黑龙江鸡西·期末）如图是乐乐家到学校的路线图    (1)乐乐家在超市的 方向，距离 米． (2)邮局在学校的北偏西方向900米处，请你在图上标出邮局的位置． (3)如图，乐乐从家经过超市步行去学校，用时20分钟，乐乐步行的平均速度是 米/分． 16．（23-24七年级下·广西南宁·期中）园林部门为了对市内某旅游景区内的古树名木进行系统养护，建立了相关的地理信息系统，其中一项工作就是要确定这些古树的位置．已知该旅游景区有树龄百年以上的古松树4棵，），古槐树6棵．为了加强对这些古树的保护，园林部门根据该旅游景区地图，将4棵古松树的位置用坐标表示为． (1)请在图中画出对应的平面直角坐标系； (2)在所建立的平面直角坐标系中，写出6棵古槐树的位置的坐标； (3)已知在的北偏西米处，试用方位角和距离描述相对于的位置． 题型九 根据方位描述确定物体的位置 17．（24-25七年级下·湖北襄阳·期中）某公园有6个景点．如下图所示的是景点的分布示意图（小正方形的边长为1个单位长度），景点A的坐标是，景点B位于坐标原点的西北方向． (1)根据以上描述，在下图中建立平面直角坐标系，并写出景点C的坐标； (2)若景点D的坐标为，景点E的坐标为，景点F的坐标为，请在坐标系中描出点D，E，F； (3)如果1个单位长度代表，请你用方向和距离描述点E相对于点C的位置． 18．（23-24七年级上·江苏南京·月考）如图，杭州亚运会数字火炬手 和吉祥物琼琮、宸宸、莲莲在的方格每小格边长为上沿着网格线运动数字火炬手从处出发去寻找、、处的吉祥物，规定：向上向右走为正，向下向左走为负，如果从到记为：，从到记为：，其中第一个数表示左右方向，第二个数表示上下方向，那么图中： (1)______，______；______，______； ______； (2)若数字火炬手的行走路线为，则数字火炬手走过的路程为______m； (3)若数字火炬手从处去寻找最后一棒火炬手汪顺的行走路线依次为，，，，请在图中标出最后一棒火炬手汪顺的位置点． 题型十 求点沿x轴、y轴平移后的坐标 19．（24-25七年级下·云南昭通·期末）如图，已知点，且满足．将线段先向上平移5个单位，再向左平移1个单位后得到线段，连接． (1)求、的值； (2)点从点出发，以每秒1个单位的速度沿向上运动．设运动时间为秒，当为多少时，四边形的面积等于？ (3)在（2）的条件下，点从点出发的同时，点从点出发，以每秒个单位的速度沿轴向右运动，直线交轴于点．在运动过程中，三角形与三角形的面积之差是否会发生变化？请说明理由． 20．在数学研究课上，研究小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度： 【问题情境】 在平面直角坐标系中不重合的两点和点， 若，则轴，且线段的长度为； 若，则轴，且线段的长度为； 【实践操作】 （1）根据上面的结论，填空． ①已知：点、点，则的长度为 ； ②若点、，且轴，的长度为 ． 【拓展应用】 （2）如图，在平面直角坐标系中，平移线段至线段（点、点的对应点分别是点、点），连接、．若，，，， ①直接写出、的值； ②是否存在点，使三角形的面积等于三角形面积的倍．若存在，请求出点坐标；若不存在请说明理由． 题型十一 由平移方式确定点的坐标 21．（24-25七年级下·湖北襄阳·月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，． (1)直接写出点C、D的坐标． (2)连接，M为x轴上的一动点，若，求点M的坐标． (3)若，设点P是x轴上一动点（不与点B重合），则与存在怎样的数量关系？请直接写出来． 22．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）综合与探究 定义：若点的坐标满足时，我们称点为“横和点”． 【初步运用】 （1）判断点是否为“横和点”，并说明理由； 【问题情景】 在平面直角坐标系中，将平移得到，点，，的对应点分别是点，，，已知点，点，点，点是“横和点”，点的横坐标为，且． 【深入理解】 （2）若点是“横和点”，且三角形的面积为，求的值； 【能力提升】 （3）若点的坐标是，点恰好落在轴上，判断点是否为“横和点”，并说明理由． 题型十二 已知点平移前后的坐标，判断平移方式 23．（2025八年级上·浙江·专题练习）在平面直角坐标系中，经过平移得到，与的位置如图所示． (1)分别写出点A，的坐标． (2)请结合平移的相关知识说明可由经过怎样的平移得到． 24．如图，在平面直角坐标系中，，把沿射线向右下平移得到，交线段于点M． (1)如果点D的坐标为，则C、E两点的坐标分别为______； (2)连接，在(1)的条件下，的面积等于3，求的面积； (3)在沿射线向右下平移的过程中，的面积能否比的面积大4？若能，请求出此时点M的坐标，若不能，请说明理由． 题型十三 已知图形的平移，求点的坐标 25．（23-24七年级下·辽宁大连·月考）如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上． (1)写出点A的坐标为 ，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)点C到x轴的距离为 ； (3)将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点A，B，C的对应点．请在所给坐标系中画出； (4)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标为 ； (5)求的面积． 26．（24-25七年级下·河南安阳·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，． (1)画出三角形，并求它的面积； (2)将这个三角形平移到三角形，其中点，，的对应点分别是，，，已知点的坐标是． ①的坐标是 ，的坐标是 ； ②写出一种将三角形平移到三角形的方法 ． 题型十四 已知平移后的坐标求原坐标 27．（23-24七年级下·云南·期中）如图，在平面直角坐标系中，三角形三个顶点的坐标分别为，，，将三角形向右平移5个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到三角形，其中点，，分别为点A，B，C的对应点. (1)请在所给坐标系中画出三角形，并直接写出点的坐标：______； (2)若边上一点P经过上述平移后的对应点为，用含x，y的式子表示点P的坐标：P______； (3)求三角形的面积． 28．如图，将三角形ABC平移后，三角形ABC内任意一点P（x0，y0）的对应点为P1（x0+5，y0﹣3）． （1）三角形ABC的面积为　 　； （2）将三角形ABC平移后，顶点A，B，C的对应点分别为A1，B1，C1，在图中画出三角形A1B1C1； （3）若三角形ABC外有一点M经过同样的平移后得到点M1（5，3），则点M的坐标为　 　；若连接线段MM1，PP1，则这两条线段之间的关系是　 　． 题型十五 坐标系中的平移 29．（21-22七年级下·湖北荆州·期中）如图，已知点，，将线段先向右平移1个单位长度，再向上平移若干单位长度后，得到线段，且点在轴上，点的坐标为，连接、． (1)请求出点A和点B坐标； (2)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动．设运动时间为t秒，当四边形的面积等于8时，求t的值； (3)点M从O点出发，以每秒1个单位长度的速度沿y轴向上运动，同时，点N从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴向左运动，射线交y轴于点E．设运动时间为秒，问：的值是否会发生变化？若不变，请求出它的值；若变化，请说明理由．（特别地，三角形三个顶点重合时面积为0） 30．（24-25七年级下·吉林·月考）在数学活动课上，智慧小组研究了平面直角坐标系中的特殊线段的长度：在平面直角坐标系中有不重合的两点，点和点，当时，轴，且的长为；当时，轴，且的长为． 【实践操作】 （1）①若点，点的横坐标为2，轴，则的长为 ． ②若点轴，，则点的坐标为 ． 【初步运用】 （2）如图①，正方形的边长为4，顶点的坐标是轴，则顶点的坐标为 ，顶点的坐标为 ． 【问题解决】 （3）如图②，点的坐标为；将线段向上平移6个单位长度，得到线段，连接．点分别是线段上的动点（不与端点重合），点从点出发，以的速度向终点运动，点从点出发，以的速度向终点运动，若两点同时出发，运动时间为，当轴时，求的值． 题型十六 坐标系中的动点问题（不含函数） 31．（25-26七年级下·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，，．把一条长为2025个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按的顺序绕在四边形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（   ）    A． B． C． D． 32．（25-26七年级下·全国·单元测试）如图，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，．将线段向下平移2个单位长度，再向左平移4个单位长度，得到线段，连接，．    (1)点的坐标为________，点的坐标为________； (2)，分别是线段，上的动点，点从点出发向点运动，速度为每秒1个单位长度，点从点出发向点运动，速度为每秒0.5个单位长度．若两点同时出发，则几秒后轴？ 题型十七 中点坐标 33．（24-25七年级下·河北石家庄·期中）已知点，点，且a，b满足关系式 (1)点A的坐标为______，点 B的坐标为______； (2)如图1，点C在x轴上，当三角形的面积为15时，求点C的坐标； (3)如图2，点D是直线第一象限上的点，连接，当三角形的面积为12时，求点D的坐标． 34．（24-25七年级下·贵州黔南·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为，，将线段向右平移4个单位长度后得到线段，再将线段向下平移4个单位长度后得到线段． (1)请画出平移后的线段和； (2)连接，，，分别写出三条线段的中点坐标； (3)若点和，直接写出线段的中点坐标． 题型十八 点坐标规律探索 35．（25-26八年级上·广东佛山·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，……均在边长均为1个单位长度网格格点上，其顺序按图中“→”方向排列，，，根据这个规律，点的坐标为___________． 36．（24-25七年级下·湖北武汉·期末）2024年沙特阿拉伯国庆节期间，中国无人机表演团队震撼全球，这其中就包括了精准的定位技术．如图，在平面直角坐标系中，每个最小方格的边长均为1个单位长度，无人机按图中“箭头”方向飞行，根据这个规律，点的坐标为______． 1．（25-26八年级上·山东聊城·期末）在“探索与发现展厅”有一个雷达探测器，如图，雷达探测器测得六个目标点，，，，，按照规定的目标表示方法，目标点，的位置分别表示为，，按照此方法在表示目标，，，的位置时，其中表示正确的是（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·山东烟台·期末）如图，若“马”的坐标为，“车”的坐标为，则“炮”的坐标为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·河南平顶山·期末）下列结论正确的是（   ） A．点在第四象限 B．点在第一象限，它到轴，轴的距离分别为4，3，则点的坐标为 C．平面直角坐标系中，点位于坐标轴上，那么 D．已知点，则直线轴 4．（2026八年级下·河北·专题练习）如图，一个粒子在第一象限和x轴，y轴的正半轴上运动，在第1秒内，它从原点运动到，接着它按图所示在x轴，y轴的平行方向来回运动，即…，且每秒运动一个单位长度，那么2024秒时，这个粒子所处位置为（ ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·全国·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点按图中箭头所示的方向，从原点出发，第1次运动到点，第2次运动到点，第3次运动到点，第4次运动到点，……按这样的运动规律，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·山东威海·期末）在平面直角坐标系中，点，点，平移线段，使点落在点处，则点的对应点的坐标为_____． 7．（23-24七年级下·广西桂林·期末）在平面直角坐标系中，对于点，我们把点叫做点P的友好点，已知点的友好点为点，点的友好点为点，点的友好点为点，…以此类推，当点的坐标为时，点的坐标为______． 8．（25-26八年级上·河南周口·期末）若点到x轴的距离是到y轴距离的2倍，则a的值为_____． 9．（25-26七年级上·广东深圳·期末）在平面内，一只电子蚂蚁从数轴上表示原点的位置点出发，按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动，每次移动1个单位长度，其移动路线如图所示，第1次移动到处，第2次移动到处，第3次移动到处，，第次移动到处，则的面积是________． 10．（25-26八年级上·河南驻马店·期末）如图，在平面直角坐标系中，A，B，C，D是边长为1个单位长度的小正方形的顶点，开始时，顶点A，B依次放在点，的位置，然后沿x轴向右滚动，第1次滚动使点A落在点的位置，第2次滚动使点A落在点的位置……，按此规律滚动下去，则第2025次滚动后，顶点A的坐标是__________． 11．（25-26八年级上·浙江宁波·期末）在平面直角坐标系中，点的坐标为． (1)若点位于第二象限，且横、纵坐标都是整数，求点的坐标； (2)若将点向右平移3个单位，再向上平移5个单位，恰好横纵坐标相等，求点的坐标． 12（25-26八年级·上海·假期作业）在平面直角坐标系中描出以下各点： 、、、． （1）顺次连接、、、得到四边形； （2）计算四边形的面积． 13．（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）在平面直角坐标系中，给出如下定义：点到轴，轴距离的较小值称为点的“短距”，点到轴，轴的距离相等时，称点为“等距点”． (1)求点的“短距”． (2)若点是“等距点”，求的值． 14．（25-26八年级上·浙江杭州·期末）如图所示为笑笑绘制的动物园部分景点的平面示意图，已知景点“东北虎”的坐标为，“两栖动物”的坐标为． (1)请你在图中建立平面直角坐标系，并写出景点“非洲狮”的坐标． (2)笑笑从景点“飞禽”先向左走2个单位，再向上走3个单位，便到了景点“大象”的位置，请写出景点“大象”的坐标． 15．（25-26八年级上·山东东营·期末）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长为1．格点三角形（顶点是网格线的交点的三角形的顶点、坐标分别是． (1)根据已知条件在网格平面内画出平面直角坐标系； (2)将平移至，使得A，B，C的对应点依次是D，E，F，若，请在网格中画出； (3)若是内一点．则点在内的对应点坐标的坐标是___________． 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $